工程力學(xué) 課件 第13章 圓軸的扭轉(zhuǎn)

工程力學(xué)

EngineeringMechanics第13章圓軸的扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)

EngineeringMechanics13.1傳動(dòng)軸的外力偶矩、扭矩和扭矩圖13.2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)、切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律軸的扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)實(shí)例汽車傳動(dòng)軸攪拌器主軸螺絲刀十字套筒扳手等軸的扭轉(zhuǎn)以扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件稱為軸。最常用的是圓截面軸。特點(diǎn)：外力偶作用在垂直于桿件軸線的平面內(nèi)，桿件的任意兩個(gè)橫截面之間發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。主要討論圓軸扭轉(zhuǎn)：外力、內(nèi)力、應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度問(wèn)題。扭轉(zhuǎn)變形是桿件變形的一種基本形式。M0M013.1.1傳動(dòng)軸上外力偶矩的計(jì)算軸的扭轉(zhuǎn)13.1傳動(dòng)軸的外力偶矩、扭矩和扭矩圖在扭轉(zhuǎn)變形中，受到的外載荷為外力偶矩。在工程計(jì)算中，外力偶矩往往不是直接給出的，通常已知：軸的傳遞功率P(單位：kW)和轉(zhuǎn)速n(單位：r/min)，求：外力偶矩MtBnDACd2d11m0.3m0.5mPAPDPB13.1.1傳動(dòng)軸上外力偶矩的計(jì)算軸的扭轉(zhuǎn)13.1傳動(dòng)軸的外力偶矩、扭矩和扭矩圖已知：軸的傳遞功率P(單位：kW)和轉(zhuǎn)速n(單位：r/min)，求：外力偶矩Mt外力偶所做的功軸傳遞的功單位：1kW=1000N·m/s每分鐘內(nèi)=13.1.2桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力——扭矩和扭矩圖軸的扭轉(zhuǎn)13.1傳動(dòng)軸的外力偶矩、扭矩和扭矩圖

內(nèi)力偶矩，稱為扭矩，用T

表示。按右手螺旋法則，矢量方向離開截面時(shí)， 扭矩為“+”，

反之為“-”。扭矩的符號(hào)規(guī)定：MtMt(a)TmmMt(b)MtmmT(c)mm13.1.2桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力——扭矩和扭矩圖軸的扭轉(zhuǎn)13.1傳動(dòng)軸的外力偶矩、扭矩和扭矩圖以沿桿軸線方向的坐標(biāo)表示橫截面的位置，以垂直于桿軸線的另一坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的扭矩。——扭矩圖。扭矩圖的作用：(1)形象地表示了扭矩沿軸線的變化情況；(2)容易確定最大扭矩的數(shù)值及其所在的截面。軸的扭轉(zhuǎn)13.2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)、切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律薄壁圓筒是指筒壁的厚度遠(yuǎn)小于圓筒直徑的圓筒，當(dāng)其受扭轉(zhuǎn)時(shí)，其變形易于觀察和分析，以及實(shí)驗(yàn)研究。Mt軸的扭轉(zhuǎn)13.2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)、切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律13.2.1薄壁圓筒在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形特點(diǎn)(1)各圓周線大小、形狀和間距不變。圓周線間距不變→長(zhǎng)度不變，

→橫截面上無(wú)正應(yīng)力(2)圓周線只是繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，各縱向線傾斜同一角度，所有矩形變成平行四邊形。在相鄰兩橫截面間發(fā)生了相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，即產(chǎn)生剪切變形，在橫截面上存在與上述變形相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力，即垂直半徑的切應(yīng)力。圓周線形狀和大小不變，

→在包含軸線在內(nèi)的縱向截面上無(wú)正應(yīng)力。Mt軸的扭轉(zhuǎn)13.2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)、切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律13.2.2薄壁圓筒在扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力特點(diǎn)Mtrt由于t<<r

→沿壁厚切應(yīng)力不變；又沿圓周方向各點(diǎn)的變形相同

→沿圓周各點(diǎn)應(yīng)力相同。即：

薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力均勻分布，方向垂直于半徑。MtMt軸的扭轉(zhuǎn)13.2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)、切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律13.2.2薄壁圓筒在扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力特點(diǎn)OTtr則微面積微剪力微力矩扭矩dA又Mtrt軸的扭轉(zhuǎn)13.2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)、切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律13.2.3純剪切、切應(yīng)力互等定理用相距dx的兩個(gè)橫截面，

和相距dy

的兩個(gè)縱向平面，

在薄壁圓筒上切下一個(gè)微小六面體。微小單元體abcd

的邊長(zhǎng)分別為dx，dy

和t。微小單元體的力偶矩平衡：adcbxyzdxdytMtrt軸的扭轉(zhuǎn)13.2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)、切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律13.2.3純剪切、切應(yīng)力互等定理adcbxyzdxdyt切應(yīng)力互等定理：在相互垂直的兩個(gè)截面上，切應(yīng)力必然成對(duì)存在，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩截面的交線，

方向則共同指向、或共同背離這一交線。dxdy單元體四個(gè)側(cè)面上，

只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力，

這種情況稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。Mtrt13.2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)、切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律13.2.4切應(yīng)變、剪切胡克定律切應(yīng)變微體在切應(yīng)力作用下產(chǎn)生剪切變形，互相垂直的側(cè)邊所夾直角發(fā)生微小變化，該直角的改變量稱為切應(yīng)變，用表示單位：rad(弧度)發(fā)現(xiàn)當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。G——切變模量，單位GPa。1GPa=109Pa剪切胡克定律dxdy利用薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)純剪切試驗(yàn)。13.2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)、切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律13.2.4切應(yīng)變、剪切胡克定律各向同性材料的三個(gè)材料常數(shù)的關(guān)系理論和試驗(yàn)都可以證明，對(duì)于各向同性材料，在比例極限內(nèi)彈性常數(shù)、、三者之間的關(guān)系為：各向同性材料只有兩個(gè)獨(dú)立的材料常數(shù)。這節(jié)課就講到這里。同學(xué)們根據(jù)這次課學(xué)習(xí)到的內(nèi)容和閱讀教材，完成教材上的習(xí)題。工程力學(xué)

EngineeringMechanics全國(guó)高等教育自學(xué)考試指導(dǎo)委員會(huì)第13章圓軸的扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)

EngineeringMechanics13.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面上的應(yīng)力與強(qiáng)度條件軸的扭轉(zhuǎn)13.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面上的應(yīng)力與強(qiáng)度條件薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)：均勻分布的垂直于半徑方向的切應(yīng)力。實(shí)心或空心圓軸扭轉(zhuǎn)：橫截面上切應(yīng)力不是均勻分布。從變形幾何關(guān)系、物理關(guān)系和靜力學(xué)關(guān)系三方面進(jìn)行綜合分析。Mt軸的扭轉(zhuǎn)13.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面上的應(yīng)力與強(qiáng)度條件13.3.1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力1.變形幾何關(guān)系圓軸扭轉(zhuǎn)變形實(shí)驗(yàn)表明：扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸表面的變形情況與薄壁圓筒相似(2)圓周線只是繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，各縱向線傾斜同一角度，所有矩形變成平行四邊形。(1)各圓周線大小、形狀和間距不變。Mt軸的扭轉(zhuǎn)13.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面上的應(yīng)力與強(qiáng)度條件13.3.1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力1.變形幾何關(guān)系圓軸扭轉(zhuǎn)的假設(shè)圓軸扭轉(zhuǎn)，變形后橫截面仍保持為平面，

其形狀、大小不變，半徑仍保持為直線，

相鄰兩截面的間距不變。

——圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)。由此，圓軸的橫截面就像剛性平面一樣，繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。MtMt軸的扭轉(zhuǎn)13.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面上的應(yīng)力與強(qiáng)度條件13.3.1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力1.變形幾何關(guān)系mmnnd

x軸的扭轉(zhuǎn)13.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面上的應(yīng)力與強(qiáng)度條件13.3.1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力1.變形幾何關(guān)系對(duì)于某一給定的橫截面同一橫截面上，任一點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)距圓心的半徑成正比。

式(d)為圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形幾何關(guān)系。扭轉(zhuǎn)角沿軸的變化率軸的扭轉(zhuǎn)13.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面上的應(yīng)力與強(qiáng)度條件13.3.1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力2.物理關(guān)系對(duì)于同一截面為常數(shù)橫截面上任意點(diǎn)處的切應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離成正比， 即沿半徑成線性變化。上式表明：(2)因?yàn)榍袘?yīng)變發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)， 故切應(yīng)力與半徑垂直。(3)由切應(yīng)力互等定理知，徑向縱截面上也必然存在著相應(yīng)的切應(yīng)力。軸的扭轉(zhuǎn)13.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面上的應(yīng)力與強(qiáng)度條件13.3.1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力3.靜力學(xué)關(guān)系無(wú)法計(jì)算該截面內(nèi)的分布內(nèi)力系可簡(jiǎn)化為一個(gè)合力偶，即該截面上的內(nèi)力——扭矩。仍然未知，軸的扭轉(zhuǎn)13.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面上的應(yīng)力與強(qiáng)度條件13.3.1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力3.靜力學(xué)關(guān)系對(duì)某一橫截面（極慣性矩）圓軸扭轉(zhuǎn)變形的基本關(guān)系式圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的公式引入軸的扭轉(zhuǎn)13.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面上的應(yīng)力與強(qiáng)度條件13.3.1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的公式圓截面的邊緣上，達(dá)到最大值R，該處切應(yīng)力最大，其值為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，m3或cm3極慣性矩，m4或cm4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面最大切應(yīng)力與截面扭矩成正比，與扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)成反比。軸的扭轉(zhuǎn)13.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面上的應(yīng)力與強(qiáng)度條件13.3.1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的公式圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力公式的適用范圍(1)上述公式都是以平面假設(shè)為基礎(chǔ)推導(dǎo)出的，已被試驗(yàn)所證實(shí)，說(shuō)明平面假設(shè)是正確的。(2)只適用于等直圓軸，平面假設(shè)只對(duì)等直圓軸才是正確的。(3)推導(dǎo)過(guò)程中，由于使用了胡克定律，所以上述公式只適用于不超過(guò)材料的剪切比例極限的情況。軸的扭轉(zhuǎn)13.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面上的應(yīng)力與強(qiáng)度條件13.3.2極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)的計(jì)算1.

實(shí)心圓軸Od軸的扭轉(zhuǎn)13.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面上的應(yīng)力與強(qiáng)度條件13.3.2極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)的計(jì)算2.

空心圓軸OdD這節(jié)課就講到這里。同學(xué)們根據(jù)這次課學(xué)習(xí)到的內(nèi)容和閱讀教材，完成教材上的習(xí)題。工程力學(xué)

EngineeringMechanics全國(guó)高等教育自學(xué)考試指導(dǎo)委員會(huì)第13章圓軸的扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)

EngineeringMechanics13.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面上的應(yīng)力與強(qiáng)度條件13.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度條件13.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的靜不定問(wèn)題軸的扭轉(zhuǎn)13.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面上的應(yīng)力與強(qiáng)度條件13.3.3圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件為了保證圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)不因強(qiáng)度不夠而破壞，軸內(nèi)最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力，故強(qiáng)度條件為變截面階梯軸：等截面圓軸：研究發(fā)現(xiàn)塑性材料脆性材料靜載荷情況軸的扭轉(zhuǎn)13.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面上的應(yīng)力與強(qiáng)度條件13.3.3圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件為了保證圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)不因強(qiáng)度不夠而破壞，軸內(nèi)最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力，故強(qiáng)度條件為變截面階梯軸：等截面圓軸：實(shí)心軸空心軸的比較軸的扭轉(zhuǎn)13.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度條件13.4.1圓軸扭轉(zhuǎn)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)變形基本關(guān)系式則相距l(xiāng)

的兩個(gè)橫截面之間的扭轉(zhuǎn)角為若兩截面間扭矩T

不變的等直圓軸，T、G、Ip

為常數(shù)，則單位：radGIp——圓軸的截面抗扭剛度。扭轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)規(guī)定與扭矩T

相同。軸的扭轉(zhuǎn)13.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度條件13.4.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件軸的剛度條件：限制軸的最大的單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角，使其不超過(guò)規(guī)定的單位長(zhǎng)度的許用扭轉(zhuǎn)角。單位：rad/m單位：o/m許用扭轉(zhuǎn)角的數(shù)值：

可按對(duì)機(jī)器的要求、軸的工作條件，從有關(guān)手冊(cè)中查出。軸的扭轉(zhuǎn)13.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度條件軸的扭轉(zhuǎn)13.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的靜不定問(wèn)題圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)也存在靜不定問(wèn)題，求解思路與軸向拉伸或壓縮靜不定問(wèn)題相同，列寫靜力學(xué)平衡方程，判斷靜不定次數(shù)。分析變形幾何關(guān)系，得到變形協(xié)調(diào)條件。根據(jù)變形的物理關(guān)系，代入變形協(xié)調(diào)條件，得到補(bǔ)充方程。聯(lián)立靜力學(xué)平衡方程和補(bǔ)充方程，求解。請(qǐng)感興趣的同學(xué)自行閱讀教材上的例子。軸的扭轉(zhuǎn)13.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的靜不定問(wèn)題這節(jié)課就講到這里。同學(xué)們根據(jù)這次課學(xué)習(xí)到的內(nèi)容和閱讀教材，完成教材上的習(xí)題。軸的扭轉(zhuǎn)例某傳動(dòng)圓軸受外力偶作用所示，軸直徑d=50mm，a=0.5m，材料切變模量G=80GPa。試計(jì)算該軸右端面D

相對(duì)于左端面A

之間的扭轉(zhuǎn)角。解：1.繪制扭矩圖2.計(jì)算變形2kN·mdDaaa1kN·m1kN·m2kN·mCBAABC(T)2kN·m1kN·m2kN·mD軸的扭轉(zhuǎn)例如圖所示變截面圓軸（階梯圓軸），D1=100mm，D2=60mm。已知外力偶矩MtA=10kN·m，MtB=7kN·m，MtC=3kN·m，材料的切變模量G=80Gpa，許用切應(yīng)力[τ]=60MPa，許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。試按強(qiáng)度條件和剛度條件的要求設(shè)計(jì)該軸BC段的直徑。解：1.繪制扭矩圖。AMtAMtBMtCD1D2BCABC(T)10kN·m3kN·m2.分段校核強(qiáng)度（前面例子已完成）AB

段強(qiáng)度符合要求且超過(guò)5%，BC

段強(qiáng)度不合要求軸的扭轉(zhuǎn)例如圖所示變截面圓軸（階梯圓軸），D1=100mm，D2=60mm。已知外力偶矩MtA=10kN·m，MtB=7kN·m，MtC=3kN·m，材料的切變模量G=80Gpa，許用切應(yīng)力[τ]=60MPa，許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。試按強(qiáng)度條件和剛度條件的要求設(shè)計(jì)該軸BC段的直徑。AMtAMtBMtCD1D2BCABC(T)10kN·m3kN·m3.按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)BC

段的直徑軸的扭轉(zhuǎn)例如圖所示變截面圓軸（階梯圓軸），D1=100mm，D2=60mm。已知外力偶矩MtA=10kN·m，MtB=7kN·m，MtC=3kN·m，材料的切變模量G=80Gpa，許用切應(yīng)力[τ]=60MPa，許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。試按強(qiáng)度條件和剛度條件的要求設(shè)計(jì)該軸BC段的直徑。AMtAMtBMtCD1D2BCABC(T)10kN·m3kN·m4.按剛度條件設(shè)計(jì)BC

段的直徑軸的扭轉(zhuǎn)例如圖所示變截面圓軸（階梯圓軸），D1=100mm，D2=60mm。已知外力偶矩MtA=10kN·m，MtB=7kN·m，MtC=3kN·m，材料的切變模量G=80Gpa，許用切應(yīng)力[τ]=60MPa，許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。試按強(qiáng)度條件和剛度條件的要求設(shè)計(jì)該軸BC段的直徑。AMtAMtBMtCD1D2BCABC(T)10kN·m3kN·m4.按剛度條件設(shè)計(jì)BC

段的直徑3.按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)BC

段的直徑5.綜合強(qiáng)度和剛度條件確定該軸BC

段的直徑設(shè)計(jì)時(shí)可選取整為D2=66mm。軸的扭轉(zhuǎn)例如圖所示，兩端A、B固定端的圓截面軸，在其C

截面處受到外力偶矩M0

的作用，AC

段的扭轉(zhuǎn)剛度為G1Ip1，BC

段的扭轉(zhuǎn)剛度為G2Ip2，試求A、B

兩處約束力偶矩。1.取圓軸為研究對(duì)象，受力分析，列寫平衡方程解CM0ABG1Ip1G2Ip2abCABGIp1GIp2M0MAMB一個(gè)方程，兩個(gè)未知量，故為一次靜不定問(wèn)題2.變形協(xié)調(diào)條件3.物理方程(a)(b)4.補(bǔ)充方程軸的扭轉(zhuǎn)例如圖所示，兩端A、B固定端的圓截面軸，在其C

截面處受到外力偶矩M0

的作用，AC

段的扭轉(zhuǎn)剛度為G1Ip1，BC

段的扭轉(zhuǎn)剛度為G2Ip2，試求A、B

兩處約束力偶矩。CM0ABG1Ip1G2Ip2abCABGIp1GIp2M0MAMB(a)(b)平衡方程補(bǔ)充方程聯(lián)立式(a)和(b)，求解軸的扭轉(zhuǎn)解

1.計(jì)算外力偶矩例如圖所示傳動(dòng)軸，其轉(zhuǎn)速為n=300r/min，主動(dòng)輪A輸入功率PA=50kW，從動(dòng)輪B、C、D的輸出功率分別是PB=PC=15kW，PD=20kW。試作軸的扭矩圖，并確定最大扭矩值（絕對(duì)值）

。DBCn112233

2.截面法計(jì)算各段扭矩

3.畫扭矩圖(T)636N·m954N·m477N·m+-A軸的扭轉(zhuǎn)例某傳動(dòng)軸，軸內(nèi)最大扭矩T=1.6kN·m

，若許用切應(yīng)力[τ]=50MPa，試按如下兩種方案確定軸的橫截面尺寸，并比較其重量。（1）實(shí)心圓截面軸；（2）空心圓截面軸，其內(nèi)、外徑的比值α=0.9。解：1.確定實(shí)心圓截面軸直徑d12.確定空心軸的外徑D軸的扭轉(zhuǎn)解：1.確定實(shí)心圓截面軸直徑d12.確定空心軸的外徑D