2024-2025學(xué)年河南省百師聯(lián)盟高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年河南省百師聯(lián)盟高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線l1：(a?1)x+2y+1=0，l2：ax+(a+2)y+4=0，設(shè)甲：l1//l2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.直線3x?4y+10=0與以點(diǎn)C(?1,?2)為圓心的圓相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=8，則圓C的方程為(

)A.(x+1)2+(y+2)2=25 B.(x?13.甲、乙、丙、丁四人去聽(tīng)同時(shí)舉行的5個(gè)講座，每人可自由選擇聽(tīng)其中一個(gè)講座，則恰好只有甲、乙兩人聽(tīng)同一個(gè)講座的情況種數(shù)為(

)A.125 B.100 C.80 D.604.下列說(shuō)法中，正確的是(

)A.點(diǎn)M(3,2,1)關(guān)于平面xOy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(?3,2,?1)

B.若直線l的方向向量為e=(1,?1,2)，平面α的法向量為m=(4,?4,8)，則l⊥α

C.已知O為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且A，B，C，P中任意三點(diǎn)不共線，若OP=mOA?12OB+OC，則m=1

D.若直線l5.已知平面α，β的法向量分別為m=(2,1,?3)，n=(1,?3,2)，則平面α，β的夾角的大小為(

)A.5π6 B.2π3 C.π36.已知拋物線y2=6x，直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的長(zhǎng)為8，則直線l的方程為(

)A.y=12x?32或y=?12x+32 B.y=37.如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有最左邊一列兩個(gè)數(shù)字之和為8”的不同的放法有(

)A.16種 B.32種 C.64種 D.96種8.空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，過(guò)點(diǎn)P(x0,y0,z0)且一個(gè)法向量為n=(a,b,c)的平面α的方程為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0.已知平面α的方程為A.π6 B.π4 C.π3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則(

)A.可以組成60個(gè)三位數(shù)

B.在組成的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為8的個(gè)數(shù)為12

C.在組成的三位數(shù)中，比400大的個(gè)數(shù)為12

D.在組成的三位數(shù)中，百位上的數(shù)字最小的個(gè)數(shù)為2010.雙曲線T：x2a2?y2=1的焦點(diǎn)為F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，過(guò)F1的直線l1與雙曲線的左支相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A.a=3

B.|AF1|?|CF1|=211.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱BB1的中點(diǎn)，Q為正方形A.三棱錐D?A1D1Q的體積為定值

B.若D1Q//平面A1PD，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段

C.存在Q點(diǎn)，使得D1Q⊥平面A1PD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=a,AB=b,AD=c13.已知橢圓C：x26+y2m=1(m>0，且m≠6)，直線x+y?4=0與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn).若點(diǎn)(1,3)是線段AB14.已知集合A={?4,?3,12,13,15,3,5}，若a，b，c∈A且a，b，c互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)y=ax四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

5名工作人員在社區(qū)開(kāi)展交通安全宣講活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后，5名工作人員與社區(qū)組織者小王站成一排拍照留念．

(1)要求小王與工作人員甲、乙都相鄰，有多少種不同的站法？

(2)若這5名工作人員中，甲、乙、丙的身高互不相等，拍照時(shí)甲、乙、丙三人按從高到低的順序從左到右排列(不一定相鄰)，有多少種不同的站法？

(3)若工作人員甲不站在最左端，工作人員乙不站在最右端，有多少種不同的站法？(寫(xiě)出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答)16.(本小題12分)

在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O(0,0,0)，P(1,0,?2)，Q(0,1,1)，R(3,2,1)．

(1)證明：OP，OQ，OR不共面；

(2)求直線OP與平面PQR所成角的正弦值．17.(本小題12分)

如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，四邊形ABCD是正方形，∠A1AD=∠A1AB=60°，AA1=2AB=2，點(diǎn)G為CB18.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC,AB=12CD=AD=1,M為棱PC的中點(diǎn)．

(1)證明：BM//平面PAD；

(2)若PC=5,PD=1，

(i)求二面角P?BM?D的余弦值；

(ii)在棱PA上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面BDM19.(本小題12分)

設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，△PF1F2的面積為2，橢圓C的離心率為33．

(1)求橢圓C的方程．

(2)如圖，M，N，G是橢圓C上不重合的三點(diǎn)，原點(diǎn)O是△MNG的重心．

參考答案1.B

2.A

3.D

4.B

5.C

6.B

7.C

8.B

9.AB

10.BC

11.ABD

12.5713.214.46

15.解：(1)由題意，5名工作人員與社區(qū)組織者小王站成一排拍照留念，

∵小王與工作人員甲、乙都相鄰，

∴把小王與工作人員甲、乙捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素，有A22=2種方法，

然后總體與其余3名工作人員全排列，共有A44=24種排法，

則小王與工作人員甲、乙都相鄰共有2×24=48種；

(2)由題意，甲、乙、丙的身高互不相等，甲、乙、丙三人按從高到低的順序從左到右排列(不一定相鄰)，

①在6個(gè)位置

中任選3個(gè)，安排甲乙丙之外的3人，有A63=120種情況，

②將甲乙丙3人按從左至右的順序安排在剩余的3個(gè)位置，有1種情況，

故有120種站法；

(3)由題意，6人站一排全排列有A66=720種排法，

因?yàn)榧渍驹谧钭蠖耍溆嗳巳帕杏蠥16.(1)證明：因?yàn)镺(0,0,0)，P(1,0,?2)，Q(0,1,1)，R(3,2,1)，

所以O(shè)P=(1,0,?2)，OQ=(0,1,1)，OR=(3,2,1)．

若OP，OQ，OR共面，則存在x，y∈R，使得OR=xOP+yOQ，

即(3,2,1)=x(1,0,?2)+y(0,1,1)，即(3,2,1)=(x,y,y?2)，

所以x=3y=2y?2x=1，此方程組無(wú)解，所以O(shè)P，OQ，OR不共面．

(2)解：由題意得OP=(1,0,?2)，PQ=(?1,1,3)，PR=(2,2,3)．

設(shè)平面PQR的法向量為n=(x,y,z)，則PQ?n=0PR?n=0，即?x+y+3z=02x+2y+3z=0，

令z=4，則17.解：(1)方法一、由題意知，AG=AB+BC+CG

=AB+AD+12CB1

=AB+AD+12(BB1?BC

=AB+AD+12(AA1?AD)

=AB+12AD+12AA1；

方法二、因?yàn)镚為CB1的中點(diǎn)，

所以AG=12(AB1+AC)

=12[(AB+AA1)+(AB+AD)]

=AB+12AD+12AA1．

(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，∠A18.解：(1)證明：取PD的中點(diǎn)N，連接AN，MN，如圖所示：

∵M(jìn)為棱PC的中點(diǎn)，

∴MN/?/CD，MN=12CD，∵AB/?/CD，AB=12CD，

∴AB/?/MN，AB=MN，

∴四邊形ABMN是平行四邊形，

∴BM/?/AN，

又BM?平面PAD，MN?平面PAD，

∴BM/?/平面PAD；

(2)∵PC=5，PD=1，CD=2，

∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，

∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，

PD?平面PDC，

∴PD⊥平面ABCD，

又AD，CD?平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD，由AD⊥DC，

∴以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，M(0,1,12)，B(1,1,0)，

(i)故DM=(0,1,12)，DB=(1,1,0)

設(shè)平面BDM的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，

則n⊥DMn⊥DB，則n?DM=y+12z=0n?DB=x+y=0，

令z=2，則y=?1，x=1，

∴n=(1,?1,2)，

平面PBM的一個(gè)法向量為m=(a,b,c)，

PM=(0,1,?12),PB=(1,1,?1)

則m⊥PMm⊥PB，則m?PM=b?12c=0m?PB=a+b?c=0，

令c=2，則b=1，a=1，

故19.解：(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c，c>0，

因?yàn)闄E圓C的離心率為33，

所以a=3c，

又b=a2?c2=2c，

因?yàn)椤鱌F1F2的面積為2，

解得bc=2，

所以c