2022北京市門頭溝區(qū)高三（上）期末數(shù)學真題試卷答案

1/9門頭溝區(qū)2021-2022學年第一學期期末調(diào)研高三數(shù)學答案2022．1考生須知1．本試卷答案共9頁。請將條形碼粘貼在答題卡相應位置處。2．試卷所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。3．請使用2B鉛筆填涂，用黑色字跡簽字筆或鋼筆作答。4.考試時間120分鐘，試卷滿分150分。一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）（1）復數(shù)（A） （B） （C） （D）解：直接計算可得（A）（2）集合，，則（A） （B） （C） （D） 解：易得（C）（3）在的展開式中，的系數(shù)是（A） （B） （C） （D）解：由通項公式直接計算得（B）（4）“角的終邊關于軸對稱”是“”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 解：由三角函數(shù)的定義可得（A）（5）下列函數(shù)中，在為增函數(shù)的是（A） （B） （C） （D）解：A不正確，在每一個單調(diào)區(qū)間上增，在不是增函數(shù)；B是對稱軸為，在不是增函數(shù)；C在為減函數(shù)，D求導得可，可知（D）正確（A） （B） （C） （D）（6）如圖，在下列四個正方體中，為正方體的兩個頂點，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面不垂直的是（A）（B） （C）（D）解：由線面垂直判定定理可得A,B,C都符合直線與平面垂直，但D中的與所成的角為，選擇（D）（7）等差數(shù)列的公差，數(shù)列的前項和，則（A）（B） （C） （D）解：設，則，當時，，得，，選擇（C）（8）點在拋物線上，則到直線的距離與到直線的距離之和的最小值為（A） （B） （C） （D）解：由定義得此最小值就是焦點到直線的距離，由點到直線距離得(B)（9）在函數(shù)的圖像上存在兩個不同點，使得關于直線的對稱點在函數(shù)的圖像上，則實數(shù)的取值范圍是（A） （B） （C） （D）解：由指對函數(shù)性質(zhì)可知，其實就是研究函數(shù)與函數(shù)是否有二個不同交點，當時，不合題意；當時，，有二個交點得（C）（10）公司在工程招標中是根據(jù)技術、商務、報價三項評分標準進行綜合評分的，按照綜合得分的高低進行排序，排序高者中標。分值權重表如下：綜合得分技術商務報價技術標、商務標基本都是由公司的技術、資質(zhì)、資信等實力來決定的。報價標則相對靈活，報價標的評分方法是：基準價的基準分是分，若報價每高于基準價，則在基準分的基礎上扣分，最低得分分；若報價每低于基準價，則在基準分的基礎上加分，最高得分為分。若報價低于基準價以上(不含)每再低，在分在基礎上扣分。在某次招標中，若基準價為（萬元），甲、乙兩公司綜合得分如下表：公司技術商務報價甲分分分乙分分分甲公司的報價為（萬元），乙公司的報價為（萬元），則甲、乙兩公司綜合得分分別是（A）（B） （C） （D） 解：由題意分析可得（A）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，滿分25分。）（11）雙曲線的一條漸近線為，則的焦距為.解:（12）已知為平面上的動點，，為平面上兩個定點，且，則動點的軌跡方程為.解：由數(shù)量積定義得：（13）函數(shù)的圖像向左平移個長度單位得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的最大值為.解：（寫出符合條件的一個值即可）；（14）在梯形中，，，，，是的中點，則=.解：思考一：投影法=14思考二：幾何運算：思考三：坐標法：以中點為原點，所在直線為軸，用坐標運算也可。（15）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，當時，，給出下列四個結論：①圖像關于對稱②圖像關于直線對稱③④在區(qū)間單調(diào)遞減其中所有正確結論的序號是.解：函數(shù)為奇函數(shù)得：可得圖像關于關于對稱；由得，所以①正確，②正確；，所以③不正確；④正確.所以，正確題目的順序號為①②④三、解答題（本大題共6小題，滿分85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明。）（16）（本小題滿分12分）在中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，從條件①、條件②、條件③中任選一個作為已知，使存在并唯一確定，并求的值.條件①：條件②：條件③：注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．解：（Ⅰ）由正弦定理得……………2分所以……………………2分（Ⅱ）選條件②由正弦定理得：……2分…………2分………………2分………………2分注：若利用余弦定理，結論正確同樣可得滿分。選條件③……………………2分…………………2分…………………4分（17）（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，，，，，，分別為，的中點.（Ⅰ）判斷直線與的位置關系，并說明理由；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求點到平面的距離.解：（Ⅰ）.連結，因為分別是，的中點，所以………….…..…1分又因為，所以，………………1分所以四邊形為平行四邊形，故………1分注：回答與共面，也給滿分。（Ⅱ）由已知兩兩垂直，建立如圖所示坐標系………….……1分……………2分設平面法向量為，..2分平面的法向量為…………1分……………2分二面角的余弦值為…………..………1分（Ⅲ），……………………..………1分設點到平面的距離為，則……………2分（18）（本小題滿分13分）第24屆冬季奧運會將于2022年2月在北京和張家口舉辦.為了普及冬奧知識，京西某校組織全體學生進行了冬奧知識答題比賽，從高一年級（共六個班）答題優(yōu)秀的學生中隨機抽查了名，得到這名優(yōu)秀學生的統(tǒng)計如下：高一班級一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）人數(shù)（Ⅰ）從這名學生中隨機抽取2名學生參加區(qū)里冬奧知識比賽.（）恰好這名學生都來自同一班級的概率是多少？（）設這名學生中來自高一（2）的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；（Ⅱ）如果該校高中生的優(yōu)秀率為，從該校中隨機抽取人，這兩人中優(yōu)秀的人數(shù)為，求的期望.解:（Ⅰ）（）20名學生中隨機抽取兩名學生共有…..……..…2分設恰好2名學生都來自同一班級共有…………1分……………..…1分注：如果沒有設，有答不扣分，沒有設，也沒有答扣1分（）可取0，1，2，……………1分，，………...3分的分布列為：012…………...…1分的期望……….……..…1分（Ⅱ）可取0，1，2，…………………1分，所以………2分注：只寫出，不扣分.（19）（本小題滿分15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求在點處的切線方程；（Ⅱ）證明：在區(qū)間存在唯一極大值點；（Ⅲ）證明：當，．解：（Ⅰ）……….…………….………2分，，得切線方程為………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，時，…..1分時，單調(diào)遞減，，，…………2分由零點存在定理可得，在存在唯一一個零點，…………1分且當，，所以，在區(qū)間存在唯一極大值點．………………2分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，…….1分，，所以，當時，………….…2分當時，．…………...………2分（20）（本小題滿分15分）已知橢圓的離心率為，長軸的兩個端點分別為.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）設直線與分別相交于兩點，直線與相交于點．試問：當變化時，點是否恒在一條定直線上若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由.解：（Ⅰ）由題意得：．……….……..…3分（Ⅱ）若，與橢圓相交于．……….…1分直線：，直線．…………1分．…………….…………1分由橢圓的對稱性若可得交點為．………...………1分當變化時，點恒在定直線上．…………1分若時，．……………1分設交點為，由韋達定理得：（1）…...…….1分直線：與定直線相交于，得．.….1分同理直與直線相交于，得．…..1分．……2分（1）式代入得，所以當變化時，點恒在一條定直線上．………1分（21）（本小題滿分15分）若集合（）滿足：對任意（），均存在（），使得，則稱具有性質(zhì)．（Ⅰ）判斷集合，是否具有性質(zhì)；（只需寫出結論）（Ⅱ）已知集合（）具有性質(zhì)．（）求；（）證明：．解：（Ⅰ）集合具有性質(zhì)；………………