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安徽省臨泉二中2025屆高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,拋物線上任意一點(diǎn)P,且PQ⊥y軸交y軸于點(diǎn)Q,則的最小值為()A. B. C.l D.12.某幾何體的三視圖如圖所示,若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,則該幾何體的體積為A. B. C. D.3.已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為,離心率為,、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng),若為銳角三角形,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知,滿(mǎn)足約束條件,則的最大值為A. B. C. D.5.已知為虛數(shù)單位,實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,則()A.1 B. C. D.6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,且,?dāng)時(shí),.若,則函數(shù)在上的最大值為()A.4 B.6 C.3 D.87.若P是的充分不必要條件,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.9.在精準(zhǔn)扶貧工作中,有6名男干部、5名女干部,從中選出2名男干部、1名女干部組成一個(gè)扶貧小組分到某村工作,則不同的選法共有()A.60種 B.70種 C.75種 D.150種10.在中,角的對(duì)邊分別為,若,則的形狀為()A.直角三角形 B.等腰非等邊三角形C.等腰或直角三角形 D.鈍角三角形11.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.812.在直角梯形中,,,,,點(diǎn)為上一點(diǎn),且,當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí),()A. B.2 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.實(shí)數(shù),滿(mǎn)足約束條件,則的最大值為_(kāi)_________.14.在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求直線和曲線的普通方程;(2)設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).15.已知實(shí)數(shù),且由的最大值是_________16.《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中第一題:“今有共買(mǎi)物,人出八,盈三錢(qián);人出七,不足四,問(wèn)人數(shù)物價(jià)各幾何?”借用我們現(xiàn)在的說(shuō)法可以表述為:有幾個(gè)人合買(mǎi)一件物品,每人出8元,則付完錢(qián)后還多3元;若每人出7元,則還差4元才夠付款.問(wèn)他們的人數(shù)和物品價(jià)格?答:一共有_____人;所合買(mǎi)的物品價(jià)格為_(kāi)______元.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),若,且恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.18.(12分)已知集合,集合,.(1)求集合B;(2)記,且集合M中有且僅有一個(gè)整數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求m的值.20.(12分)已知函數(shù),為實(shí)數(shù),且.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間和極值;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間,上的值域(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).21.(12分)已知函數(shù),若的解集為.(1)求的值;(2)若正實(shí)數(shù),,滿(mǎn)足,求證:.22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】解:設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),,,,當(dāng)時(shí),取最小值,最小值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.2、C【解析】
由三視圖可知,該幾何體是三棱錐,底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,三棱錐的高為,所以該幾何體的體積,故選C.3、A【解析】
由已知先確定出雙曲線方程為,再分別找到為直角三角形的兩種情況,最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得,,所以,從而雙曲線方程為,不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng),則,當(dāng)時(shí),此時(shí),所以,,所以;當(dāng)軸時(shí),,所以,又為銳角三角形,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用,本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況,即為直角三角形,是一道中檔題.4、D【解析】
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,等價(jià)于,作直線,向上平移,易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)最大,所以,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法.5、D【解析】,則故選D.6、A【解析】
根據(jù)所給函數(shù)解析式滿(mǎn)足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運(yùn)算,可得;利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性,由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,且,則;任取,且,則,故,令,,則,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,令,,故,故函數(shù)在上的最大值為4.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算及化簡(jiǎn),利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性,賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用,屬于中檔題.7、B【解析】
試題分析:通過(guò)逆否命題的同真同假,結(jié)合充要條件的判斷方法判定即可.由p是的充分不必要條件知“若p則”為真,“若則p”為假,根據(jù)互為逆否命題的等價(jià)性知,“若q則”為真,“若則q”為假,故選B.考點(diǎn):邏輯命題8、B【解析】
利用換元法設(shè),則等價(jià)為有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,分三種情況進(jìn)行討論,結(jié)合函數(shù)的圖象,求出的取值范圍.【詳解】解:設(shè),則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,由即,解得,結(jié)合圖象可知,此時(shí)當(dāng)時(shí),得,則是唯一解,滿(mǎn)足題意;當(dāng)時(shí),此時(shí)當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn),不符合題意;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,此時(shí)最小值為,結(jié)合圖象可知,要使得關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,此時(shí).綜上所述:或.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用.利用換元法,數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.9、C【解析】
根據(jù)題意,分別計(jì)算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù),由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,從6名男干部中選出2名男干部,有種取法,從5名女干部中選出1名女干部,有種取法,則有種不同的選法;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用,涉及分步計(jì)數(shù)原理問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
利用正弦定理將邊化角,再由,化簡(jiǎn)可得,最后分類(lèi)討論可得;【詳解】解:因?yàn)樗运运运运援?dāng)時(shí),為直角三角形;當(dāng)時(shí)即,為等腰三角形;的形狀是等腰三角形或直角三角形故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷,考查正弦定理的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
由三視圖還原出原幾何體,得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后計(jì)算體積.【詳解】由三視圖知原幾何體是一個(gè)四棱錐,四棱錐底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,高為2,直觀圖如圖所示,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查棱錐的體積公式,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.12、B【解析】
由題,可求出,所以,根據(jù)共線定理,設(shè),利用向量三角形法則求出,結(jié)合題給,得出,進(jìn)而得出,最后利用二次函數(shù)求出的最大值,即可求出.【詳解】由題意,直角梯形中,,,,,可求得,所以·∵點(diǎn)在線段上,設(shè),則,即,又因?yàn)樗?,所以,?dāng)時(shí),等號(hào)成立.所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量線性運(yùn)算中的加法運(yùn)算、向量共線定理,以及運(yùn)用二次函數(shù)求最值,考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、10【解析】
畫(huà)出可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)截距可求.【詳解】解:作出可行域如下:由得,平移直線,當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),截距最小,最大解得的最大值為10故答案為:10【點(diǎn)睛】考查可行域的畫(huà)法及目標(biāo)函數(shù)最大值的求法,基礎(chǔ)題.14、(1),;(2),.【解析】
(1)利用代入消參的方法即可將兩個(gè)參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程;(2)利用參數(shù)方程,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)最值的問(wèn)題,即可求得.【詳解】(1)直線的普通方程為.在曲線的參數(shù)方程中,,所以曲線的普通方程為.(2)設(shè)點(diǎn).點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)時(shí),,所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,以及利用參數(shù)方程求距離的最值問(wèn)題,屬中檔題.15、【解析】
將其轉(zhuǎn)化為幾何意義,然后根據(jù)最值的條件求出最大值【詳解】由化簡(jiǎn)得,又實(shí)數(shù),圖形為圓,如圖:,可得,則由幾何意義得,則,為求最大值則當(dāng)過(guò)點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)取最小值,可得所以的最大值是【點(diǎn)睛】本題考查了二元最值問(wèn)題,將其轉(zhuǎn)化為幾何意義,得到圓的方程及斜率問(wèn)題,對(duì)要求的二元二次表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn),然后求出最值問(wèn)題,本題有一定難度。16、753【解析】
根據(jù)物品價(jià)格不變,可設(shè)共有x人,列出方程求解即可【詳解】設(shè)共有人,由題意知,解得,可知商品價(jià)格為53元.即共有7人,商品價(jià)格為53元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)文化及一元一次方程的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)答案見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得,對(duì)分成和兩種情況討論,從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得,從而有,,,三個(gè)方程中利用得到.將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),再構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,從而得到的取值范圍.【詳解】解:(1)由,,則,當(dāng)時(shí),則,故在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),令,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上所述:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.設(shè),則,∴在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),.∴,即所求的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查分類(lèi)討論思想和數(shù)形結(jié)合思想,求解雙元問(wèn)題的常用思路是:通過(guò)換元或消元,將雙元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單元問(wèn)題,然后利用導(dǎo)數(shù)研究單變量函數(shù)的性質(zhì).18、(1)(2)【解析】
(1)由不等式可得,討論與的關(guān)系,即可得到結(jié)果;(2)先解得不等式,由集合M中有且僅有一個(gè)整數(shù),當(dāng)時(shí),則M中僅有的整數(shù)為;當(dāng)時(shí),則M中僅有的整數(shù)為,進(jìn)而求解即可.【詳解】解:(1)因?yàn)?所以,當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),.(2)由得,當(dāng),即時(shí),M中僅有的整數(shù)為,所以,即;當(dāng),即時(shí),M中僅有的整數(shù)為,所以,即;綜上,滿(mǎn)足題意的k的范圍為【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式,考查由交集的結(jié)果求參數(shù)范圍,考查分類(lèi)討論思想與運(yùn)算能力.19、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)先求導(dǎo),再對(duì)m分類(lèi)討論,求出的單調(diào)性;(2)對(duì)m分三種情況討論求函數(shù)在區(qū)間上的最小值即得解.【詳解】(1)若,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí).,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減若.在R上單調(diào)遞增若,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí).,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)由(1)可知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,則.則不合題意當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.則,即又因?yàn)閱握{(diào)遞增,且,故綜上,【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20、(Ⅰ)極大值0,沒(méi)有極小值;函數(shù)的遞增區(qū)間,遞減區(qū)間,(Ⅱ)見(jiàn)解析【解析】
(Ⅰ)由,令,得增區(qū)間為,令,得減區(qū)間為,所以有極大值,無(wú)極小值;(Ⅱ)由,分,和三種情況,考慮函數(shù)在區(qū)間上的值域,即可得到本題答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值,沒(méi)有極小值;函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,即函數(shù)的值域?yàn)椋划?dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,即函數(shù)的值域?yàn)?;?dāng)時(shí),易得時(shí),,在上單調(diào)遞增,時(shí),,在上單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,最小值為,中最小的,當(dāng)時(shí),,最小值;當(dāng),,最小值;綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?,?dāng)時(shí),函數(shù)的值域,當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?,?dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值,以及利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)在給定區(qū)間的值域,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.21、(1);(2)證明見(jiàn)詳解.【解析】
(1)將不等式的解集用表示出來(lái),結(jié)合題中的解集,求出的值;(2)利用柯西不等式證明.【詳解】解:(1),,,因?yàn)榈慕饧癁?,所以,;?)由(1)由柯西不等式,當(dāng)且僅當(dāng),,,等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法,利用柯西不等式證明不等式的問(wèn)題,屬于中檔題.22、(1);(2)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【解析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(2)易得函數(shù)定義域是,且.故分,和與四種情況,分別分析得極值點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,則切
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