2024-2025學(xué)年黑龍江省龍東十校高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省龍東十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知空間向量，且，則（）A.10 B.6 C.4 D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?即，則.故選：C.2.若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得.故選：A.3.若向量，且，則（）A.-8 B.8 C.-2 D.2【答案】B【解析】由題意得.因?yàn)?，所以，?故選：B.4.某校為了了解學(xué)生的體能情況，于6月中旬在全校進(jìn)行體能測(cè)試，統(tǒng)計(jì)得到所有學(xué)生的體能測(cè)試成績(jī)均在內(nèi).現(xiàn)將所有學(xué)生的體能測(cè)試成績(jī)按分成三組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.若根據(jù)體能測(cè)試成績(jī)采用按比例分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20名學(xué)生作為某項(xiàng)活動(dòng)的志愿者，則體能測(cè)試成績(jī)?cè)趦?nèi)的被抽取的學(xué)生人數(shù)為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】A【解析】根據(jù)題意得，體能測(cè)試成績(jī)?cè)趦?nèi)的被抽取的學(xué)生人數(shù)為.故選：A.5.已知是兩個(gè)不同的平面，，是內(nèi)兩條不同的直線，則“，且”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，，則不一定平行（缺少條件相交）；若，，則，且，故“，且”是“”的必要不充分條件，故選：C．6.已知圓臺(tái)上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的體積（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，根據(jù)題意可得，解得，由題意得，，所以該圓臺(tái)的高為，則．故選：B.7.如圖，在九面體中，平面平面，平面平面，底面為正六邊形，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.平面B.平面C.平面平面D.平面平面【答案】D【解析】取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面平面，C正確.因?yàn)椋?，面，平面平面，又平面平面，所以平?同理可得平面，則，因?yàn)樗运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所?因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嬲_.連接，易得，則平面，面，則.因?yàn)榍叶荚诿鎯?nèi)，所以平面.因?yàn)椋云矫?，B正確.連接，則，若平面平面成立，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)易得平面，再由線面垂直的性質(zhì)有.因?yàn)?，根?jù)線面垂直的判定得平面，這顯然不成立，所以平面平面不成立，D錯(cuò)誤.故選：D.8.如圖，在棱長(zhǎng)為12的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，平面與直線交于點(diǎn)，則（）A.10 B.15 C. D.【答案】A【解析】分別在棱上取點(diǎn)，使得，連接，根據(jù)正方體特征及平行公理，易證，，則平面截該正方體所得的截面圖形是五邊形.由題中數(shù)據(jù)，知道，，可得.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知甲組數(shù)據(jù)為，乙組數(shù)據(jù)為，將甲?乙兩組數(shù)據(jù)混合后得到丙組數(shù)據(jù)，則（）A.丙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5B.甲組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是2C.甲組數(shù)據(jù)的方差等于乙組數(shù)據(jù)的方差D.甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)【答案】ACD【解析】將丙組數(shù)據(jù)從小到大排列為，可得丙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，A正確．將甲組數(shù)據(jù)從小到大排列為，因?yàn)?，所以甲組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是B錯(cuò)誤．易得甲組數(shù)據(jù)的方差為，乙組數(shù)據(jù)的方差為，C正確．甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，D正確．故選：ACD.10.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且的面積為，則的周長(zhǎng)可能為（）A.8 B. C.9 D.【答案】AB【解析】由正弦定理得，得，則，由，得，所以，由余弦定理，得或17，所以或，所以的周長(zhǎng)為8或，故選：AB．11.已知邊長(zhǎng)為的正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，為球表面上一動(dòng)點(diǎn)，且不在平面上，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，直線與平面所成角的正切值為2，則下列結(jié)論正確的是（）A.球的表面積為B.的最大值為10C.三棱錐體積的最大值為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則三棱錐的體積為【答案】BCD【解析】如圖，設(shè)正三角形的外心為，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三點(diǎn)共線.設(shè)球的半徑為，易得.直線與平面所成的角為，得.由，得球的表面積為，A錯(cuò)誤，的最大值為，B正確.三棱錐體積的最大值為，C正確.三棱錐的體積為，D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知空間向量，若共面，則________.【答案】0【解析】因?yàn)楣裁?，所以，即，則.13.已知數(shù)據(jù)的極差為6，且分位數(shù)為，則__________.【答案】5【解析】因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)的分位數(shù)為4，由，得，不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，由，得（負(fù)根舍去），符合題意.故.14.如圖，平行六面體的所有棱長(zhǎng)均為兩兩所成夾角均為，點(diǎn)分別在棱上，且，則__________；直線與所成角的余弦值為__________.【答案】；【解析】連接，，故；，故，故，則，故直線與所成角的余弦值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.7月23日，第8屆中國(guó)一南亞博覽會(huì)暨第28屆中國(guó)昆明進(jìn)出口商品交易會(huì)在昆明滇池國(guó)際會(huì)展中心隆重開幕.本屆南博會(huì)以“團(tuán)結(jié)協(xié)作?共謀發(fā)展”為主題，會(huì)期從23日至28日，共設(shè)15個(gè)展館，展覽面積15萬平方米，吸引82個(gè)國(guó)家?地區(qū)和國(guó)際組織參會(huì)，2000多家企業(yè)進(jìn)館參展.某機(jī)構(gòu)邀請(qǐng)了進(jìn)館參展的100家企業(yè)對(duì)此次展覽進(jìn)行評(píng)分，分值均在內(nèi)，并將部分?jǐn)?shù)據(jù)整理如下表：分?jǐn)?shù)頻數(shù)10102020（1）估計(jì)這100家企業(yè)評(píng)分的中位數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）估計(jì)這100家企業(yè)評(píng)分的平均數(shù)與方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.解：（1）由題意得這100家企業(yè)評(píng)分在內(nèi)的頻數(shù)為設(shè)這100家企業(yè)評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值為，因?yàn)樵u(píng)分在內(nèi)的頻數(shù)之和為，評(píng)分在內(nèi)的頻數(shù)之和為，所以，由，得.（2）這100家企業(yè)評(píng)分的平均數(shù)的估計(jì)值為這100家企業(yè)評(píng)分的方差的估計(jì)值為：16.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.（1）求；（2）若，在邊上存在一點(diǎn)，使得，求的長(zhǎng).解：（1）由余弦定理得，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?設(shè)，在中，由正弦定理得，則，，由解得或（舍去），故的長(zhǎng)為.17.如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面平面是等腰直角三角形，.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.解：（1）因?yàn)槭堑妊苯侨切危瑸橹悬c(diǎn)，所以，平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面因?yàn)槠矫?，所以，又為的中點(diǎn)，所以是等腰三角形，故.（2）在平面上，作，垂足為，連接.平面平面，平面平面，又平面，所以平面.由（1），又，則為等邊三角形.所以，，所以，所以，，所以,在等腰直角三角形中，，所以與全等，故，即，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則..設(shè)平面的法向量為，則即取，可得.設(shè)平面的法向量為，則即取，可得設(shè)二面角的大小為，則.故二面角的正弦值為.18.如圖，甲船在點(diǎn)處通過雷達(dá)發(fā)現(xiàn)在其南偏東方向相距20海里的處有一艘貨船發(fā)出供油補(bǔ)給需求，該貨船正以15海里/時(shí)的速度從處向南偏西的方向行駛．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的處的補(bǔ)給船，補(bǔ)給船立刻以25海里/時(shí)的速度與貨船在處會(huì)合．（1）求的長(zhǎng)；（2）試問補(bǔ)給船至少應(yīng)行駛幾小時(shí)，才能與貨船會(huì)合？解：（1）根據(jù)題意可得．因?yàn)楹＠?，海里，所以根?jù)余弦定理可得海里．（2）由余弦定理可得，則，所以．設(shè)當(dāng)補(bǔ)給船與貨船會(huì)合時(shí)，補(bǔ)給船行駛的最少時(shí)間為小時(shí)，則海里，海里．在中，解得或（舍去），故當(dāng)補(bǔ)給船與貨船會(huì)合時(shí)，補(bǔ)給船行駛的時(shí)間至少為2小時(shí)．19.將菱形繞直線旋轉(zhuǎn)到的位置，使得二面角的大小為，連接，得到幾何體.已知分別為上的動(dòng)點(diǎn)且.（1）證明：平面；（2）求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求直線到平面的距離.解：（1）在上取點(diǎn)，使得，連接，如圖1.因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?因?yàn)?，所以，又，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?因?yàn)榍叶荚诿鎯?nèi)，所以平面平面.因?yàn)槠矫?，所以平?（2）取的中點(diǎn)，連接，如圖2.由題意可得是邊長(zhǎng)為4的正三角形，則，且，所以為二面角的平面角，即，則為正三角形，所以.（3）取的中點(diǎn)，連接，則，且.由（2）得，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?又因，，平面，所以平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.又，所以.連接，則，，所以.當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為3，則的最小值為此時(shí)，則.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則即取，得.因?yàn)槠矫?，所以直線到平面的距離就是點(diǎn)到平面的距離，則點(diǎn)到平面的距離.故直線到平面的距離為.黑龍江省龍東十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知空間向量，且，則（）A.10 B.6 C.4 D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?即，則.故選：C.2.若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得.故選：A.3.若向量，且，則（）A.-8 B.8 C.-2 D.2【答案】B【解析】由題意得.因?yàn)?，所以，?故選：B.4.某校為了了解學(xué)生的體能情況，于6月中旬在全校進(jìn)行體能測(cè)試，統(tǒng)計(jì)得到所有學(xué)生的體能測(cè)試成績(jī)均在內(nèi).現(xiàn)將所有學(xué)生的體能測(cè)試成績(jī)按分成三組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.若根據(jù)體能測(cè)試成績(jī)采用按比例分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20名學(xué)生作為某項(xiàng)活動(dòng)的志愿者，則體能測(cè)試成績(jī)?cè)趦?nèi)的被抽取的學(xué)生人數(shù)為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】A【解析】根據(jù)題意得，體能測(cè)試成績(jī)?cè)趦?nèi)的被抽取的學(xué)生人數(shù)為.故選：A.5.已知是兩個(gè)不同的平面，，是內(nèi)兩條不同的直線，則“，且”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，，則不一定平行（缺少條件相交）；若，，則，且，故“，且”是“”的必要不充分條件，故選：C．6.已知圓臺(tái)上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的體積（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，根據(jù)題意可得，解得，由題意得，，所以該圓臺(tái)的高為，則．故選：B.7.如圖，在九面體中，平面平面，平面平面，底面為正六邊形，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.平面B.平面C.平面平面D.平面平面【答案】D【解析】取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面平面，C正確.因?yàn)椋?，面，平面平面，又平面平面，所以平?同理可得平面，則，因?yàn)樗运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面正確.連接，易得，則平面，面，則.因?yàn)榍叶荚诿鎯?nèi)，所以平面.因?yàn)?，所以平面，B正確.連接，則，若平面平面成立，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)易得平面，再由線面垂直的性質(zhì)有.因?yàn)?，根?jù)線面垂直的判定得平面，這顯然不成立，所以平面平面不成立，D錯(cuò)誤.故選：D.8.如圖，在棱長(zhǎng)為12的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，平面與直線交于點(diǎn)，則（）A.10 B.15 C. D.【答案】A【解析】分別在棱上取點(diǎn)，使得，連接，根據(jù)正方體特征及平行公理，易證，，則平面截該正方體所得的截面圖形是五邊形.由題中數(shù)據(jù)，知道，，可得.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知甲組數(shù)據(jù)為，乙組數(shù)據(jù)為，將甲?乙兩組數(shù)據(jù)混合后得到丙組數(shù)據(jù)，則（）A.丙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5B.甲組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是2C.甲組數(shù)據(jù)的方差等于乙組數(shù)據(jù)的方差D.甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)【答案】ACD【解析】將丙組數(shù)據(jù)從小到大排列為，可得丙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，A正確．將甲組數(shù)據(jù)從小到大排列為，因?yàn)?，所以甲組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是B錯(cuò)誤．易得甲組數(shù)據(jù)的方差為，乙組數(shù)據(jù)的方差為，C正確．甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，D正確．故選：ACD.10.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且的面積為，則的周長(zhǎng)可能為（）A.8 B. C.9 D.【答案】AB【解析】由正弦定理得，得，則，由，得，所以，由余弦定理，得或17，所以或，所以的周長(zhǎng)為8或，故選：AB．11.已知邊長(zhǎng)為的正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，為球表面上一動(dòng)點(diǎn)，且不在平面上，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，直線與平面所成角的正切值為2，則下列結(jié)論正確的是（）A.球的表面積為B.的最大值為10C.三棱錐體積的最大值為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則三棱錐的體積為【答案】BCD【解析】如圖，設(shè)正三角形的外心為，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三點(diǎn)共線.設(shè)球的半徑為，易得.直線與平面所成的角為，得.由，得球的表面積為，A錯(cuò)誤，的最大值為，B正確.三棱錐體積的最大值為，C正確.三棱錐的體積為，D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知空間向量，若共面，則________.【答案】0【解析】因?yàn)楣裁?，所以，即，則.13.已知數(shù)據(jù)的極差為6，且分位數(shù)為，則__________.【答案】5【解析】因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)的分位數(shù)為4，由，得，不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，由，得（負(fù)根舍去），符合題意.故.14.如圖，平行六面體的所有棱長(zhǎng)均為兩兩所成夾角均為，點(diǎn)分別在棱上，且，則__________；直線與所成角的余弦值為__________.【答案】；【解析】連接，，故；，故，故，則，故直線與所成角的余弦值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.7月23日，第8屆中國(guó)一南亞博覽會(huì)暨第28屆中國(guó)昆明進(jìn)出口商品交易會(huì)在昆明滇池國(guó)際會(huì)展中心隆重開幕.本屆南博會(huì)以“團(tuán)結(jié)協(xié)作?共謀發(fā)展”為主題，會(huì)期從23日至28日，共設(shè)15個(gè)展館，展覽面積15萬平方米，吸引82個(gè)國(guó)家?地區(qū)和國(guó)際組織參會(huì)，2000多家企業(yè)進(jìn)館參展.某機(jī)構(gòu)邀請(qǐng)了進(jìn)館參展的100家企業(yè)對(duì)此次展覽進(jìn)行評(píng)分，分值均在內(nèi)，并將部分?jǐn)?shù)據(jù)整理如下表：分?jǐn)?shù)頻數(shù)10102020（1）估計(jì)這100家企業(yè)評(píng)分的中位數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）估計(jì)這100家企業(yè)評(píng)分的平均數(shù)與方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.解：（1）由題意得這100家企業(yè)評(píng)分在內(nèi)的頻數(shù)為設(shè)這100家企業(yè)評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值為，因?yàn)樵u(píng)分在內(nèi)的頻數(shù)之和為，評(píng)分在內(nèi)的頻數(shù)之和為，所以，由，得.（2）這100家企業(yè)評(píng)分的平均數(shù)的估計(jì)值為這100家企業(yè)評(píng)分的方差的估計(jì)值為：16.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.（1）求；（2）若，在邊上存在一點(diǎn)，使得，求的長(zhǎng).解：（1）由余弦定理得，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所?設(shè)，在中，由正弦定理得，則，，由解得或（舍去），故的長(zhǎng)為.17.如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面平面是等腰直角三角形，.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.解：（1）因?yàn)槭堑妊苯侨切危瑸橹悬c(diǎn)，所以，平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面因?yàn)槠矫?，所以，又為的中點(diǎn)，所以是等腰三角形，故.（2）在平面上，作，垂足為，連接.平面平面，平面平面，又平面，所以平面.由（1），又，則為等邊三角形.所以，，所以，所以，，所以,在等腰直角三角形中，，所以與全等，故，即，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則..設(shè)平面的法向量為，則即取，可得