2024-2025學年江蘇省南通市如皋市部分學校高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市如皋市部分學校2024-2025學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知為拋物線上一點，則拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為為拋物線上一點，所以，解得，所拋物線的方程為，所以準線方程為.故選：C.2.已知正項等比數(shù)列的前和為，，則（）A.85 B.62 C.32 D.31【答案】B【解析】根據(jù)題意設(shè)等比數(shù)列公比為，由可得，即；因此，解得，所以；可得.故選：B3.已知雙曲線一條漸近線斜率為2，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由雙曲線可知：其中一條漸近線的斜率為，所以該雙曲線的離心率為.故選：A.4.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則點到原點距離的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】圓，設(shè)圓心，圓的半徑為，因為過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則，所以，又因為，所以，則，設(shè)點Px,y，可得，化簡可得，設(shè)，則點到原點距離，當時，點到原點距離最小值為，故選：B.5.已知等差數(shù)列的前和為，，則（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】在中取得，故，所以.故選：A.6.已知為坐標原點，雙曲線的左，右焦點分別為．若為雙曲線上一點，為的角平分線，過右焦點的直線與直線垂直，垂足為，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由雙曲線的對稱性不妨設(shè)點在雙曲線的右焦點，如圖，延長交于點，因為為的角平分線，，所以為線段的中點，且，又為線段的中點，所以.故選：B.7.在平行六面體中，，，，則下列說法不正確的是().A.平面 B.平面C.直線與平面所成角為 D.的余弦值為【答案】ABD【解析】對于A選項：設(shè)，由題意可知且，所以四邊形為平行四邊形，因此，連接和，因為且，所以四邊形為平行四邊形，故，又因為平面，平面，所以平面，故A正確；對于B選項：設(shè)，因為平行六面體，所以，，則，，，，因為且，即垂直于平面內(nèi)相交直線和，所以平面.故B正確；對于C選項：設(shè)，因為平行六面體，，則由對稱性知道在平面的投影一定在上，則為直線與平面所成角.又，兩邊平方，則，又因為，所以.故直線與平面所成角為，則，所以不是，故C錯誤；對于D選項：設(shè)，，所以，又因為，點是中點，所以，由題可知，所以，故為二面角的平面角，因為，則，則，因為，所以，則，由題可知，故則，故D正確.故選：ABD.8.已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為，過上頂點和右焦點的直線與橢圓的另一個交點為，且的面積為，則的周長為（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】如下圖所示：由已知，則，，所以，橢圓的方程為，易知點、，，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即點，所以，，解得，所以，，則的周長為，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知數(shù)列的首項為1，前和為，且，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.數(shù)列的前項和為【答案】BD【解析】因為①，所以，當時，②，由①②得，即，又，所以數(shù)列是從第二項開始，以為公比的等比數(shù)列，故A錯誤；對于C；當時，，所以，故C錯誤；對于B，當時，，當時，，符合上式所以，則，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故B正確；對于D，由C選項知，所以數(shù)列的前項和為，故D正確.故選：BD.10.在正三棱臺中，為線段上一動點，，則（）A.存在點，使得 B.存在點，使得C.當平面時，為中點 D.的最小值為【答案】BCD【解析】對于A，如圖1由正三棱臺的定義知，與必相交，故與平面必相交，而平面,故與不可能平行，即A錯誤；對于B，設(shè)正三棱臺的上下底面中心分別為,連接，則平面，因平面，則；連接并延長交于，則，由正棱臺結(jié)構(gòu)性之可知與延長線交于一點，所以過與的平面有且只有一個記為平面，又平面，故平面，又平面，故，即當點與點重合時，成立，故B正確；對于C，若平面，因平面,則，又平面，且為正三角形，故為的中點，即C正確；對于D，繞著邊翻折至與共面時，連接交于點(如圖2所示)，由圖可知當三點共線時的值最小.如圖3，在梯形中，作于點，則，因，則，在中，由余弦定理，，同理,故，又，故的最小值為，即D正確.故選：BCD.11.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦點分別為，上頂點，且°．為橢圓上任意一點（異于左，右頂點），直線分別與橢圓交于A.橢圓的離心率為B.內(nèi)切圓的半徑為C.△的外接圓方程為D.△與△內(nèi)切圓半徑之和的最大值為【答案】ABD【解析】A選項，由題意，是等腰直角三角形，因此，，離心率為，A正確；B選項，由上知，，直線的方程為，橢圓方程為，由，解得或，∴，，，而，則，即為直角三角形，∴△內(nèi)切圓的半徑為，B正確；C選項，由題意設(shè)△的外接圓圓心坐標為，則，解得，即圓心坐標為，半徑為，圓方程為，C錯；D選項，設(shè)，的內(nèi)切圓在三邊上的切點分別為，如圖，一方面，，另一方面，記的內(nèi)切圓半徑為，，所以，，事實上，不論點在軸上方還是下方，都有與同號，所以，從而，則的內(nèi)切圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，△與△內(nèi)切圓半徑之和為，設(shè)直線方程為，由得，，，所以當，即時，取得最大值，D正確，故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在正四面體中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為_______．【答案】【解析】取的中點，連接如圖所示：因為點分別是的中點，所以，即與所成的角為異面直線與所成角，設(shè)正四面體的棱長為，則，在中，，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.13.已知，則數(shù)列前11項之和為_______．【答案】249【解析】由題意：，，所以前11項之和為，故答案為：24914.已知為坐標原點，為雙曲線上一點，分別為雙曲線的左，右頂點，且直線與直線的斜率之積為，則______.【答案】30【解析】由題意，，，為雙曲線上一點，則，解得，又點在雙曲線上，則，解得，，，則，，所以.故答案為：30.四、解答題：本題共5小題，共計77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點為拋物線的焦點，為拋物線上兩點，且直線與直線斜率之和為0．（1）求拋物線的方程；（2）若為拋物線上一動點，直線，且，求到直線距離的最小值．解：（1）拋物線的焦點因為直線與直線斜率之和為0，所以點關(guān)于軸對稱點與三點在同一直線上，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，消去得，由是方程的兩根，所以，解得，所以拋物線的方程為；（2）因為在拋物線上，所以，所以，所以，又，所以，又且直線，所以的方程為，設(shè)，所以點到直線距離；當時，到直線距離取最小值，最小值為.16.已知等比數(shù)列的前項和為，且．（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項和．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，得，解得，∴或（2）∵，由（1）知，，，令①則②得即所以.17.如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，底面是直角三角形，，點分別在上，且．（1）證明：平面；（2）若平面，求．解：（1）因為側(cè)棱底面，底面，所以，又，，平面，所以平面；（2）因為，所以確定唯一平面，設(shè)平面，連接，因為平面，所以，又因為，底面，底面，所以底面，又平面，平面底面，所以，所以，所以，又因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以.18.已知數(shù)列的前項和為，，且．（1）求；（2）若從數(shù)列中刪除中的項，余下的數(shù)組成數(shù)列．①求數(shù)列的前項和；②若成等比數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，證明：．解：（1）∵，∴當時，，兩式相減得，，整理得，即，∴當時，，滿足此式，∴.（2）①由（1）得，，∴，，∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，為的整數(shù)倍，是數(shù)列中的項，當為偶數(shù)時，為奇數(shù)，不是數(shù)列中的項，∴數(shù)列中的項為數(shù)列的偶數(shù)項，且，∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，∴，∴，，∴.②由①得，，∴，∵成等比數(shù)列，∴，即，∴，∴，∴.19.已知圓與雙曲線只有兩個交點，過圓上一點的切線與雙曲線交于兩點，與軸交于點．當與重合時，．（1）求雙曲線的方程；（2）若直線的斜率為，求；（3）當時，求的最小值．解：（1）由圓與雙曲線只有兩個交點可知：，又根據(jù)題意，雙曲線過點，所以，所以雙曲線的標準方程為：.（2）如圖：因為直線的斜率為，且直線與直線垂直，所以直線的斜率為，設(shè)直線的方程為：，即，由，不妨令，則直線的方程為：，代入得：，整理得：，設(shè)Ax1,y1，B所以，所以，若，亦可得，綜上：.（3）設(shè)直線的方程為，由，不妨設(shè)點在第二象限，因為，則的兩個端點為，，則，因為，所以，，將代入雙曲線可得：，整理得：，設(shè)Ax1,y1，B因為，所以，所以，所以，又，所以，因為，所以，即的最小值為.江蘇省南通市如皋市部分學校2024-2025學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知為拋物線上一點，則拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為為拋物線上一點，所以，解得，所拋物線的方程為，所以準線方程為.故選：C.2.已知正項等比數(shù)列的前和為，，則（）A.85 B.62 C.32 D.31【答案】B【解析】根據(jù)題意設(shè)等比數(shù)列公比為，由可得，即；因此，解得，所以；可得.故選：B3.已知雙曲線一條漸近線斜率為2，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由雙曲線可知：其中一條漸近線的斜率為，所以該雙曲線的離心率為.故選：A.4.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則點到原點距離的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】圓，設(shè)圓心，圓的半徑為，因為過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則，所以，又因為，所以，則，設(shè)點Px,y，可得，化簡可得，設(shè)，則點到原點距離，當時，點到原點距離最小值為，故選：B.5.已知等差數(shù)列的前和為，，則（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】在中取得，故，所以.故選：A.6.已知為坐標原點，雙曲線的左，右焦點分別為．若為雙曲線上一點，為的角平分線，過右焦點的直線與直線垂直，垂足為，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由雙曲線的對稱性不妨設(shè)點在雙曲線的右焦點，如圖，延長交于點，因為為的角平分線，，所以為線段的中點，且，又為線段的中點，所以.故選：B.7.在平行六面體中，，，，則下列說法不正確的是().A.平面 B.平面C.直線與平面所成角為 D.的余弦值為【答案】ABD【解析】對于A選項：設(shè)，由題意可知且，所以四邊形為平行四邊形，因此，連接和，因為且，所以四邊形為平行四邊形，故，又因為平面，平面，所以平面，故A正確；對于B選項：設(shè)，因為平行六面體，所以，，則，，，，因為且，即垂直于平面內(nèi)相交直線和，所以平面.故B正確；對于C選項：設(shè)，因為平行六面體，，則由對稱性知道在平面的投影一定在上，則為直線與平面所成角.又，兩邊平方，則，又因為，所以.故直線與平面所成角為，則，所以不是，故C錯誤；對于D選項：設(shè)，，所以，又因為，點是中點，所以，由題可知，所以，故為二面角的平面角，因為，則，則，因為，所以，則，由題可知，故則，故D正確.故選：ABD.8.已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為，過上頂點和右焦點的直線與橢圓的另一個交點為，且的面積為，則的周長為（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】如下圖所示：由已知，則，，所以，橢圓的方程為，易知點、，，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即點，所以，，解得，所以，，則的周長為，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知數(shù)列的首項為1，前和為，且，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.數(shù)列的前項和為【答案】BD【解析】因為①，所以，當時，②，由①②得，即，又，所以數(shù)列是從第二項開始，以為公比的等比數(shù)列，故A錯誤；對于C；當時，，所以，故C錯誤；對于B，當時，，當時，，符合上式所以，則，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故B正確；對于D，由C選項知，所以數(shù)列的前項和為，故D正確.故選：BD.10.在正三棱臺中，為線段上一動點，，則（）A.存在點，使得 B.存在點，使得C.當平面時，為中點 D.的最小值為【答案】BCD【解析】對于A，如圖1由正三棱臺的定義知，與必相交，故與平面必相交，而平面,故與不可能平行，即A錯誤；對于B，設(shè)正三棱臺的上下底面中心分別為,連接，則平面，因平面，則；連接并延長交于，則，由正棱臺結(jié)構(gòu)性之可知與延長線交于一點，所以過與的平面有且只有一個記為平面，又平面，故平面，又平面，故，即當點與點重合時，成立，故B正確；對于C，若平面，因平面,則，又平面，且為正三角形，故為的中點，即C正確；對于D，繞著邊翻折至與共面時，連接交于點(如圖2所示)，由圖可知當三點共線時的值最小.如圖3，在梯形中，作于點，則，因，則，在中，由余弦定理，，同理,故，又，故的最小值為，即D正確.故選：BCD.11.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦點分別為，上頂點，且°．為橢圓上任意一點（異于左，右頂點），直線分別與橢圓交于A.橢圓的離心率為B.內(nèi)切圓的半徑為C.△的外接圓方程為D.△與△內(nèi)切圓半徑之和的最大值為【答案】ABD【解析】A選項，由題意，是等腰直角三角形，因此，，離心率為，A正確；B選項，由上知，，直線的方程為，橢圓方程為，由，解得或，∴，，，而，則，即為直角三角形，∴△內(nèi)切圓的半徑為，B正確；C選項，由題意設(shè)△的外接圓圓心坐標為，則，解得，即圓心坐標為，半徑為，圓方程為，C錯；D選項，設(shè)，的內(nèi)切圓在三邊上的切點分別為，如圖，一方面，，另一方面，記的內(nèi)切圓半徑為，，所以，，事實上，不論點在軸上方還是下方，都有與同號，所以，從而，則的內(nèi)切圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，△與△內(nèi)切圓半徑之和為，設(shè)直線方程為，由得，，，所以當，即時，取得最大值，D正確，故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在正四面體中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為_______．【答案】【解析】取的中點，連接如圖所示：因為點分別是的中點，所以，即與所成的角為異面直線與所成角，設(shè)正四面體的棱長為，則，在中，，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.13.已知，則數(shù)列前11項之和為_______．【答案】249【解析】由題意：，，所以前11項之和為，故答案為：24914.已知為坐標原點，為雙曲線上一點，分別為雙曲線的左，右頂點，且直線與直線的斜率之積為，則______.【答案】30【解析】由題意，，，為雙曲線上一點，則，解得，又點在雙曲線上，則，解得，，，則，，所以.故答案為：30.四、解答題：本題共5小題，共計77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點為拋物線的焦點，為拋物線上兩點，且直線與直線斜率之和為0．（1）求拋物線的方程；（2）若為拋物線上一動點，直線，且，求到直線距離的最小值．解：（1）拋物線的焦點因為直線與直線斜率之和為0，所以點關(guān)于軸對稱點與三點在同一直線上，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，消去得，由是方程的兩根，所以，解得，所以拋物線的方程為；（2）因為在拋物線上，所以，所以，所以，又，所以，又且直線，所以的方程為，設(shè)，所以點到直線距離；當時，到直線距離取最小值，最小值為.16.已知等比數(shù)列的前項和為，且．（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項和．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，得，解得，∴或（2）∵，由（1）知，，，令①則②得即所以.17