大學(xué)物理習(xí)題答案(匡樂(lè)滿主編)北京郵電大學(xué)

習(xí)題解答

習(xí)題一

有無(wú)不同？羽和U有無(wú)不同?其不同在哪里?試

1-1IArI與zlr有無(wú)不同？

3d/dt

舉例說(shuō)明.

解：⑴加|是位移的模，是位矢的模的增量，即加|=1-訃4=同一1司;

署是速度的模,啜印吟

(2)

史只是速度在徑向上的分量.

:有r=r￡（式中，叫做單位矢）,

式中—就是速度徑向上的分量，

dr

案與黑不同如題i-i圖所示.

題1T圖

（喂表示加速度的模,即同喈電是加速度。在切向上的分量.

dr

:有"=v〒叵表軌道節(jié)線方向單位矢），所以

dvdv_df

——=—r+v——

dtdrdr

式中—就是加速度的切向分量.

dt

?了與市的運(yùn)算較復(fù)雜，超M材規(guī)定，故不予討論）

『2設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x=x（f）,y=y（f）,在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，有人先求

出廠二次壽'然后根據(jù)「二不'及。=今而求得結(jié)果：又有人先計(jì)算速度和加速度

的分量，再合成求得結(jié)果，即

你認(rèn)為兩種方法哪一種正確？為什么？?jī)?/p>

者差別何在？

解：后一種方法正確.因?yàn)樗俣扰c加速度都是矢量，在平面直角坐標(biāo)系中，有了=婷+爐,

_drdx-dy-；

：.V=—=—I+—/

dtdtdr

_d2rd2Xvd2y.

a=--=--i+―0j

dr2drdr

故它們的模即為

而前一種方法的錯(cuò)誤可能有兩點(diǎn)，其一是概念上的錯(cuò)誤，即誤把速度、加速度定義作

drd2r

v=一a=--

drdr

其二，可能是將生與二誤作速度與加速度的模。在1-1題中已說(shuō)明上不是速度的模，

dtdt2dt

d2r

而只是速度在徑向上的分量，同樣，一r也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中

dr2

j2/1JQX--1

的一部分。徑二二一-一?；蛘吒爬ㄐ缘卣f(shuō)，前一種方法只考慮了位矢尸在徑向（即

dr2Id"」

量值）方面隨時(shí)間的變化率，而沒(méi)有考慮位矢不及速度/的方向隨間的變化率對(duì)速度、加速

度的貢獻(xiàn)。

1-3一質(zhì)點(diǎn)在xOy平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為

12

1=3,+5,y=—Z+3r-4.

2

式中?以s計(jì)，工，丁以小計(jì).（1）以時(shí)間，為變量，寫出質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式；（2）求出f=l

s時(shí)刻和f=2s時(shí)刻的位置矢量，計(jì)算這1秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移；（3）計(jì)算，=0s時(shí)刻到t=4s時(shí)刻

內(nèi)的平均速度；（4）求出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算Z=4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度；（5）計(jì)算Z=Os

到，=4s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度；（6）求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的表示式，計(jì)算f=4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速

度（請(qǐng)把位置矢量、位移、平均速度、瞬時(shí)速度、平均加速度、瞬時(shí)加速度都表示成直角坐

標(biāo)系中的矢量式）.

解：（1）r=（3r+5）74-（-r2+3r-4）Jm

（2）將，=1,r=2代入上式即有

斤=87-0.57m

r2=Hj+4jm

Ar=r,-=3j+4.5Jm

(3)V7j)=5j-4J^=177+16;

121+20；

?5_竺_立且=37+5Jms-1

Ar4-04

(4)v=—=374-4-3)7m-s-1

dr

則v4=37+7jms

(5)VV0=37+3J,V4=3/+7；

-Avv-v4-_

a-——--4-----0------1/ms2

加44

(6)a=—=ljms-2

dt

這說(shuō)明該點(diǎn)只有y方向的加速度，且為恒量。

1-4在離水面高h(yuǎn)米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，如題1-4圖所示.當(dāng)人以

v0加?)的速率收繩時(shí)，試求船運(yùn)動(dòng)的速度和加速度的大小.

圖1-4

解：設(shè)人到船之間繩的長(zhǎng)度為/,此時(shí)繩與水面成。角，由圖可知

/2=h2+s

將上式對(duì)時(shí)間，求導(dǎo)，得

drdr

根據(jù)速度的定義，并注意到/,S是隨，減少的,

d/ds

—="，口“=----

drdr

dsIdlI%

即

drsdts0cos。

仞_(。2+/嚴(yán)％

或

將喙:再對(duì)/求導(dǎo)，即得船的加速度

d/ds

〃四船s加一/錄一％s+及

"-=^^Vo=^^V°

(-"5：力2M

52~53

1-5質(zhì)點(diǎn)沿入軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為a=2+6x?,。的單位為m?s",工的單位

為m.質(zhì)點(diǎn)在工=0處，速度為10m-sT,試求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值.

..dvdvdrdv

解An：*：a=—=--------=v—

drdxdrdx

分離變量：udu=adx=(2+6x2)dx

兩邊積分得

—v2=2x+2x3+c

2

由題知，x=0時(shí)，v0=10,c=50

v=25/+工+25m-s-1

1-6已知一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為。=4+3/m?s”,開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，X=5m,v=0,

求該質(zhì)點(diǎn)在f=10s時(shí)的速度和位置.

解：*.*ci=——=4+3/

dt

分離變量，得dv=(4+3r)dr

3

積分，得=4/+-r2+c

v21I

由題知，1=0,%=0,/.Cj=0

2

2

又因?yàn)関=—=4r+-r

dr2

分離變量，dx=(4/+|/2)d/

積分得x=2t2+-t3+c,

2-

由題知Z=0,x0=5,c2=5

故x=2r+-t3+5

2

所以，=10s時(shí)

3i

2-1

v10=4xl0+-xl0=190ms

23

x10=2xl0+^xl04-5=705m

1-7一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為1m的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為6=2+3/，。式中以弧度計(jì)，，以秒計(jì),

求：(1)t=2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的切向和法向加速度；(2)當(dāng)加速度的方向和半徑成45°角時(shí),

其角位移是多少？

5d。八)Qd&I。

解：co=—=9廣，/3=—=18/

drdt

2

(1)，=2s時(shí)，aT=R/3=1x18x2=36ms"

222-2

an=RG>=1X(9X2)=1296ms

(2)當(dāng)加速度方向與半徑成45°角時(shí)，有

tan45。=2=1

4

即Reo?=R(3

亦即(9/2)2=18/

則解得t3=-

于是角位移為

2

6=2+3/=2+3x-=2.67rad

9

1-8質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按s=%，-5初2的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，式中s為質(zhì)點(diǎn)離圓周上某點(diǎn)的弧

長(zhǎng)，%,b都是常量，求：（1），時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度；（2），為何值時(shí)，加速度在數(shù)值上等于6.

「山二%

dr

22

v_(v0-bt)

示=—R-

a=4a；+a；=亞+(%-9)

R2

加速度與半徑的夾角為

ci—Rb

(P=arctan—=-------------

〃〃(％一從)

（2）由題意應(yīng)有

,cJ%-初)

a=b=yb+°_

VR2

仇一初）4

b2=b2+,=>(%-初六=0

R2

，當(dāng)E=b時(shí)，a=b

b

1-9以初速度％=20m-sT拋出一小球，拋出方向與水平面成a=6（T的夾角,

求：（1）球軌道最高點(diǎn)的曲率半徑與；（2）落地處的曲率半徑氏2?

（提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關(guān)系）

解：設(shè)小球所作拋物線軌道如題1-9圖所示.

題1-9圖

（1）在最高點(diǎn),

匕==v0cos60°

2

anl=^=10ms

v.2(20xcos600)2

Pi=—=-----------------

??

?anwi10

=10m

(2)在落地點(diǎn)，

v2=v0=20ms，

而%=gxcos6Q0

J=(20>

=80m

2%210xcos60。

1-10飛輪半徑為0.4m,自靜止啟動(dòng)，其角加速度為^=0.2rad?s_2,求Z=2s時(shí)邊緣上

各點(diǎn)的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.

解：當(dāng)，=2s時(shí)，co=fit=0.2x2=04rads-1

則v=R0=0.4x04=0.16ms-1

22

an=Ro=0.4x(0.4尸_Q954m.s-

2

ar=R/3=0.4x0.2=0.08m-s-

a=加+?；=7(0.064)2+(0.08)2=0.102m-s-2

1-11如題1-11圖，物體A以相對(duì)8的速度u=J而沿斜面滑動(dòng)，y為縱坐標(biāo)，開始時(shí)

A在斜面頂端高為力處，8物體以〃勻速向右運(yùn)動(dòng)，求4物滑到地面時(shí)的速度.

解：當(dāng)滑至斜面底時(shí)，y=h,則以=J麗，A物運(yùn)動(dòng)過(guò)程中又受到8的牽連運(yùn)動(dòng)影響,

因此，A對(duì)地的速度為

/八地="+0A

=(u+yj2ghcosa)i+(J2g〃sina)j

題1-11圖

1-12一船以速率匕=30如?卜沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率匕=40km-h

沿直線向北行駛，問(wèn)在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何？

解：(1)大船看小艇，則有％1=丹-區(qū)，依題意作速度矢量圖如題1T2圖(a)

題112圖

-1

由圖可知v2I=M+近=50kmh

方向北偏西0=arctan—=arctan—=36.87°

匕4

(2)小船看大船，則有％2=%一%,依題意作出速度矢量圖如題1-12圖(b),同上法，得

%-50kmh1

方向南偏東36.87。

1-13在河水流速u)=2ms'的地方有小船渡河.如果希望小船以D=4m-s1的速率垂直于河

岸橫渡，問(wèn)小船相對(duì)于河水的速度大小和方向應(yīng)如何?

解：設(shè)小船相對(duì)于河水的速度方向6,如圖示.

22，

U=V+VQ

u=yjv2+t>o=2-\/5m/s=4.47

tan(。-90。)=出=斗=旦

o2-V55

Q114.09

習(xí)題二

2-1—細(xì)繩跨過(guò)一定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為犯的物體，另一邊穿在質(zhì)量為相2的圓柱

體的豎直細(xì)孔中，圓柱可沿繩子滑動(dòng).今看到繩子從圓柱細(xì)孔中加速上升，柱體相對(duì)于繩子

以勻加速度能下滑，求叫，血,相對(duì)于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦力(繩

輕且不可伸長(zhǎng)，滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計(jì)).

解：因繩不可伸長(zhǎng)，故滑輪兩邊繩子的加速度均為外,其對(duì)于根2則為牽連加速度，又知加2

對(duì)繩子的相對(duì)加速度為〃'，故〃2對(duì)地加速度，由圖(b)可知，為

a2=q-。'①

又因繩的質(zhì)量不計(jì)，所以圓柱體受到的摩擦力/在數(shù)值上等于繩的張力7,由牛頓定律，

有

mig-T=呵。［②

T-=m2a2③

聯(lián)立①、②、③式，得

(m.-m-,)￡+nua'

%=—!--------------

叫+m2

=(/馬一加2)8.|。'

叫+m2

r_T_加〃2(2g一〃')

m}+m2

討論⑴若a'=0,則％=生表示柱體與繩之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng).

(2)若"=2g,則T=/=0,表示柱體與繩之間無(wú)任何作用力，此時(shí)犯，加2均作自由落

題2-1圖

2-2質(zhì)量為16kg的質(zhì)點(diǎn)在xOy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，受一恒力作用，力的分量為/x=6N,fy=-7

1

N,當(dāng)f=0時(shí)，x=y=0,vx=-2m?s,Vv=0.求

當(dāng)/=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的⑴位矢；⑵速度.

解：av=A=A=2m.s-2

m168

a=A~7一2

=---ms-

m16

⑴

235

叭=%+1fadt=-2+-x2=——ms-1

xrUJoa84

I"?」—7c7_1

八二八o+a、dt=——x2=——ms

))oJ。N168

于是質(zhì)點(diǎn)在2s時(shí)的速度

一5；7r

v=—i—1

48

⑵

7=（%￡+不見產(chǎn)?+彳%產(chǎn)）

13-1-7-

=(-2x2+-x-x4)i+-(—)x4；

Zo210

13；J

-i—Jm

48

2-3質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng)，受與速度成正比的阻力左丫（左為常數(shù)）作用，Q0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速

度為%,證明（1）/時(shí)刻的速度為u=%em.（2）由0到f的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的距離為

沖（嗎];⑶停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過(guò)的距離為％（晟）；（4；證明當(dāng)，=機(jī)/k時(shí)速

k

度減至％的,，式中加為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量.

e

答：⑴?.?"出=包

mdz

分離變量，得

dv-kdt

即

In——=Inem

%

⑵jvd/=￡v^em，=)

（3）質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為零，即t

故有x'=「vQe~'dt=三生

Jok

(4)當(dāng)t二學(xué)時(shí)，其速度為

_1.a

m1

v=vQe=voe=

即速度減至％的

e

2?4一質(zhì)量為加的質(zhì)點(diǎn)以與地的仰角6=30。的初速即從地面拋出，若忽略空氣阻力，求質(zhì)

點(diǎn)落地時(shí)相對(duì)拋射時(shí)的動(dòng)量的增量.

解：依題意作出示意圖如題2-4圖

題2-4圖

在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時(shí)的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下,

而拋物線具有對(duì)y軸對(duì)稱性，故末速度與x軸夾角亦為30°,則動(dòng)量的增量為

Ap=mv-mv0

由矢量圖知，動(dòng)量增量大小為人加。|,方向豎直向下.

2-5一質(zhì)量為小的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞.并在拋出

1s,跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與拋出時(shí)相等.求小球與桌面碰撞過(guò)

程中，桌面給予小球的沖量的大小和方向.并回答在碰撞過(guò)程中，小球的動(dòng)量是否守恒？

解：由題知，小球落地時(shí)間為0.5s.因小球?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)，故小球落地的瞬時(shí)向下的速度大

小為匕=g/=0.5g,小球上跳速度的大小亦為%=0.5g.設(shè)向上為y軸正向，則動(dòng)量的

增量

醞=mv2-mv｝方向豎直向上，

大小|明=mv2-)=mg

碰撞過(guò)程中動(dòng)量不守恒.這是因?yàn)樵谂鲎策^(guò)程中，小球受到地面給予的沖力作用.另外，碰

撞前初動(dòng)量方向斜向下，碰后末動(dòng)量方向斜向上，這也說(shuō)明動(dòng)量不守恒.

2-6作用在質(zhì)量為10kg的物體上的力為F=(10+2]?N,式中，的單位是s,(1)求4s后，

這物體的動(dòng)量和速度的變化，以及力給予物體的沖量.(2)為了使這力的沖量為200N-s,

該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來(lái)靜止的物體和一個(gè)具有初速度-6jm-7的物體,

回答這兩個(gè)問(wèn)題.

解：（1）若物體原來(lái)靜止，則

即］=￡Fdt=￡,（10+2r）7dr=56kgms-1?,沿x軸正向，

-bp、cX-IT

△A匕=-L=5.6msi

tn

=Ap,=56kg-m-s-,F

若物體原來(lái)具有一6m7一初速，則

pQ=一〃毋o,p=w（-v0+f—dr）=-wv0+『Fdt于是

Jofn

醞2=「一瓦戶df二AQ,

同理，,Z2=?1

這說(shuō)明，只要力函數(shù)不變，作用時(shí)間相同，則不管物體有無(wú)初動(dòng)量，也不管初動(dòng)量有多大,

那么物體獲得的動(dòng)量的增量（亦即沖量）就一定相同，這就是動(dòng)量定理.

（2）同上理，兩種情況中的作用時(shí)間相同，即

Z=J，（10+2r）dr=10r+/2

亦即r2+10r-200=0

解得，=10s,⑴=20s舍去）

2-7一顆子彈由槍口射出時(shí)速率為嗎m-s-1當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為

於（。-初）N（〃,b為常數(shù)），其中f以秒為單位：（1）假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，

試計(jì)算子彈走完槍筒全長(zhǎng)所需時(shí)間；（2）求子彈所受的沖量.（3）求子彈的質(zhì)量.

解：（1）由題意，子彈到槍口時(shí)，有

F=（。一次）=0,得￡=@

b

（2）子彈所受的沖量

1=￡（a-bt）dt=at-^bt2

將1=f代入，得

b

/=—

2b

(3)由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量

%2%

2-8設(shè)戶=7f—6jN.(1)當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到產(chǎn)=一3『+4)+161m時(shí)，求戶所作的

功.(2)如果質(zhì)點(diǎn)到r處時(shí)需0.6s,試求平均功率.(3)如果質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為1kg,試求動(dòng)能的

變化.

解：(1)由題知，戶為恒力，

???4臺(tái)=凡/=(7『-6j)(-37+44+16后)

=-21-24=-45J

(3)由動(dòng)能定理，=A=-45J

2-9一根勁度系數(shù)為匕的輕彈簧4的下端，掛一根勁度系數(shù)為&2的輕彈簧8,B的下端

一重物C,C的質(zhì)量為如題2-9圖.求這一系統(tǒng)靜止時(shí)兩彈簧的伸長(zhǎng)量之比和彈性勢(shì)

能之比.

解：彈簧A、B及重物C受力如題2-9圖所示平衡時(shí)，有

Mg

題2-9圖

又入=3

所以靜止時(shí)兩彈簧伸長(zhǎng)量之比為

Ar】_k2

AX2k1

彈性勢(shì)能之比為

17A2

Ep\「1及.'二0

4-k^h

2

2-10如題2T0圖所示，一物體質(zhì)量為2kg,以初速度%=3m-sT從斜面4點(diǎn)處下滑，它與

斜面的摩擦力為8N,到達(dá)3點(diǎn)后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)

和物體最后能回到的高度.

解：取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原

長(zhǎng)處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)。則由功能原理，有

2

./.\—mv+mgssin37°-frs

22

-frs=—kx-I—mv+mgssin37°|k=---------------------------------

2S“

2

式中s=4.8+0.2=5m,x=O,2m,再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得

k=1390Nm-1

再次運(yùn)用功能原理，求木塊彈回的高度/

s'=mgs'sin37"--

代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得s'=1.4m,

則木塊彈回高度

=5zsin37°=0.84m

題2Tl圖

2-11質(zhì)量為"的大木塊具有半徑為R的四分之一弧形槽，如題2TI圖所示.質(zhì)量為加的

小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無(wú)摩擦的運(yùn)動(dòng)，而且都從

靜止開始，求小木塊脫離大木塊時(shí)的速度.

解：機(jī)從M上下滑的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，以加，地球?yàn)橄到y(tǒng)，以最低點(diǎn)為重力勢(shì)能

零點(diǎn)，則有

mgR=^mv2+^MV2

又下滑過(guò)程，動(dòng)量守恒，以m，A，為系統(tǒng)則在加脫離“瞬間，水平方向有

mv—MV=0

聯(lián)立，以上兩式，得

2-12一質(zhì)量為根的質(zhì)點(diǎn)位于(王，力)處，速度為0=匕/+匕J,質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)沿x負(fù)方向

的力/的作用，求相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量以及作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩.

解：由題知，質(zhì)點(diǎn)的位矢為

r=xJ+yj

作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為

f=-fi

所以，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量為

L)=rxmv

=(xj+yj)x+vyj)

=[x]mvy-yimvx)k

作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩為

%=+yj)x(—77)=%6

2-13哈雷彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道是一個(gè)橢圓.它離太陽(yáng)最近距離為4=8.75X10%時(shí)的速

率是匕=5.46X10，m?s\它離太陽(yáng)最遠(yuǎn)時(shí)的速率是匕=9.08X10W?ST這時(shí)它離太陽(yáng)

的距離々多少？(太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。)

解：哈雷彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)受到太陽(yáng)的引力一一即有心力的作用，所以角動(dòng)量守恒；又由于

哈雷彗星在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速度都與軌道半徑垂直，故有

rlmvl=r2mv2

.r.v,8.75xIO10x5.46xl()4…

/.r,=—=--------------------------------=5.26X10Km

2

-v29.08xl()

2-14物體質(zhì)量為3kg,/=0時(shí)位于干=4：m,D=f+6]m-sT,如一恒力7=5jN作用在

物體上，求3秒后，(1)物體動(dòng)量的變化；(2)相對(duì)z軸角動(dòng)量的變化.

解：(1)A"=[尺1=j5，由=15]kg.m

⑵解㈠x=x0+vOxZ=4+3=7

y=%)/+]/=6x3+-x-x32=25.5/

23

即斤=4Z,弓=77+25.5；

吸==1

vy=vOy+=6+—x3=11

即%"+6],%=f+Uj

:.=7Jx=4/x3(z+6j)=72￡

L2=r2xmv2=(7?+25.57)x3(7+11J)=154.5jE

2-1

AL=Z2-Z)=82.5^kg-m-s

解(二)???加二華

dt

AAL=￡A/dr=f(rxF)dr

=￡(4+r)/+(6r+l)x|r2)Jx5；dr

=￡5(4+t)kdt=82.5'kgm2s"1

2-15飛輪的質(zhì)量加=60kg,半徑R=0.25m,繞其水平中心軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為

gOOrevmin'.現(xiàn)利用一制動(dòng)的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動(dòng)力尸，可使飛輪

減速.已知閘桿的尺寸如題2-25圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)〃=0.4,飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)

慣量可按勻質(zhì)圓盤計(jì)算.試求：

(1)設(shè)尸=100N,問(wèn)可使飛輪在多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)？在這段時(shí)間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)？

(2)如果在2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力尸？

解：⑴先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖⑹).圖中N、N'是正壓力，F(xiàn),、耳是摩擦

力

匕?、和尸?、.是桿在A點(diǎn)轉(zhuǎn)軸處所受支承力，R是輪的重力，P是輪在。軸處所受支承力.

Z1/

/

/

/

/

/

C

題2T5圖(a)

y

題2-15圖⑹

桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以對(duì)A點(diǎn)的合力矩應(yīng)為零，設(shè)閘瓦厚度不計(jì)，則有

b&+，2)一NZ

對(duì)飛輪，按轉(zhuǎn)動(dòng)定律有/=-工&//,式中負(fù)號(hào)表示p與角速度。方向相反.

?：F,=pNN=N'

Fr=〃N'=J］；％F

又YI=、mR2,

2

^=-2A(/I+/2)

I喇

以產(chǎn)=100N等代入上式，得

-2x0.40x(0.50+0.75)40

B=x100=---rads2

60x0.25x0.503

由此可算出自施加制動(dòng)閘開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為

co_900x2乃x3

Q=7.06s

~P~60x40

這段時(shí)間內(nèi)飛輪的角位移為

900x2^-

0=%+

60

=53.1x2乃rad

可知在這段時(shí)間里，飛輪轉(zhuǎn)了53.1轉(zhuǎn).

-1

(2)two=9OOx—rads,要求飛輪轉(zhuǎn)速在，=2s內(nèi)減少一半，可知

60

色

°T-0①015乃<_

B=-.....=——-=-----rads2

t2t2

用上面式(1)所示的關(guān)系，可求出所需的制動(dòng)力為

尸二mRl,B

2〃(4+/2)

60x0.25x0.50x15冗

~2x0.40x(0.50+0.75)x2

=177N

2-16固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對(duì)稱軸OO'轉(zhuǎn)動(dòng).設(shè)大小圓柱體

的半徑分別為R和r,質(zhì)量分別為M和機(jī).繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體叫和恤相連，

”和m2則掛在圓柱體的兩側(cè)，如題2-26圖所示.設(shè)R=0.20m,r=0.10m,機(jī)=4kg,M

=10kg,—m2=2kg,且開始時(shí)g,根？離地均為人=2m.求:

(1)柱體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度；

(2)兩側(cè)細(xì)繩的張力.

解：設(shè)外,生和B分別為機(jī)”"馬和柱體的加速度及角加速度，方向如圖(如圖b).

mL

|m-i\|mt|

T

h

〃)〃〃〃〃〃〃〃〃7,〃///〃/，"

題2-16(a)圖題2-16(b)圖

⑴tn},"馬和柱體的運(yùn)動(dòng)方程如下:

T2-tn2g①

用送-7；=見4②

啟_心=〃③

式中T；=T、,T；=T「a?=邛⑼=R/3

而I=-MR2+-mr2

22

由上式求得

_Rm.-rm.

P=~——3——g

I+tnAR~+tn2r

0.2x2-03x2c。

=1-----------j----------------------------x*8

-xl0x0.202+-x4x0.102+2x0.202+2x0.102

22

=6.13rad-s-2

⑵由①式

心=機(jī)2力+加2g=2x0.10x6.13+2x9.8=20.8N

由②式

7；=犯8-叫即=2x9.8-2x02x6.13=17.1N

2-17計(jì)算題2-17圖所示系統(tǒng)中物體的加速度.設(shè)滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓柱體，其質(zhì)量為

M,半徑為r,在繩與輪緣的摩源力作用下旋轉(zhuǎn)，忽略桌面與物體間的摩擦，設(shè)外=50

kg,m2=200kg,M=15kg,r=0.Im

解：分別以內(nèi)，m2滑輪為研究對(duì)象，受力圖如圖⑹所示.對(duì)犯，，孫運(yùn)用牛頓定律，有

m2g-T2=m2a①

=叫。②

Ti

對(duì)滑輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有

%—7y=(〃/)/③

又,a=rp?

聯(lián)立以上4個(gè)方程，得

題2T7(a)圖題277(b)圖

、、

題2-18圖

2-18如題278圖所示，一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為小，長(zhǎng)為/,可繞過(guò)一端0的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),

桿于水平位置由靜止開始擺下.求：

(1)初始時(shí)刻的角加速度：

(2)桿轉(zhuǎn)過(guò)。角時(shí)的角速度.

解：(1)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有

⑵由機(jī)械能守恒定律，有

mg（sin夕=g（；ml2）CD

題2-19圖

2-19如題2-19圖所示，質(zhì)量為M,長(zhǎng)為/的均勻直棒，可繞垂直于棒?端的水平軸。無(wú)摩

擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，它原來(lái)靜止在平衡位置上.現(xiàn)有一質(zhì)量為加的彈性小球飛來(lái)，正好在棒的下端

與棒垂直地相撞.相撞后，使棒從平衡位置處擺動(dòng)到最大角度9=30,處.

(1)設(shè)這碰撞為彈性碰撞，試計(jì)算小球初速%的值；

(2)相撞時(shí)小球受到多大的沖量？

解：(1)設(shè)小球的初速度為功,棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為回，而小球的速度變?yōu)?/p>

v,按題意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時(shí)遵從角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，可

列式：

mv3l=Ico+mvl①

1、

=2②

22

上兩式中/=,w/2,碰撞過(guò)程極為短暫，可認(rèn)為棒沒(méi)有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直

3

位置上擺到最大角度。=30°，按機(jī)械能守恒定律可列式:

；7療=-cos300)③

由③式得

co=-cos30°)

由①式

①公

V=V--I-④

oml

由②式

2ICO2c

V—⑤

m

所以

1(0.212

M-嬴)='F

求得

向“/、/1M.

,6(2一6即上且而

12m

(2)相碰時(shí)小球受到的沖量為

Fdt=^jnv=mv—tnvQ

由①式求得

Ico1...

rar=mv-mv0=---=—Mlco

46(2-⑻M

6

負(fù)號(hào)說(shuō)明所受沖量的方向與初速度方向相反.

題2-20圖

2-20一質(zhì)量為“、半徑為R的自行車輪，假定質(zhì)量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng).另

一質(zhì)量為60的子彈以速度v0射入輪緣（如題2-20圖所示方向）.

（1）開始時(shí)輪是靜止的，在質(zhì)點(diǎn)打入后的角速度為何值?

（2）用加,加（）和。表示系統(tǒng)（包括輪和質(zhì)點(diǎn)）最后動(dòng)能和初始動(dòng)能之比.

解：（1）射入的過(guò)程對(duì)。軸的角動(dòng)量守恒

Rsin所()%=(m+6°)R2G

??co—

(w+w0)/?

E2(m+加0slrr〃

⑵k

12

5〃7。%

習(xí)題三

3-1慣性系S，相對(duì)慣性系S以速度〃運(yùn)動(dòng).當(dāng)它們的坐標(biāo)原點(diǎn)。與O'重合時(shí)，/=r=（）,發(fā)

出一光波，此后兩慣性系的觀測(cè)者觀測(cè)該光波的波陣面形狀如何?用直角坐標(biāo)系寫出各自觀

測(cè)的波陣面的方程.

解：由于時(shí)間和空間都是均勻的，根據(jù)光速不變?cè)?，光訊?hào)為球面波.波陣面方程為：

x2+y2+z2=（ct）2

x>2+y2+z,2=（以'）2

題3T圖

3-2設(shè)圖3-5中車廂上觀測(cè)者測(cè)得前后門距離為2/.試用洛侖茲變換計(jì)算地面上的觀測(cè)者測(cè)

到同一光信號(hào)到達(dá)前、后門的時(shí)間差.

解：設(shè)光訊號(hào)到達(dá)前門為事件1,在車廂（S'）系時(shí)空坐標(biāo)為（工/）=[/,），在車站（S）系:

c

t\=—（1+-）

光信號(hào)到達(dá)后門為事件2,則在車廂（S'）系坐標(biāo)為（芯工）=（-/,），在車站（S）系：

c

，2=次；+=后）="（1’）

CCC

于是，2-。=-2駕

C'

或者Af=0,A/=tx-t2,Ax'=x\-x'2=2/

Ar=y（△，'+二Ax'）=y（22/）

c~c-

3-3慣性系S'相對(duì)另一慣性系S沿x軸作勻速宜線運(yùn)動(dòng)，取兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)刻作為計(jì)

時(shí)起點(diǎn).在S系中測(cè)得兩事件的時(shí)空坐標(biāo)分別為X|=6X10%,0=2X10%,以及l(fā)2=12X

10%,心=1X10%.已知在S'系中測(cè)得該兩事件同時(shí)發(fā)生.試問(wèn)：（US'系相對(duì)S系的速度

是多少？（2）S'系中測(cè)得的兩事件的空間間隔是多少？

解：設(shè)（S'）相對(duì)5的速度為V,

V

，1=次2TX2）

C

由題意f；一=0

則—Z]=—