高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試卷03（【含答案解析】）

絕密★考試結(jié)束前2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試卷03（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）（考試范圍：選擇性必修第一冊至選擇性必修第二冊）姓名___________班級_________考號_______________________注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1．（2023·四川眉山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）直線的傾斜角是（

）A．或 B． C． D．或【答案】B【解析】直線方程可化為：，所以直線的斜率為：.設(shè)傾斜角為，則且，故.故選：B2．（2023·河北保定·高二定興第三中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，是平面的一個法向量，且是平面內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，又，則點(diǎn)A到平面的距離為.故選：D.3．（2023·山東煙臺·高二?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】B【解析】由，因，則，，，，，，由此不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的項(xiàng)具有周期性，且最小正周期為3，故故選：B.4．（2023·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B．-1 C． D．0【答案】A【解析】，因此有，故選：A5．（2023·江西宜春·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A．8 B． C． D．【答案】D【解析】由拋物線，可得焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為直線與的交點(diǎn)時，取得最小值，則，即的最小值為.故選：D.6．（2023·重慶江北·高二重慶十八中校考期末）已知是的重心，是空間中的一點(diǎn)，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知是的重心，則，即，所以，又因?yàn)?，所?故選：C.7．（2023·湖北武漢·高二武漢市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于數(shù)列滿足，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，即，也適合，故，則，由于數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，即，則恒成立，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故是數(shù)列的最大值的項(xiàng)，故時，取得最大值，故，則的取值范圍為，故選：C8．（2023·江蘇泰州·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，雙曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長軸三等分，兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則雙曲線的實(shí)半軸長為，由雙曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長軸三等分，可得橢圓的長半軸為，半焦距為，設(shè)橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)為，且分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，第三象限的交點(diǎn)為，，則，可得，且兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則在以為直徑的圓上，所以，即，所以，則雙曲線的離心率為.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．（2023·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是空間中不共面的三個向量，則下列向量能構(gòu)成空間的一個基底的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對于選項(xiàng)：因?yàn)椋匀齻€向量共面，故不能構(gòu)成空間的一個基底，故A錯誤；對于選項(xiàng)：因?yàn)椋匀齻€向量共面，故不能構(gòu)成空間的一個基底，故D錯誤；因?yàn)槭强臻g中不共面的三個向量，對于選項(xiàng)B：設(shè)，顯然不存在實(shí)數(shù)使得該式成立，所以不共面，可以作為基底向量，故B正確；對于選項(xiàng)C：設(shè)，則，方程無解，即不存在實(shí)數(shù)使得該式成立，所以不共面，可以作為基底向量，故C正確；故選：BC.10．（2023·浙江臺州·高二期末）已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在軸上的截距為 B．過定點(diǎn)C．若，則或 D．若，則【答案】ABD【解析】由易知，故A正確；由，故B正確；若兩直線平行，則有且，解得，故C錯誤；若兩直線垂直，則有，故D正確.故選：ABD11．（2023·福建莆田·高二仙游一中校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，為其左、右焦點(diǎn)，且△的面積為3，則下列說法正確的是（

）A．P點(diǎn)到軸的距離為 B．C．△的周長為 D．△的內(nèi)切圓半徑為【答案】ACD【解析】由已知條件得，，，設(shè)，則，解得，則P點(diǎn)到軸的距離為，故正確；將代入得，則，則，且兩向量所成角的范圍為，則為銳角，故錯誤；由橢圓的定義可知，，△的周長為，故正確；設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為，圓心為,則，解得，故正確；故選：.12．（2023·江西宜春·高二上高中學(xué)?？计谀┰O(shè)，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】，，，，對于A，設(shè)，則，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以，故A正確；對于B，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，則，整理得，所以，故B不正確；對于D，設(shè)，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以有，即，所以，則，故D正確；由前面可知，所以，故C正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（2023·吉林長春·高二?？计谀┑炔顢?shù)列前項(xiàng)和為，，則．【答案】【解析】等差數(shù)列，由，解得，則.14．（2023·陜西寶雞·高二校聯(lián)考期末）拋物線：與直線交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的斜率為.【答案】【解析】已知的中點(diǎn)為，設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則，可得，即，即又，所以.15．（2023·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）寫出曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條切線方程.【答案】或（任寫一個即可）【解析】，設(shè)切點(diǎn)為，故切線方程為，由于切線過原點(diǎn)，故，整理得，解得或.當(dāng)時，切線方程為，即.當(dāng)時，切線方程為，即.16．（2023·云南昆明·高二昆明市第三中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時，直線的方程為【答案】【解析】圓：可化為，，，，是圓的兩條切線，則，，、、、四點(diǎn)共圓，且，，，，當(dāng)最小，即時，取得最小值，此時方程為，聯(lián)立，解得，，即，以為直徑的圓的方程為，即，圓：，兩圓相交，兩圓方程相減即為的方程.四．解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2023·四川涼山·高二校聯(lián)考期末）已知直線的傾斜角為，，且這條直線經(jīng)過點(diǎn).（1）求直線的方程.（2）直線恒過定點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題可得，，則，，∴直線的斜率，且直線過點(diǎn)，∴由直線的點(diǎn)斜式方程得，即，∴所求直線的方程為；（2）∵直線化簡得：，∴定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，∴到直線的距離為.18．（2023·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）因?yàn)閳A心在直線上，設(shè)圓心，則與直線垂直，且直線的斜率為，則，可得，解得，所以，圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知，圓心到直線的距離為，若直線軸，則直線的方程為，此時，圓心到直線的距離為，合乎題意；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，可得，解得，此時，直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.19．（2023·重慶·高二重慶十八中?？计谀┮阎缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）若為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使成立的最小正整數(shù).【答案】（1）；（2）10【解析】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時，，當(dāng)時，.因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)也滿足上式，所以，即，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得.所以令，即，所以，即，因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，，所以的最小值為.故滿足條件的最小正整數(shù)為.20．（2023·全國·高二期末）如圖，在三棱柱中，四邊形為菱形，，，，平面平面，Q在線段上移動，P為棱的中點(diǎn).（1）若Q為線段AC的中點(diǎn)，H為BQ中點(diǎn)，延長AH交BC于D，求證：平面；（2）若二面角的平面角的余弦值為，求點(diǎn)P到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）如圖，取中點(diǎn)E，連接AE，EH，由H為BQ中點(diǎn)，則.在平行四邊形中，P、E分別為，的中點(diǎn)，則，由面，面，所以面，面，又，面，所以面面，而面，面.（2）連接，，由四邊形為菱形，則.又，則為正三角形，P為的中點(diǎn)，即.因?yàn)槊婷?，面面，面，面，在面?nèi)過P作交于點(diǎn)R.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，則，，，，則，.設(shè)面的法向量為，則，令，則，設(shè)面的法向量為，二面角的平面角為，則，解得或（舍），∴且，又，∴，故，，故.所以，即，連接BP，設(shè)P到平面的距離為h，則，∴，即點(diǎn)P到平面的距離為.21．（2023·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過且斜率為1的直線與的漸近線分別交于，兩點(diǎn)（在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn)，．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)且傾斜角不為0的直線與交于，兩點(diǎn)，與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由已知得：，聯(lián)立解得，同理可得．∵，∴，整理得．又，∴，，∴的方程為．（2）要證明，只需證明的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合．設(shè)的中點(diǎn)為，直線：，聯(lián)立得，設(shè)，，則，，，即，雙曲線：的漸近線方程為，由得可得，由得可得，∴的中點(diǎn)為，∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴．22．（2023·湖南衡陽·高二校考期末）已知函數(shù)，.（1）若的極大值為