2023北京大興高一（上）期末數學（教師版）

第1頁/共1頁2023北京大興高一（上）期末數學學校___________姓名___________班級___________考號___________考生須知：1．本試卷共4頁，共兩部分，21道小題．滿分150分．考試時間120分鐘．2．在試卷和答題卡上準確填寫學校名稱、班級、姓名和準考證號．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.等于（）A. B. C. D.12.若集合，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.3.下列函數中是奇函數的是（）A. B. C. D.4.已知，則M，N的大小關系是（）A. B. C. D.5.已知，則等于（）A B. C. D.6.已知，則（）A. B. C. D.7.下列函數中，最小正周期為的是（）A B. C. D.8.“”是“函數存在零點”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.在平面直角坐標系中，角均以為始邊，的終邊過點，將的終邊關于x軸對稱得到角的終邊，再將的終邊繞原點按逆時針方向旋轉得到角的終邊，則的值為（）A. B. C. D.10.聲音的等級（單位：）與聲音強度x（單位：）滿足．若噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為，一般人說話時，聲音的等級約為，那么噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般人說話時聲音強度的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.若sinα＜0且tanα＞0，則α是第___________象限角．12.已知冪函數的圖象經過點，則___________．13已知函數，則___________；___________．14.若直角三角形斜邊長等于12，則該直角三角形面積的最大值為___________；周長的最大值為___________．15.設函數的定義域為D，若，存在唯一的，使（a為常數）成立，則稱函數在D上的均值為a．給出下列4個函數：①；②；③；④．其中，所有滿足在定義域上的均值為2的函數序號為___________．三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知命題．（1）寫出命題p的否定；（2）判斷命題p的真假，并說明理由，17.已知．（1）求的值；（2）求的值．18.已知函數．（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值；（3）比較與的大小．19.已知函數的圖象如圖所示．（1）函數的圖象的序號是___________；的圖象的序號是___________；（2）在同一直角坐標系中，利用已有圖象畫出的圖象，直接寫出關于x的方程在中解的個數；（3）分別描述這三個函數增長的特點．20.已知函數（1）求的值；（2）判斷奇偶性，并說明理由；（3）判斷單調性，并說明理由．21.對在直角坐標系的第一象限內的任意兩點作如下定義：若，那么稱點是點的“上位點”．同時點是點的“下位點”；（1）試寫出點的一個“上位點”坐標和一個“下位點”坐標；（2）已知點是點的“上位點”，判斷點是否是點的“下位點”，證明你的結論；（3）設正整數滿足以下條件：對集合內的任意元素，總存在正整數，使得點既是點的“下位點”，又是點的“上位點”，求滿足要求的一個正整數的值，并說明理由．

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】D【解析】【分析】根據誘導公式以及特殊角的正切值即可求解.【詳解】．故選：D．2.【答案】C【解析】【分析】根據元素與集合的關系可判斷A，求出可判斷BC；求出可判斷D.【詳解】，，，故A錯誤；，所以，故B錯誤，C正確；，故D錯誤故選：C.3.【答案】D【解析】【分析】利用奇偶函數定義即可判斷每個選項【詳解】對于A，令，其定義域為，且，所以為偶函數，故A不正確；對于B，令，其定義域為，不關于原點對稱，故不是奇函數，故B不正確；對于A，令，其定義域為，且，所以為偶函數，故C不正確；對于A，令，其定義域為，且，所以為奇函數，故D正確；故選：D4.【答案】C【解析】【分析】利用作差法即可判斷M，N的大小【詳解】因為，所以，故選：C5.【答案】A【解析】【分析】由題知，再根據誘導公式求解即可.【詳解】解：因為，所以，所以故選：A6.【答案】B【解析】【分析】利用指數函數和對數函數函數的單調性，將與比大小，與比大小，即可求出結論【詳解】因為，所以故選：B7.【答案】C【解析】【分析】根據三角函數的圖像性質可判斷ABC，利用周期的定義可判斷D【詳解】對于A，的最小正周期為，故A不正確；對于B，的最小正周期為，故B不正確；對于C，的最小正周期為，故C正確；對于D，因為，故D不正確，故選：C8.【答案】C【解析】【分析】根據函數零點的性質結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】若函數存在零點，則有實數解，即有實數解，因為，所以，而，由得，則“”是“函數存在零點”的充分必要條件.故選：C9.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數的定義得到，繼而得到，通過題意可得到，利用誘導公式即可求解【詳解】因為的終邊過點，且，所以，因為的終邊與角的終邊關于x軸對稱，所以，因為角終邊是的終邊繞原點按逆時針方向旋轉得到，所以，所以，故選：D10.【答案】B【解析】【分析】首先設噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般人說話時聲音強度分別為，根據題意得出，，計算求的值.【詳解】設噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般人說話時聲音強度分別為，，解得，，解得，所以，因此，噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般人說話時聲音強度的倍.故選：B第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】第三象限角【解析】【詳解】試題分析：當sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以當sinα＜0且tanα＞0，則α是第三象限角．考點：三角函數值的象限符號.12.【答案】4【解析】【分析】由冪函數圖象所過點求出冪函數解析式，然后計算函數值．【詳解】設，則，，即，所以．故答案為：413.【答案】①.②.【解析】【分析】直接根據分段函數解析式計算即可.【詳解】因為，所以，所以．故答案為：；．14.【答案】①.36；②.【解析】【分析】由條件，利用基本不等式可求面積的最大值和周長的最大值.【詳解】設兩條直角邊的邊長分別為，則，，，由基本不等式可得，故即，當且僅當時等號成立，故直角三角形面積的最大值為，又，，所以，即，當且僅當時等號成立，所以直角三角形周長的最大值為，故答案為：36，.15.【答案】①③【解析】【分析】對于①③根據定義給定任意一個求出判斷是否存在定義域內，是否唯一.對于②根據定義得知周期函數不符合題意.對于④特殊值驗證不成立.【詳解】對于函數①，取任意的，可以得到唯一的，故滿足條件，所以①正確；對于函數②，因為是上的周期函數，存在無窮個，使成立，故不滿足題意，所以②不正確；對于函數③，定義域，值域為，且單調，必存在唯一使成立，故滿足題意，所以③正確；對于函數④定義域為，值域為對于要使成立，則不成立，所以④不正確.故答案為：①③三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）（2）假，理由見解析【解析】【分析】（1）根據全稱命題的否定為特稱命題即可求解；（2）因為即可判斷命題【小問1詳解】由命題，可得命題p的否定為，【小問2詳解】命題為假命題，因為（當且僅當時取等號），故命題為假命題17.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）根據同角三角函數之間的關系即可求解，（2）根據誘導公式以及弦切互化關系即可求解.【小問1詳解】由得，所以，，【小問2詳解】18.【答案】（1）（2）最大值為1，最小值為（3）【解析】【分析】（1）根據周期的計算公式即可求解，（2）根據整體法求解函數的值域，即可求解最值，（3）代入求值，結合正弦函數的性質即可求解，【小問1詳解】由知：周期，故的最小正周期為【小問2詳解】由于，則，因此，故，所以在區(qū)間上最大值為1，最小值為【小問3詳解】，，由于，所以，因此，，故19.【答案】（1）①；③（2）圖象見解析；解得個數為0（3）答案見解析【解析】【分析】（1）利用指數函數，對數函數的單調性和定點進行判斷即可；（2）由于，該函數與關于軸對稱，故畫出對應圖象，看作是和的交點個數，通過畫圖觀察即可；（3）根據圖象特征進行描述即可【小問1詳解】函數為單調遞增的指數函數，恒過定點，故為序號①；函數為單調遞增的對數函數，恒過定點，故為序號③；【小問2詳解】因為，所以該函數與關于軸對稱，如圖所示方程解個數即解得個數，可看作是和的交點個數，由于與關于軸對稱，畫出圖象，從圖像可得兩個函數在沒有交點，故在中解的個數0；【小問3詳解】函數的圖象是下凸的，所以其增長特點：先緩后快；函數的圖象是直線，所以其增長特點：勻速增長；函數的圖象是上凸的，所以其增長特點：先快后緩20.【答案】（1）（2）奇函數，理由見解析（3）在上為減函數，理由見解析【解析】【分析】（1）利用對數的運算性質即可求解；（2）先求出函數定義域，然后利用奇偶性的定義進行判斷即可；（3）根據函數單調性定義進行判斷即可【小問1詳解】因為，所以【小問2詳解】為奇函數證明：要使有意義，只需，解得，所以的定義域為；又，所以為奇函數，【小問3詳解】在上為減函數.證明：任取且，則，∵，∴，得，得到，∴在上為減函數21.【答案】（1）“上位點”為，“下位點”為；（2）是，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由定義即可得所求點的坐標.（2）先由點是點的“上位點”得，作差化簡得，結合所得結論、定義，利用作差法即可判斷出點是否是點的“下位點”.（3）借助（2）的結論證明點既是點的“上位點”，又是點的“下位點”，再利用所證結論即可得到滿足要求的一個正整數的值.【小問1詳解】根據題設中的定義可得點的一個上位點“坐標”和一個“下位點”坐標分別為和；【小問2詳解】點是點的“下位點”，證明：點是點的“上位點”，又