端點(diǎn)效應(yīng)和何謂極點(diǎn)效應(yīng)

什么是端點(diǎn)效應(yīng)？如果函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)恰好為零，則當(dāng)x>x0時，f(x)>0成立的一個必要條件為端點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值f'(x0)>0，如圖所示：x0因?yàn)槿绻鹒'(x0)<0，那么函數(shù)會在x0右側(cè)的一個小區(qū)間內(nèi)先遞減，會出現(xiàn)如下情況：x0此時函數(shù)f(x)不恒正，不滿足要求。這個方法把某個區(qū)間上函數(shù)的恒成立問題轉(zhuǎn)化為判斷端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值符號，這就是端點(diǎn)效應(yīng)。類似的，如果函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)恰好為零，當(dāng)x>x0時，f(x)<0成立的一個必要條件為x0處的導(dǎo)數(shù)值f'(x0)<0但是，需要注意的是，f'(x0)>0（或f'(x0)<0）只是f(x)>0（或f(x)<0）成立的一個必要條件，如果此時二階導(dǎo)不變號，那么這種方法沒有問題；但如果二階導(dǎo)變號，那么計(jì)算出的結(jié)果極有可能不是正確答案。端點(diǎn)效應(yīng)在解決求參數(shù)范圍問題時能夠幫助我們得出分類的依據(jù)，簡化問題的處理。綜上所述，端點(diǎn)效應(yīng)可總結(jié)如下，什么是極點(diǎn)效應(yīng)？如果函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)恰好為零，則當(dāng)x>a時（其中a<x0f(x)>0成立的一個必要條件為x0處的導(dǎo)數(shù)值f'(x0)=0，如圖所示：x0因?yàn)槿绻鹒'(x0)<0或f'(x0)<0，那么函數(shù)會在x0右側(cè)的一個小區(qū)間內(nèi)先遞減，會出現(xiàn)如下兩種情況：而這兩種種情況都不能保證函數(shù)值非負(fù)。x0x0x0這個方法把某個區(qū)間上函數(shù)的恒成立問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間中某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為零，這就是極點(diǎn)效應(yīng)。 都有f'(x)<0成立，所以f(x)在x∈(1,x0)時單調(diào)遞減，所以f(x0)<f(1)=0；并且f''(x)=>0，因此通過f'(1)≥0得出的參數(shù)范圍就是正確答案，這便是端點(diǎn)效應(yīng)。這種方法可以幫我們得出分類的依據(jù)，f'(x)單調(diào)遞增，所以x>1時，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，則x>1時，f(x)>f(1)=0；f'(ea)=1>0，且f''(x)=>0，f'(x)單調(diào)遞增，所a)，使得f'(x0)=0成立，所以f(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減，所以f(x0)<f(1)=0；不【分析】注意到ff'(x)單調(diào)遞增，所以x>0時，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則x>0時，f(x)>f(0)=0；f'(lna)=alna>0，f'(x0)=0成立，所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，所以f(x0)<f(0)=0；不成立，舍去?！痉治觥苛頵(x)=ex一ax2一x1，f'(x)=ex2ax1，x>0，注意到雖然f(0)=0，但同時【詳解】令f(x)=ex一ax2x1，f'(x)=ex2ax1，x>0；f''(x)單調(diào)遞增；又f''(0)=12a≥0，所以f''(x)≥0恒成立，f'(x)單調(diào)遞增；又f'(0)=0，所以x>0時，f'(x)>0恒成立，所以f(x)使得f''(x0)=0成立，所以當(dāng)x∈(0,x0)時，f''(x)<0，f'(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，且f'(0)=0，f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，f(x0)<f(0)=0；不成立，舍去。【分析】不妨令f(x)=exx3+ax2x1，則f(0)=0，此時看似能夠使用端點(diǎn)效應(yīng)，其實(shí)不f'(x)=exx2+2ax1，且f'(0)=0；則f''(x)=ex3x+2a，f'''(x)=ex322f''(x)在(0,ln3)上遞減，在(0,ln3)上f''(x)仍然可能為負(fù)，也即f'(x)可能會先遞減，此時f'(x)也有可能為負(fù)，所以f(x)在[0,+∞)上的函數(shù)值也可能比端點(diǎn)處小，即這種情況下f(x)有可能為負(fù)值。事實(shí)上，當(dāng)a=—時，f(1)=e3<0，就不滿足要求。所以，當(dāng)高階導(dǎo)變號時，我們應(yīng)該慎重，此時，端點(diǎn)效應(yīng)很有可能就會失靈。事實(shí)上，本題可考慮分參處理?！痉治觥孔⒁獾絝f'(x)單調(diào)遞增，所以x>1時，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，則x>1時，f(x)>f(1)=0；f'(ea)>0，且f''(x)=ex(lnx+)>0，則f'(x)a)，使得f'(x0)=0成立，所以f(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減，所以f(x0)<f(1)=0；不成立，舍去?！窘馕觥縡'(x)=aex—11；注意到ff(x)取得最小值，同時取得極小值，而當(dāng)a=1時，f(x)=ex—1x，f'(x)=ex當(dāng)x<1時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，此時f(x)>f(1)=0；當(dāng)x>1時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，此時f(x)>f(1)=0；f(x)≥0在R上恒成立，所以a=1?！窘馕觥縡(x)的定義域?yàn)?0,+∞)。設(shè)g(x)=axalnx，則f(x)=xg(x)，f(x)≥0等價于g(x)≥0。因?yàn)間(x)≥0，g(1)=0，所以x=1時，函數(shù)g(x)取得最小值，同時也是函數(shù)g(x)的極小值，所以(x)單調(diào)遞增；所以x=1是g(x)的極小值點(diǎn)，故g(x)≥g(1)=0， 例：ex1alnx1≥0在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范圍。例：f(x)=exlnx—a(x—1)，若f(x)>0在(1,+∞)上恒成立，求a的取值范例：exax2≥2x+1sinx在[0,+∞)