2025屆高考數(shù)學二輪總復習專題6解析幾何專題突破練25圓錐曲線中的證明探索性問題課件

專題突破練25圓錐曲線中的證明、探索性問題1234主干知識達標練1.(17分)(2024福建廈門模擬)在平面直角坐標系xOy中,已知圓A:(x-2)2+y2=4,點B(-2,0),點P為圓A上任意一點,線段BP的垂直平分線和半徑AP所在直線相交于點Q,當點P在圓上運動時,點Q的軌跡為C.(1)求C的方程;(2)斜率存在且不為0的直線l與C交于M,N兩點,存在一點D在C上.從下面①②③中任選兩個作為已知條件,證明另外一個成立.①DM⊥x軸;②直線l經(jīng)過點(-,0);③D,B,N三點共線.注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分.123412341234123412342.(17分)(2024江蘇南京、鹽城一模)已知橢圓C:(a>b>0)的右焦點為F(1,0),右頂點為A,直線l:x=4與x軸交于點M,且|AM|=a|AF|.(1)求C的方程;(2)若B為l上的動點,過B作C的兩條切線,分別交y軸于點P,Q,①證明:直線BP,BF,BQ的斜率成等差數(shù)列;②圓N經(jīng)過B,P,Q三點,是否存在點B,使得∠PNQ=90°?若存在,求|BM|;若不存在,請說明理由.1234解

(1)由橢圓右焦點為F(1,0),得c=1,點A(a,0).因為|AM|=a|AF|,所以|4-a|=a(a-1),若a≥4,則a-4=a(a-1),得a2-2a+4=0,無解,若a<4,則4-a=a(a-1),得a2=4,所以b2=3,因此C的方程為1234圖112341234圖21234123412341234關(guān)鍵能力提升練3.(17分)(2024內(nèi)蒙古呼和浩特一模)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點F,且拋物線上任意一點R滿足|RF|的最小值為1.(1)求C的方程;(2)過點P(t,-1)的直線經(jīng)過點F且與拋物線交于M,N兩點,(3)過點F作一條傾斜角為60°的直線交拋物線于A,B兩點,過A,B分別作拋物線的切線.兩條切線交于點Q,過Q任意作一條直線交拋物線于E,H,交直線AB于點G,求證:12341234圖112341234圖2123412341234核心素養(yǎng)創(chuàng)新練4.(17分)(2024福建泉州模擬)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,∠ACB的平分線交AB于點D,AD=2DB.平面α過直線AB,且與△ABC所在的平面垂直.(1)求直線CD與平面α所成角的大小.(2)設點E∈α,且∠ECD=30°,記E的軌跡為曲線Γ.①判斷Γ是什么曲線,并說明理由;②不與直線AB重合的直線l過點D且交Γ于P,Q兩點,試問:在平面α內(nèi)是否存在定點T,使得無論l繞點D如何轉(zhuǎn)動,總有∠PTC=∠QTC?若存在,指出點T的位置;若不存在,說明理由.1234解

(1)如圖,因為平面ABC⊥平面α,平面ABC∩平面α=AB,BC?平面ABC,BC⊥AB,所以BC⊥平面α.所以CD在平面α內(nèi)的射影為DB,所以直線CD與平面α所成角為∠CDB.過點D作DF⊥AC,垂足為F.因為CD平分∠ACB,DB⊥BC,所以DF=DB.又AD=2DB,所以DF=AD,所以∠DAF=30°.又AB=6,∠ABC=90°,所以BC=2.因為DB=AB=2,所以∠CDB=60°,所以直線CD與平面α所成角為60°.1234(2)①曲線Γ是橢圓,理由如下:由(1)可知,DF⊥AC,DA=DC,所以F是AC的中點,設AB的中點為O,所以OF∥BC.又BC⊥平面α,所以OF⊥平面α.在平面α內(nèi)過點O作OG⊥AB,所以OF⊥OB,OF⊥OG.建立空間直角坐標系O-xyz,如圖所示.12341234由對稱性知,若存在定點T滿足條件,則點T必在平面ABC與平面α的交線AB上,故可設T(0,t,0).1234所以|x2(y1-t)|=|x1(y2-t)|.因為x1x2<0,(y1-t)(y2-t)≥0,所以x1(y2-t)+x2(y1-t)=0,所以2kx1x2+(1-t)(x1+x2)=0,即(9-t)k=0.因為上式對于任意的k∈R恒成立,所以t=9.1234由對稱性知,若存在定點T滿足條件,則T必在平面ABC與平面α的交線AB上,故可設T(0,t,0).當T與B重合時,即t=3時,因為CT⊥平面α,又PT,QT?平面α,所以∠PTC=∠QTC=.所以當t=3時,符合題意.1234當T與B不重合時,過點B作BP1⊥PT,BQ1⊥QT,垂足分別為P1,Q1.連接CP1,CQ1,因為BC⊥平面α,P1T?平面α,所以P1T⊥BC.又P1T⊥BP1,BP1∩BC=B,所以P1T⊥平面BCP1,又CP1?平面BCP1,所以P1T⊥CP1,同理Q1T⊥CQ1.又∠P1TC=∠Q1TC,所以△P1TC≌△