2024-2025學(xué)年福建省廈門市高三上冊(cè)11月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省廈門市高三上學(xué)期11月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，若，則所有整數(shù)的取值構(gòu)成的集合為（）A．{1，2} B．{1} C． D．2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．93．已知是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，那么“”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．如圖是函數(shù)的大致圖象，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．5．?dāng)?shù)列滿足，且，則等于（

）A．148 B．149 C．152 D．2996．已知正三角形的邊長為，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，，則的最大值是（）A． B． C． D．7．不等式對(duì)任意恒成立，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．8．正方體中，點(diǎn)M是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，平面平面，則直線l與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)為互不重合的兩個(gè)平面，m，n為互不重合的兩條直線，則下列命題正確的是（）A．若，，，則B．若m，n為異面直線，且，，，，則C．若m，n與所成的角相等，則D．若，，，則10．已知復(fù)數(shù)，，且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則以下結(jié)論正確的為（

）A． B． C． D．11．定義在上的函數(shù)滿足，其中為實(shí)數(shù)，其值域是.若對(duì)于任何滿足上述條件的都有，則（）A．方程可以有無數(shù)多解B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，將所有滿足（）且大于等于1的實(shí)數(shù)從小到大排成一列，組成數(shù)列，若，則數(shù)列的最大項(xiàng)為D．的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量的夾角的余弦值為，且，則.13．已知函數(shù)，且，則.14．已知正四面體ABCD的棱長為，其外接球的球心為O.點(diǎn)E滿足，，過點(diǎn)E作平面平行于AC和BD，當(dāng)時(shí)，平面截球O所得截面的周長為；當(dāng)時(shí)，將正四面體ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)90°后與原四面體的公共部分體積為.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)求角；(2)若是邊上的一點(diǎn)，且滿足，，求.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，面，是棱上一動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積(2)當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求平面與平面所成夾角的余弦值.18．已知函數(shù)滿足存在實(shí)數(shù)，使得.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有最大值為，求實(shí)數(shù)的值；(3)證明.19．已知集合中的元素均為正整數(shù)，且滿足：①對(duì)于任意，若，都有；②對(duì)于任意，若，都有.(1)已知集合，求；(2)已知集合，求；(3)若中有4個(gè)元素，證明：中恰有5個(gè)元素.

答案1．【正確答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，滿足.當(dāng)時(shí)，，由于且，所以或.綜上所述，整數(shù)的取值構(gòu)成的集合為.故選：C2．【正確答案】C【詳解】∵各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，∴.故選：C.3．【正確答案】C【詳解】若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，故，而，存在使得成立，所以“”是“存在，使得’的的充分條件，若且，則與方向相同，故此時(shí)，所以“”是“存在存在，使得”的必要條件，故“”是“存在，使得”的充分必要條件.故選：C.4．【正確答案】D【詳解】由圖可知，是的極小值點(diǎn)，由已知得，令，得，得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以，由，，可得，解得.故選：D5．【正確答案】B【詳解】由題意得，因?yàn)椋?，所以，所以．故選：B．6．【正確答案】B【詳解】試題分析：甴已知易得.以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)由已知，得，又，它表示圓上點(diǎn)與點(diǎn)距離平方的，，故選B．考點(diǎn)：1.向量的數(shù)量積運(yùn)算；2.向量的夾角；3.解析幾何中與圓有關(guān)的最值問題.7．【正確答案】A【詳解】由題意可得，需滿足是的一個(gè)根，即，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故選：A.8．【正確答案】D【詳解】因?yàn)槭钦襟w，所以平面平面,平面平面,平面平面,所以,是靠近的三等分點(diǎn)，所以,平面平面即是,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體邊長為3，則設(shè)直線l與所成角為.故選：D.9．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，由，得，又，所以，故A正確；對(duì)于B，在空間取一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，，則與確定一個(gè)平面，由，，得，，所以，同理，所以，故B正確；

對(duì)于C，當(dāng)m，n相交，且與都平行時(shí)，m，n與所成的角相等，此時(shí)與不平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，可知，在上取一點(diǎn)，過在內(nèi)作一直線，使得，則，過在內(nèi)作一直線，使得，則，顯然，則，故D正確.

故選：ABD.10．【正確答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長和加法運(yùn)算可得，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋芍?，即，又因?yàn)?，則，可知，解得，則或，且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則，可知，即.對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：可知，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，故D錯(cuò)誤.故選AC.11．【正確答案】AB【詳解】A.當(dāng)函數(shù)為常值函數(shù)，此時(shí)方程有無數(shù)多解，所以A對(duì)B.當(dāng)時(shí)，，，，，，所以，B對(duì)C.當(dāng)時(shí)，若，則有，解得，其中，所以C錯(cuò)D.據(jù)題意，得，令，，∵當(dāng)時(shí)，由勾形函數(shù)性質(zhì)知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴，∴時(shí)，值域?yàn)?∴①當(dāng)時(shí)，∵，取遍的每一個(gè)值，∴當(dāng)時(shí)，一定，使得，如圖1所示，

此時(shí)，∴符合題設(shè)要求.②當(dāng)時(shí)，可知，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，.時(shí)（ⅰ）若，則一定，使得，如圖2所示，

進(jìn)而；（ⅱ）若，其中，令，當(dāng)時(shí)，，∴，所以，使得，如圖3所示，

進(jìn)而，∴也符合題設(shè)要求，∴D錯(cuò).故選：AB12．【正確答案】2【詳解】由題意，向量的夾角的余弦值為，因?yàn)?，所以，解得或（舍去?故2.13．【正確答案】【詳解】，，，畫出在上的圖象，如下：顯然，故，，即，解得.故14．【正確答案】【詳解】①正四面體ABCD的外接球即為正方體的外接球，其半徑，設(shè)平面截球所得截面的圓心為，半徑為，當(dāng)時(shí)，則，∵，則，∴平面截球O所得截面的周長為.故②如圖2，將正四面體繞旋轉(zhuǎn)后得到正四面體，設(shè)，∵，則分別為各面的中心，∴兩個(gè)正四面體的公共部分為，為兩個(gè)全等的正四棱錐組合而成，根據(jù)正方體可得：，正四棱錐的高為，故公共部分的體積.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，即?由正弦定理可得，且，即，可得，且，則，可得，又因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，即，可得，又，所以，可知平分，則，因?yàn)?，即，整理可?6．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由，可得：時(shí)，，兩式相減可得：，所以，時(shí)，，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，的通項(xiàng)公式為（2），.，，兩式相減得：，所以，因?yàn)楹愠闪?，可得，記，法一：令，則，解得，則，即當(dāng)時(shí)，取到最大值2，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.法二：，時(shí)，，即，時(shí)，，即，則，即當(dāng)時(shí)，取到最大值2，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知，，所以，所以，又平面，∴，又∵平面，平面，∴.∵，∴，設(shè)到平面的距離，∴，又∵，∴，，所以.（2）設(shè)相交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，平面，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，因?yàn)闉槎ㄖ担援?dāng)最小時(shí)，三角形面積最小，因?yàn)樵诰€段上動(dòng)，所以當(dāng)時(shí)，最小，即三角形面積最小，此時(shí)，取中點(diǎn)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平?所以，所以在平面中，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋詾樵c(diǎn)，以，，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，，設(shè)平面的法向量則，

設(shè)，則，所以為平面的一個(gè)法向量.平面的法向量.設(shè)平面平面夾角，.18．【正確答案】(1)(2)(3)證明見解析.【詳解】（1）由，得函數(shù)的定義域?yàn)?，又；?dāng)時(shí)，f'x>0恒成立，所以在上單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，f'x>0，單調(diào)遞增；，f'x<0，此時(shí)滿足存在實(shí)數(shù)，使得；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為（2）由（1）知，令，則，令，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，沒有最大值，當(dāng)，即時(shí)，存在，使得①所以時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減.所以存在的最大值為②由①②消整理得令，關(guān)注到，且單調(diào)遞增，所以是方程唯一解.把代入①式中，求得.（3）由，得，故欲證，只需證：，即，令（），即證，即證，令，則，所以在單調(diào)遞增，而?1=0，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.19．【正確答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）由①可得都是中的元素.下面證明中除外沒有其他元素：假設(shè)中還有其他元素，分兩種情況：第一種情況，中最小的元素為1，顯然不是中的元素，不符合題意；第二種情況，中最小的元素為2，設(shè)中除外的元素為，因?yàn)槭侵械脑兀詾?或8，而4，8也是中的元素，所以中除外沒有其他元素.綜上，.（2）由①可得，都是中的元素.顯然，由（2）可得，是中的元素，即是中的元素.因?yàn)?，所以，解?（3）證明：設(shè).由①可得，都是中的元素.顯然，由②可得，是中的元素，即是中的元素.同理可得，是中的元素.若，則，所以不可能是中的元素，不符合題意.若，則，所以，即.又因?yàn)?，所以，即，所以，此時(shí).假設(shè)中還有其他元素，且該元素為，若，由（2）可得，而，與