2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之銳角三角函數(shù)（2024年9月）

第1頁（共1頁）2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之銳角三角函數(shù)（2024年9月）一．選擇題（共10小題）1．（2024?呼蘭區(qū)校級開學(xué)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則sin∠B的值為（）A．74 B．45 C．34 2．（2024?南崗區(qū)校級開學(xué)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，現(xiàn)把這個三角形的三邊都擴大為原來的3倍，則∠A的正弦值（）A．?dāng)U大為原來的3倍 B．縮小為原來的3倍 C．不變 D．不能確定3．（2024?南崗區(qū)校級開學(xué)）已知：在銳角△ABC中，tan∠A=3A．90° B．60° C．45° D．30°4．（2023秋?岳陽縣期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三邊都放大2倍，則sinA的值（）A．縮小2倍 B．放大2倍 C．不變 D．無法確定5．（2024?武岡市校級模擬）如圖，滑雪場有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC長為200米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長為（）米．A．200cos20° B．200sin20° C．200cos20° D．6．（2023秋?貴池區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，則BC的長是（）A．62 B．219 C．213 D．97．（2024?商丘模擬）在△ABC中，若|sinA-12A．120° B．105° C．75° D．45°8．（2024春?通河縣期末）邊長為a的等邊三角形的面積為（）A．52a2 B．32a2 C．34a2 D．9．（2024春?越秀區(qū)期末）如圖，小島A在港口B北偏東30°方向上，“遠航號”從港口B出發(fā)由西向東航行15nmile到達C點，在C點測得小島A恰好在正北方向上，此時“遠航號”與小島A的距離為（）nmile．A．53 B．153 C．30 D．30310．（2023秋?榆社縣期末）如圖為某公園中的滑梯，AB為臺階，CD為滑道，立柱BE，CF垂直于地面AD，AB與地面AD的夾角為α，CD與地面AD的夾角為β．若AE＝2米，則滑道CD的長度為（）A．2tanαsinβ米 B．2tanβtanαC．2tanαcosβ米 D．2tanβ二．填空題（共5小題）11．（2024春?源匯區(qū)校級期中）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，“遠航”號、“海天”號輪船同時從港口P出發(fā)，“遠航”號以每小時24nmile的速度沿北偏東35°方向航行，“海天”號以每小時10nmile的速度沿北偏西55°方向航行，一小時后，“遠航”號、“海天”號分別位于Q，R處，則此時“遠航”號與“海天”號的距離RQ為nmile．12．（2024春?仁懷市期末）已知學(xué)校在小米家北偏西40°，3千米處，記著（北偏西40°，3千米），那么小米家在學(xué)校的位置用有序數(shù)對表示為．13．（2024?官渡區(qū)開學(xué)）如圖，一輪船從港口O出發(fā)以32海里/時的速度向北偏西50°方向航行，另一輪船同時從港口O出發(fā)以24海里/時的速度向南偏西40°方向航行，航行1小時后，兩船相距海里．14．（2024?浦東新區(qū)校級開學(xué)）某人在高為15米的建筑物頂部測得地面一觀察點的俯角為60°，那么這個觀察點到建筑物的距離為．15．（2023秋?大洼區(qū)校級期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，則cosB的值為．三．解答題（共5小題）16．（2024春?康巴什期中）如圖，長方形ABEF區(qū)域是一所學(xué)校，現(xiàn)打算沿直線MN規(guī)劃一條高鐵路線CD，已知DA⊥AC，∠ACD＝30°，若距離高鐵軌道200米以內(nèi)時，噪聲會影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)，以下是學(xué)校校長與施工人員的對話：校長：您好，當(dāng)前規(guī)劃的高鐵軌道離學(xué)校這么近，以后噪聲會不會影響學(xué)生？施工人員：不會的，學(xué)校A處離高鐵軌道最近，AD長達220米，是達到設(shè)計要求的，您放心吧?。?）請你通過計算，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說說施工人員說的是否合理；（2）若建設(shè)高鐵軌道后，一列長度為228米的高鐵以70米/秒的速度通過時，學(xué)生是否會受到噪聲影響？若受影響，求學(xué)生受到噪聲影響的時間；若不受影響，請說明理由（結(jié)果保留整數(shù)，提示：2≈1.4，3≈1.7，17．（2024?渝北區(qū)自主招生）如圖為某景區(qū)平面示意圖，C為景區(qū)大門，A，B，D分別為三個風(fēng)景點．經(jīng)測量，A，B，C在同一直線上，且A，B在C的正北方向，AB＝240米，點D在點B的南偏東75°方向，在點A的東南方向．（參考數(shù)據(jù)：2（1）求B，D兩地的距離；（結(jié)果精確到0.1米）（2）大門C在風(fēng)景點D的南偏西60°方向，景區(qū)管理部門決定重新翻修CD之間的步道，翻修費用為每米200元，請計算此次翻修工程的總費用．18．（2024?南崗區(qū)校級開學(xué)）一艘海輪位于燈塔P的北偏東60°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的東南方向上的B處．（1）求∠APB的度數(shù)；（2）求海輪所在的B處與燈塔P的距離（結(jié)果保留根號）．19．（2024?合肥二模）某社團在課余時間用無人機為學(xué)校航拍宣傳片，如圖所示的∠ABC為無人機某次空中飛行軌跡，D為BC延長線上一點，點A，B，C，D在同一平面內(nèi)，∠B＝30°，∠ACD＝78.3°．若AC＝80米，求AB的長．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin78.3°≈0.98，sin48.3°≈0.75，cos48.3°≈0.67，3≈1.7320．（2024?陽泉模擬）電腦是現(xiàn)在工作中的必備工具，與電腦相關(guān)的一些衍生產(chǎn)品也應(yīng)運而生．某公司生產(chǎn)了一種可以在床上使用的電腦桌，下面圖①至圖④是該公司對這種電腦桌的介紹，圖⑤是這種電腦桌調(diào)到五擋時的側(cè)面示意圖，通過圖片信息介紹，小明得到電腦桌面可以調(diào)節(jié)的角度范圍為0°～36°，桌面寬32cm，調(diào)節(jié)至0擋時，桌面距床面25cm，連接桿DE與桌面的連接處點D到桌面點A的距離為25cm，當(dāng)調(diào)節(jié)到五擋時連接桿DE與水平面EB的夾角為80°，那么連接桿DE的長度為多少？（結(jié)果精確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之銳角三角函數(shù)（2024年9月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?呼蘭區(qū)校級開學(xué)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則sin∠B的值為（）A．74 B．45 C．34 【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】B【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)sin∠【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2，∴AC=A∴sin∠故選：B．【點評】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握勾股定理，正弦定義是解題的關(guān)鍵．2．（2024?南崗區(qū)校級開學(xué)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，現(xiàn)把這個三角形的三邊都擴大為原來的3倍，則∠A的正弦值（）A．?dāng)U大為原來的3倍 B．縮小為原來的3倍 C．不變 D．不能確定【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】實數(shù)；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，將各邊長度都擴大為原來的3倍，其比值不變，∴∠A的正弦值不變．故選：C．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2024?南崗區(qū)校級開學(xué)）已知：在銳角△ABC中，tan∠A=3A．90° B．60° C．45° D．30°【考點】特殊角的三角函數(shù)值．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】D【分析】據(jù)特殊角的正切函數(shù)值解答即可．【解答】解：∵tan30°∴∠A＝30°，故選：D．【點評】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋?岳陽縣期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三邊都放大2倍，則sinA的值（）A．縮小2倍 B．放大2倍 C．不變 D．無法確定【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)三邊成比例的兩個三角形相似可得把△ABC的三邊都放大2倍后，所得的三角形與△ABC是相似三角形，從而可得∠A的大小不變，即可解答．【解答】解：∵把△ABC的三邊都放大2倍后，所得的三角形與△ABC是相似三角形，∴∠A的大小不變，∴sinA的值不變，故選：C．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2024?武岡市校級模擬）如圖，滑雪場有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC長為200米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長為（）米．A．200cos20° B．200sin20° C．200cos20° D．【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】D【分析】根據(jù)正弦的定義進行解答即可．【解答】解：∵sin∠∴AB＝AC?sin∠C＝200sin20°，故選：D．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋?貴池區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，則BC的長是（）A．62 B．219 C．213 D．9【考點】解直角三角形；勾股定理．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】B【分析】作CD⊥AB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AD，根據(jù)勾股定理求出CD，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【解答】解：過點C作CD⊥AB，交BA的延長線于點D，∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD=12AC＝∴BD＝AB+AD＝7，由勾股定理得，CD=AC2在Rt△BCD中，BC=BD2故選：B．【點評】本題考查的是解直角三角形，掌握含30°的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．（2024?商丘模擬）在△ABC中，若|sinA-12A．120° B．105° C．75° D．45°【考點】特殊角的三角函數(shù)值；非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】A【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)系式，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A＝30°，∠B＝30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解答】解：∵|sinA-∴sinA-12∴sinA=12，∴∠A＝30°，∠B＝30°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°．故選：A．【點評】本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用、特殊角的三角函數(shù)值的計算和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．8．（2024春?通河縣期末）邊長為a的等邊三角形的面積為（）A．52a2 B．32a2 C．34a2 D．【考點】解直角三角形；三角形的面積．【專題】計算題．【答案】C【分析】作出等邊三角形一邊上的高，利用60°的正弦值可得三角形一邊上的高，乘以邊長除以2即為等邊三角形的面積．【解答】解：如圖作AD⊥BC于點D．∴AD＝AB×sin∠B=32∴邊長為a的等邊三角形的面積為12×a×32a=3【點評】考查三角形的面積的求法；利用60°的正弦值得到等邊三角形一邊上的高是解決本題的突破點．9．（2024春?越秀區(qū)期末）如圖，小島A在港口B北偏東30°方向上，“遠航號”從港口B出發(fā)由西向東航行15nmile到達C點，在C點測得小島A恰好在正北方向上，此時“遠航號”與小島A的距離為（）nmile．A．53 B．153 C．30 D．303【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題；勾股定理的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】B【分析】連接AC，根據(jù)題意可得：AC⊥CB，然后在Rt△ACB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，即可解答．【解答】解：連接AC，由題意得：AC⊥CB，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝15海里，∴AC＝BC?tan60°＝153（海里），∴此時漁船與小島A的距離為153海里，故選：B．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋?榆社縣期末）如圖為某公園中的滑梯，AB為臺階，CD為滑道，立柱BE，CF垂直于地面AD，AB與地面AD的夾角為α，CD與地面AD的夾角為β．若AE＝2米，則滑道CD的長度為（）A．2tanαsinβ米 B．2tanβtanαC．2tanαcosβ米 D．2tanβ【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】A【分析】過點G作GH⊥AD于點H，根據(jù)正切定點園求出BE，再根據(jù)正弦的定義求出CD．【解答】解：如圖，過點G作GH⊥AD于點H，則GH＝CF＝BE，在Rt△AEB中，∠BAE＝α，AE＝2米，∵tan∠BAE=BE∴BE＝AE?tan∠BAE＝2tanα（米），在Rt△GDH中，sinβ=GH則CD=GH故選：A．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．（2024春?源匯區(qū)校級期中）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，“遠航”號、“海天”號輪船同時從港口P出發(fā)，“遠航”號以每小時24nmile的速度沿北偏東35°方向航行，“海天”號以每小時10nmile的速度沿北偏西55°方向航行，一小時后，“遠航”號、“海天”號分別位于Q，R處，則此時“遠航”號與“海天”號的距離RQ為26nmile．【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．【專題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識．【答案】26．【分析】根據(jù)題意，可得∠RPQ＝55°+35°＝90°，利用路程＝速度×?xí)r間，分別算出PQ，PR的長度，在直角△PRQ中，利用勾股定理計算出RQ．【解答】解：由題意可得，∠RPQ＝55°+35°＝90°，PQ＝24×1＝24（nmile），PR＝10×1＝10（nmile），∴RQ=PQ2+P故答案為：26．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，解答本題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理解決問題．12．（2024春?仁懷市期末）已知學(xué)校在小米家北偏西40°，3千米處，記著（北偏西40°，3千米），那么小米家在學(xué)校的位置用有序數(shù)對表示為（南偏東40°，3千米）．【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】（南偏東40°，3千米）．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，即可得出答案．【解答】解：如圖：，小米家在學(xué)校的位置用有序數(shù)對表示為（南偏東40°，3千米），故答案為：（南偏東40°，3千米）．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．13．（2024?官渡區(qū)開學(xué)）如圖，一輪船從港口O出發(fā)以32海里/時的速度向北偏西50°方向航行，另一輪船同時從港口O出發(fā)以24海里/時的速度向南偏西40°方向航行，航行1小時后，兩船相距40海里．【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題；勾股定理的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】40．【分析】根據(jù)題意可知兩艘輪船行駛的方向形成的夾角為90°，然后根據(jù)勾股定理，即可求得航行1小時后，兩船相距多少海里．【解答】解：由題意可得，兩艘輪船行駛的方向形成的夾角為90°，∴航行1小時后，兩船相距322故答案為：40．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題、勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)兩艘輪船行駛的方向形成的夾角為90°．14．（2024?浦東新區(qū)校級開學(xué)）某人在高為15米的建筑物頂部測得地面一觀察點的俯角為60°，那么這個觀察點到建筑物的距離為53米【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】53【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，然后根據(jù)俯角的定義可得∠DAC＝60°，然后可得出∠ACB的度數(shù)，進而根據(jù)∠ACB的正切值可得出BC的長度，即得出了這個觀察點到建筑物的距離．【解答】解：如圖，由題意得：∠DAC＝60°，AB＝15米，∴∠ACB＝∠DAC＝60°，∴tan∠∴CB=15故答案為：53【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形的知識及俯角的定義．15．（2023秋?大洼區(qū)校級期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，則cosB的值為45【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】45【分析】先根據(jù)勾股定理求出BC的長，然后再利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可．【解答】解：如圖所示：∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC=A∴cosB=BC故答案為：45【點評】本題考查了解直角三角形，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦、余弦、正切是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2024春?康巴什期中）如圖，長方形ABEF區(qū)域是一所學(xué)校，現(xiàn)打算沿直線MN規(guī)劃一條高鐵路線CD，已知DA⊥AC，∠ACD＝30°，若距離高鐵軌道200米以內(nèi)時，噪聲會影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)，以下是學(xué)校校長與施工人員的對話：校長：您好，當(dāng)前規(guī)劃的高鐵軌道離學(xué)校這么近，以后噪聲會不會影響學(xué)生？施工人員：不會的，學(xué)校A處離高鐵軌道最近，AD長達220米，是達到設(shè)計要求的，您放心吧?。?）請你通過計算，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說說施工人員說的是否合理；（2）若建設(shè)高鐵軌道后，一列長度為228米的高鐵以70米/秒的速度通過時，學(xué)生是否會受到噪聲影響？若受影響，求學(xué)生受到噪聲影響的時間；若不受影響，請說明理由（結(jié)果保留整數(shù)，提示：2≈1.4，3≈1.7，【考點】解直角三角形的應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）不合理，見解析；（2）5秒．【分析】（1）過點A作AG⊥MN，垂足為G，根據(jù)勾股定理求出AC的長，再利用等面積法即可求出AG的長；（2）在MN上找到點P、Q，連接AP，AQ，使得AP＝AQ＝200米，根據(jù)勾股定理求得GP，再利用時間＝路程÷速度，即可求解．【解答】解：（1）如圖1，過點A作AG⊥MN，垂足為G，∵∠ACD＝30°，DA⊥AC，AD＝220米，∴CD＝440米，∴AC=C∴S△AMD即12解得AG=1103∵187＜200，∴學(xué)生會收到噪聲影響，施工人員的說法不合理；（2）學(xué)生會受到影響；理由如下：如圖2，在MN上找到點P、Q，連接AP，AQ，使得AP＝AQ＝200米，∴GP=GQ=20∴PQ=2GP=2037又∵高鐵速度為70米/秒，∴122+22870故學(xué)生會受到影響，受到噪聲影響的時間為5秒．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一模型，畫出精準(zhǔn)的示意圖，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．17．（2024?渝北區(qū)自主招生）如圖為某景區(qū)平面示意圖，C為景區(qū)大門，A，B，D分別為三個風(fēng)景點．經(jīng)測量，A，B，C在同一直線上，且A，B在C的正北方向，AB＝240米，點D在點B的南偏東75°方向，在點A的東南方向．（參考數(shù)據(jù)：2（1）求B，D兩地的距離；（結(jié)果精確到0.1米）（2）大門C在風(fēng)景點D的南偏西60°方向，景區(qū)管理部門決定重新翻修CD之間的步道，翻修費用為每米200元，請計算此次翻修工程的總費用．【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】（1）B、D兩地的距離約為339.4米；（2）翻新總費用為75712元．【分析】（1）過點B作BP⊥AD于點P，在Rt△ABP中，解直角三角形求出BP，根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)即可求出BD；（2）過點B作BM⊥CD于點M，在Rt△BDN和Rt△BCM中，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出BD，BM，DM，CM，繼而求出DC，即可得到結(jié)論【解答】解：（1）過點B作BP⊥AD于點P，由題意知∠BAD＝45°，∠CBD＝75°，∴∠ADB＝30°，∠ABP＝45°＝∠A，∴BD＝2BP，AP＝BP，在Rt△ABP中，AB＝240米，∴AP=BP=AB∴BD=2BP=2402答：B、D兩地的距離約為339.4米；（2）過點B作BM⊥CD于點M，由（1）得BD=2BP=2402∵∠CDB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∠CBD＝75°，∠DCB＝60°，∴∠DBM＝45°＝∠CDB，∴BM＝DM，在Rt△BDM中，BD=2402∴BM=DM=BD?在Rt△BCM中，∠CBM＝75°﹣45°＝30°，∴CM=BM?∴DC=DM+CM=240+803費用為(240+803答：翻新總費用為75712元．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．18．（2024?南崗區(qū)校級開學(xué)）一艘海輪位于燈塔P的北偏東60°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的東南方向上的B處．（1）求∠APB的度數(shù)；（2）求海輪所在的B處與燈塔P的距離（結(jié)果保留根號）．【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）75°；（2）海輪所在的B處與燈塔P的距離406【分析】（1）根據(jù)題意可得∠APE＝60°，∠BPF＝45°，AP＝80海里，根據(jù)含30°，45°角的直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)題意可得AG=12AP【解答】解：（1）如圖所示，根據(jù)題意，∠APE＝60°，AP＝80海里，∠BPF＝45°，∴∠APG＝90﹣∠APE＝90°﹣60°＝30°，∠BPG＝45°，∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝30°+45°＝75°；（2）由題意可知，AG⊥PG，且∠APG＝30°，AP＝80海里，∴AG=12AB=40∵∠BPG＝45°，∴△BPG是等腰直角三角形，∴BG=PG=403∴BP=2∴海輪所在的B處與燈塔P的距離406【點評】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，解答本題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理解決問題．19．（2024?合肥二模）某社團在課余時間用無人機為學(xué)校航拍宣傳片，如圖所示的∠ABC為無人機某次空中飛行軌跡，D為BC延長線上一點，點A，B，C，D在同一平面內(nèi)，∠B＝30°，∠ACD＝78.3°．若AC＝80米，求AB的長．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin78.3°≈0.98，sin48.3°≈0.75，cos48.3°≈0.67，3≈1.73【考點】解直角三角形的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】過點C作CE⊥AB于點E，易求得∠A＝48.3°，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【解答】解：過點C作CE⊥AB于點E，∵∠ACD＝∠A+∠B，∴∠A＝48.3°，∵sin∠A=CEAC，cos∠A∴CE＝AC?sin48.3°≈60（米），AE≈AC?cos48.3°≈53.6（米），∵∠B＝30°，∴BE=3CE≈103.8∴AB＝AE+BE≈157（米）．答：AB的長約為157米．【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于中等題型．20．（2024?陽泉模擬）電腦是現(xiàn)在工作中的必備工具，與電腦相關(guān)的一些衍生產(chǎn)品也應(yīng)運而生．某公司生產(chǎn)了一種可以在床上使用的電腦桌，下面圖①至圖④是該公司對這種電腦桌的介紹，圖⑤是這種電腦桌調(diào)到五擋時的側(cè)面示意圖，通過圖片信息介紹，小明得到電腦桌面可以調(diào)節(jié)的角度范圍為0°～36°，桌面寬32cm，調(diào)節(jié)至0擋時，桌面距床面25cm，連接桿DE與桌面的連接處點D到桌面點A的距離為25cm，當(dāng)調(diào)節(jié)到五擋時連接桿DE與水平面EB的夾角為80°，那么連接桿DE的長度為多少？（結(jié)果精確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】15.1cm．【分析】過點D作DH⊥AB于H，根據(jù)正弦的定義求出DH，再根據(jù)正弦的定義求出DE．【解答】解：過點D作DH⊥AB于H，在Rt△DHA中，∠A＝36°，AD＝25cm，∵sinA=DH∴DH＝AD?sinA≈25×0.59＝14.75（cm），在Rt△DEH中，∠DEH＝80°，∵sin∠DEH=DH∴DE=DHsin∠DEH≈14.75答：連接桿DE的長度約為15.1cm．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值在實數(shù)范圍內(nèi)，任意一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的絕對值相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．2．非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方偶次方具有非負性．任意一個數(shù)的偶次方都是非負數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．3．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．5．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．6