2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之立體幾何初步（2024年9月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之立體幾何初步（2024年9月）一．選擇題（共8小題）1．（2024?河南模擬）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，若B1C∩BC1＝O，P，Q分別為AC，DD1的中點(diǎn)，則直線PQ與AO所成角的大小為（）A．π6 B．π4 C．π3 2．（2024?河南模擬）在半徑為R的球內(nèi)作內(nèi)接于球的圓柱，則圓柱體積取得最大值時，圓柱的高為（）A．R B．233R C．3R3．（2024秋?靖遠(yuǎn)縣月考）如圖，裝有水的正方體無蓋容器放在水平桌面上，此時水面為EFGH，已知A1E=1A．25 B．855 C．654．（2024?郫都區(qū)校級模擬）如圖，ΔO'A'B'是水平放置的△OAB用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與x′軸和y軸平行），O'B'＝2O'D'＝6，O'C'＝8，則△OAB的面積為（）A．82 B．122 C．24 D5．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）設(shè)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A．若m?α，n?β，m⊥n，則α⊥β B．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，則m∥n C．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β D．若m⊥n，m⊥α，則n∥α6．（2024?王益區(qū)校級模擬）某圓臺的下底面周長是上底面周長的4倍，母線長為10，該圓臺的側(cè)面積為100π，則該圓臺的體積為（）A．184π B．208π C．224π D．248π7．（2024?邵東市校級模擬）我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一個原理“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的一個半圓，則該幾何體的體積為（）A．3π B．3π2 C．3π8．（2024秋?大慶月考）已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，母線長為43A．263π9 B．263π3 C二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024?南昌開學(xué)）PO是正四棱錐P﹣ABCD的高，E是線段PO上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過點(diǎn)E任作一個平面α，平面α與該四棱錐表面交線所圍成的封閉圖形記為Ω，下列4個命題中，正確的是（）A．Ω可以是三、四、五邊形 B．當(dāng)PA∥平面α?xí)r，存在一點(diǎn)E，使得Ω是正五邊形 C．當(dāng)PA與平面α相交時，平面α與平面PAD和平面PAB的交線分別為m，n，則m，n，PA三條直線相交于一點(diǎn) D．“PA∥平面α”是“平面PAC⊥平面α”的充分不必要條件（多選）10．（2024?福州開學(xué)）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，下列四個結(jié)論中正確的是（）A．BC1∥平面ACD1 B．直線BC1與直線AD1為異面直線 C．直線BC1與直線AD1所成的角為90° D．B1D⊥平面ACD1（多選）11．（2024?福建開學(xué)）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、M、N均為所在棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動，則下列結(jié)論中正確的為（）A．P在BC中點(diǎn)時，平面PEF⊥平面GMN B．異面直線EF、GN所成角的余弦值為14C．E、F、G、M、N在同一個球面上 D．A1P→=t（多選）12．（2023秋?深圳校級月考）如圖，在四面體P﹣ABC中，AB=BC=22，BA⊥BC，PA＝PB＝PC＝4，O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是棱BCA．PO⊥平面ABC B．PM=14C．四面體P﹣ABC的體積為83D．異面直線PM與AB所成角的余弦值為7三．填空題（共4小題）13．（2024?松江區(qū)校級開學(xué)）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，P為棱CC1的中點(diǎn)，△BPD1以BD1為軸旋轉(zhuǎn)一周，則得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積是．14．（2024?福州開學(xué)）圓錐的高為2，其側(cè)面展開圖的圓心角為2π3，則該圓錐的體積為15．（2024?湖南開學(xué)）如圖已知點(diǎn)A，B在圓錐SO的底面圓周上，S為圓錐頂點(diǎn)，O為圓錐的底面中心，且圓錐SO的底面積為4π，∠ASB＝30°，若AB與截面SAO所成角為60°，則圓錐SO的側(cè)面積為．16．（2023秋?寶山區(qū)校級期末）已知一個圓錐的底面半徑為3，其側(cè)面積為15π，則該圓錐的體積為．四．解答題（共4小題）17．（2024?解放區(qū)校級開學(xué)）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是底面A1B1C1D1和側(cè)面B1C1CB的中心．（1）求證：AC1⊥平面A1BD．（2）求證：平面B1EF∥平面A1BD．18．（2024秋?濮陽月考）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形，且AP＝CP，BP＝DP．（1）僅用無刻度直尺作出四棱錐P﹣ABCD的高PH，寫出作圖過程并證明；（2）若平面PAB⊥平面PCD，平面PAD⊥平面PBC，證明：四邊形ABCD是菱形．19．（2024春?宛城區(qū)校級月考）在如圖所示的四棱錐P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2，E為PD的中點(diǎn)．（1）求證：CE∥平面PAB（2）求證：平面PAC⊥平面PDC20．（2024春?南通期末）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是棱BC，AP的中點(diǎn)．（1）證明：PC⊥BD；（2）證明：EF∥平面PCD．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之立體幾何初步（2024年9月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2024?河南模擬）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，若B1C∩BC1＝O，P，Q分別為AC，DD1的中點(diǎn)，則直線PQ與AO所成角的大小為（）A．π6 B．π4 C．π3 【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】利用PQ∥BD1，將直線PQ與AO所成角轉(zhuǎn)化成相交直線BD1與AO所成的角，通過計(jì)算證明∠BAO＝∠AD1B，推理得到AO⊥BD1即得．【解答】解：如圖，連接BD1，AD1，由已知得，PQ∥BD1，則直線PQ與AO所成的角即為直線BD1與AO所成的角，由AB∥A1B1∥D1C1，AB＝A1B1＝D1C1，可得四邊形ABC1D1為平行四邊形，則BD1與AO相交，在Rt△ABO和Rt△D1AB中，tan∠BAO=BO所以tan∠BAO＝tan∠AD1B，所以∠BAO＝∠AD1B，所以∠BAO+所以AO⊥BD1，即直線PQ與AO所成角的大小為π2故選：D．【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題．2．（2024?河南模擬）在半徑為R的球內(nèi)作內(nèi)接于球的圓柱，則圓柱體積取得最大值時，圓柱的高為（）A．R B．233R C．3R【考點(diǎn)】圓柱的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】設(shè)出球的內(nèi)接圓柱的高，再表示出圓柱底面圓半徑，列出圓柱體積的函數(shù)關(guān)系，借助導(dǎo)數(shù)求解作答．【解答】解：設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h，底面半徑為r，則r2+h則圓柱體積π(R令V'=π(R當(dāng)h∈(0，233R)時，V′（h）＞當(dāng)h∈(233R，2R)時，V′（h故當(dāng)h=23故選：B．【點(diǎn)評】本題考查內(nèi)接圓柱的體積，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．3．（2024秋?靖遠(yuǎn)縣月考）如圖，裝有水的正方體無蓋容器放在水平桌面上，此時水面為EFGH，已知A1E=1A．25 B．855 C．65【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】由正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合棱柱的體積公式及未盛水的部分體積不變列方程，求解可得答案．【解答】解：如圖，平面A1ADD1與水面的夾角為∠A1MB1，則平面B1BCC1與水平桌面的夾角為∠A1MB1．由題意可得三棱柱A1B1M﹣D1C1N的體積為4×4×1＝16，所以12A1M?A1B所以sin∠水面距離桌面的高度為BB故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征與棱柱的體積計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．4．（2024?郫都區(qū)校級模擬）如圖，ΔO'A'B'是水平放置的△OAB用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與x′軸和y軸平行），O'B'＝2O'D'＝6，O'C'＝8，則△OAB的面積為（）A．82 B．122 C．24 D【考點(diǎn)】斜二測法畫直觀圖；平面圖形的直觀圖．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】把直觀圖還原為原平面圖形，求解即可．【解答】解：把直觀圖還原為原平面圖形，如圖所示：△ABC中，OB＝O′B'＝6，OC＝2O'C'＝16，所以△OAB的面積為S=12×6×16故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了平面直觀圖的畫法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．5．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）設(shè)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A．若m?α，n?β，m⊥n，則α⊥β B．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，則m∥n C．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β D．若m⊥n，m⊥α，則n∥α【考點(diǎn)】平面與平面平行；平面與平面垂直；直線與平面平行．【專題】對應(yīng)思想；分析法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理．【答案】B【分析】根據(jù)空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，逐一判斷即可．【解答】解：對于A：由m?α，n?β，m⊥n，可得α、β可能平行或相交，故A錯誤；對于B：由m∥α，m∥β，α∩β＝n，則由線面平行的性質(zhì)定理得m∥n，故B正確；對于C：由m?α，n?α，m∥β，n∥β，可得α、β可能平行或相交，故C錯誤；對于D：由m⊥n，m⊥α，可得n∥α或n?α，故D錯誤．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?王益區(qū)校級模擬）某圓臺的下底面周長是上底面周長的4倍，母線長為10，該圓臺的側(cè)面積為100π，則該圓臺的體積為（）A．184π B．208π C．224π D．248π【考點(diǎn)】圓臺的體積；圓臺的側(cè)面積和表面積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】設(shè)圓臺的上底面的半徑為r，下底面的半徑為R，則由題意可得R＝4r，再由圓臺的側(cè)面積列方程可求出r，從而可求出上下底面面積和圓臺的高，進(jìn)而可求出圓臺的體積．【解答】解：設(shè)圓臺的上底面的半徑為r，下底面的半徑為R，則2πR＝4×2πr，故R＝4r，因?yàn)樵搱A臺的側(cè)面積為100π，母線長l＝10，所以π（r+4r）×10＝100π，解得r＝2，則R＝8，所以圓臺上底面的面積為πr2＝4π，下底面的面積為πR2＝64π，圓臺的高h(yuǎn)所以該圓臺的體積V=1故選：C．【點(diǎn)評】本題考查圓臺的側(cè)面積，體積，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?邵東市校級模擬）我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一個原理“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的一個半圓，則該幾何體的體積為（）A．3π B．3π2 C．3π【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計(jì)算題；整體思想；演繹法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】由圓錐底面周長可求得圓錐的底面半徑r＝1，圓錐的高h(yuǎn)=【解答】解：圓錐底面周長為12所以圓錐的底面半徑r＝1，圓錐的高h(yuǎn)=所以圓錐的體積為V=1由祖暅原理，該幾何體的體積也為3π故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查祖暅原理及其應(yīng)用，幾何體體積的求解等知識，屬于中等題．8．（2024秋?大慶月考）已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，母線長為43A．263π9 B．263π3 C【考點(diǎn)】圓臺的體積．【專題】對應(yīng)思想；定義法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】利用勾股定理求出圓臺的高，再由臺體的體積公式計(jì)算可得．【解答】解：因?yàn)閳A臺的上、下底面半徑分別為1和3，母線長為43所以圓臺的高h(yuǎn)=所以圓臺的體積V=1故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了圓臺的結(jié)構(gòu)特征與體積計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024?南昌開學(xué)）PO是正四棱錐P﹣ABCD的高，E是線段PO上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過點(diǎn)E任作一個平面α，平面α與該四棱錐表面交線所圍成的封閉圖形記為Ω，下列4個命題中，正確的是（）A．Ω可以是三、四、五邊形 B．當(dāng)PA∥平面α?xí)r，存在一點(diǎn)E，使得Ω是正五邊形 C．當(dāng)PA與平面α相交時，平面α與平面PAD和平面PAB的交線分別為m，n，則m，n，PA三條直線相交于一點(diǎn) D．“PA∥平面α”是“平面PAC⊥平面α”的充分不必要條件【考點(diǎn)】直線與平面平行；平面與平面垂直．【專題】分類討論；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理．【答案】AC【分析】分類可得截面圖形，判斷出A的真假；當(dāng)PA∥平面α?xí)r，可得截面五邊形有一組邊平行，可判斷出B的真假；利用線共點(diǎn)的方法可證結(jié)論，判斷出C的真假；“PA∥平面α”得不出“平面PAC⊥平面α”，可判斷出D的真假．【解答】解：對于A：截面α過PO時的截面為三角形，截面α過E與平面ABCD平行時，則截面為四邊形，截面α不平行于底面ABCD且不過PO時可能為五邊形（如圖所示），故A正確；對于B：如圖所示，當(dāng)PA∥平面α?xí)r，截面五邊形為MNPQH，由PA∥截面α，根據(jù)線面平行的性質(zhì)易得PA∥MN，PA∥QH，則MN∥QH，又正五邊形不存在平行的邊，故不存在這樣的正五邊形，故B錯誤；對于C：設(shè)平面α與平面PAD的交線為QH，與PAB的交線為MN，當(dāng)PA與平面α相交時，可得MN與QH不平行，反證法：若MN∥QH，因?yàn)镼H?平面PAB，MN?平面PAB，所以QH∥平面PAB，QH?平面PAD，平面PAD∩平面PAB＝PA，所以PA∥QH，又因?yàn)镼H?α，PA?α，所以PA∥α，這與PA與平面α相交時矛盾，故假設(shè)不成立，故MN與QH不平行，所以MN與QH相交，設(shè)MN∩QH＝K，則K∈平面PAB，K∈平面PAD，又平面PAB∩平面PAD＝PA，所以K∈PA，所以PA，MN，QH交于一點(diǎn)，即m，n，PA三條直線相交于一點(diǎn)，故C正確；對于D：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BD⊥AC，又PO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PO⊥BD，因?yàn)镻O∩AC＝O，PO，AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC，由B可知當(dāng)PA∥平面α?xí)r，MN∥QH，而MNPA所以MH有可能不平行于BD，則MH不一定垂直于平面PAC，得不出平面PAC⊥平面α，從而“PA∥平面α”不是“平面PAC⊥平面α”的充分條件，故D錯誤．故選：AC．【點(diǎn)評】本題考查空間中線線，線面，面面的位置關(guān)系的判斷，根據(jù)直線PA與平面α的位置關(guān)系判斷截面圖形，屬于中檔題．（多選）10．（2024?福州開學(xué)）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，下列四個結(jié)論中正確的是（）A．BC1∥平面ACD1 B．直線BC1與直線AD1為異面直線 C．直線BC1與直線AD1所成的角為90° D．B1D⊥平面ACD1【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；直線與平面平行；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；解題方法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AD【分析】利用線面平行的判定即可判斷出A的真假；根據(jù)BC1∥AD1，即可判斷出BC的真假；建立合適的空間直角坐標(biāo)系，證明AC→?D【解答】解：對A，連接BC1，因?yàn)锳B∥C1D1，AB＝C1D1，所以四邊形ABC1D1為平行四邊形，所以BC1∥AD1，又因?yàn)锽C1?平面ACD1，AD1?平面ACD1，所以BC1∥平面ACD1，故A正確；對BC，由A知BC1∥AD1，則兩直線共面，則直線BC1與直線AD1不是異面直線，且直線BC1與直線AD1所成的角不是90°，故BC錯誤；對D，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），B1（1，1，1），則AC→則AC→則AC⊥DB1，AD1⊥DB1，又因?yàn)锳C∩AD1＝A，AC，AD1?平面ACD1，所以B1D⊥平面ACD1，所以D正確．故選：AD．【點(diǎn)評】本題考查線面的位置關(guān)系的判斷及異面直線所成的角的求法，屬于中檔題．（多選）11．（2024?福建開學(xué)）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、M、N均為所在棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動，則下列結(jié)論中正確的為（）A．P在BC中點(diǎn)時，平面PEF⊥平面GMN B．異面直線EF、GN所成角的余弦值為14C．E、F、G、M、N在同一個球面上 D．A1P→=t【考點(diǎn)】平面與平面垂直；異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理．【答案】ACD【分析】根據(jù)正方體圖像特征證明出PF⊥面GMN，結(jié)合面面垂直的判定定理，判斷出A的真假；根據(jù)異面直線所成的角判斷出B的真假；根據(jù)五點(diǎn)共圓，判斷出C的真假；分析可知P點(diǎn)軌跡是過點(diǎn)M與B1E平行的線段MP1，根據(jù)軌跡求出長度，判斷出D的真假．【解答】解：對于選項(xiàng)A：取AD的中點(diǎn)Q，連接PQ，F(xiàn)Q，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、M、N均為所在棱的中點(diǎn)，易知GM⊥PQ，因?yàn)镕Q∥DD1，所以FQ⊥平面ABCD，GM在面ABCD內(nèi)，所以GM⊥FQ，F(xiàn)Q?面PQF，PQ?面PQF，PQ∩FQ＝Q，所以GM⊥面PQF，PF?面PQF，所以GM⊥PF，連接BA1，ABB1A1是正方形，GN⊥A1B，因?yàn)镕A1⊥面ABB1A1，GN?面ABB1A1，所以GN⊥A1F，因?yàn)镕A1?面PFA1B，A1B?面PFA1B，F(xiàn)A1∩A1B＝A1，所以GN⊥面PFA1B，因?yàn)镻F?面PFA1B，所以GN⊥PF，綜上，GN?面GMN，GM?面GMN，又GN∩GM＝G，所以PF⊥面GMN，PF?面PEF，故平面PEF⊥平面GMN，所以A正確；對于選項(xiàng)B：取A1B1的中點(diǎn)T，連接ET，F(xiàn)T，則ET∥GN，所以∠TEF是異面直線EF、GN所成的角，又EF=FT=ET=2，則∠TEF=π對于選項(xiàng)C：記正方體的中心為點(diǎn)O，則|OE|=|OF|=|OG|=|OM|=|ON|=2所以E、F、G、M、N在以O(shè)為球心，以2為半徑的球面上，所以C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)锳1P→=tA1所以A1P→所以P點(diǎn)軌跡是過點(diǎn)M與B1E平行的線段MP1，且|CP所以|MP1|=故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查面面垂直的判斷定理的應(yīng)用，異面直線所成角的余弦值的求法，屬于中檔題．（多選）12．（2023秋?深圳校級月考）如圖，在四面體P﹣ABC中，AB=BC=22，BA⊥BC，PA＝PB＝PC＝4，O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是棱BCA．PO⊥平面ABC B．PM=14C．四面體P﹣ABC的體積為83D．異面直線PM與AB所成角的余弦值為7【考點(diǎn)】直線與平面垂直；棱錐的體積；異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ABD【分析】利用線面垂直定理即可判斷出A的真假；連接OM、OB并結(jié)合題中幾何條件可對B、C、D求解判斷它們的真假．【解答】解：對A：連結(jié)OB，如圖，在四面體P﹣ABC中，AB=BC=22，BA⊥BC，PA＝PB＝PC＝4，O為AC所以O(shè)P⊥AC，OB⊥AC，且OP=42-22所以O(shè)B2+OP2＝PB2，所以O(shè)B⊥OP，又因?yàn)镺B∩AC＝O，OB，AC?平面ABC，所以O(shè)P⊥平面ABC，故A正確；對B、C、D：連接OM，由A知，PO⊥平面ABC，OM?平面ABC，所以PO⊥OM，OM=AB所以PM=PO2四面體P﹣ABC的體積：V=13S因?yàn)锳B與OM平行，所以O(shè)M與PM所成的角就是PM與AB所成角，在直角三角形POM中，cos∠PMO=OM故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查線面位置關(guān)系的判斷及異面直線所成角的求法，三棱錐的體積的求法，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2024?松江區(qū)校級開學(xué)）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，P為棱CC1的中點(diǎn)，△BPD1以BD1為軸旋轉(zhuǎn)一周，則得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積是210π．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的表面積和側(cè)面積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】210π．【分析】先確定旋轉(zhuǎn)體是母線且同底的兩個圓錐構(gòu)成的幾何體，進(jìn)而可得．【解答】解：由題意知，△BPD1為等腰三角形，且BD所以△BPD1以BD1為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體是以BD1為中心軸，PD1和PB分別為母線且同底的兩個圓錐構(gòu)成的幾何體，可得圓錐的底面半徑為5-所以旋轉(zhuǎn)體的表面積S=2πrl=210故答案為：210【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．14．（2024?福州開學(xué)）圓錐的高為2，其側(cè)面展開圖的圓心角為2π3，則該圓錐的體積為π3【考點(diǎn)】棱錐的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】π3【分析】結(jié)合圓錐的幾何特征，分別求出h=2【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，則rl所以h=所以圓錐的體積為13故答案為：π3【點(diǎn)評】本題考查圓錐的體積的求解，屬基礎(chǔ)題．15．（2024?湖南開學(xué)）如圖已知點(diǎn)A，B在圓錐SO的底面圓周上，S為圓錐頂點(diǎn)，O為圓錐的底面中心，且圓錐SO的底面積為4π，∠ASB＝30°，若AB與截面SAO所成角為60°，則圓錐SO的側(cè)面積為2(6+【考點(diǎn)】圓錐的側(cè)面積和表面積．【專題】整體思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】2(6【分析】設(shè)圓錐SO的底面半徑為r，母線長為l，由底面面積為4π可求r，證明∠BAO為直線AB與截面SAO所成的角，解三角形求l，由此可求圓錐的側(cè)面積．【解答】解：設(shè)圓錐SO的底面半徑為r，母線長為l，因?yàn)閳A錐SO的底面積為4π，所以πr2＝4π，故r＝2，過點(diǎn)B作BD⊥AO，垂足為D，連接BO，由已知SO⊥平面ABO，BD?平面ABO，所以BD⊥SO，AO∩SO＝O，AO，SO?平面SAO，所以BD⊥平面SAO，所以AB在平面SAO上的射影為AD，所以∠BAO為直線AB與截面SAO所成的角，由已知∠BAO＝60°，又OA＝OB＝2，所以△OAB為等邊三角形，故AB＝2，因?yàn)椤螦SB＝30°，SA＝SB＝l，由余弦定理可得4＝l2+l2﹣2l?l?cos30°，所以l2所以l=6所以圓錐SO的側(cè)面積為πrl=π×故答案為：2(6【點(diǎn)評】本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面垂直的判定定理，屬于中檔題．16．（2023秋?寶山區(qū)校級期末）已知一個圓錐的底面半徑為3，其側(cè)面積為15π，則該圓錐的體積為12π．【考點(diǎn)】圓錐的體積．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；立體幾何；直觀想象．【答案】12π【分析】作出圓錐的截面圖，計(jì)算圓錐的高，代入體積公式可得結(jié)果．【解答】解：圓錐的軸截面如圖，由題意知AO＝3，則π×AO×SA＝15π，所以SA＝5，由勾股定理得SO＝4，所以V=1故答案為：12π．【點(diǎn)評】本題考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2024?解放區(qū)校級開學(xué)）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是底面A1B1C1D1和側(cè)面B1C1CB的中心．（1）求證：AC1⊥平面A1BD．（2）求證：平面B1EF∥平面A1BD．【考點(diǎn)】直線與平面垂直；平面與平面平行．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）由線面垂直的判定與性質(zhì)，分別證出BD⊥AC1、A1B⊥AC1，進(jìn)而可證出AC1⊥平面A1BD；（2）由線面平行的判定定理，證出BD∥平面B1CD1、A1D∥平面B1CD1，然后根據(jù)面面平行的判定定理證出平面B1EF∥平面A1BD．【解答】解：（1）根據(jù)題意，連接AC，因?yàn)镃C1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥CC1，在正方形ABCD中，BD⊥AC，結(jié)合AC、CC1是平面ACC1A1內(nèi)的相交直線，可得BD⊥平面ACC1A1，因?yàn)锳C1?平面ACC1A1，所以BD⊥AC1，同理可證A1B⊥AC1．因?yàn)锳1B∩BD＝B，A1B、BD?平面A1BD，所以AC1⊥平面A1BD；（2）根據(jù)題意，E、F分別是底面A1B1C1D1和側(cè)面B1C1CB的中心，所以E∈B1D1，F(xiàn)∈B1C，即平面B1EF就是平面B1CD1，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，所以BD∥B1D1，結(jié)合B1D1?平面B1CD1，BD?平面B1CD1，可得BD∥平面B1CD1，同理可證A1D∥平面B1CD1，因?yàn)锳1D∩BD＝D，A1D、BD?平面A1BD，所以平面B1CD1∥平面A1BD，即平面B1EF∥平面A1BD．【點(diǎn)評】本題主要考查正方體的結(jié)構(gòu)特征、線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行與面面平行的判定等知識，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024秋?濮陽月考）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形，且AP＝CP，BP＝DP．（1）僅用無刻度直尺作出四棱錐P﹣ABCD的高PH，寫出作圖過程并證明；（2）若平面PAB⊥平面PCD，平面PAD⊥平面PBC，證明：四邊形ABCD是菱形．【考點(diǎn)】平面與平面垂直．【專題】整體思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）連接AC，BD，兩條直線的交點(diǎn)為H，連接PH，證明過程見詳解；（2）證明過程見詳解．【分析】（1）連接AC，BD，設(shè)交于點(diǎn)H，連接PH，由AP＝CP，BP＝DP，可證得PH⊥AC，PH⊥BD，進(jìn)而可證得結(jié)論；（2）過點(diǎn)H作EF⊥AB交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)H作MN⊥BC交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N，連接PE、PF，PM、PN，由題意可證得AB＝BC，即證得平行四邊形ABCD為菱形．【解答】（1）解：連接AC，BD，設(shè)交于點(diǎn)H，連接PH，證明過程如下：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危驗(yàn)锳P＝CP，BP＝DP，所以PH⊥AC，PH⊥BD，AC∩BD＝H，所以PH⊥平面ABCD，所以PH為四棱錐的高，（2）證明：過點(diǎn)H作EF⊥AB交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)H作MN⊥BC交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N，連接PE、PF，PM、PN，因?yàn)镻H⊥平面ABCD，AB，BC?平面ABCD，所以PH⊥AB，PH⊥BC，因?yàn)镋F∩PH＝H，EF、PH?平面PEF，所以AB⊥平面PEF，又PE?平面PEF，所以AB⊥PE，因?yàn)锳B∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，所以AB∥平面PCD，設(shè)平面PAB∩平面PCD＝11，又AB?平面PAB，所以AB∥l1，所以PE⊥l1，又平面PAB⊥平面PCD，PE?平面PAB，所以PE⊥平面PCD，又PF?平面PCD，所以PE⊥PF，因?yàn)镸N∩PH＝H，MN、PH?平面PMN，所以BC⊥平面PMN，又PM?平面PMN，所以BC⊥PM，因?yàn)锽C∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝12，又BC?平面PBC，所以BC∥l2，所以PM⊥l2，又平面PAD⊥平面PBC，PM?平面PBC，所以PM⊥平面PAD，又PN?平面PAD，所以PM⊥PN，因?yàn)镠為平行四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)，所以HE＝HF，HM＝HN，所以PH=12EF=所以EF＝MN，又AB?EF＝BC?MN，所以AB＝BC，所以平行四邊形ABCD是菱形．【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的證法及菱形的證法，屬于中檔題．19．（2024春?宛城區(qū)校級月考）在如圖所示的四棱錐P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2，E為PD的中點(diǎn)．（1）求證：CE∥平面PAB（2）求證：平面PAC⊥平面PDC【考點(diǎn)】平面與平面垂直；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系可證明四邊形MECB是平行四邊形，即可根據(jù)線線平行求證，（2）根據(jù)勾股定理可證明DC⊥AC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得PA⊥DC，即可根據(jù)線面垂直的判定求解．【解答】證明：（1）取PA的中點(diǎn)M，連接BM，ME，由于M，E為中點(diǎn)，則ME∥AD，且ME=1因?yàn)锽C∥AD，且BC=1所以ME∥BC，且ME＝BC，所以四邊形MECB是平行四邊形，所以BM∥CE，又CE?平面PAB，BM?平面PAB，所以CE∥平面PAB；（2）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥DC，又AC2＝AB2+BC2＝2，CD2＝AB2+（AD﹣BC）2＝2，故AC2+CD2＝AD2，所以DC⊥AC，因?yàn)锳C∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，所以DC⊥平面PAC，又DC?平面PDC，所以平面PAC⊥平面PDC．【點(diǎn)評】本題考查線面平行的證法及面面垂直的證法，屬于中檔題．20．（2024春?南通期末）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是棱BC，AP的中點(diǎn)．（1）證明：PC⊥BD；（2）證明：EF∥平面PCD．【考點(diǎn)】直線與平面垂直；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理．【答案】（1）證明過程見詳解；（2）證明過程見詳解．【分析】（1）連接BD，AC交于O，由題意可知BD⊥AC，再由線面垂直可知PA⊥BD，進(jìn)而可證得BD⊥平面PAC，再證得結(jié)論；（2）取PD的中點(diǎn)M，連接CM，F(xiàn)M，易證得四邊形FMCE為平行四邊形，進(jìn)而可證得結(jié)論．【解答】證明：（1）連接BD，AC交于O，因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，可知AC⊥BD，又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD，因?yàn)镻A∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，而PC?平面PAC，所以PC⊥BD；（2）取PD的中點(diǎn)M，連接CM，F(xiàn)M，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱BC，AP的中點(diǎn)，所以FM∥AD，且FM=12而EC∥AD，且EC=12所以FM∥EC，且PM＝EC，所以四邊形FMCE為平行四邊形，所以EF∥CM，而EF?平面PCD，CM?平面PCD，所以EF∥平面PCD．【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用及線面垂直的判定定理的應(yīng)用，線面平行的證法，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識棱柱底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．高：棱中兩個底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱1根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點(diǎn)上三條棱的長的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．2．棱柱、棱錐、棱臺的體積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱＝sh，V錐=133．棱錐的體積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】棱錐的體積可以通過底面面積B和高度h計(jì)算，頂點(diǎn)到底面的垂直距離即為高度．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=1﹣底面面積計(jì)算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計(jì)算．【命題方向】﹣棱錐的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面面積和高度計(jì)算棱錐的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問題中應(yīng)用棱錐體積計(jì)算．4．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的表面積和側(cè)面積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．1．圓柱①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱OO′．②認(rèn)識圓柱③圓柱的特征及性質(zhì)圓柱1圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形．④圓柱的體積和表面積公式設(shè)圓柱底面的半徑為r，高為h：V圓柱2．圓錐①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐SO．②認(rèn)識圓錐③圓錐的特征及性質(zhì)圓錐1與圓錐底面平行的截面是圓，過圓錐的頂點(diǎn)的截面是等腰三角形，兩個腰都是母線．母線長l與底面半徑r和高h(yuǎn)的關(guān)系：l2＝h2+r2④圓錐的體積和表面積公式設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l：V圓錐3．圓臺①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺．圓臺用軸字母表示，如下圖圓臺可表示為圓臺OO′．②認(rèn)識圓臺③圓臺的特征及性質(zhì)圓臺1平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形．④圓臺的體積和表面積公式設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長為l：V圓臺5．圓錐的側(cè)面積和表面積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】圓錐的側(cè)面積和表面積依賴于底面圓的半徑r、母線長度l和底面圓的面積．【解題方法點(diǎn)撥】﹣側(cè)面積：計(jì)算公式為πrl．﹣表面積：包括底面圓的面積和側(cè)面的面積，計(jì)算公式為πr【命題方向】﹣圓錐的表面積計(jì)算：考查如何計(jì)算圓錐的側(cè)面積和表面積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問題中應(yīng)用圓錐的表面積計(jì)算．6．圓臺的側(cè)面積和表面積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】圓臺的側(cè)面積和表面積依賴于底面和頂面圓的半徑r1、r2以及母線l和兩個底面圓的面積．【解題方法點(diǎn)撥】﹣側(cè)面積：計(jì)算公式為π（r1+r2）l．﹣表面積：包括兩個底面圓的面積和側(cè)面的面積，計(jì)算公式為πr【命題方向】﹣圓臺的表面積計(jì)算：考查如何計(jì)算圓臺的側(cè)面積和表面積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問題中應(yīng)用圓臺的表面積計(jì)算．7．圓柱的體積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】圓柱的體積計(jì)算依賴于底面圓的半徑r和圓柱的高度h．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=πr﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問題中的圓柱尺寸進(jìn)行體積計(jì)算．【命題方向】﹣圓柱的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面圓的半徑和高度計(jì)算圓柱的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問題中應(yīng)用圓柱的體積計(jì)算．8．圓錐的體積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】圓錐的體積計(jì)算依賴于底面圓的半徑r和圓錐的高度h．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=1﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問題中的圓錐尺寸進(jìn)行體積計(jì)算．【命題方向】﹣圓錐的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面圓的半徑和高度計(jì)算圓錐的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問題中應(yīng)用圓錐的體積計(jì)算．9．圓臺的體積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】圓臺的體積計(jì)算依賴于底面圓的半徑r1、頂面圓的半徑r2和圓臺的高度h．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=1﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問題中的圓臺尺寸進(jìn)行體積計(jì)算．【命題方向】﹣圓臺的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面和頂面的半徑以及高度計(jì)算圓臺的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問題中應(yīng)用圓臺的體積計(jì)算．10．平面圖形的直觀圖【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．直觀圖：