2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之橢圓（2024年9月）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之橢圓（2024年9月）一．選擇題（共8小題）1．（2024?德州開(kāi)學(xué)）已知橢圓C：x2a2+y2=1(aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024秋?承德月考）已知橢圓T：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，T上一點(diǎn)A滿(mǎn)足|AFA．13 B．12 C．23 3．（2023秋?酒泉期末）某班級(jí)物理社團(tuán)同學(xué)在做光學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)處．根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面問(wèn)題：已知橢圓C的方程為x225+y212=1，其左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，直線l與橢圓C切于點(diǎn)P，且|PF1|＝6，過(guò)點(diǎn)P且與直線lA．153 B．54 C．32 4．（2023秋?越城區(qū)校級(jí)期末）已知F為橢圓E：x24+y23=1的右焦點(diǎn)，直線mx﹣y+m＝0A．4 B．23 C．8 D．5．（2024?陜西模擬）已知橢圓x210-t+y2A．55 B．255 C．126．（2024春?亳州期末）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是離心率為22的橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|A．15 B．25 C．25 7．（2024秋?安徽月考）已知橢圓C：x2λ+y24=1（λ＞0且λ≠4A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓x24+y2=1，作垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，作垂直于y軸的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，且|AB|＝|CDA．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線二．填空題（共8小題）9．（2024秋?大慶月考）已知F是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，直線y＝kx（k≠0）交橢圓10．（2024秋?江西月考）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|＝11．（2024秋?開(kāi)福區(qū)校級(jí)月考）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn)，延長(zhǎng)PF2交橢圓12．（2024?重慶模擬）已知點(diǎn)F為橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作一條傾斜角為13．（2024春?沙市區(qū)校級(jí)月考）P是橢圓C：x24+y2＝1上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（m，0），則m的取值范圍14．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）方程x23-m+y2m-1=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則x15．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓x216+y27=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2．若P為橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|?|PF2|＝14，則△F1PF16．（2023秋?北海期末）如圖，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F1的直線與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，|QF2|＝2|PF2|，cos三．解答題（共4小題）17．（2024?江西開(kāi)學(xué)）已知橢圓C：x2a2+y2b（1）求C的方程；（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在直線l：y＝kx+m（k≠0）上，若直線l與C相切，且FA⊥l，求|OA|的值．18．（2023秋?西固區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)（1）求橢圓C的方程；（2）若橢圓C與直線y＝x+m交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=122719．（2024秋?湖南月考）已知橢圓C：x2a2+y（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若A（﹣3，0），直線l：x＝ty+1（t＞0）交橢圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且△AEF的面積為14，求t的值．20．（2024?開(kāi)封模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b（1）求C的離心率；（2）射線AF1與C交于點(diǎn)B，且|AB|=83，求△ABF

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之橢圓（2024年9月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2024?德州開(kāi)學(xué)）已知橢圓C：x2a2+y2=1(aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】求橢圓的離心率；充分不必要條件的判斷．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；簡(jiǎn)易邏輯；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】本題利用橢圓的幾何性質(zhì)列出方程，求得a的值，再結(jié)合充分、必要條件的判定方法，即可得出結(jié)果．【解答】解：由橢圓C的方程x2①當(dāng)a＞1時(shí)，可得c=a2-1由e=223可得，1-1當(dāng)0＜a＜1時(shí)，可得c=1-a2由e=223可得，1②當(dāng)a＝3時(shí)，則橢圓C的方程為x29+此時(shí)橢圓C的離心率為e=c綜上得，a＝3是橢圓C的離心率為22故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)以及充分、必要條件的判定方法，屬于中檔題．2．（2024秋?承德月考）已知橢圓T：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，T上一點(diǎn)A滿(mǎn)足|AFA．13 B．12 C．23 【考點(diǎn)】求橢圓的離心率．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】利用已知條件，結(jié)合橢圓的定義，推出a，b的關(guān)系，然后求解離心率即可．【解答】解：橢圓T：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，T上一點(diǎn)A滿(mǎn)足可得|AF1|=4c2-4b2，所以4c2-4b2+2b＝2a，即c2﹣b2＝a2﹣所以e=c故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．3．（2023秋?酒泉期末）某班級(jí)物理社團(tuán)同學(xué)在做光學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)處．根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面問(wèn)題：已知橢圓C的方程為x225+y212=1，其左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，直線l與橢圓C切于點(diǎn)P，且|PF1|＝6，過(guò)點(diǎn)P且與直線lA．153 B．54 C．32 【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】由光反射的性質(zhì)易得PQ平分∠F1PF2，再由橢圓的定義及已知即可求比例．【解答】解：由題設(shè)可知a＝5，b=23，且∠QPF1＝∠QPF2即PQ平分∠F1PF2，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得|PF又|PF1|＝6，|PF1|+|PF2|＝2a＝10，所以|PF2|＝4，所以|F故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的定義，重點(diǎn)考查了內(nèi)角平分線定理，屬基礎(chǔ)題．4．（2023秋?越城區(qū)校級(jí)期末）已知F為橢圓E：x24+y23=1的右焦點(diǎn)，直線mx﹣y+m＝0A．4 B．23 C．8 D．【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】直線mx﹣y+m＝0恒過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，利用橢圓的定義求得△AFB的周長(zhǎng)．【解答】解：∵直線mx﹣y+m＝0恒過(guò)的定點(diǎn)F1（﹣1，0）為橢圓E的左焦點(diǎn)，由橢圓的定義知△AFB的周長(zhǎng)為|AF|+|AB|+|BF|＝|AF|+|AF1|+|BF1|+|BF|＝2a+2a＝4a＝8．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．5．（2024?陜西模擬）已知橢圓x210-t+y2A．55 B．255 C．12【考點(diǎn)】求橢圓的離心率．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】利用焦點(diǎn)在y軸上可求t的范圍，進(jìn)而由t﹣4﹣（10﹣t）＝4，可求t．【解答】解：由題得t﹣4＞10﹣t＞0，可得7＜t＜10，因?yàn)榻咕酁?，所以t﹣4﹣（10﹣t）＝4，解得t＝9，所以橢圓的離心率為ca故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．6．（2024春?亳州期末）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是離心率為22的橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|A．15 B．25 C．25 【考點(diǎn)】橢圓的焦點(diǎn)三角形．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】設(shè)|BF1|＝t（t＞0），由題意及橢圓的定義，可得|AF2|，|AF1|，|BF1|的值，在△AF1F2和△ABF2中，由余弦定理可得a，t的關(guān)系，進(jìn)而可得△AF2B為直角三角形，再求出cos∠AF2B的值即可．【解答】解：因?yàn)閑=ca=設(shè)|BF1|＝t（t＞0），則|AF1|＝3t，|AB|＝|AF1|+|BF1|＝4t，由橢圓的定義得|AF2|＝2a﹣3t，|BF2|＝2a﹣t，在△AF1F2中，由余弦定理得cosA=(3t)在△ABF2中，由余弦定理得cosA=(4t)所以9t整理得3at＝a2，即a＝3t，所以|AF2|＝3t＝|AF1|，|BF2|＝5t，又|AB|＝4t，所以|AF2|2+|AB|2＝|BF2|2，即A＝90°，所以cos∠AF2B=|A故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．7．（2024秋?安徽月考）已知橢圓C：x2λ+y24=1（λ＞0且λ≠4A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】由橢圓的離心率求解方程或參數(shù)；必要不充分條件的判斷．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓離心率定義，對(duì)參數(shù)λ的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，分別判斷充分性和必要性即可．【解答】解：已知橢圓C：x2λ+y24=1當(dāng)C的離心率e=2若0＜λ＜4，有e=4-λ解得λ＝2，即充分性不成立；當(dāng)λ＝8時(shí)，得橢圓C：此時(shí)離心率為e=8-4即必要性成立．所以“C的離心率e=22“是”λ＝8故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓離心率的定義，重點(diǎn)考查了充分性和必要性，屬中檔題．8．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓x24+y2=1，作垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，作垂直于y軸的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，且|AB|＝|CDA．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】利用已知條件判斷軌跡是雙曲線，并利用條件求解軌跡方程，推出結(jié)果即可．【解答】解：∵AB≤2，∴CD≤2，判斷軌跡為上下兩支，即選雙曲線，設(shè)A（m，t），D（t，n），所以P（m，n），因?yàn)閙24+t2＝1，t24+n2＝1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程的求法與判斷，是基本知識(shí)的考查，基礎(chǔ)題．二．填空題（共8小題）9．（2024秋?大慶月考）已知F是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，直線y＝kx（k≠0）交橢圓【考點(diǎn)】求橢圓的離心率．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】74【分析】設(shè)F2是橢圓C的右焦點(diǎn)，分析可知FMF2N為平行四邊形，根據(jù)橢圓定義可得|MF【解答】解：設(shè)F2是橢圓C的右焦點(diǎn)，連接MF2，NF2，由對(duì)稱(chēng)性可知：|OM|＝|ON|，|OF|＝|OF2|，則FMF2N為平行四邊形，則|MF2|=|FN|，∠FMF2=π3因?yàn)閨FM|+|MF2|＝4|MF2|＝2a，則|MF在△FMF2中，由余弦定理可得|FF即4c2=所以橢圓C的離心率為e=c故答案為：74【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓離心率的求解，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．10．（2024秋?江西月考）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|＝【考點(diǎn)】求橢圓的離心率．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】12【分析】根據(jù)題意利用勾股定理求出2c，再由橢圓定義求出2a即可得解．【解答】解：由題意知AB⊥所以|F1F2|=又|AF1|+|AF2|＝16＝2a，即a＝8，所以e=c故答案為：12【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．11．（2024秋?開(kāi)福區(qū)校級(jí)月考）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn)，延長(zhǎng)PF2交橢圓【考點(diǎn)】求橢圓的離心率．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】33【分析】根據(jù)橢圓的定義可得|F1P|+|F1M|+|F2P|+|F2M|＝4a，則|F1P|=|F1【解答】解：由橢圓的定義知，△F1PM的周長(zhǎng)為|F1P|+|F1M|+|PM|＝|F1P|+|F2P|+|F2M|+|F1M|+|＝4a，因?yàn)椤鱂1PM為等邊三角形，所以|F1P|＝|F1M|＝|PM|，所以|F又|F1P|+|PF2|＝2a，所以|PF在△PF1F2中，由余弦定理得(2c)整理得，c2=13故答案為：33【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．12．（2024?重慶模擬）已知點(diǎn)F為橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作一條傾斜角為【考點(diǎn)】橢圓與平面向量．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】3-1【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，P為第一象限的點(diǎn)，則根據(jù)題意易得四邊形PF′QF為矩形，且∠PF′F=π6，從而可得|PF|=12|F′F|＝c，|PF′|=32|F【解答】解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，P為第一象限的點(diǎn)，∵|FP→+FQ∴FP⊥FQ，∴四邊形PF′QF為矩形，又∠POF=π∴∠PF′F=π∴|PF|=12|F′F|＝c，|PF′|=32|F′F∴該橢圓的離心率e=2c故答案為：3-1【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓離心率的求解，橢圓的幾何性質(zhì)，屬中檔題．13．（2024春?沙市區(qū)校級(jí)月考）P是橢圓C：x24+y2＝1上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（m，0），則m的取值范圍（-3【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專(zhuān)題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)|PF1|＝t，|PF2|＝n，由角平分線的性質(zhì)可得tn=|MF1||F2M|=m+33-m，利用橢圓的定義可得t+n＝2a＝4，消去t得到【解答】解：x24+y2＝1，則a＝2如圖所示，設(shè)|PF1|＝t，|PF2|＝n，由角平分線的性質(zhì)可得tn又t+n＝2a＝4，消去t得到，化為4-nn=3∵a﹣c＜n＜a+c，即2-3＜n＜2+3，也即2解得-32∴m的取值范圍（-32，故答案為：（-32，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓錐曲線的定義的應(yīng)用，試題在平面幾何中的三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）方程x23-m+y2m-1=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則x的取值范圍是【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1，2）．【分析】方程x23-m+y2【解答】解：方程x23-m+則3-即1＜m＜2．故答案為：（1，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．15．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓x216+y27=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2．若P為橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|?|PF2|＝14，則△F1PF【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】7．【分析】根據(jù)橢圓的定義和已知條件求解cos∠F1PF2，進(jìn)而求解∠F1PF2，即可求解結(jié)論．【解答】解：∵橢圓x2∴a＝4，b=7，c=a∴|PF1|+|PF2|＝2a＝8，|F1F2|＝2c＝6，∴cos∠F1PF2=PF可得∠F1PF2=π∴sin∠F1PF2＝1．故△F1PF2的面積為：12×|PF1|?|PF2|=12故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，涉及橢圓中三角形的面積和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．16．（2023秋?北海期末）如圖，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F1的直線與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，|QF2|＝2|PF2|，cos【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【答案】105【分析】設(shè)|PF2|＝m，由題意可得各線段的值，△PQF2中，由余弦定理可得m的值，進(jìn)而可得|QP|＝|QF2|，即∠QPF2＝∠PF2Q，△PF1F2中，由余弦定理可得a，c的關(guān)系，進(jìn)而求出該橢圓的離心率的大?。窘獯稹拷猓涸O(shè)|PF2|＝m，由橢圓的定義及題意可得|PF1|＝2a﹣m，|QF2|＝2m，|QF1|＝2a﹣2m，|PQ|＝|QF1|+|PF1|＝4a﹣3m，在△PQF2中，cos∠PF2Q=1由余弦定理可得：cos∠PF2Q=m解得m=45|PF1|=6a5，|PF2|所以|PQ|=8a5，|QF2|=8a5，則∠QPF2＝∠可得cos∠QPF2＝cos∠PF2Q=1在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1PF2=(整理可得：2a2＝5c2，可得e=c故答案為：105【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．三．解答題（共4小題）17．（2024?江西開(kāi)學(xué)）已知橢圓C：x2a2+y2b（1）求C的方程；（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在直線l：y＝kx+m（k≠0）上，若直線l與C相切，且FA⊥l，求|OA|的值．【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系及公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；根據(jù)abc及其關(guān)系式求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）x2（2）|OA|=2【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率定義和橢圓上的點(diǎn)以及a，b，c的關(guān)系式列出方程組，解之即得；（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，消元，根據(jù)題意，由Δ＝0推得m2＝2k2+1，又由FA⊥l，寫(xiě)出直線FA的方程，與直線l聯(lián)立，求得點(diǎn)A坐標(biāo)，計(jì)算|OA|2，將前式代入化簡(jiǎn)即得．【解答】解：（1）設(shè)F（c，0），依題意，ca解得a2＝2，b2＝1，故C的方程為x2（2）如圖，依題意F（1，0），聯(lián)立y=kx+mx消去y，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，依題意，需使Δ＝16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＝0，整理得m2＝2k2+1（*）．因?yàn)镕A⊥l，則直線FA的斜率為-1則其方程為y=-聯(lián)立y=-解得x=1-km即A(1-km故|OA|將（*）代入得，m2故|OA|=2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓離心率的定義和橢圓的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，屬中檔題．18．（2023秋?西固區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)（1）求橢圓C的方程；（2）若橢圓C與直線y＝x+m交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=1227【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的幾何特征．【專(zhuān)題】綜合題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）x2（2）±2．【分析】（1）由題意求出c＝1，a＝2，進(jìn)而得到b2，求出橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)根的判別式得到-7＜m【解答】解：（1）因?yàn)閨F1F2|＝2c＝2，所以c＝1，因?yàn)闄E圓的離心率e=c解得a＝2，則b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3，故橢圓C的方程為x2（2）聯(lián)立y=x+mx24+y23=1，消去y并整理得7x2+8mx此時(shí)Δ＝64m2﹣28（4m2﹣12）＞0，解得-7不妨設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由韋達(dá)定理得x1則|MN|==2因?yàn)閨MN|=12所以2?解得m＝±2，滿(mǎn)足-7故實(shí)數(shù)m的值為±2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024秋?湖南月考）已知橢圓C：x2a2+y（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若A（﹣3，0），直線l：x＝ty+1（t＞0）交橢圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且△AEF的面積為14，求t的值．【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系及公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；根據(jù)橢圓的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程．【專(zhuān)題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）x2（2）t=2【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)直接求解；（2）結(jié)合韋達(dá)定理與題目條件，結(jié)合三角形面積公式即可得解．【解答】解：（1）由題意得：2c=22，e=ca=22，即c=2，a=2，則所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2（2）由題意設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），聯(lián)立x=ty+1x24+y22=1，消去x得：（t2+2）y則Δ＝4t2+12（t2+2）＝16t2+24＞0，y1可得|y設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為D（1，0），且A（﹣3，0），則|AD|＝1﹣（﹣3）＝4，故S△AEF=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（2024?開(kāi)封模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b（1）求C的離心率；（2）射線AF1與C交于點(diǎn)B，且|AB|=83，求△ABF【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的幾何特征．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）22（2）8．【分析】（1）由橢圓可得AF1→?AF2→（2）由（1）可得a與c，b與c的關(guān)系，設(shè)直線AF1的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出|AB|的表達(dá)式，由題意可得c，a的值，由橢圓的性質(zhì)可得△ABF2的周長(zhǎng)為4a，即求出三角形的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）上頂點(diǎn)為A，且AF可得（﹣c，﹣b）?（c，﹣b）＝0，即b2＝c2，即a2﹣c2＝c2，所以離心率e=c（2）由（1）可得b＝c，a=2c射線AF1的方程為y=bcx+b＝x+聯(lián)立y=x+cx22c2+y2c解得x＝0或x=-43c，則y＝c或y＝x+c即B（-43c，-所以|AB|=(-43解得c=2則a＝2，所以△ABF2的周長(zhǎng)為4a＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用及橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．充分不必要條件的判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】充分不必要條件是指如果條件P成立，則條件Q必然成立，但條件Q成立時(shí)，條件P不一定成立．用符號(hào)表示為P?Q，但Q?P．這種條件在數(shù)學(xué)中表明某個(gè)條件足以保證結(jié)果成立，但不是唯一條件．【解題方法點(diǎn)撥】要判斷一個(gè)條件是否為充分不必要條件，可以先驗(yàn)證P?Q，然后找反例驗(yàn)證Q成立但P不成立．舉反例是關(guān)鍵步驟，找到一個(gè)Q成立但P不成立的例子即可證明P不是Q的必要條件．例如，可以通過(guò)幾何圖形性質(zhì)驗(yàn)證某些充分不必要條件．【命題方向】充分不必要條件的命題方向包括幾何圖形的特殊性質(zhì)、函數(shù)的特定性質(zhì)等．已知命題p：x2﹣4x+3＜0，那么命題p成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A．x≤1B．1＜x＜2C．x≥3D．2＜x＜3解：由x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3，則1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要條件．故選：BD．2．必要不充分條件的判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】必要不充分條件是指如果條件Q成立，則條件P必然成立，但條件P成立時(shí)，條件Q不一定成立．用符號(hào)表示為Q?P，但P?Q．這種條件在數(shù)學(xué)中表明某個(gè)條件必須滿(mǎn)足才能保證結(jié)果成立，但單靠這個(gè)條件不能完全保證結(jié)果成立．【解題方法點(diǎn)撥】要判斷一個(gè)條件是否為必要不充分條件，可以先驗(yàn)證Q?P，然后找反例驗(yàn)證P成立但Q不成立．舉反例是關(guān)鍵步驟，找到一個(gè)P成立但Q不成立的例子即可證明P不是Q的充分條件．例如，通過(guò)幾何圖形性質(zhì)驗(yàn)證某些必要不充分條件．【命題方向】必要不充分條件的命題方向包括幾何圖形的判定條件、代數(shù)性質(zhì)等．已知x∈R，設(shè)p：x2﹣x＜0，則p的一個(gè)必要不充分條件是（）A．﹣1＜x＜0B.-C.-D.0＜x＜1解：因?yàn)閤2﹣x＜0，所以0＜x＜1，所以p的一個(gè)必要不充分條件是-1故選：B．3．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|（2）y2a2+x2b2=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|兩種形式相同點(diǎn)：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點(diǎn)：位置不同；焦點(diǎn)坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上y2a2+x2b中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上圖形頂點(diǎn)A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）對(duì)稱(chēng)軸x軸、y軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸長(zhǎng)上x(chóng)軸、y軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸長(zhǎng)上焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2離心率e=ca（0＜e＜e=ca（0＜e＜準(zhǔn)線x＝±ay＝±a4．根據(jù)橢圓的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】橢圓的幾何特征包括長(zhǎng)軸2a、短軸2b、焦點(diǎn)(±【解題方法點(diǎn)撥】1．提取幾何特征：從題目中得到長(zhǎng)軸、短軸或焦距．2．代入標(biāo)準(zhǔn)方程：使用幾何特征計(jì)算a和b，代入標(biāo)準(zhǔn)方程：x2【命題方向】﹣由橢圓的幾何特征（如長(zhǎng)軸、短軸）求標(biāo)準(zhǔn)方程．﹣根據(jù)焦點(diǎn)位置和長(zhǎng)短軸所在位置推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程．5．根據(jù)abc及其關(guān)系式求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】已知橢圓的方程中abc及其關(guān)系，可以直接代入標(biāo)準(zhǔn)方程中．關(guān)系式c2＝a2﹣b2可用于計(jì)算焦距．【解題方法點(diǎn)撥】1．確定a和b：從題目中給定的a和b得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2．代入公式：標(biāo)準(zhǔn)方程形式為：x【命題方向】﹣給定a和b，直接求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．﹣利用a和b的關(guān)系確定標(biāo)準(zhǔn)方程．6．橢圓的幾何特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．橢圓的范圍2．橢圓的對(duì)稱(chēng)性3．橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)：橢圓與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)．頂點(diǎn)坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比ca叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e=ca，且0＜e②離心率的意義：刻畫(huà)橢圓的扁平程度，如下面兩個(gè)橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．7．求橢圓的離心率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】橢圓的離心率e由公式e=ca計(jì)算，其中【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算離心率：使用公式e=a【命題方向】﹣給定a和b，求橢圓的離心率．﹣計(jì)算橢圓的離心率，并分析其含義．8．由橢圓的離心率求解方程或參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】已知橢圓的離心