【八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)浙教版】專題2.3 勾股定理中的最短路線與翻折問(wèn)題 專項(xiàng)講練（原卷版）

第第頁(yè)專題2.3勾股定理中的最短路線與翻折問(wèn)題專項(xiàng)講練勾股定理中的最短路徑問(wèn)題幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開(kāi)成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。題型1.圓柱有關(guān)的最短路徑問(wèn)題【解題技巧】計(jì)算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要注意圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意展開(kāi)后兩個(gè)端點(diǎn)的位置，有時(shí)候需要用底面圓的周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)候需要用底面圓周長(zhǎng)的一半進(jìn)行計(jì)算。要點(diǎn)總結(jié)：1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算最短路徑時(shí)，按照展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理的步驟進(jìn)行計(jì)算；2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長(zhǎng)度后乘以圈數(shù)。例1．（2022·山東青島·八年級(jí)期末）如圖，一個(gè)圓桶，底面直徑為16cm，高為18cm，則一只小蟲(chóng)從下底點(diǎn)A處爬到上底B處再回到A處，則小蟲(chóng)所爬的最短路徑長(zhǎng)是（

）（取3）A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm變式1．（2022·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期末）如圖，有一個(gè)圓柱，底面圓的直徑AB＝cm，高BC＝10cm，在BC的中點(diǎn)P處有一塊蜂蜜，聰明的螞蟻能夠找到距離食物的最短路徑，則螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P的最短路程為_(kāi)____cm．變式2．（2022·浙江金華初三月考）如圖，圓柱底面半徑為cm，高為18cm，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長(zhǎng)度最短為（）A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm題型2.長(zhǎng)方體有關(guān)的最短路徑問(wèn)題想【解題技巧】計(jì)算跟長(zhǎng)方體有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要熟悉長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的多種情況和分類討論。要點(diǎn)總結(jié)：1）長(zhǎng)方體展開(kāi)圖分類討論時(shí)可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；2）兩個(gè)端點(diǎn)中有一個(gè)不在定點(diǎn)時(shí)討論方法跟第一類相同。例2．（2021·陜西八年級(jí)期末）如圖，長(zhǎng)方體的棱AB長(zhǎng)為4，棱BC長(zhǎng)為3，棱BF長(zhǎng)為2，P為HG的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬行到點(diǎn)處吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．變式1.（2022·重慶八年級(jí)期中）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)，那么用細(xì)線最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm變式2．（2022·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)G處有一滴糖漿，棱AE上的P處的螞蟻想沿長(zhǎng)方體表面爬到容器G處吃糖漿，已知容器長(zhǎng)AB＝5cm，寬AD＝4cm，高AE＝4cm，AP＝1cm，那么螞蟻需爬行的最短距離是______cm．（結(jié)果保留根號(hào)）題型3.階梯中的最短路徑問(wèn)題【解題技巧】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段之和最小進(jìn)行解決。要點(diǎn)總結(jié)：展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理例3．（2021·重慶八年級(jí)期末）如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為8dm、3dm、，A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為_(kāi)_____dm．變式1．（2022·山西八年級(jí)期末）如圖所示，是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)，寬，中間整有一堵磚墻高，一只螞蟻從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它至少要走（）A．20 B．24 C．25 D．26題型4.將軍飲馬與最短路徑問(wèn)題【解題技巧】解決線段之和最小值問(wèn)題：對(duì)稱+連線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決。要點(diǎn)總結(jié)：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問(wèn)題需要先作對(duì)稱，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的原理結(jié)合勾股定理求解。例4.（2022·重慶初二月考）圓柱形杯子的高為18cm，底面周長(zhǎng)為24cm，已知螞蟻在外壁A處（距杯子上沿2cm）發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)（距杯子下沿4cm），則螞蟻從A處爬到B處的最短距離為（）A． B．28 C．20 D．變式1.（2022·山東菏澤·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為的半圓，其邊緣．小明要在AB上選取一點(diǎn)E，能夠使他從點(diǎn)D滑到點(diǎn)E再滑到點(diǎn)C的滑行距離最短，則他滑行的最短距離約為（）m．（取3）A．30 B．28 C．25 D．22變式2.（2021·陜西長(zhǎng)安·八年級(jí)期中）有一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體透明玻璃水缸，高，水深，在水面線上緊貼內(nèi)壁處有一粒食物，且，一只小蟲(chóng)想從水缸外的處沿水缸壁爬到水缸內(nèi)的處吃掉食物．（1）你認(rèn)為小蟲(chóng)應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使爬行的路線最短，請(qǐng)你畫出它爬行的最短路線，并用箭頭標(biāo)注．（2）求小蟲(chóng)爬行的最短路線長(zhǎng)（不計(jì)缸壁厚度）．課后專項(xiàng)訓(xùn)練：1．（2021·江蘇八年級(jí)月考）將一根的筷子，置于底面直徑為，高的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2022·河南鶴壁·八年級(jí)期末）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形草地上，放著一根長(zhǎng)方體木塊，它較長(zhǎng)的邊和草地的寬平行且長(zhǎng)大于，木塊從正面看是邊長(zhǎng)為的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程為（

）A． B． C． D．3．（2022·四川樂(lè)山·八年級(jí)期末）如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為4cm，寬為3cm，高為5cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱表面爬到B點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長(zhǎng)是（）A．12cm B．cm C．cm D．cm4．（2022·云南昆明·八年級(jí)期末）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)B為一條棱的中點(diǎn).螞蟻在正方體表面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是（

）A． B． C． D．5．（2021·山東省鄆城第一中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，有一個(gè)長(zhǎng)、寬各2米，高為3米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒放在桌面上，一只昆蟲(chóng)從頂點(diǎn)要爬到頂點(diǎn)，那么這只昆蟲(chóng)爬行的最短路程為（

）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米6．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有一長(zhǎng)、寬、高分別是5cm，4cm，4cm的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻沿如圖所示路徑從頂點(diǎn)A處在長(zhǎng)方體的表面爬到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的中點(diǎn)B處，則需要爬行的最短路徑長(zhǎng)為（

）A．cm B．cm C．cm D．cm7．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，M為BC的中點(diǎn)，則一只螞蟻從A點(diǎn)沿盒子的表面爬行到M點(diǎn)的最短距離為（

）A．B．C．D．8．（2022·四川省德陽(yáng)市第二中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)．寬．高分別為3、2、1的長(zhǎng)方體的A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，它爬行的最短路程為（

）A． B． C． D．9．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是樓梯的一部分，若，，，一只螞蟻在A處發(fā)現(xiàn)C處有一塊糖，則這只螞蟻吃到糖所走的最短路程為（

）A． B．3 C． D．10．（2022·安徽宿州·八年級(jí)期末）如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為4cm，側(cè)棱長(zhǎng)為6cm，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿棱柱外表面到點(diǎn)處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是（

）A． B．14cm C． D．10cm11．（2022·成都市八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體盒子緊貼地面，一只螞蟻由出發(fā)，在盒子表面上爬到點(diǎn)，已知，，，這只螞蟻爬行的最短路程是________．12．（2022·河南·鄭州楓楊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，一大樓的外墻面ADEF與地面ABCD垂直，點(diǎn)P在墻面上，若PA＝AB＝5米，點(diǎn)P到AD的距離是4米，有一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)B，它的最短行程是______米13．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）云頂滑雪公園是北京2022年冬奧會(huì)7個(gè)雪上競(jìng)賽場(chǎng)館中唯一利用現(xiàn)有雪場(chǎng)改造而成的．下圖左右兩幅圖分別是公園內(nèi)云頂滑雪場(chǎng)U型池的實(shí)景圖和示意圖，該場(chǎng)地可以看作是從一個(gè)長(zhǎng)方體中挖去了半個(gè)圓柱而成，它的橫截面圖中半圓的半徑為，其邊緣，點(diǎn)E在上，．一名滑雪愛(ài)好者從點(diǎn)A滑到點(diǎn)E，他滑行的最短路線長(zhǎng)為_(kāi)________m．14．（2021·新疆伊犁·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為4cm、寬為3cm，高是12cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是___________cm．15．（2022·新疆克拉瑪依·八年級(jí)期末）如圖，正方體的盒子的棱長(zhǎng)為，的中點(diǎn)為，一只螞蟻從點(diǎn)沿正方體的表面爬到點(diǎn)螞蟻爬行的最短距離是______．16．（2022·廣東·常春藤國(guó)際學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，一個(gè)圓柱體的底面周長(zhǎng)為24，高BD＝5，BC是直徑．一只螞蟻從點(diǎn)D出發(fā)，沿著表面爬到C的最短路程為_(kāi)______．17．（2021·無(wú)錫市八年級(jí)期中）（1）如圖1，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為3m和2m，高為1m，在盒子里，可以放入最長(zhǎng)為_(kāi)______m的木棒；（2）如圖2，在與（1）相同的長(zhǎng)方體中，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)C，那么所用細(xì)線最短需要______m；（3）如圖3，長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為AB=BC=6cm，假設(shè)昆蟲(chóng)甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)以2厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱向下爬行，同時(shí)昆蟲(chóng)乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)A以相同的速度在盒壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲(chóng)乙至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能捕捉昆蟲(chóng)甲?三角形和矩形中的翻折、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題解題技巧：勾股定理在有關(guān)圖形折疊計(jì)算的問(wèn)題中的共同方法是：在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)圖形中某一未知數(shù)為x，將此三角形中的三邊長(zhǎng)用具體數(shù)或含x的代數(shù)式表示，再利用勾股定理列出方程，從而得出要求的線段的長(zhǎng)度。例1．（2022·江蘇九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長(zhǎng)為_(kāi)________________．變式1．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，已知ABCD是長(zhǎng)方形紙片，，在CD上存在一點(diǎn)E，沿直線AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，且，則的面積是（）．A． B． C． D．例2．（2021·四川成都市·八年級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE，DE分別交AB于點(diǎn)G，F(xiàn)，若GE＝GB，則CP的長(zhǎng)為_(kāi)___．變式1．（2022·江蘇·靖江市靖城中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)C′上．若AB=6，BC=9，則BF的長(zhǎng)為_(kāi)______例3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在線段DE上的點(diǎn)F處，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．變式1．（2022·上海松江·八年級(jí)期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，BC=5，AB=3，點(diǎn)E在邊BC上，將△DCE沿著DE翻折后，點(diǎn)C落在線段AE上的點(diǎn)F處，那么CE的長(zhǎng)度是________．例4．（2021·成都西川中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．將△CEB沿直線CE折疊到△CEF，使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合．當(dāng)CF⊥AB時(shí)，線段EB的長(zhǎng)為_(kāi)____．變式1．（2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)九年級(jí)）如圖，在RtABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕將ADB折疊得到，與邊BC交于點(diǎn)E．若為直角三角形，則BD的長(zhǎng)是_____．例5．（2022·貴州遵義·八年級(jí)期末）在中，，，，點(diǎn)、分別是直角邊和斜邊上的點(diǎn)，把沿著直線折疊，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)上，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C．3 D．4變式1．（2022·北京市第一六一中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，中，，將折疊，使點(diǎn)C與的中點(diǎn)D重合，折痕交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，則線段的長(zhǎng)為（

）.A． B． C．3 D．例6．（2022·河南開(kāi)封·八年級(jí)期末）如圖，在，，，，以為折痕將翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則的長(zhǎng)為（

）A． B．1 C． D．變式1．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在中，，，．將折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上．與點(diǎn)重合，AE為折痕，則的長(zhǎng)為（

）A．12 B．25 C．20 D．15例7．（2021·貴州九年級(jí)）如圖，矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，邊與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．變式1．（2022·湖北陽(yáng)新初二期末）（問(wèn)題原型）如圖1，在等腰直角三形ABC中，∠ACB=90°，BC=8．將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD，過(guò)點(diǎn)D作△BCD的BC邊上的高DE，易證△ABC≌△BDE，從而得到△BCD的面積為．（初步探究）如圖2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD．用含a的代數(shù)式表示△BCD的面積并說(shuō)明理由．（簡(jiǎn)單應(yīng)用）如圖3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連續(xù)CD，求△BCD的面積(用含a的代數(shù)式表示)．課后訓(xùn)練：1．（2021·陜西八年級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，將此長(zhǎng)方形折疊，便點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的面積為（）．A．12 B．10 C．6 D．152．（2022·浙江衢州·八年級(jí)期末）如圖，將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在BD邊上的點(diǎn)E處．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，則AB2﹣AC2的值是（）A．8 B．12 C．16 D．243．（2022·廣西·桂林市第一中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊長(zhǎng)AC＝6cm，BC＝8cm，將ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則CD等于（

）A． B． C． D．4．（2021·山東煙臺(tái)·七年級(jí)期中）如圖，折疊長(zhǎng)方形ABCD紙片，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處（AE為折痕）．已知AB=8，BC=10，則EC等于（

）A．3 B．4 C．5 D．65．（2022·遼寧鐵嶺·八年級(jí)期末）如圖，折疊長(zhǎng)方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，，，則線段EF的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．6．（2022·山東棗莊·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．7．（2021·浙江九年級(jí)二模）△ABC中，，AC＝6，，折疊△ABC，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)D處，折痕EF交AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)由B向A連續(xù)移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)E經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)記為m，則BC＝____________，m＝____________．8．（2022·河南鶴壁·八年級(jí)期末）如圖，中，，M，