【八年級上冊數(shù)學浙教版】專題4.2 平面直角坐標系 重難點題型12個（解析版）

②l1∥x軸，則l1上所有點縱坐標相等。l2∥y軸，則l2上所有橫縱坐標相等。1．（2022·福建廈門·七年級期末）在平面直角坐標系中，點A（1，3），B（－2，－1），C（x，y），若AC∥y軸，則線段BC的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】由垂線段最短可知點BC⊥AC時，BC有最小值．【詳解】解：依題意可得：∵AC//y軸，A(1，3)，C(x，y)，∴x=1，根據(jù)垂線段最短，當BC⊥AC于點C時，點B到AC的距離最短，∵B(-2，-1)，即BC的最小值=2+1=3，故選：C．【點睛】本題主要考查的是垂線段的性質(zhì)、點的坐標的定義，掌握垂線段的性質(zhì)是解題的關鍵．2．（2022·河南濮陽·七年級期末）已知平面直角坐標系中有，兩點，且軸，則點的坐標為__________．【答案】【分析】根據(jù)軸可得，點M，N的縱坐標相同，進行求解即可．【詳解】∵軸，∴點M，N的縱坐標相同，∴，解得：，把代入，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了平面直角坐標系中與坐標軸平行的線段的點坐標的特點，熟記與x軸平行的點，縱坐標相同是解題的關鍵．3.（2022·五常市教師進修學校）已知：平面直角坐標系中，點M的坐標是，線段平行于y軸，且，則N的坐標是___________．【答案】或【分析】平行于y軸得到M和N兩點的橫坐標相等，分N點在M點上方和下方兩種情況討論即可求解．【詳解】解：由題意可知：∵平行于y軸，∴M和N兩點的橫坐標相等，由和M的坐標是可知：當N點在M點上方時，N的坐標是，當N點在M點下方時，N的坐標是，故答案為：或．【點睛】本題考查了平面直角坐標系中點的坐標特點，屬于基礎題，注意要分情況考慮，避免漏解．4．（2022·山東金鄉(xiāng)·初二期末）已知點和點，若直線軸，則的值為________．【答案】-1【分析】根據(jù)平行于x軸的直線上的點的縱坐標相同，列出方程求解即可．【解析】解：∵點A（m+1，-2），B（3，m-1），直線AB∥x軸，∴m-1=-2，

解得m=-1．故答案為：-1．【點睛】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，掌握平行于x軸的直線上的點的縱坐標相同是解題的關鍵．5．（2021·西寧市中考真題）在平面直角坐標系中，點A的坐標是，若軸，且，則點B的坐標是________．【答案】或【分析】由題意，設點B的坐標為(-2，y)，則由AB=9可得，解方程即可求得y的值，從而可得點B的坐標．【詳解】∵軸∴設點B的坐標為(-2，y)∵AB=9∴解得：y=8或y=－10∴點B的坐標為或故答案為：或【點睛】本題考查了平面直角坐標系求點的坐標，解含絕對值方程，關鍵是抓住平行于坐標軸的線段長度只與兩點的橫坐標或縱坐標有關，易錯點則是考慮不周，忽略其中一種情況．6．（2022·上饒市實驗中學初二期末）已知點P（a﹣2，2a+8），分別根據(jù)下列條件求出點P的坐標．（1）點P在x軸上；（2）點P在y軸上；（3）點Q的坐標為（1，5），直線PQ∥y軸；【答案】（1）P（﹣6，0）；（2）P（0，12）；（3）P（1，14）；（4）P（﹣12，﹣12）或（﹣4，4）．分析：（1）利用x軸上點的坐標性質(zhì)縱坐標為0，進而得出a的值，即可得出答案；

（2）利用y軸上點的坐標性質(zhì)橫坐標為0，進而得出a的值，即可得出答案；

（3）利用平行于y軸直線的性質(zhì)，橫坐標相等，進而得出a的值，進而得出答案；

【解析】（1）∵點P（a﹣2，2a+8），在x軸上，∴2a+8=0，解得：a=﹣4，故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，則P（﹣6，0）；（2）∵點P（a﹣2，2a+8），在y軸上，∴a﹣2=0，解得：a=2，故2a+8=2×2+8=12，則P（0，12）；（3）∵點Q的坐標為（1，5），直線PQ∥y軸；，∴a﹣2=1，解得：a=3，故2a+8=14，則P（1，14）；題型6象限角平分線上點的特征解題技巧：象限角平分線上點的坐標特點：第一、三象限中x＝y(tǒng)，第二、四象限中x＋y＝0．1．（2022·湖北）若點在第二、四象限的角平分線上，則______．【答案】【分析】第二、四象限角平分線上點的坐標互為相反數(shù)，據(jù)此列出關于a的方程求解．【詳解】解：∵在第二、四象限角平分線上，∴，．故答案為：?2．【點睛】此題考查象限角平分線上點坐標特點，一、三象限角平分線上點的縱橫坐標相等；二，四象限角平分線上點的縱橫坐標互為相反數(shù)．2．（2022·射陽縣第二初級中學）已知點A（2a+5，a﹣3）在第一、三象限的角平分線上，則a＝_____．【答案】﹣8．【分析】根據(jù)第一、三象限角平分線上的點的坐標特點：點的橫縱坐標相等，即可解答．【詳解】點A（2a+5，a-3）在第一、三象限的角平分線上，且第一、三象限角平分線上的點的坐標特點為：點的橫縱坐標相等，∴2a+5=a-3，解得a=-8．故答案為：-8．【點睛】本題考查了各象限角平分線上點的坐標的符號特征，第一、三象限角平分線上的點的坐標特點為：點的橫縱坐標相等；第二、四象限角平分線上的點的坐標特點為：點的橫縱坐標互為相反數(shù)．3．（2022·福建七年級期中）在平面直角坐標系中，點在第一、三象限的角平分線上，則m的值為（）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】第一、三象限的角平分線解析式為y=x，代入即可求解．【詳解】解：∵點P（2m+3，3m-1）在第一、三象限的角平分線上，∴解得，．故選A．【點睛】本題考查的知識點是點的坐標的性質(zhì)，由題意得出一、三象限的角平分線解析式為y=x是解此題的關鍵．4．（2022·浙江）在平面直角坐標系中，已知點（1）若點在軸上，求的值.（2）若點在第一、三象限的角平分線上，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)點在x軸上縱坐標為0求解；

（2）根據(jù)第一、三象限的角平分線上的橫坐標，縱坐標相等求解．【詳解】解：（1）由題意得：，解得；（2）由題意得：，解得.【點睛】此題考查了點與坐標的對應關系，坐標軸上的點的特征，第一、三象限的角平分線上的點的特征．5．（2022·成都市八年級專題練習）（1）若點（5-a，a-3）在第一、三象限的角平分線上，求a的值．（2）已知兩點A（-3，m），B（n，4），若AB∥x軸，求m的值，并確定n的范圍．（3）點P到x軸和y軸的距離分別是3和4，求P點的坐標．【答案】（1）a＝4；（2）m＝4，n≠-3；（3）P點的坐標為（4，3）或（-4，3）或（4，-3）或（-4，-3）．【分析】（1）根據(jù)象限角平分線的特點，即可求解；（2）根據(jù)平面直角坐標系中平行線的性質(zhì)確定m的值，根據(jù)兩點不重合，求得n的范圍；（3）根據(jù)平面直角坐標系的意義，即可求點的坐標．【詳解】（1）因為點在第一、三象限的角平分線上，所以，所以．（2）因為AB∥x軸，所以，因為兩點不重合，所以n≠-3．（3）設P點的坐標為，由已知條件得|y|＝3，|x|＝4，所以，，所以P點的坐標為(4，3)或(-4，3)或(4，-3)或(-4，-3)．【點睛】本題考查了平面直角坐標系的定義，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，理解平面直角坐標系的定義是解題的關鍵．6．（2022·義烏市稠州中學教育集團八年級月考）已知平面直角坐標系中，點，根據(jù)下列條件求出的值．（1）點到軸距離為3；（2）點在某象限的角平分線上．【答案】（1）x=或x=；（2）x=或x=【分析】（1）根據(jù)點到x軸的距離即為縱坐標的絕對值可得；（2）根據(jù)點在某象限的平分線上可得方程，解之即可．【詳解】解：（1）∵到x軸的距離為3，∴，解得：x=或x=；（2）∵點P在某象限的平分線上，∴，解得：x=或x=．【點睛】本題考查了點的坐標，解題的關鍵是理解點到坐標軸的距離以及象限的平分線上點坐標的特征．題型7與坐標相關的對稱問題【解題技巧】點與點關于軸對稱橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)；點與點關于軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)；點與點關于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數(shù)；1．（2022·甘肅·武威第九中學八年級期末）點P（-2，4）關于x軸對稱的點的坐標為________．【答案】【分析】根據(jù)關于軸對稱的點的橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)即可求解．【詳解】解：點P（-2，4）關于x軸對稱的點的坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查了求關于軸對稱的點的坐標，掌握關于坐標軸對稱的點的坐標特征是解題的關鍵．2．（2022·寧夏·吳忠市第二中學八年級期末）點M(a，5)與點N(-3，b)關于y軸對稱，則2a-b=______．【答案】【分析】直接利用關于y軸對稱點的性質(zhì)，即橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，得出a，b的值，再利用有理數(shù)的運算法則求出答案．【詳解】解：∵點M（a，5），點N（?3，b）關于y軸對稱，∴a＝3，b＝5，∴2a?b＝2×3?5＝1．故答案為：1．【點睛】此題主要考查了關于y軸對稱點的性質(zhì)，正確得出a，b的值是解題關鍵．3．（2022·湖南邵陽·八年級期末）已知點和點關于x軸對稱，則______．【答案】1【分析】根據(jù)關于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)．即點P（x，y）關于x軸的對稱點P′的坐標是（x，-y），進而得出a，b的值即可．【詳解】解：∵點A（a，3）與點B（4，b）關于x軸對稱，∴a=4，b=-3，則a+b=4-3=1．故答案為：1．【點睛】此題主要考查了關于x軸對稱點的坐標性質(zhì)，正確記憶關于坐標軸對稱的坐標性質(zhì)是解題關鍵．4．（2022·綿陽市八年級課時練習）已知點，若點M關于x軸的對稱點在第三象限，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)點M關于x軸的對稱點在第三象限，可知點M在第二象限，讓根據(jù)第二象限點的特征列不等式計算即可．【詳解】解：∵點M關于x軸的對稱點在第三象限，∴點M在第二象限，則，解不等式得：，解不等式得：，∴不等式組的解集為：，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，平面直角坐標系中點的坐標特征，解不等式組等知識點，熟知平面直角坐標系中各個象限中點的坐標特征是解本題的關鍵．5．（2022·浙江八年級期末）平面直角坐標系中，點關于點成中心對稱的點的坐標是_______．【答案】（-1，2）【分析】設Q（1，0），連結PQ并延長到點P′，使P′Q＝PQ，設P′（x，y），則x＜0，y＞0．過P作PM⊥x軸于點M，過P′作PN⊥x軸于點N．利用AAS證明△QP′N≌△QPM，得出QN＝QM，P′N＝PM，即1-x＝3-1，y＝2，求出x＝-1，y＝2，進而得到P′的坐標．

【詳解】解：如圖，設Q（1，0），連結PQ并延長到點P′，使P′Q＝PQ，設P′（x，y），則x＜0，y＞0．過P作PM⊥x軸于點M，過P′作PN⊥x軸于點N．在△QP′N與△QPM中，，∴△QP′N≌△QPM（AAS），∴QN＝QM，P′N＝PM，∴1-x＝3-1，y＝2，∴x＝-1，y＝2，∴P′（-1，2）．故答案為（-1，2）．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化—旋轉，全等三角形的判定與性質(zhì)，準確作出點P（3，-2）關于點（1，0）對稱的點P′是解題的關鍵．6．（2022·山東·濟南八年級期末）已知有序數(shù)對及常數(shù)k，我們稱有序數(shù)對為有序數(shù)對的“k階結伴數(shù)對”．如的“1階結伴數(shù)”對為即．若有序數(shù)對與它的“k階結伴數(shù)對”關于y軸對稱，則此時k的值為（

）A．－2 B． C．0 D．【答案】B【分析】根據(jù)“k階結伴數(shù)對”的定義求出有序數(shù)對的“k階結伴數(shù)對”為，再利用和關于y軸對稱，求出，進一步可求出．【詳解】解：由題意可知：有序數(shù)對的“k階結伴數(shù)對”為，∵和關于y軸對稱，∴，解得：．故選：B【點睛】本題考查新定義，以及坐標軸對稱的特點，解題的關鍵是理解新定義，求出有序數(shù)對的“k階結伴數(shù)對”為，掌握坐標軸對稱的特點，得到．題型8坐標的平移問題解題技巧：平面直角坐標內(nèi)點的平移規(guī)律，設a>0，b>01．（2022·甘肅·景泰縣八年級期中）在直角坐標系中，點向右平移3個單位長度后的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平移規(guī)律，讓點P的橫坐標加3，縱坐標不變即可．【詳解】解：平移后點P的橫坐標為﹣2+3＝1，縱坐標不變?yōu)?,所以點P（－2，3）向右平移3個單位長度后的坐標為（1，3）．故選D．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化——平移，平移變換是中考的?？键c，關鍵是要懂得左右平移點的縱坐標不變，而上下平移時點的橫坐標不變．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．2．（2022·江蘇·八年級期末）點A在平面直角坐標系xOy中的坐標為（5，3），將坐標系xOy中的x軸向上平移2個單位長度，y軸向左平移3個單位長度，得到平面直角坐標系，在新坐標系中，點A的坐標為（

）A．（2，5） B．（8，0） C．（8，5） D．（8，1）【答案】D【分析】將問題看作求在原來的坐標系中，將點先沿軸向右平移3個單位長度，再沿軸向下平移2個單位長度后的點的坐標，再根據(jù)點坐標的平移變換規(guī)律即可得．【詳解】解：由題意，將所求問題轉為求在原來的坐標系中，將點先沿軸向右平移3個單位長度，再沿軸向下平移2個單位長度后的點的坐標，則平移后的點的坐標為，即為，所以在新坐標系中，點的坐標為，故選：D．【點睛】本題考查了點坐標的平移變換，熟練掌握點坐標的平移變換規(guī)律是解題關鍵．3．（2022·遼寧葫蘆島·七年級期末）在平面直角坐標系中，將點A（x，y）向左平移5個單位長度，再向下平移3個單位長度后與點B（﹣1，2）重合，則點A的坐標是（）A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1）【答案】A【分析】根據(jù)點坐標的平移變換規(guī)律即可得．【詳解】解：由題意得：，解得，即，故選：A．【點睛】本題考查了點坐標的平移變換，熟練掌握點坐標的平移變換規(guī)律是解題關鍵．4．（2022·廣西·柳州市柳江區(qū)穿山中學七年級階段練習）如圖，點A、B的坐標分別是為（-3，1），（-1，-2），若將線段AB平移至的位置，與坐標分別是（m，4）和（3，n），則線段AB在平移過程中掃過的圖形面積為（

）A．18 B．20 C．28 D．36【答案】A【分析】直接利用平移中點的變化規(guī)律求出m，n的值，再根據(jù)線段AB在平移過程中掃過的圖形面積=四邊形的面積=2△的面積求解即可．【詳解】解：∵點A、B的坐標分別是為（-3，1），（-1，-2），若將線段AB平移至的位置，與坐標分別是（m，4）和（3，n），∴可知將線段AB向右平移4個單位，向上平移3個單位得到的位置，∴m=1，n=1，∴與坐標分別是（1，4）和（3，1），∴線段AB在平移過程中掃過的圖形面積=四邊形的面積=2△的面積=2××6×3=18，故選：A．【點睛】本題主要考查坐標系中線段的平移規(guī)律．在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．5．（2022·新疆·七年級期中）在平面直角坐標系中，已知線段AB的兩個端點分別是，將線段AB平移得到線段，若點的坐標為，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)點的坐標得出平移方式，再根據(jù)點坐標的平移變換規(guī)律即可得．【詳解】解：將線段AB平移得到線段，且，將點先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度即可得到點，又，，即，故選：A．【點睛】本題考查了點坐標的平移，熟練掌握點坐標的平移變換規(guī)律是解題關鍵．6．（2022·貴州畢節(jié)·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為，若將線段平移至處，點分別在x軸和y軸上，則的面積為（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】A【分析】由題意平移方式為向下平移1個單位，向左平移1個單位，（3，0），（0，1），推出O＝3，O＝1，利用三角形面積公式求解．【詳解】解：∵點A，B的坐標分別為，若將線段平移至處，點分別在x軸和y軸上，∴平移方式為向下平移1個單位，向左平移1個單位，∴（3，0），（0，1），∴O＝3，O＝1，∴△O的面積＝×3×1＝1.5，故選：A．【點睛】本題考查坐標與圖形變化?平移，三角形的面積等知識，解題的關鍵是判斷出點，的坐標．題型9坐標系中的作圖問題（平移與對稱）1．（2022·寧夏·吳忠市第二中學七年級期中）如圖，三角形ABC三個頂點的坐標分別是A（-1，8），B（－5，3），C（0，6）．(1)畫出△ABC向右平移7個單位后的圖形，并寫出三個頂點的坐標．(2)求△ABC的面積．【答案】(1)見解析，，，；(2)【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出三角形ABC三個頂點的對應點的位置，順次連接即可；然后再根據(jù)所作圖形寫出三個頂點的坐標；（2）利用割補法計算即可．（1）解：如圖所示，由圖可得：，，；（2）△ABC的面積為：．【點睛】本題考查了作圖—平移，坐標與圖形，掌握平移的性質(zhì)，得出對應頂點的位置是解題的關鍵．2．（2022·福建·武平縣七年級期中）（1）將A，B，C三點的橫坐標增加2，縱坐標減小3，寫出對應的點A1，B1，C1，的坐標，并說出是如何平移的；（2）畫出△A1B1C1，并求出△A1B1C1的面積．【答案】（1），，，先向右平移兩個單位，再向下平移三個單位；（2）圖見解析，△A1B1C1的面積為：20.5．【分析】（1）由圖可得A，B，C三點的坐標，然后將這些坐標的橫坐標增加2，縱坐標減小3即可求出A1，B1，C1的坐標，根據(jù)平面直角坐標系中點平移的特點可知是如何平移的；（2）利用割補法即可求出求出△A1B1C1的面積．【詳解】（1）由圖知，，，將它們的橫坐標增加2，縱坐標減小3，得：，，，根據(jù)平面直角坐標系中點平移的特點求得圖象先向右平移兩個單位，再向下平移三個單位；（2）△A1B1C1如圖所示：△A1B1C1的面積為：．【點睛】本題考查了圖形的平移、寫出點的坐標、運用割補法求三角形的面積，數(shù)形結合是解題的關鍵．3．（2022·湖北·七年級期中）如圖，△ABC在直角坐標系中，(1)把△ABC向上平移2個單位，再向右平移3個單位得△A′B′C′，在圖中畫出兩次平移后得到的圖形△A′B′C′，并寫出A′、B′、C′的坐標.(2)如果△ABC內(nèi)部有一點Q，根據(jù)（1）中所述平移方式得到對應點Q′，如果Q′坐標是（m，n），那么點Q的坐標是.(3)求平移后的三角形面積.【答案】(1)(2)（m－3，n－2）(3)7【分析】（1）把△ABC的各頂點分別向上平移2個單位，再向右平移3個單位，得到平移后的各點，順次連接各頂點即可得到；（2）根據(jù)（1）平移的方向和距離即可得到點Q的坐標；（3）的面積等于邊長為4和5的長方形的面積減去直角邊長為1，3的直角三角形的面積，直角邊長為2，4的直角三角形的面積，直角邊長為5，3的直角三角形的面積．（1）解：如圖，即為所求，；（2）∵把△ABC向上平移2個單位，再向右平移3個單位得，∴△ABC內(nèi)的任意一點都向上平移2個單位，再向右平移3個單位得到對應點，∵△ABC內(nèi)部有一點Q，平移后得到對應點，坐標是（m，n），∴點Q的坐標是(m-3，n-2)，故答案為（m－3，n－2）；（3）的面積=4×5-×2×4-×1×3-×3×5=7．【點睛】此題考查了平移作圖，平移的性質(zhì)，解決本題的關鍵是得到相應頂點的平移規(guī)律；圖形的平移要歸結為各頂點的平移；格點中的三角形的面積通常整理為長方形的面積與幾個三角形的面積的差．4．（2022·陜西·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在格點上．(1)畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1．(2)求四邊形AA1B1B的面積．【答案】(1)圖見詳解(2)6【分析】（1）利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出，，的對應點，，即可；（2）根據(jù)梯形的面積公式即可求得結果．（1）解：如圖所示，△為所作圖形；（2）解：，，四邊形是梯形，四邊形的面積．【點睛】本題考查了作圖軸對稱變換，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．5．（2021·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，、、．(1)在圖中作出關于軸的對稱圖形，并寫出點的坐標；(2)求出的面積；【答案】(1)見詳解(2)4【分析】（1）先確定點A、B、C三點關于y軸的對稱點A′、B′、C′的坐標，再將A′、B′、C′兩兩連接，即可，（2）選取網(wǎng)格點E、F，連接BE、EF、AF，構成梯形ABEF，則△ABC的面積等于梯形ABEF的面積減去△BEC與△AFC的面積之和，據(jù)此即可作答．（1）∵A(?1,2)、B(?4,0)、C(?3,?2)，又∵點A、B、C三點與點A′、B′、C′關于y軸，∴點A′、B′、C′的坐標分別為(1,2)、(4,0)、(3,?2)，即作圖如下：△A′B′C′即為所求，B′(4,0)；（2）選取網(wǎng)格點E、F，連接BE、EF、AF，構成梯形ABEF，如圖，根據(jù)網(wǎng)格圖可知BE=2，AF=4，EF=3，EC=1，CF=2，∴，，，∵，∴，即△ABC的面積為4．【點睛】本題考查了直角坐標系中求解坐標關于y軸對稱的對稱點坐標以及利用網(wǎng)格求解三角形面積的知識，掌握關于y軸對稱的兩個點的坐標，其縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)是解答本題的關鍵．6．（2022·河南·鄭州市第十九初級中學八年級期末）已知：如圖，已知△ABC．(1)寫出圖中A，B，C三個點的坐標．(2)畫出與△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1．(3)寫出△A1B1C1與△ABC對應點的坐標之間的關系．【答案】(1)，，；(2)圖見詳解(3)橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)【分析】（1）根據(jù)直角坐標系得出坐標即可；（2）直接利用關于軸對稱點的性質(zhì)得出對應點位置；（3）直接利用關于軸對稱點的性質(zhì)得出對應點坐標關系解答．（1）解：由坐標系可得：，，；（2）解：如圖所示：（3）解：由（2）可知：△與對應點的橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)．【點睛】此題主要考查了軸對稱變換，正確得出對應點位置是解題關鍵．題型10坐標系中的新定義問題1．（2022·浙江·八年級課時練習）數(shù)經(jīng)歷了從自然數(shù)到有理數(shù)，到實數(shù)，再到復數(shù)的發(fā)展過程，數(shù)學中把形如（，為實數(shù)）的數(shù)叫做復數(shù)，用表示，任何一個復數(shù)在平面直角坐標系中都可以用有序數(shù)對表示，如：表示為，則可表示為______．【答案】（2，－1）【分析】根據(jù)題目中的定義求解即可．【詳解】解：由題意，得：可表示為（2，－1），故答案為：（2，－1）．【點睛】本題考查了點的坐標，弄清題目中的新定義是解題的關鍵．2．（2022·浙江八年級）對于平面直角坐標系xOy中的點P（a，b），若點P的坐標為（a+kb，ka+b）（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱點P為點P的“k屬派生點”，例如：P（1，4）的“2屬派生點”為P（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．若點P在x軸的正半軸上，點P的“k屬派生點”為點P′，且線段PP′的長度為線段OP長度的5倍，則k的值為___．【答案】±5【分析】先根據(jù)點P在x軸正半軸確定出點P的坐標，然后利用k表示出P'的坐標，繼而表示出線段PP′的長，再根據(jù)線段PP′的長為線段OP長的5倍得到關于k的方程，解方程即可求得答案.【詳解】解：設P（m，0）（m＞0），由題意：P′（m，mk），∵PP′＝5OP，∴|mk|＝5m，∵m＞0，∴|k|＝5，∴k＝±5．故答案為：±5．【點睛】本題考查了新定義下的閱讀理解能力，涉及了點的坐標，絕對值的性質(zhì)，兩點間的距離等知識，正確理解新定義是解題的關鍵.3．（2022·山東七年級期末）對于平面直角坐標系xOy中的點P(a,b)，若點P的坐標為(a+kb,ka+b)（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱點P'為點P的“k屬派生點”.例如：P(1,4)的“2屬派生點”為P'(1+2×4,2×1+4)，即P'(9,6).（l）求點P(?2,3)的“3屬派生點”P'的坐標：（2）若點P的“5屬派生點”P'的坐標為(3,?9)，求點P的坐標：（3）若點P在x軸的正半軸上，點P的“收屬派生點”為P'點，且線段PP【答案】（1）(7,?3)；（2）點P(?2,3)；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)“k屬派生點”計算可得；（2）設點P的坐標為（x、y），根據(jù)“k屬派生點”定義及P′的坐標列出關于x、y的方程組，解之可得；（3）先得出點P′的坐標為（a，ka），由線段PP′的長度為線段OP長度的2倍列出方程，解之可得．【詳解】解：（1）點P(?2,3)的“3屬派生點”P'的坐標為(?2+3×3,?2×3+3)，即(7,?3)（2）設P(x,y)，依題意，得方程組：x+5y=35x+y=?9，解得x=?2，.∴點P(?2,3)（3）∵點P在x軸的正半軸上，

∴b=0，a＞0．∴點P的坐標為（a，0），點P′的坐標為（a，ka）

∴線段PP′的長為P′到x軸距離為|ka|．

∵P在x軸正半軸，線段OP的長為a，∴|ka|=2a，即|k|=2，∴k=±2．【點睛】考查坐標與圖形的性質(zhì)，熟練掌握新定義并列出相關的方程和方程組是解題的關鍵．4．（2022·北京市朝陽外國語學校七年級期中）在平面直角坐標系中，已知點，點（其中為常數(shù)，且），則稱是點的“族衍生點”．例如：點的“族衍生點”的坐標為，即．（1）點的“族衍生點”的坐標為

；（2）若點的“族衍生點”的坐標是，則點的坐標為

；（3）若點（其中），點的“族衍生點”為點，且，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用“m族衍生點”的定義可求解；（2）設點A坐標為（x，y），利用“m族衍生點”的定義列出方程組，即可求解；（3）先求出點A的“m族衍生點“為點B（x，mx），由AB＝OA，可求解．【詳解】解：（1）點的“族衍生點”的坐標為，即，故答案為：；（2）設點坐標為，由題意可得：，點坐標為，故答案為：．（3）點，點的“族衍生點”為點，，，，．【點睛】本題主要考查新定義問題，平面直角坐標系中關于y軸對稱的點的坐標特征，二元一次方程組的解法，準確根據(jù)題意解題是關鍵．5．（2022·廈門市第十一中學）在平面直角坐標系中，已知點，點（其中為常數(shù)，且），則稱是點的“系置換點”．例如：點的“3系置換點”的坐標為，即．（1）點(2，0)的“2系置換點”的坐標為________；（2）若點的“3系置換點”的坐標是(-4，11)，求點的坐標．（3）若點（其中），點的“系置換點”為點，且，求的值；【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)題中新定義直接將m的值代入即可得出答案；（2）根據(jù)題中新定義列出關于、的二元一次方程組求解即可得出答案；（3）根據(jù)題中新定義可得出點B的坐標，再根據(jù)列方程求解即可得出答案．【詳解】解：（1）點(2，0)的“2系置換點”的坐標為，即；（2）由題意得：解得：點A的坐標為：；（3）點為即點B坐標為，為常數(shù)，且．【點睛】本題考查二元一次方程組的解法、絕對值方程，理解“系置換點”的定義并能運用是本題的關鍵．6．（2022·長沙市七年級月考）閱讀理解，解答下列問題：在平面直角坐標系中，對于點A（x，y），若點B的坐標為（，），則稱點B為點A的“k級湘一點”，如點A（2，5）的“2級湘一點”為B（，），即B（9，）．（1）已知點P（，1）的“5級湘一點”為P1，則點P1的坐標為；（2）已知點Q的“4級湘一點”為Q1（5，3），求Q點的坐標；（3）如果點C（，）的“2級湘一點”C1在第二象限，①求c的取值范圍；②在①中，當c取最大整數(shù)時，連接OC1，坐標平面內(nèi)是否存在點M（2，），使得，若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（，）；（2）（，）；（3）①；②或【分析】（1）根據(jù)“k級湘一點”的定義，即可解答；（2）設，根據(jù)點Q的“4級湘一點”為Q1（5，3），可列出方程組，解出即可；（3）①根據(jù)“k級湘一點”的定義，求出點C1，再根據(jù)C1在第二象限，即可求解；②根據(jù)題意，求出，可得出直線OC1的解析式，從而得到當時，M、O、C1三點共線，繼而，然后分兩種情況討論，即可求解．【詳解】解：（1）∵點P（，1）的“5級湘一點”為P1，∴，即；（2）設，∵點Q的“4級湘一點”為Q1（5，3），∴，解得：，∴Q點的坐標為（，）；（3）①∵C1是點C（，）的“2級湘一點”，∴，即，∵C1在第二象限，∴，解得：；②存在，理由如下：∵，且c取最大整數(shù)，∴c=-2，∴，設直線OC1的解析式為，將代入，得：，解得：，∴設直線OC1的解析式為，∵M（2，），當M、O、C1三點共線時，有，解得：，即，∴當時，M、O、C1三點共線，∴，如圖，當，即點M在上方時，，∵，M（2，），∴，解得：，∴；當，即點M在下方時，，∴，解得：，∴，綜上所述，m的取值范圍為或．【點睛】本題主要考查了實數(shù)下的新定義，解二元一次方程組，平面直角坐標系內(nèi)求三角形的面積，理解新定義，并利用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．題型11點在坐標系內(nèi)的變化規(guī)律1．（2022·岳池縣七年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點出發(fā)，向右平移3個單位長度到達點，再向上平移6個單位長度到達點，再向左平移9個單位長度到達點，再向下平移12個單位長度到達點，再向右平移15個單位長度到達點……按此規(guī)律進行下去，該動點到達的點的坐標是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），???，探究規(guī)律可得A2021（3033，-3030），從而求解．【詳解】解：由題意A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），???，可以看出，9=，15=，21=，得到規(guī)律：點A2n+1的橫坐標為，其中的偶數(shù)，點A2n+1的縱坐標等于橫坐標的相反數(shù)+3，，即，故A2021的橫坐標為，A2021的縱坐標為，∴A2021（3033，-3030），故選：C．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化-平移，規(guī)律型問題，解題的關鍵是學會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．2．（2022·湖北七年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發(fā)，按向上．向右．向下．向右的方向依次平移，每次移動一個單位，得到，，，，…那么點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖象移動的得出移動4次一個循環(huán)，得出結果即可；【詳解】根據(jù)圖象可得移動4次圖象完成一個循環(huán)，∵，∴的坐標是；故答案選D．【點睛】本題主要考查了點的坐標規(guī)律題，準確計算是解題的關鍵．3．（2022·甘肅白銀市·八年級期末）如圖，點A(0，1)，點A1(2，0)，點A2(3，2)，點A3(5，1)…，按照這樣的規(guī)律下去，點A2021的坐標為___________．【答案】(3032，1010)【分析】觀察圖形得到奇數(shù)點的規(guī)律為，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），由于2021是奇數(shù)，且2021＝2n﹣1，則可求A2021（3032，1010）．【詳解】解：觀察圖形可得，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，∴A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），∵2021是奇數(shù)，且2021＝2n﹣1，∴n＝1011，∴A2021（3032，1010），故答案為：（3032，1010）．【點睛】本題考查了點的坐標規(guī)律，熟練掌握平面內(nèi)點的坐標，能夠根據(jù)圖形的變化得到點的坐標規(guī)律是解題的關鍵．4．（2022·扎魯特旗教師培訓中心七年級期末）在平面直角坐標系中，點經(jīng)過某種變換后得到點，我們把點叫做點的終結點已知點的終結點為點的終結點為，點的終結點為，這樣依次得到，若點的坐標為，則點的坐標為____【答案】【分析】利用點P（x，y）的終結點的定義分別寫出點P2的坐標為（1，4），點P3的坐標為（?3，3），點P4的坐標為（?2，?1），點P5的坐標為（2，0），…，從而得到每4次變換一個循環(huán)，然后利用2021＝4×505＋1可判斷點P2021的坐標與點P1的坐標相同．【詳解】解：根據(jù)題意得點P1的坐標為（2，0），則點P2的坐標為（1，4），點P3的坐標為（?3，3），點P4的坐標為（?2，-1），點P5的坐標為（2，0），…，而2021＝4×505+1，所以點P2021的坐標與點P1的坐標相同，為（2，0），故答案為：．【點睛】本題考查了坐標的變化規(guī)律探索，找出前5個點的坐標，找出變化規(guī)律，是解題的關鍵．5．（2022·山東泰安·七年級期末）在平面直角坐標系中，若干個邊長為1個單位長度的等邊三角形，按如圖中的規(guī)律擺放．點從原點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著等邊三角形的邊“”的路線運動，設第秒運動到點（為正整數(shù)），則點的坐標是______．【答案】【分析】通過觀察可得，An每6個點的縱坐標規(guī)律：，0，，0，-，0，點An的橫坐標規(guī)律：1，2，3，4，5，6，…，n，點從原點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿著等邊三角形的邊“…”的路線運動，1秒鐘走一段，P運動每6秒循環(huán)一次，點P運動n秒的橫坐標規(guī)律：，1，，2，，3，…，，點P的縱坐標規(guī)律：，0，，0，0，0，…，確定P2021循環(huán)余下的點即可．【詳解】解：∵圖中是邊長為1個單位長度的等邊三角形，∴A2（1，0）A4（2，0）A6（3，0）…∴An中每6個點的縱坐標規(guī)律：，0，，0，﹣，0，點從原點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿著等邊三角形的邊“…”的路線運動，1秒鐘走一段，P運動每6秒循環(huán)一次點P的縱坐標規(guī)律：，0，，0，-，0，…，點P的橫坐標規(guī)律：，1，，2，，3，…，，∵2021＝336×6+5，∴點P2021的縱坐標為，∴點P2021的橫坐標為，∴點P2021的坐標，故答案為：．【點睛】本題考查點的規(guī)律，平面直角坐標系中點的特點及等邊三角形的性質(zhì)，確定點的坐標規(guī)律是解題的關鍵．6．（2022·廈門市第十一中學）如圖，在平面直角坐標系中，軸，軸，點、、、在軸上，，，，，，把一條長為2021個單位長度且無彈性的細線（線的粗細忽略不計）的一端固定在處，并按的規(guī)律緊繞在圖形“凸”的邊上，則細線的另一端所在位置的點的坐標________．【答案】【分析】先求出“凸”形的周長為20，得到的余數(shù)為1，由此即可解決問題．【詳解】解：，，，，，∴，“凸”形的周長為20，又∵的余數(shù)為1，細線另一端所在位置的點在的中點處，坐標為．故答案為：．【點睛】本題考查規(guī)律型：點的坐標，解題的關鍵是理解題意，求出“凸”形的周長，屬于中考?？碱}型．題型12坐標系中的動點問題解題技巧：動點問題，通常假設運動時間為t，將時間t視作常數(shù)進行圖形分析，列出關于未知數(shù)t的方程，求解方程來解決。1．（2022·遼寧葫蘆島市·七年級期中）如圖，以直角三角形AOC的直角頂點O為原點，分別以OC，OA所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，點A（，），C（，），且．（1）C點的坐標為，A點的坐標為；（2）三角形AOC的面積是；（3）已知坐標軸上有兩動點P，Q，兩動點同時出發(fā)，點P從C點出發(fā)，沿x軸負方向以每秒個單位長度的速度勻速移動，Q點從O點出發(fā)，沿y軸正方向以每秒個單位長度的速度移動，Q點到達A點時，PQ同時停止移動．AC的中點D的坐標是（，），設運動時間為秒，求為何值時，三角形ODP的面積等于三角形ODQ的面積．【答案】（1）（6，0）（0，12）；（2）36；（3）時，三角形ODP的面積等于三角形ODQ的面積．【分析】（1）根據(jù)絕對值和算術平方根的非負性，求得a，c的值即可；（2）根據(jù)三角形面積公式進行解答即可；（3）根據(jù)D點坐標得到三角形的高，再根據(jù)三角形面積相等列出關于t的方程即可求解．【詳解】（1）∵，∴2c?a＝0，c?6＝0，解得a＝12，c＝6，∴A（0，12），C（6，0）；故答案案為：（6，0）；（0，12）（2）∵A（0，12），C（6，0）；∴OA=12，OC=6∴S△AOC＝×OA×OC＝×12×6＝36，故答案為：36；（3）∵AC的中點D的坐標是（，），∴三角形ODP底邊OP上的高為6，三角形ODQ底邊OQ上的高為3，由已知，得，，若使三角形ODP的面積等于三角形ODQ的面積則可列方程解，得，∴時，三角形ODP的面積等于三角形ODQ的面積．【點睛】本題考查三角形綜合題、非負數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關鍵是熟知三角形的面積公式，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考綜合題．2．（2022·汕頭市潮南區(qū)兩英鎮(zhèn)墻新學校七年級期末）如圖，在長方形OABC中，O為平面直角坐標系的原點，點A的坐標為（a，0），點C的坐標為（0，b）且a、b滿足+|b﹣6|＝0，點B在第一象限內(nèi)，點P從原點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著O﹣C﹣B﹣A﹣O的線路移動．（1）點B的坐標為；當點P移動3.5秒時，點P的坐標為；（2）在移動過程中，當點P到x軸的距離為4個單位長度時，求點P移動的時間；（3）在O﹣C﹣B的線路移動過程中，是否存在點P使△OBP的面積是10，若存在求出點P移動的時間；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（4,6），（1,6）；（2）2秒或6秒；（3）或.【分析】（1）利用非負數(shù)的性質(zhì)可以求得a、b的值，根據(jù)長方形的性質(zhì)，可以求得點B的坐標；根據(jù)題意點P從原點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著O-C-B-A-O的線路移動，可以得到當點P移動4秒時，點P的位置和點P的坐標；（2）由題意可以得到符合要求的有兩種情況，分別求出兩種情況下點P移動的時間即可．（3）分為點P在OC、BC上分類計算即可．【詳解】（1）∵a、b滿足+|b-6|=0，∴a-4=0，b-6=0，解得a=4，b=6，∴點B的坐標是（4，6），∵點P從原點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著O-C-B-A-O的線路移動，∴2×3.5=7，∵OA=4，OC=6，∴當點P移動4秒時，在線段CB上，離點C的距離是：7-6=1，即當點P移動4秒時，此時點P在線段CB上，離點C的距離是2個單位長度，點P的坐標是（1，6）；故答案為（4，6），（1，6）．（2）由題意可得，在移動過程中，當點P到x軸的距離為4個單位長度時，存在兩種情況，第一種情況，當點P在OC上時，點P移動的時間是：4÷2=2秒，第二種情況，當點P在BA上時．點P移動的時間是：（6+4+2）÷2=6秒，故在移動過程中，當點P到x軸的距離為4個單位長度時，點P移動的時間是2秒或6秒．（3）如圖1所示：∵△OBP的面積=10，∴OP?BC=10，即×4×OP=10．解得：OP=5．∴此時t=2.5s如圖2所示；∵△OBP的面積=10，∴PB?OC=10，即×6×PB=10．解得：BP=．∴CP=．∴OC+CP=6+=，∴此時t=s，綜上所述，滿足條件的時間t的值為2.5s或s．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形的面積，坐標與圖形的性質(zhì)，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答問題．3．（2022·吉林船營·初一期末）如圖①，長方形OABC，．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿邊向終點C運動，設點P運動時間為．（1）B點坐標為；（2）①當t=2時，則BP=；當t=4時，BP=；②當時，CP=；（用含t的式子表示）（3）如圖②，點p出發(fā)3s后，一直線l從y軸位置出發(fā)沿x軸正方向運動，且始終與y軸平行，運動速度為每秒2個單位長度．當t為何值時，點到直線的距離為2？【答案】（1）；（2）①1；1②；（3）或5時【分析】（1）根據(jù)、兩點坐標可得：長方形的長為4，寬為3，便可求出點坐標．（2）根據(jù)數(shù)形結合時，，時，，即可求解．（3）分類討論相遇前和相遇后的距離，根據(jù)總距離=所走的距離+所走的距離點到直線的距離，列出一元一次方程即可求解．【解析】（1）∵，∴，∴（2）①當時，∴當時，∴②當時，∴（3）分兩種情況：當點與直線相遇前時∴當點與直線相遇后∴∴當或時點到直線的距離為．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形的性質(zhì)，行程問題中相遇問題的等量關系，難點在于要分情況討論，根據(jù)相遇問題列出方程是解題的關鍵．4．（2022·江西興國·初二期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點，，，且滿足，P點從A點出發(fā)沿x軸正方向以每秒2個單位長度的速度勻速移動，Q點從O點出發(fā)沿y軸負方向以每秒1個單位長度的速度勻速移動．（1）直接寫出點A的坐標，點B的坐標，AO和BC位置關系是；（2）在P、Q的運動過程中，連接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出點P的坐標；（3）在P、Q的運動過程中，當∠CBQ＝30°時，請?zhí)骄俊螼PQ和∠PQB的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】（1）（－8，0）；（－4，－4）；平行（2）（，0）或（8，0）（3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°；理由見解析【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)分別求出a、b，得到點A、B、C的坐標，根據(jù)坐標與圖形性質(zhì)判斷AO和BC位置關系；（2）過B點作BE⊥AO于E，根據(jù)三角形的面積公式求出AP，得到點P的坐標；（3）分點Q在點C的上方、點Q在點C的下方兩種情況，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【解析】解：（1）∵，∴a＋8＝0，b＋4＝0，解得，a＝?8，b＝?4，則A（?8，0），B（?4，?4），C（0，?4），∵點B的坐標為（?4，?4），點C的坐標為（0，?4），∴BC∥AO，故答案為：（?8，0），（?4，?4），BC∥AO；（2）過B點作BE⊥AO于E，設時間經(jīng)過t秒，S△PAB＝4S△QBC，則AP＝2t，OQ＝t，BE＝4，BC＝4，①當點Q在點C的上方時，CQ＝4﹣t，∴S△APB＝AP?BE＝×2t×4＝4t，S△BCQ＝CQ?BC＝（4?t）×4＝8?2t，∵S△APB＝4S△BCQ，∴4t＝4（8﹣2t）解得，t＝，∴AP＝2t＝，∴OP＝OA﹣AP＝，∴點P