數(shù)學(xué)：314《概率加法公式》課件(新人教b版必修3)

3.1.4概率的加法公式

一、互斥事件、事件的并、對立事件1．互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件（或稱為互不相容事件）;2．事件的并：由事件A和B至少有一個發(fā)生（即A發(fā)生，或B發(fā)生，或A、B都發(fā)生）所構(gòu)成的事件C，稱為事件A與B的并（或和）。記作C=A∪B（或C=A+B）。事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件所組成的集合。3．對立事件：不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事件叫做互為對立事件。事件A的對立事件記作.例1.拋擲一顆骰子，觀察擲出的點數(shù).設(shè)事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點”，B為“出現(xiàn)2點”.已知P(A)=，P(B)=，求“出現(xiàn)奇數(shù)點或2點”的概率。這里的事件A和事件B不可能同時發(fā)生，這種不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件

設(shè)事件C為““出現(xiàn)奇數(shù)點”或2點”，它也是一個隨機事件。事件C與事件A、B的關(guān)系是：若事件A和事件B中至少有一個發(fā)生，則C發(fā)生；若C發(fā)生，則A，B中至少有一個發(fā)生，我們稱事件C為A與B的并(或和)

設(shè)事件C為““出現(xiàn)奇數(shù)點”或2點”，它也是一個隨機事件。事件C與事件A、B的關(guān)系是：若事件A和事件B中至少有一個發(fā)生，則C發(fā)生；若C發(fā)生，則A，B中至少有一個發(fā)生，我們稱事件C為A與B的并(或和)如圖中陰影部分所表示的就是A∪B.例2.判斷下列各對事件是否是互斥事件，并說明理由。某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，其中（1）恰有1名男生和恰有2名男生；（2）至少有1名男生和至少有1名女生；（3）至少有1名男生和全是男生；（4）至少有1名男生和全是女生。解：（1）是互斥事件；（2）不可能是互斥事件；（3）不可能是互斥事件；（4）是互斥事件；例3.判斷下列給出的每對事件，（1）是否為互斥事件，（2）是否為對立事件，并說明理由。從40張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花，點數(shù)從1~10各4張）中，任取1張：（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”。解：（1）是互斥事件，不是對立事件；（2）既是互斥事件，又是對立事件；（3）不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件；

所以對立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是對立事件。

假定事件A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)。二、互斥事件的概率加法公式證明：假定A、B為互斥事件，在n次試驗中，事件A出現(xiàn)的頻數(shù)為n1，事件B出現(xiàn)的頻數(shù)為n2，則事件A∪B出現(xiàn)的頻數(shù)正好是n1+n2，所以事件A∪B的頻率為

如果用μn(A)表示在n次試驗中事件A出現(xiàn)的頻率，則有μn(A∪B)=μn(A)+μn(B).

由概率的統(tǒng)計定義可知，P(A∪B)=P(A)+P(B)。一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于概率的和.

在求某些較為復(fù)雜事件的概率時，先將它分解為一些較為簡單的、并且概率已知（或較容易求出）的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整為零、化難為易”的功效，但需要注意的是使用該公式時必須檢驗是否滿足它的前提條件“彼此互斥”.例1中事件C：“出現(xiàn)奇數(shù)點或2點”的概率是事件A：“出現(xiàn)奇數(shù)點”的概率與事件B：“出現(xiàn)2點”的概率之和，即P(C)=P(A)+P(B)=例4.在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績在90分以上的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概率是0.09，計算小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成績的概率和小明考試及格的概率.解：分別記小明的成績在90分以上，在80~89分，在70~79分，在60~69分為事件B，C，D，E，這四個事件是彼此互斥的.

根據(jù)概率的加法公式，小明的考試成績在80分以上的概率是P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.小明考試及格的概率為P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.對立事件的概率若事件A的對立事件為A，則P(A)=1－P(A).證明：事件A與A是互斥事件，所以P(A∪A)=P(A)+P(A)，又A∪A=Ω，

而由必然事件得到P(Ω)=1,

故P(A)=1－P(A).在上面的例題中，若令A(yù)=“小明考試及格”,則A=“小明考試不及格”如果求小明考試不及格的概率，則由公式得P(A)=1－P(A)=1－0.93=0.07.即小明考試不及格的概率是0.07.例5.某戰(zhàn)士射擊一次，問：（1）若事件A=“中靶”的概率為0.95，則A的概率為多少？（2）若事件B=“中靶環(huán)數(shù)大于5”的概率為0.7，那么事件C=“中靶環(huán)數(shù)小于6”的概率為多少？（3）事件D=“中靶環(huán)數(shù)大于0且小于6”的概率是多少？解：因為A與A互為對立事件，（1）P(A)=1－P(A)=0.05；（2）事件B與事件C也是互為對立事件，所以P(C)=1－P(B)=0.3；（3）事件D的概率應(yīng)等于中靶環(huán)數(shù)小于6的概率減去未中靶的概率，即P(D)=P(C)－P(A)=0.3－0.05=0.25例6.盒內(nèi)裝有各色球12只，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中取1球，設(shè)事件A為“取出1只紅球”，事件B為“取出1只黑球”，事件C為“取出1只白球”，事件D為“取出1只綠球”.已知P(A)=，P(B)=,P(C)=，P(D)=，求：（1）“取出1球為紅或黑”的概率；（2）“取出1球為紅或黑或白”的概率.解：（1）“取出紅球或黑球”的概率為P(A∪B)=P(A)+P(B)=；（2）“取出紅或黑或白球”的概率為P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=。又（2）A∪B∪C的對立事件為D，所以P(A∪B∪C)=1－P(D)=即為所求.例7.某公務(wù)員去開會，他乘火車、輪船、汽車、飛機去的概率分別為0.3、0.2、0.1、0.4，（1）求他乘火車或乘飛機去的概率；（2）求他不乘輪船去的概率；（3）如果他乘某種交通工具去開會的概率為0.5，請問他有可能是乘何種交通工具去的？解：記“他乘火車去”為事件A，，“他乘輪船去”為事件B，“他乘汽車去”為事件C，“他乘飛機去”為事件D，這四個事件不可能同時發(fā)生，故它們彼此互斥，（1）故P(A∪C)=0.4；（2）設(shè)他不乘輪船去的概率為P，則P=1－P(B)=0.8；（3）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有可能乘火車或乘輪船去，也有可能乘汽車或乘飛機去。練習(xí)題：1．每道選擇題有4個選擇項，其中只有1個選擇項是正確的。某次考試共有12道選擇題，某人說：“每題選擇正確的概率是1/4，我每題都選擇第一個選擇項，則一定有3題選擇結(jié)果正確”這句話（）（A）正確（B）錯誤（C）不一定（D）無法解釋B2．從1，2，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)；②至少有一個奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù)。在上述事件中，是對立事件的是（）（A）①（B）②④（C）③（D）①③C3.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是,乙獲勝的概率是，則甲不勝的概率是（）

A.B.C.D.B4.從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C.“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”D.“至少有一個黑球”與“都是紅球”C5.抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則A的對立事件為（）

A.至多兩件次品

B.至多一件次品

C.至多兩件正品

D.至少兩件正品B6.從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個，其質(zhì)量小于4.8g的概率為0.3，質(zhì)量小于4.85g的概率為0.32，那么質(zhì)量在[4.8，4.85)(g)范圍內(nèi)的概率是（）

A.0.62B.0.38C.0.02D.0.68C7.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03、丙級品的概率為0.01，則對成品抽查一件抽得正品的概率為（）

A.0.09B.0.98C.0.97D.0.96D8.某射手射擊一次擊中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別是0.3，0.3，0.2，那么他射擊一次不夠8環(huán)的概率是

。0.29.某人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是

.兩次都不中靶10.我國西部一個地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內(nèi)的概率如下表所示：年降水量/mm［100，150）［150，200）［200，250）［250，300］概率0.210.160.130.12則年降水量在[200，300]（mm）范圍內(nèi)的概率是______________.0.2511.某射手在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.計算這個射手在一次射擊中：（1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率，（2）至少射中7環(huán)的概率；（3）射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率.0.520.870.29；

絕地求生輔助vfg80wiv了救仁家老夫人，你早就挨板子了。”沒得我?guī)屠蠇D人蓋好被子，鼠頭人又責(zé)罵道，“仁老夫人不用你瞎操心，待會兒就會有丫鬟來照料她，你做好你的本分就行?！甭犞箢^人這么講道，我也識趣的走了，但是我還是擔(dān)心不知這傅家會怎么對待仁老夫人。我已經(jīng)答應(yīng)了仁玉要好好照顧仁老夫人，但是自己在這里又沒什么權(quán)利，得想個辦法才行啊。9初到傅府|接新娘一事已經(jīng)完了，但我沒有忘記我要粘著傅家過日子的目的。我趕緊向鼠頭人身旁靠過去，恭敬地說道：“傅總管，那么現(xiàn)在我們是不是也該動身回傅家了？”鼠頭人用眼角瞄了我一眼，輕蔑地說道：“這事用不著你提醒，趕緊把你們家的下人叫過來，好了我們就出發(fā)回去。”“那現(xiàn)在就可以走了，這仁家就我一個下人?！蔽覒?yīng)和道?！皢?，就你一個下人??？”鼠頭人輕蔑中帶著滿滿地嘲笑意味反問道，“那也難怪，這爛屋子窮主人請不起仆人也是正常的?！边@話聽的我真不爽，心想，起碼這一屋子人都是能吃苦過活的好人，哪像你這只鼠頭，仗勢欺人，小心活命不長。也罷，我也就只有想