概率第二節(jié)-隨機(jī)變量的分布函數(shù)教學(xué)文稿

第二節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的概念分布函數(shù)的性質(zhì)小結(jié)一、分布函數(shù)的概念

如果將X看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間內(nèi)的概率.設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量(離散型或連續(xù)型)，稱為

X

的分布函數(shù).也可記為(1)在分布函數(shù)的定義中,X是隨機(jī)變量,x是參變量.

(2)F(x)是隨機(jī)變量X取值不大于x的概率.(3)

對(duì)任意實(shí)數(shù)x1<x2，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間(x1,x2]內(nèi)的概率為：P{x1<Xx2}

因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)請(qǐng)注意:

分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用高等數(shù)學(xué)的工具來研究隨機(jī)變量.當(dāng)

時(shí),當(dāng)

時(shí)，當(dāng)時(shí)，故下面我們從圖形上來看一看。分布函數(shù)圖注意右連續(xù)不難看出，

的圖形是階梯狀的圖形，在

處有跳躍，其躍度分別等于練習(xí)：拋擲均勻硬幣,令求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解二、分布函數(shù)的性質(zhì)(2)

如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù).也就是說，性質(zhì)(1)--(4)是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充分必要條件.(4)F(x)

右連續(xù)，即(3)試說明F(x)能否是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù).例

設(shè)有函數(shù)

F(x)

解注意到函數(shù)F(x)在上下降，不滿足性質(zhì)(2)，故F(x)不能是分布函數(shù).不滿足性質(zhì)(3)，可見F(x)也不能是r.v的分布函數(shù).或者分布函數(shù)分布律離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系通常，離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

F(x)是一個(gè)上升的右連續(xù)的階梯函數(shù).F(x)在X的每一個(gè)可能取值處()都有一個(gè)跳躍型間斷點(diǎn)，其躍度為思考：用隨機(jī)變量

X

的分布函數(shù)

F(x)表示下述概率

P(X>a)=?

P(X<a)=?

P(X=a)=?

解例已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)試求X的分布律.

解:(1)例已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)試求：(1)常數(shù)A，B之值；(2)P(|X|<1).(2)

解設(shè)F(x)為X

的分布函數(shù)，當(dāng)

x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=P(Xx)=00a當(dāng)

x>a

時(shí)，F(xiàn)(x)=1例

在區(qū)間[0，a]上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在[0,a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，試求X

的分布函數(shù).當(dāng)0xa

時(shí)，P(0Xx)=kx

(k為常數(shù))由于

P(0Xa)=1

ka=1，k=1/a

F(x)=P(Xx)=P(X<0)+P(0Xx)=x/