2024屆內(nèi)蒙古鄂爾多斯市西四旗高三上學(xué)期期末綜合模擬數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古鄂爾多斯市西四旗2024屆高三上學(xué)期期末綜合模擬數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題1.集合，則間的關(guān)系是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，，則，，，選項A、C、D錯誤，B正確.故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以，則，又，所以，即.故選：C．3.已知符號函數(shù)，則“”是“”的（

）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則同號，所以或，即或，即，所以“”是“”的充要條件.故選：A4.已知單位向量與單位向量的夾角為，則（

）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】，故.故選：D.5.教室通風(fēng)的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣.按照國家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應(yīng)不超過.經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)至少需要的時間為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A.11分鐘 B.13分鐘 C.15分鐘 D.17分鐘【答案】B【解析】由題意得，當(dāng)時，，將其代入解析式，解得，故解析式為，令，解得，化簡得，結(jié)合，可得，所以該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)至少需要的時間為13分鐘.故選：B.6.已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能為（）A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5【答案】D【解析】由題意得，正方體的正視圖的面積最小為（為正方體的一個面），正方體的正視圖的面積最大為（為正方體的對角面），所以正方體正視圖的面積取值范圍為，無法取得1.5.故選：D.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則（）A.輸出的的最小值為，最大值為5 B.輸出的的最小值為，最大值為6C.輸出的的最小值為，最大值為5 D.輸出的的最小值為，最大值為6【答案】D【解析】作出不等式組表示的可行域，如圖，聯(lián)立可得，聯(lián)立可得，由圖可知，當(dāng)直線過點時，取得最大值5，當(dāng)直線過點時，取得最小值，因為，且，所以輸出的最小值為，最大值為6.故選：D8.函數(shù)的最小值為（

）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】因為，所以函數(shù)的最小值為.故選：B.9.已知數(shù)列，且，則數(shù)列的前2023項之和為（

）A.2 B.3 C.2023 D.2024【答案】A【解析】數(shù)列中，，且，所以令，得，令，得，同理可得，所以，所以數(shù)列的前2023項之和等于數(shù)列的第1項，等于2.故選：A10.已知，是橢圓的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，為等腰直角三角形，且，則C的離心率為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示，由橢圓，得到左頂點，又由過點且斜率為的直線，可得方程為，因為為等腰直角三角形，且，可得，代入直線，可得，整理得，所以橢圓的離心率為.故選：A.11.已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有3個實根，則的取值范圍是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，由，即，在區(qū)間上恰有3個實根，則，解得.故選：D12.若過點可以作三條直線與曲線：相切，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)一個切點為，則由，可得該點處的切線方程，當(dāng)經(jīng)過點時，有，即，則過點切線的條數(shù)即為方程的解的個數(shù).設(shè)，則，當(dāng)或時，當(dāng)時，，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，當(dāng)時，，又由，，可得時，有三個解，故選：D.二、填空題13.已知雙曲線：的焦距為8，則雙曲線的焦點到漸近線的距離為________.【答案】【解析】由題意可知：，且焦點在x軸上，則，不妨設(shè)其中一個焦點為，漸近線為，即，所以雙曲線的焦點到漸近線的距離為.故答案為：.14.德國大數(shù)學(xué)家高斯被譽為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，此方法也稱為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則=_______.【答案】【解析】由函數(shù)，可得，令，兩式相加，可得，所以.故答案為：.15.下列四個命題中為真命題的是_________.（寫出所有真命題的序號）①若隨機(jī)變量服從二項分布，則其方差；②若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則；③已知一組數(shù)據(jù)的方差是3，則的方差是6；④對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是.【答案】①②④【解析】對于①，若隨機(jī)變量服從二項分布，則其方差，故①正確；對于②，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則，故②正確；對于③，已知一組數(shù)據(jù)的方差是3，則的方差是，故③錯誤；對于④，對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則，則，即實數(shù)的值是，故④正確.故答案為：①②④16.已知都在球的球面上，且平面．在球內(nèi)任取一點，則該點落在三棱錐內(nèi)的概率為______．【答案】【解析】由題可知，所以，如圖設(shè)外接圓的圓心為，連接取中點為，連接，則平面，因為，所以，所以四邊形為矩形，所以，在中，，由正弦定理得，所以球O的半徑，所以，所以在球內(nèi)任取一點，則該點落在三棱錐內(nèi)的概率為故答案為：三、解答題（一）必考題17.在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足______．（1）求C；（2）點D在邊AB上，且，，求．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分．解：（1）選條件①：由，可得，由正弦定理得，因為，所以，所以，故，又，于是，即，因為，所以．選條件②：由題意知，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，又，所以．（2）由（1）得，故，在中，由正弦定理得，又，所以，在中，，因為，故，即，故．又由（1）知，所以，解得，可得．18.為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示.（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；（1）求的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率；（2）以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出件，記這件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）因為，所以，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)超過130的頻率為，所以這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為；（2）因為抽到產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的頻率為0.25，以頻率作為概率，所以每件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為，所以4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)，則，，所以，，，，，所以的分布列為01234P.19.如圖，在中，分別為的中點，為的中點，，.將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖．（1）求證：．（2）線段上是否存在點，使得直線和所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．（1）證明：，分別為中點，，即，為中點，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）解：取中點，連接，，為中點，，即，，；則以坐標(biāo)原點，正方向為軸正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，假設(shè)在線段上存在點，使得直線和所成角的余弦值為，設(shè)，則，，，整理可得：，解得：，存在滿足題意的點，此時.20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2.（1）求曲線的方程；（2）已知是曲線上一點，是曲線上異于點的兩個動點，設(shè)直線、的傾斜角分別為，且，則直線是否經(jīng)過定點？若是，請求出該定點，若不是，請說明理由.解：（1）設(shè)為曲線上任意一點，依題意，點到點的距離與到直線的距離相等，所以點的軌跡是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為；（2）由（1）可得，當(dāng)直線?中其中一條的斜率不存在時，不妨設(shè)，，易得，直線的直線為，與聯(lián)立，可得，故直線的方程為；當(dāng)直線?的斜率都存在時，設(shè)直線?的斜率分別為，設(shè)，所以，同理可得，因為，所以，所以，即，所以，所以，即，由題意，斜率不為0，設(shè)方程為，聯(lián)立，消整理得，所以，，，所以，即，所以，令，得，，此時有定點，當(dāng)直線?中其中一條的斜率不存在時，直線過，符合題意.綜上所述，直線經(jīng)過定點21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求在區(qū)間上的最值；（2）若有兩個不同的零點，證明：.（1）解：當(dāng)時，，.由，得；由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.因為，，所以在區(qū)間上的最大值為0，最小值為.（2）證明：.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，不可能有兩個零點，舍去；當(dāng)時，所以，由，得，所以在上單調(diào)遞增；由，得，所以在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，取得極大值，極大值為，為滿足題意，必有，得.因為是兩個不同的零點，所以，兩式相減得.設(shè)，要證，只需證，即證.設(shè)，只需證，設(shè)，則，所以在上為增函數(shù)，從而，所以成立，從而（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，射線l的方程為，曲線C的方程為．以坐標(biāo)原點為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求射線l和曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）若射線l與曲線C交于點P，將射線繞極點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)交C于點Q，求的面積．解：（1）將代入得，所以，所以射線l的極坐標(biāo)方程為,將代入得,所以曲線C的極坐標(biāo)方程為;（2）由題可知，可以設(shè)，，則，，所以,所以.[選修4—5：不等式選講]23.已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為，且（，）.求證：（1）解：因為，所以不等式等價于或或，解得或或，綜上可得不等式的解集為.（2）證明：由（1）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得，所以，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以原不等式成立.

內(nèi)蒙古鄂爾多斯市西四旗2024屆高三上學(xué)期期末綜合模擬數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題1.集合，則間的關(guān)系是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，，則，，，選項A、C、D錯誤，B正確.故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以，則，又，所以，即.故選：C．3.已知符號函數(shù)，則“”是“”的（

）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則同號，所以或，即或，即，所以“”是“”的充要條件.故選：A4.已知單位向量與單位向量的夾角為，則（

）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】，故.故選：D.5.教室通風(fēng)的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣.按照國家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應(yīng)不超過.經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)至少需要的時間為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A.11分鐘 B.13分鐘 C.15分鐘 D.17分鐘【答案】B【解析】由題意得，當(dāng)時，，將其代入解析式，解得，故解析式為，令，解得，化簡得，結(jié)合，可得，所以該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)至少需要的時間為13分鐘.故選：B.6.已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能為（）A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5【答案】D【解析】由題意得，正方體的正視圖的面積最小為（為正方體的一個面），正方體的正視圖的面積最大為（為正方體的對角面），所以正方體正視圖的面積取值范圍為，無法取得1.5.故選：D.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則（）A.輸出的的最小值為，最大值為5 B.輸出的的最小值為，最大值為6C.輸出的的最小值為，最大值為5 D.輸出的的最小值為，最大值為6【答案】D【解析】作出不等式組表示的可行域，如圖，聯(lián)立可得，聯(lián)立可得，由圖可知，當(dāng)直線過點時，取得最大值5，當(dāng)直線過點時，取得最小值，因為，且，所以輸出的最小值為，最大值為6.故選：D8.函數(shù)的最小值為（

）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】因為，所以函數(shù)的最小值為.故選：B.9.已知數(shù)列，且，則數(shù)列的前2023項之和為（

）A.2 B.3 C.2023 D.2024【答案】A【解析】數(shù)列中，，且，所以令，得，令，得，同理可得，所以，所以數(shù)列的前2023項之和等于數(shù)列的第1項，等于2.故選：A10.已知，是橢圓的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，為等腰直角三角形，且，則C的離心率為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示，由橢圓，得到左頂點，又由過點且斜率為的直線，可得方程為，因為為等腰直角三角形，且，可得，代入直線，可得，整理得，所以橢圓的離心率為.故選：A.11.已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有3個實根，則的取值范圍是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，由，即，在區(qū)間上恰有3個實根，則，解得.故選：D12.若過點可以作三條直線與曲線：相切，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)一個切點為，則由，可得該點處的切線方程，當(dāng)經(jīng)過點時，有，即，則過點切線的條數(shù)即為方程的解的個數(shù).設(shè)，則，當(dāng)或時，當(dāng)時，，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，當(dāng)時，，又由，，可得時，有三個解，故選：D.二、填空題13.已知雙曲線：的焦距為8，則雙曲線的焦點到漸近線的距離為________.【答案】【解析】由題意可知：，且焦點在x軸上，則，不妨設(shè)其中一個焦點為，漸近線為，即，所以雙曲線的焦點到漸近線的距離為.故答案為：.14.德國大數(shù)學(xué)家高斯被譽為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，此方法也稱為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則=_______.【答案】【解析】由函數(shù)，可得，令，兩式相加，可得，所以.故答案為：.15.下列四個命題中為真命題的是_________.（寫出所有真命題的序號）①若隨機(jī)變量服從二項分布，則其方差；②若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則；③已知一組數(shù)據(jù)的方差是3，則的方差是6；④對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是.【答案】①②④【解析】對于①，若隨機(jī)變量服從二項分布，則其方差，故①正確；對于②，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則，故②正確；對于③，已知一組數(shù)據(jù)的方差是3，則的方差是，故③錯誤；對于④，對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則，則，即實數(shù)的值是，故④正確.故答案為：①②④16.已知都在球的球面上，且平面．在球內(nèi)任取一點，則該點落在三棱錐內(nèi)的概率為______．【答案】【解析】由題可知，所以，如圖設(shè)外接圓的圓心為，連接取中點為，連接，則平面，因為，所以，所以四邊形為矩形，所以，在中，，由正弦定理得，所以球O的半徑，所以，所以在球內(nèi)任取一點，則該點落在三棱錐內(nèi)的概率為故答案為：三、解答題（一）必考題17.在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足______．（1）求C；（2）點D在邊AB上，且，，求．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分．解：（1）選條件①：由，可得，由正弦定理得，因為，所以，所以，故，又，于是，即，因為，所以．選條件②：由題意知，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，又，所以．（2）由（1）得，故，在中，由正弦定理得，又，所以，在中，，因為，故，即，故．又由（1）知，所以，解得，可得．18.為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示.（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；（1）求的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率；（2）以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出件，記這件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）因為，所以，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)超過130的頻率為，所以這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為；（2）因為抽到產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的頻率為0.25，以頻率作為概率，所以每件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為，所以4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)，則，，所以，，，，，所以的分布列為01234P.19.如圖，在中，分別為的中點，為的中點，，.將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖．（1）求證：．（2）線段上是否存在點，使得直線和所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．（1）證明：，分別為中點，，即，為中點，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）解：取中點，連接，，為中點，，即，，；則以坐標(biāo)原點，正方向為軸正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，假設(shè)在線段上存在點，使得直線和所成角的余弦值為，設(shè)，則，，，整理可得：，解得：，存在滿足題意的點，此時.20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2.（1）求曲線的方程；（2）已知是曲線上一點，是曲線上異于點的兩個動點，設(shè)直線、的傾斜角分別為，且，則直線是否經(jīng)過定點？若是，請求出該定點，若不是，請說明理由.解：（1）設(shè)為曲線上任意一點，依題意，點到點的距離與到直線的距離相等，所以點的