2024屆浙江省紹興市柯橋區(qū)高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省紹興市柯橋區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合或，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，解得，則，由或，得，所以.故選：C2.若（，為虛數(shù)單位），則（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】由，得，，則.故選：B.3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.4.已知平面向量，，若，則（）A.或 B.或C.或3 D.或3【答案】A【解析】，且，，即，，即，或.故選：A.5.已知命題：函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則命題成立的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，得，解得，即命題成立的充要條件是，顯然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，當(dāng)時(shí)，不一定成立，所以命題成立的一個(gè)必要不充分條件是.故選：D6.直線交曲線于點(diǎn)A，B，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】即，則直線恒過(guò)定點(diǎn),且曲線的圓心為,將點(diǎn)代入圓方程得，所以點(diǎn)在圓內(nèi).設(shè)圓心到直線的距離為，則，因?yàn)閳A心到直線距離的最大值為直線所過(guò)定點(diǎn)與圓心的距離，即，.故選：B.7.已知x為正實(shí)數(shù)，y為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由x為正實(shí)數(shù)，y為非負(fù)實(shí)數(shù)，得，由，得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B8.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，設(shè)，則，設(shè)，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，即，當(dāng)時(shí)，則，不妨取，即，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，即，而有在上恒成立，，即，綜上可得故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集可能是（）A.或 B.C. D.【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或，故A正確；當(dāng)時(shí)，，若，則解集為空集；若，則不等式的解為：，故D正確；若，則不等式的解為：，故C正確.故選：ACD10.已知直線m，n為異面直線，平面，平面，則下列線面關(guān)系可能成立的是（）A. B.平面C.平面平面 D.平面平面【答案】AD【解析】對(duì)AD，當(dāng)平面平面，且時(shí)，兩直線可以為異面直線，故AD正確；對(duì)C，若平面平面，則，則共面，這與直線m，n為異面直線矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)平面時(shí)，則平面平面，此時(shí)與C錯(cuò)誤一致，故B錯(cuò)誤.故選：AD.11.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.C.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值 D.【答案】AB【解析】等差數(shù)列中，，解得，，解得，于是等差數(shù)列的公差，，前項(xiàng)和，對(duì)于A，顯然，，因此數(shù)列是等比數(shù)列，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，顯然等差數(shù)列單調(diào)遞減，前4項(xiàng)均為正數(shù)，第5項(xiàng)為0，從第6項(xiàng)起都為負(fù)數(shù)，因此當(dāng)或時(shí)，取得最大值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，因此，D錯(cuò)誤.故選：AB12.雙曲線：上一動(dòng)點(diǎn)，，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為的內(nèi)切圓圓心，連接交軸于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的內(nèi)切圓上B.C.D.當(dāng)時(shí)，【答案】AB【解析】對(duì)A，當(dāng)點(diǎn)位于雙曲線右支時(shí)，設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于點(diǎn)，，，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有，再根據(jù)雙曲線的定義，有，，得到，設(shè)，則有，解得，即，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的內(nèi)切圓上，故A正確；對(duì)B，以下證明雙曲線焦半徑公式，設(shè)點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線左側(cè)，此時(shí)左準(zhǔn)線方程為，則，則，根據(jù)可得，若點(diǎn)在雙曲線右側(cè)，此時(shí)右準(zhǔn)線方程為，則，則，根據(jù)可得，對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線右支上時(shí)，由于為的角平分線，因此，結(jié)合，得到，同理當(dāng)點(diǎn)在雙曲線左支上時(shí)，由于為的角平分線，因此，解得，故B正確；對(duì)C，當(dāng)點(diǎn)位于雙曲線右支上時(shí)，由于為的內(nèi)心，軸，根據(jù)A選項(xiàng)的結(jié)論可知的橫坐標(biāo)為，設(shè)，根據(jù)三角形的面積公式，有，即得到，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在雙曲線的左支上，同A選項(xiàng)方法可得，同C選項(xiàng)方法（或根據(jù)雙曲線對(duì)稱性可得）可得，顯然，，則，故D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開式中的含的項(xiàng)的系數(shù)為___________.【答案】270【解析】由展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，解得，所以展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：270.14.已知函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，則正整數(shù)的值是___________【答案】5【解析】，時(shí)，或，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，在左端點(diǎn)處無(wú)法取到極值，，而，所以，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故答案為：5.15.盧浮宮金字塔位于巴黎盧浮宮的主院，是由美籍華人建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的，已成為巴黎的城市地標(biāo)，盧浮宮金字塔為正四棱錐造型，該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，若該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該外接球的表面積是___________.【答案】【解析】如圖，因?yàn)?，所以球心在的延長(zhǎng)線上，因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為，高為，所以，設(shè)，，則，解得，所以半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：16.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交C于A、B兩點(diǎn)，直線、分別交C于M、N，則的最小值為___________【答案】9【解析】設(shè)，直線：，則，得，所以，則，由過(guò)焦點(diǎn)，設(shè)直線：，則，得，所以，則，同理可得，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知銳角的內(nèi)角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.解：（1）由已知得，，則根據(jù)正弦定理得，，為銳角三角形，．（2）由正弦定理得，即，則，，因?yàn)?，解得，得，所以，得?8.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若為等差數(shù)列，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求.解：（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，，，，，，則，，，又，，.（2）由（1）得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，.19.臨近新年，某水果店購(gòu)入A，B，C三種水果，數(shù)量分別是36箱，27箱，18箱.現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取9箱，進(jìn)行質(zhì)量檢查.（1）應(yīng)從A，B，C三種水果各抽多少箱?（2）若抽出的9箱水果中，有5箱質(zhì)量上乘，4箱質(zhì)量一般，現(xiàn)從這9箱水果中隨機(jī)抽出4箱送有關(guān)部門檢測(cè).①用X表示抽取的4箱中質(zhì)量一般的箱數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②設(shè)A為事件“抽取的4箱水果中，既有質(zhì)量上乘的，也有質(zhì)量一般的水果”，求事件A發(fā)生的概率.解：（1）由題意知：，所以應(yīng)從A，B，C三種水果各抽4，3，2箱.（2）①由題意可知：X的可能取值為0，1，2，3，4，則有：，，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P所以隨機(jī)變量X的期望為；②由題意可知：為事件“抽取的4箱水果中，都是質(zhì)量上乘的，或都是質(zhì)量一般的水果”，所以.20.如圖，在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，.（1）求證：；（2）若平面平面，在線段（包含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)E，使得平面平面，若存在，求出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.證明：（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以，由，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；解：（2）由（1）得，因平面平面且交線為，且平面，所以平面，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，則設(shè)平面的法向量為則，令，所以，若平面平面，則，求得，此時(shí)，所以．即此時(shí).21.已知橢圓：與圓交于M，N兩點(diǎn)，直線過(guò)該圓圓心，且斜率為，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于D、E兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，.（1）求橢圓的離心率；（2）若，求的值.解：（1）由已知得，中點(diǎn)為，設(shè)，則，，，作差得，即，由得，，得.（2）由（1）及題設(shè)得橢圓的方程為：，則，則其右焦點(diǎn)，，，設(shè)，直線的方程為，，，過(guò)作軸的垂線交分別于點(diǎn)，，則直線，令，則，得同理直線，得得，所以由（※）知，，得．.22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若方程有兩個(gè)解，求證：.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.證明：（2）由（1）知，函數(shù)在，上的取值集合均為，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)解，其中一個(gè)解小于1，一個(gè)解大于1，不妨設(shè)，要證，即證，而，只證，又，即證，而，即證：，亦即，設(shè)，求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，而，于是，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，令，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，即，從而，所以.浙江省紹興市柯橋區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合或，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，解得，則，由或，得，所以.故選：C2.若（，為虛數(shù)單位），則（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】由，得，，則.故選：B.3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.4.已知平面向量，，若，則（）A.或 B.或C.或3 D.或3【答案】A【解析】，且，，即，，即，或.故選：A.5.已知命題：函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則命題成立的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，得，解得，即命題成立的充要條件是，顯然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，當(dāng)時(shí)，不一定成立，所以命題成立的一個(gè)必要不充分條件是.故選：D6.直線交曲線于點(diǎn)A，B，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】即，則直線恒過(guò)定點(diǎn),且曲線的圓心為,將點(diǎn)代入圓方程得，所以點(diǎn)在圓內(nèi).設(shè)圓心到直線的距離為，則，因?yàn)閳A心到直線距離的最大值為直線所過(guò)定點(diǎn)與圓心的距離，即，.故選：B.7.已知x為正實(shí)數(shù)，y為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由x為正實(shí)數(shù)，y為非負(fù)實(shí)數(shù)，得，由，得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B8.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，設(shè)，則，設(shè)，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，即，當(dāng)時(shí)，則，不妨取，即，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，即，而有在上恒成立，，即，綜上可得故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集可能是（）A.或 B.C. D.【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或，故A正確；當(dāng)時(shí)，，若，則解集為空集；若，則不等式的解為：，故D正確；若，則不等式的解為：，故C正確.故選：ACD10.已知直線m，n為異面直線，平面，平面，則下列線面關(guān)系可能成立的是（）A. B.平面C.平面平面 D.平面平面【答案】AD【解析】對(duì)AD，當(dāng)平面平面，且時(shí)，兩直線可以為異面直線，故AD正確；對(duì)C，若平面平面，則，則共面，這與直線m，n為異面直線矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)平面時(shí)，則平面平面，此時(shí)與C錯(cuò)誤一致，故B錯(cuò)誤.故選：AD.11.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.C.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值 D.【答案】AB【解析】等差數(shù)列中，，解得，，解得，于是等差數(shù)列的公差，，前項(xiàng)和，對(duì)于A，顯然，，因此數(shù)列是等比數(shù)列，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，顯然等差數(shù)列單調(diào)遞減，前4項(xiàng)均為正數(shù)，第5項(xiàng)為0，從第6項(xiàng)起都為負(fù)數(shù)，因此當(dāng)或時(shí)，取得最大值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，因此，D錯(cuò)誤.故選：AB12.雙曲線：上一動(dòng)點(diǎn)，，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為的內(nèi)切圓圓心，連接交軸于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的內(nèi)切圓上B.C.D.當(dāng)時(shí)，【答案】AB【解析】對(duì)A，當(dāng)點(diǎn)位于雙曲線右支時(shí)，設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于點(diǎn)，，，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有，再根據(jù)雙曲線的定義，有，，得到，設(shè)，則有，解得，即，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的內(nèi)切圓上，故A正確；對(duì)B，以下證明雙曲線焦半徑公式，設(shè)點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線左側(cè)，此時(shí)左準(zhǔn)線方程為，則，則，根據(jù)可得，若點(diǎn)在雙曲線右側(cè)，此時(shí)右準(zhǔn)線方程為，則，則，根據(jù)可得，對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線右支上時(shí)，由于為的角平分線，因此，結(jié)合，得到，同理當(dāng)點(diǎn)在雙曲線左支上時(shí)，由于為的角平分線，因此，解得，故B正確；對(duì)C，當(dāng)點(diǎn)位于雙曲線右支上時(shí)，由于為的內(nèi)心，軸，根據(jù)A選項(xiàng)的結(jié)論可知的橫坐標(biāo)為，設(shè)，根據(jù)三角形的面積公式，有，即得到，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在雙曲線的左支上，同A選項(xiàng)方法可得，同C選項(xiàng)方法（或根據(jù)雙曲線對(duì)稱性可得）可得，顯然，，則，故D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開式中的含的項(xiàng)的系數(shù)為___________.【答案】270【解析】由展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，解得，所以展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：270.14.已知函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，則正整數(shù)的值是___________【答案】5【解析】，時(shí)，或，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，在左端點(diǎn)處無(wú)法取到極值，，而，所以，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故答案為：5.15.盧浮宮金字塔位于巴黎盧浮宮的主院，是由美籍華人建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的，已成為巴黎的城市地標(biāo)，盧浮宮金字塔為正四棱錐造型，該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，若該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該外接球的表面積是___________.【答案】【解析】如圖，因?yàn)?，所以球心在的延長(zhǎng)線上，因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為，高為，所以，設(shè)，，則，解得，所以半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：16.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交C于A、B兩點(diǎn)，直線、分別交C于M、N，則的最小值為___________【答案】9【解析】設(shè)，直線：，則，得，所以，則，由過(guò)焦點(diǎn)，設(shè)直線：，則，得，所以，則，同理可得，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知銳角的內(nèi)角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.解：（1）由已知得，，則根據(jù)正弦定理得，，為銳角三角形，．（2）由正弦定理得，即，則，，因?yàn)?，解得，得，所以，得?8.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若為等差數(shù)列，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求.解：（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，，，，，，則，，，又，，.（2）由（1）得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，.19.臨近新年，某水果店購(gòu)入A，B，C三種水果，數(shù)量分別是36箱，27箱，18箱.現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取9箱，進(jìn)行質(zhì)量檢查.（1）應(yīng)從A，B，C三種水果各抽多少箱?（2）若抽出的9箱水果中，有5箱質(zhì)量上乘，4箱質(zhì)量一般，現(xiàn)從這9箱水果中隨機(jī)抽出4箱送有關(guān)部門檢測(cè).①用X表示抽取的4箱中質(zhì)量一般的箱數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②設(shè)A為事件“抽取的4箱水果中，既有質(zhì)量上乘的，也有質(zhì)量一般的水果”，求事件A發(fā)生的概率.解：（1）由題意知：，所以應(yīng)從A，B，C三種水果各抽4，3，2箱.（2）①由題意可知：X的可能取值為0，1，2，3，4，則有：，，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P所以隨機(jī)變量X的期