2025屆安徽省卓越縣中聯(lián)盟高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省卓越縣中聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故.故選：A2.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，，則，，所以.故選：D3.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，，則在上的投影向量為.故選：A4.記為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.6 B.9 C.12 D.15【答案】B【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由題意知，，所以，，成等比數(shù)列，所以，即，解得（舍負(fù)）.故選：B.5.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?故選：C.6.在中，，，，其中，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,,因?yàn)?，所以，所以，即，故選：C7.若為偶函數(shù)，則（）A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值2 D.有最小值2【答案】D【解析】的定義域?yàn)镽，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，整理得，即對(duì)任意R均成立，所以，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以在恒成立，所以在單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，所以，故選：D.8.設(shè)表示實(shí)數(shù)中的最小值，若函數(shù)，函數(shù)有六個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】畫(huà)出的圖象如下：令，則函數(shù)至多兩個(gè)零點(diǎn)，而至多三個(gè)根，同理至多三個(gè)根，要想有六個(gè)不同的零點(diǎn)，需有兩個(gè)不相等零點(diǎn)，不妨設(shè)，且和均有三個(gè)根，且根各不相同，所以，由韋達(dá)定理得，，顯然，故，故，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，所以，此時(shí)滿(mǎn)足，故故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.要得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（）A.以軸為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn) B.以軸為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn)C.繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) D.繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)【答案】ABD【解析】，對(duì)于A，將的函數(shù)圖象以軸為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，得到函數(shù)的圖象，故A正確；對(duì)于B，將的函數(shù)圖象以軸為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，得到函數(shù)的圖象，故B正確；對(duì)于C，將的函數(shù)圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)函數(shù)為hx，則hx上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在上，則，化簡(jiǎn)得，故D正確；故選：ABD.10.對(duì)任意正整數(shù)，設(shè)是使成立的正整數(shù)的最小值，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.， B.，C. D.【答案】BC【解析】由題意知，，是使得成立的正整數(shù)的最小值，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為正整數(shù)，所以，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不是正整數(shù)，所以，所以，所以，對(duì)于A項(xiàng)，，，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)和處的切線斜率互為相反數(shù)，且這兩條切線交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】由題可知，，當(dāng)時(shí)，顯然f'x單調(diào)遞增，，所以，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f'x>0，所以，故選項(xiàng)A正確；由題可知，，即，由基本不等式可知，，因?yàn)?，所以，?-ax不妨令，得，令，因?yàn)?，顯然單調(diào)遞增，，所以要使，則，即，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以令，則，令gx顯然，，令Gx則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即g'所以，在時(shí)單調(diào)遞增，所以，即，顯然，所以fx即，故選項(xiàng)C正確；設(shè)，的斜率分別為，則，由于fx=ex+a所以，故單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，顯然，所以fx所以，因?yàn)椋訟C>BC，故選項(xiàng)D故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)_____．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，，解得或（舍），綜上所述：，故答案為：13.已知函數(shù)在上的最小值為-1，則_____．【答案】【解析】，時(shí)，，在上的最小值為-1，故，解得.故答案為：14.已知集合，集合，若，則的最小值為_(kāi)____，的最大值為_(kāi)____．【答案】【解析】令，由，得，則，顯然，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，而，因此，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，得，所以的最小值為2，的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，其前項(xiàng)和記為．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．解：（1）因?yàn)?，所以，所以是公差為的等差?shù)列．又，所以，從而公差為1，所以．（2），，所以，因?yàn)?，所以，不等式得證.16.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求的最小值．解：（1）由已知得，令，得，解得，．當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）不妨令，．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，且由（1）可知．所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，且由（1）可知．所以，所以，故的最小值為．17.如圖，在平面四邊形中，與的交點(diǎn)為E，平分，，．（1）證明：；（2）若，求．（1）證明：如圖，由題意知，則，由余弦定理得，即，整理得，因?yàn)?，所以．?）解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以．又因?yàn)椋?，所以四邊形是等腰梯形，所以．設(shè)，則，解得．．在中，由正弦定理可得，又因?yàn)?，所以?8.已知函數(shù)，．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，求的值；（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求的取值范圍．解：（1）由已知得，所以，且，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，得．?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．要使恒成立，則需．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以的解為，故．（3）易知，不妨設(shè)，則，即，所以或．由（2）知，的極小值點(diǎn)為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)若存在，則必有，不符合題意．當(dāng)時(shí)，，所以，，所以在上一定存在一個(gè)零點(diǎn)．要使，由單調(diào)性可知，只需，即，解得.19.過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，在軸上的射影為，過(guò)作的切線，切點(diǎn)為，在軸上的射影為，再過(guò)作的切線……每次作的切線斜率均大于0，像這樣重復(fù)操作，得到一系列點(diǎn)，，，…，設(shè)的橫坐標(biāo)為．（1）若，直接寫(xiě)出，，的值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）證明：．（1）解：當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，設(shè)，則切線方程，于是，而，解得，點(diǎn)，則，；曲線在點(diǎn)處切線，由，而，解得，點(diǎn)，則，；曲線在點(diǎn)處切線，由，而，解得，點(diǎn)，則，，所以，，.（2）證明：由，求導(dǎo)得，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)，則，整理得，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，所以當(dāng)時(shí)，.（3）證明：由（2）知，，記，則，設(shè)，則，兩邊同時(shí)乘以，得，兩式相減得：，設(shè)，兩邊同時(shí)乘以，得，兩式相減得：，所以，原不等式成立.安徽省卓越縣中聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故.故選：A2.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，，則，，所以.故選：D3.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，，則在上的投影向量為.故選：A4.記為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.6 B.9 C.12 D.15【答案】B【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由題意知，，所以，，成等比數(shù)列，所以，即，解得（舍負(fù)）.故選：B.5.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?故選：C.6.在中，，，，其中，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,,因?yàn)?，所以，所以，即，故選：C7.若為偶函數(shù)，則（）A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值2 D.有最小值2【答案】D【解析】的定義域?yàn)镽，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，整理得，即對(duì)任意R均成立，所以，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以在恒成立，所以在單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，所以，故選：D.8.設(shè)表示實(shí)數(shù)中的最小值，若函數(shù)，函數(shù)有六個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】畫(huà)出的圖象如下：令，則函數(shù)至多兩個(gè)零點(diǎn)，而至多三個(gè)根，同理至多三個(gè)根，要想有六個(gè)不同的零點(diǎn)，需有兩個(gè)不相等零點(diǎn)，不妨設(shè)，且和均有三個(gè)根，且根各不相同，所以，由韋達(dá)定理得，，顯然，故，故，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，所以，此時(shí)滿(mǎn)足，故故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.要得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（）A.以軸為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn) B.以軸為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn)C.繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) D.繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)【答案】ABD【解析】，對(duì)于A，將的函數(shù)圖象以軸為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，得到函數(shù)的圖象，故A正確；對(duì)于B，將的函數(shù)圖象以軸為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，得到函數(shù)的圖象，故B正確；對(duì)于C，將的函數(shù)圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)函數(shù)為hx，則hx上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在上，則，化簡(jiǎn)得，故D正確；故選：ABD.10.對(duì)任意正整數(shù)，設(shè)是使成立的正整數(shù)的最小值，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.， B.，C. D.【答案】BC【解析】由題意知，，是使得成立的正整數(shù)的最小值，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為正整數(shù)，所以，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不是正整數(shù)，所以，所以，所以，對(duì)于A項(xiàng)，，，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)和處的切線斜率互為相反數(shù)，且這兩條切線交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】由題可知，，當(dāng)時(shí)，顯然f'x單調(diào)遞增，，所以，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f'x>0，所以，故選項(xiàng)A正確；由題可知，，即，由基本不等式可知，，因?yàn)?，所以，?-ax不妨令，得，令，因?yàn)?，顯然單調(diào)遞增，，所以要使，則，即，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以令，則，令gx顯然，，令Gx則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即g'所以，在時(shí)單調(diào)遞增，所以，即，顯然，所以fx即，故選項(xiàng)C正確；設(shè)，的斜率分別為，則，由于fx=ex+a所以，故單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，顯然，所以fx所以，因?yàn)?，所以AC>BC，故選項(xiàng)D故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)_____．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，，解得或（舍），綜上所述：，故答案為：13.已知函數(shù)在上的最小值為-1，則_____．【答案】【解析】，時(shí)，，在上的最小值為-1，故，解得.故答案為：14.已知集合，集合，若，則的最小值為_(kāi)____，的最大值為_(kāi)____．【答案】【解析】令，由，得，則，顯然，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，而，因此，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，得，所以的最小值為2，的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，其前項(xiàng)和記為．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．解：（1）因?yàn)?，所以，所以是公差為的等差?shù)列．又，所以，從而公差為1，所以．（2），，所以，因?yàn)?，所以，不等式得證.16.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求的最小值．解：（1）由已知得，令，得，解得，．當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）不妨令，．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，且由（1）可知．所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，且由（1）可知．所以，所以，故的最小值為．17.如圖，在平面四邊形中，與的交點(diǎn)為E，平分，，．（1）證明：；（2）若，求．（1）證明：如圖，由題意知，則，由余弦定理得，即，整理得，因?yàn)?，所以．?）解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以．又因?yàn)椋?，所以四邊形是等腰梯形，所以．設(shè)，則，解得．．在中，由正弦定理可得，又因?yàn)?，所以?8.已知函數(shù)，．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，求的值；（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求的取值范圍．解：（1）由已知得，所以，且，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）的定義域?yàn)?，因?yàn)?，由，得．?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．要使恒成立，則需．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以的解為，故．（3）易知，不妨設(shè)，則，即，所以或．由（2）知，的極小值點(diǎn)為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)若存在，則必有，不符合題意．當(dāng)時(shí)，，所以，，所以在上一定存在一個(gè)零點(diǎn)．要使，由單調(diào)性可知，只需，即，解得.19.過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，在軸上的射影為，過(guò)作的切線，切點(diǎn)為，在軸上的射影為，再過(guò)