【高分復(fù)習(xí)筆記】-李廉錕《結(jié)構(gòu)力學(xué)》（第5版）（下冊）筆記和課后習(xí)題（含考研真題）詳解

目錄

內(nèi)容簡介

目錄

第12章結(jié)構(gòu)動力學(xué)

12.1復(fù)習(xí)筆記

12.2課后習(xí)題詳解

12.3名?？佳姓骖}詳解

第13章結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定

13,1復(fù)習(xí)筆記

13.2課后習(xí)題詳解

13.3名?？佳姓骖}詳解

第14章結(jié)構(gòu)的極限荷載

14,1復(fù)習(xí)筆記

14.2課后習(xí)題詳解

14.3名?？佳姓骖}詳解

第15章懸索計(jì)算

15.1復(fù)習(xí)筆記

15.2課后習(xí)題詳解

15.3名?？佳姓骖}詳解

第12章結(jié)構(gòu)動力學(xué)

12.1復(fù)習(xí)筆記

【知識框架】

動力荷載與靜力荷載

基本概念自由振動和強(qiáng)迫振動

結(jié)構(gòu)動力計(jì)算的目的

振動自由度的定義

結(jié)構(gòu)振動的自由度結(jié)構(gòu)按自由度的數(shù)目分類；單自由度結(jié)構(gòu)和多自由度結(jié)構(gòu)

確定結(jié)構(gòu)的振動自由度

無限自由度結(jié)構(gòu)

自由振動的原因：初始位移、初始速度

單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動不考慮阻尼時的自由振動

考慮阻尼時的自由振動

簡諧荷載作用下單自由度受迫振動

單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動不考慮阻尼的純受迫振動

考慮阻尼的純受迫振動

瞬時沖量作用于質(zhì)點(diǎn)

單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動任意動力載荷作用下的質(zhì)點(diǎn)位移公式

振動微分方程兩種特殊載荷作用下的質(zhì)點(diǎn)位移公式

按柔度法求解

多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動按剛度法求解

主振型的正交性

多自由度結(jié)構(gòu)在筒諧荷載作用下的的受迫振動按柔度法求解

振型分解法的優(yōu)點(diǎn)按剛度法求解

振型分解法振型分解法的步躲

振動微分方程組的建立

多自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動振動微分方程組的解耦

待定常數(shù)的確定

求解的具體步驟

It地震作用的基本概念地震作用的定義

地震作用的計(jì)算地震作用的分類：水平地震和豎向地震

地震作用的實(shí)質(zhì)

單自由度結(jié)構(gòu)的地震作用計(jì)算

多自由度結(jié)構(gòu)的地震作用計(jì)算

梁的自由振動

無限自由度結(jié)構(gòu)的振動簡諧均布干擾力作用下的受迫振動

計(jì)算頻率的近似計(jì)算方法：能量法、集中質(zhì)量法、用相當(dāng)梁法計(jì)算桁架的最低頻率

【重點(diǎn)難點(diǎn)歸納】

一、基本概念

1.動力載荷與靜力載荷

（1）靜力載荷

靜力荷載是指施力過程緩慢，不致使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著的加速度，因而可以略去慣性力影

響的荷載。

（2）動力載荷

①定義

動力載荷是指使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不容忽視的加速度，因而必須考慮慣性力的影響的荷載。

②分類

a.周期荷載

第一，周期荷載是指隨時間按一定規(guī)律改變大小的周期性荷載。

第二，簡諧周期荷載是指按正弦（或余弦）規(guī)律改變大小的周期載荷。

b.沖擊荷載

沖擊載荷是指把全部量值加于結(jié)構(gòu)而作用時間很短即行消失的荷載。例如打樁機(jī)的樁

錘對樁的沖擊、車輪對軌道接頭處的撞擊等。

c.突加荷載

突加荷載是指在一瞬間施加于結(jié)構(gòu)上并繼續(xù)留在結(jié)構(gòu)上的荷載。例如糧食口袋卸落在

倉庫地板上時就是這種荷載。這種荷載包括對結(jié)構(gòu)的突然加載和突然卸載。

d.快速移動的荷載

例如高速通過橋梁的列車、汽車等。

e.隨機(jī)荷教

隨機(jī)荷載是指變化極不規(guī)則，在任一時刻的數(shù)值無法預(yù)測，其變化規(guī)律不能用確定的

函數(shù)關(guān)系來表達(dá)，只能用概率的方法尋求其統(tǒng)計(jì)規(guī)律的載荷.例如風(fēng)力的脈動作用、波浪

對碼頭的拍擊、地震對建筑物的激振等。

（3）兩者計(jì)算主要差別

二者的主要差別就在于是否考慮慣性力的影響。

2.自由振動和強(qiáng)迫振動

（1）自由振動

自由振動是指結(jié)構(gòu)受到外部因素干擾發(fā)生振動，而在以后的振動過程中不再受外部干

擾力作用的振動。

（2）強(qiáng)迫振動

強(qiáng)迫振動是指結(jié)構(gòu)收到外部區(qū)素干擾發(fā)生振動，并在以后的振動動過程中還不斷受到

外部干擾力作用的振動。

3.結(jié)構(gòu)動力計(jì)算的前提和目的

（1）結(jié)構(gòu)動力計(jì)算的前提

結(jié)構(gòu)在受迫振動時各截面的最大內(nèi)力和位移都與結(jié)構(gòu)自由振動時的頻率和振動形式密

切有關(guān)，因而尋求自振頻率和振型就成為研究受迫振動的前提。

(2)結(jié)構(gòu)動力計(jì)算的目的

確定動力荷載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移等量值隨時間而變化的規(guī)律，從而找出其最大

值以作為設(shè)計(jì)或檢算的依據(jù)。

二、結(jié)構(gòu)振動的自由度

1.定義

結(jié)構(gòu)振動的自由度是指結(jié)構(gòu)在彈性變形過程中確定全部質(zhì)點(diǎn)位置所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)

目。

2.結(jié)構(gòu)按振動自由度的數(shù)目分類

(1)單自由度結(jié)構(gòu)

單自由度結(jié)構(gòu)是指具有一個振動自由度的結(jié)構(gòu)。

(2)多自由度結(jié)構(gòu)

多自由度結(jié)構(gòu)是指振動自由度大于1的結(jié)構(gòu)。

3.確定結(jié)構(gòu)振動自由度

(1)由確定質(zhì)點(diǎn)位置所需的獨(dú)立參數(shù)數(shù)目來判定

①如圖(a)所示結(jié)構(gòu)，在絕對剛性的桿件上附有三個集中質(zhì)點(diǎn)，它們的位置

只需一個桿件的轉(zhuǎn)角a便能確定，故其自由度為1。

②如圖12-1-1(b)所示簡支梁上附有三個集中質(zhì)量，若梁本身的質(zhì)量可以略去，又

不考慮梁的軸向變形和質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動，其上三個質(zhì)點(diǎn)的位置只需由撓度力、yz、y3就可確定,

故其自由度為3。

③如圖(c)所示剛架雖然只有一個集中質(zhì)點(diǎn)，但其位置需由水平位移山和豎

直位移y?兩個獨(dú)立參數(shù)才能確定，故其自由度為2。

(d)

圖12-1-1

(2)由加入最少數(shù)量的鏈桿數(shù)目來判定

加入最少數(shù)量的鏈桿以限制剛架上所有質(zhì)點(diǎn)的位置，則該剛架的自由度數(shù)目即等于所

加入鏈桿的數(shù)目。

例如圖(d)所示剛架上雖有四個集中質(zhì)點(diǎn)，但只需加入三根鏈桿便可限制其

全部質(zhì)點(diǎn)的位置(12-1-1(e)),故其自由度為3。

4,無限自由度結(jié)構(gòu)

(1)定義

無限自由度結(jié)構(gòu)是指具有連續(xù)分布的不可忽略的質(zhì)量的結(jié)構(gòu)。

(2)舉例

例如圖12-1-1(f)所示的梁，其分布質(zhì)量集度為m,可看作是無窮多個mdx的集中

質(zhì)量，所以它是無限自由度結(jié)構(gòu)。

三、單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動

1,自由振動的原因

(1)結(jié)構(gòu)具有初始位移

(2)結(jié)構(gòu)具有初始速度

2.不考慮阻尼時的自由振動

如圖12-1-2(a)所示，彈簧下端懸掛一質(zhì)量為m的重物。取此重物的靜力平衡位

置為計(jì)算位移y的原點(diǎn)，并規(guī)定位移y和質(zhì)點(diǎn)所受的力都以向下為正。

圖12-1-2

（1）剛度系數(shù)與柔度系數(shù)

①剛度系數(shù)

彈簧的剛度系數(shù)是指彈簧發(fā)生單位位移時所需加的力，簡稱剛度，用符號L表示。

②柔度系數(shù)

彈簧的柔度系數(shù)是指彈簧在單位力作用下所產(chǎn)生的位移，簡稱柔度，用符號而表示。

k--

du

③兩者關(guān)系

（2）建立振動微分方程的方法

①剛度法

a.定義

剛度法是指通過列力平衡方程來建立振動微分方程的方法。

b.具體步驟

設(shè)質(zhì)點(diǎn)m在振動中的任一時刻位移為y,取該質(zhì)點(diǎn)為隔離體［圖12?1?2（b））。

第一，減去初拉力的彈簧拉力

FE=—kuy

式中：負(fù)號表示其實(shí)際方向與位移y的方向相反，亦即永遠(yuǎn)指向靜力平衡位置。

此力有將質(zhì)點(diǎn)m拉回到靜力平衡位置的趨勢，故又稱為恢復(fù)力。

第二，慣性力

my

d2y

式中，負(fù)號表示慣性力的方向總是與加速度,的方向相反。

對于彈簧處于靜力平衡位置時的初拉力，與質(zhì)點(diǎn)的重量mg相平衡而抵消，故在振動

過程中這兩個力都無須考慮。

第三，質(zhì)點(diǎn)在慣性力R與彈簧的恢復(fù)力FE作用下將維持動力平衡，故應(yīng)有

R+FE=O

加夕+=0

將K和FE的算式代入即得

2^11

3二--

m

令

y+=0

則有

②柔度法

a.定義

柔度法是指通過列位移方程來建立振動微分方程的方法。

b.具體步驟

第一，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)m振動時，把慣性力F尸一my看作是一個靜力荷載作用在體系的質(zhì)點(diǎn)

匕則在其作用下結(jié)構(gòu)在質(zhì)點(diǎn)處的位移y應(yīng)等于(圖12?L2(c))

y=F5i=—my&i

my+kny=0

第二，微分方程為

(3)單自由度結(jié)構(gòu)在自由振動時的微分方程

y+(w2y=0

①微分方程

%).

y=ycosa)t+-sina)t

0a)

②振動方程

式中，y0為初位移；%為初速度。

上式可簡化為

y=asin(a)t+(p)

式中

a為振幅，表不質(zhì)點(diǎn)的最大位移；(p為初相角。

(D

③振動周期

常用單位為s。

④自振頻率

結(jié)構(gòu)的自振頻率是指2宣秒內(nèi)完成的振動次數(shù)，通常用3表示，其單位為rad/s。

式中，g為重力加速度，&為由于重量mg所產(chǎn)生的靜力位移。

相關(guān)結(jié)論

a.結(jié)構(gòu)的自振頻率只取決于它自身的質(zhì)量和剛度，它反映著結(jié)構(gòu)固有的動力特性。

外部干擾力只能影響振幅和初相角的大小而不能改變結(jié)構(gòu)的自振頻率；

b.3隨人的增大而減小，若把質(zhì)點(diǎn)安放在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生最大位移處，則可得到最低的

自振頻率和最大的振動周期。

3.考慮阻尼作用時的自由振動

(1)阻尼力的分類

①外部介質(zhì)的阻力，例如空氣和液體的阻力、支承的摩擦等；

②物體內(nèi)部的作用，例如材料分子之間的摩擦和黏著性等。

(2)阻尼力的表達(dá)式

引用福格第假定，近似認(rèn)為振動中物體所受的阻尼力與其振動速度成正比，這稱為黏

FD=—.

滯阻尼力，即

式中，c為阻力系數(shù)；負(fù)號表示阻尼力FD的方向恒與速度y的方向相反。

(3)有阻尼作用的自由振動的微分方程

①當(dāng)考慮阻尼力時，質(zhì)點(diǎn)m上所受的力將如圖12?1?3所示，考慮其動力平衡，應(yīng)

有

FI+FD+FE=O

my+cy+kny=0

即

尸D

m

圖12-1-3

令

『為25=—

mm

②微分方程為

2

y+26y+o>y=0(124)

(4)微分方程的解

①微分方程解的形式

y=Ce?

712n-5±4心—J

代入原微分方程(12-1),可得確定r的特征方程「2十2反十皿二0其兩個根為

②當(dāng)8V3時，即欠阻尼情況

—&打陽?，+如粵小

y=esin

3

a.微分方程的解

式中，3號有阻尼且振頻率,其表達(dá)式如下

s'=JZ"(12-2)

上式也可寫為

y=AeAtsin(u)'t+(p')(12-3)

可心

tai#

To+M

其中

b.振動曲線

式(12-3)的位移——時間曲線如圖12-1-4所示。

圖12-1-4

3

c.阻尼比

a),-G)yl-f2

d.有阻尼自振頻率表達(dá)式

可見A隨阻尼的增大而減小。

③當(dāng)時，即過阻尼情況

=e

/C1cosh-Jt+C2sinh』音-1t)

此時特征根口、口為兩個負(fù)實(shí)數(shù)，式(12-1)的通解為

這是非周期函數(shù)，因此不會產(chǎn)生振動，結(jié)構(gòu)受初始干擾偏離平衡位置后將緩慢地回復(fù)

到原有位置。

④當(dāng)6=3時，即臨界阻尼情況

a,微分方程的通解

此時特征根是一對重根，門.2=一&式(12-1)的通解為

y=e&(Ci+Cat)

這也是非周期函數(shù)，故也不發(fā)生振動。這是由振動過渡到非振動狀態(tài)之間的臨界情況,

此時阻尼比？=1。

b.臨界阻力系數(shù)

此時的c值稱為臨界阻力系數(shù)，用c”表示。

25^—,

在式中令5=3可得

Cc「=2m3

又因?yàn)檎嫉?，可以得?/p>

表明阻尼比t即為阻力系數(shù)c與臨界阻力系數(shù)m之比。

四、單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動

1.單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動

(1)微分方程

若干擾力F(t)直接作用在質(zhì)點(diǎn)m上，則質(zhì)點(diǎn)受力將如圖12-1-5所示。

圖12?1?5

由動力平衡條件得

R+FD+FE+F(t)=0

my+cy+Any=F(f)

y+2州夕+(o2y=—FQ)

m

(2)微分方程的解

①解的組成部分

a.一部分為相應(yīng)齊次方程的通解y。

yo=e"(BiCOSu/t+BzSinoj't)

b.另一部分則是與干擾力F(t)相適應(yīng)的特解y(_)

它將隨干擾力的不同而異。

②求解過程

a.令

F(t)=Fsin0t

式中，。為干擾力的頻率；F為干擾力的最大值。

F

y+2fsy+32y=—sinBt

m

此時振動微分方程式為

b.設(shè)振動微分方程有一個特解為

y[_)=Cisin0t+C2cos0t

R_(D)F

c二2二加

2柯(J--)2

代入振動微分方程，可以解出

f

y=e"M[B]COSa)t+8遇出+

2

[(6)-f)sin仇-2初&0§仇]

m[(a)2-/)2+4孔

C,則振動微分方程通解為

d.式中Bi和B2取決于初始條件

設(shè)當(dāng)t=0時，y=y0,乎二，。，可求得

___________2&6F__________

'7°+柯(J-/)？+4?-]

Bj___________紇S8F_________________網(wǎng)之打)產(chǎn)

①'mwr[(w2--)2+年J力松/[(of--)2+4^[守]

則

y二e"[70cosW，+—~Y~s*n+

J""?…"%。+

e"

m［(d-。尸+短3守］

而7k砧而［(—)而仇-2小仇?！斐穑?/p>

(12-4)

(3)振動系組成

①自由振動

自由振動是由初始條件決定的。

②伴生自由振動

伴生自由振動是與初始條件無關(guān)而伴隨干擾力的作用發(fā)生的振動，但其頻率與體系的

自振頻率0)'一致。

③純受迫振動

由于這兩部分振動都含有因子故它們將隨時間的推移而很快衰減掉，最后只剩下按

干擾力頻率0而振動的第二部分，稱為純受迫振動或穩(wěn)態(tài)受迫振動(圖12-1-6)°

圖12-1-6

（4）過渡階段與平穩(wěn)階段

①過渡階段

過渡階段是指振動開始的一段時間內(nèi)幾種振動同時存在的階段°

②平穩(wěn)階段

平穩(wěn)階段是指剩下純受迫振動的階段。

2.不考慮阻尼的純受迫振動

（1）振動方程

F.

V=------；----廠sin/

7m（a）2-02）

此時因f=0,由式（12-4）的第三項(xiàng)可知純受迫振動方程成為

（2）振幅

最大的動力位移（即振幅）為

又因?yàn)?/p>

代入上式，得

式中，加=Fb”為振動荷載的最大值F作為靜力荷載作用于結(jié)構(gòu)上時所引起的靜力位

1A

移：u為最大的動力位移與靜力位移之比值，稱為位移動力因數(shù)，其計(jì)算表達(dá)如下

a.當(dāng)0V3時，V為正，動力位移與動力荷載同向；

b.當(dāng)0〉3時，p為負(fù)，動力位移與動力荷載反向。

（3）無阻尼的純強(qiáng)迫振動系統(tǒng)特點(diǎn)

①當(dāng)干擾力的頻率0接近于結(jié)構(gòu)的自振頻率0）時，動力因數(shù)就迅速增大；

②當(dāng)二者無限接近時，理論上p將成為無窮大，此時內(nèi)力和位移都將無限增加;

③當(dāng)8=3時，結(jié)構(gòu)發(fā)生共振。

3.考慮阻尼的純受迫振動

（1）振動方程

（4優(yōu)）/

m[(a)2-/)2為

_______2小M

-Asin(p

m[(a)2--)2

取式（12-4）的第三項(xiàng)，并令

則將有

y=Asin（0t—cp）

式中，A為有阻尼的純受追振動的振幅；9為位移與荷載之間的相位差。

I_________土

振幅A=

/（了-/）2m

2gs6

相位差<p=arctan

1_e2

(2)動力因數(shù)

振幅A可寫為

則動力因數(shù)為

(3)動力因素和相位差比值大小的影響

動力因數(shù)u與。和3的比值以及阻尼比之的關(guān)系曲線如圖12?1?7所示。相位差q>

與。和3的比值以及阻尼比8的關(guān)系曲線如圖12-1-8所示。

圖12-1-7

圖12-1-8

①當(dāng)9遠(yuǎn)小于U）時

很小，N接近于1,相位差（p也很小。振動很慢，慣性力和阻尼力都很小。動力荷載

主要由結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力所平衡。

②當(dāng)0遠(yuǎn)大于0）時

P很小，質(zhì)點(diǎn)近似于不動或只作振幅很微小的顫動。振動很快，慣性力很大，結(jié)構(gòu)的

恢復(fù)力和阻尼力相對可以忽略，動力荷載主要由慣性力來平衡。此時相位差力之180。。

③當(dāng)0接近于3時

H增加很快。此時（p、90。，恢復(fù)力和慣性力都很小，動力荷載主要由阻尼力平衡。n

值受阻尼大小的影響。由圖12?1?7可見，在該范圍內(nèi)，阻尼影響將大大地減小受迫振動

的位移。

④當(dāng)8-3時

由于阻尼力的存在，N值雖不等于無窮大，但其值還是很大的，特別是當(dāng)阻尼作用較

小時，共振現(xiàn)象仍是很危險(xiǎn)的，可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的破壞。

五、單H由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動

1.瞬時沖量作用于質(zhì)點(diǎn)m

（1）瞬時沖量

瞬時沖量是指荷載只在極短的時間內(nèi)給予振動物體的沖量°

如圖12-1-9（a）所示，設(shè)荷載的大小為F,作用的時間為At，則其沖量以I=FAt,

即圖中陰影線所表示的面積。

圖12-1-9

（2）瞬時沖量作用下質(zhì)點(diǎn)的位移方程

①在t=0時，沖量I作用于單自由度質(zhì)點(diǎn)

設(shè)質(zhì)點(diǎn)的原位移和原速度均為零，在t=0時，有沖量I作用于單自由度質(zhì)點(diǎn)上，使

質(zhì)點(diǎn)獲得初速度打，但初位移仍未零，即yQ=O和m

瞬時沖量作用下質(zhì)點(diǎn)m的位移方程為

②在t=T時，沖量I作用于單自由度質(zhì)點(diǎn)

瞬時沖量在t=T時加于質(zhì)點(diǎn)二，則其位移方程應(yīng)為

y(t)=4(t>7)

mo)

2,單自由度結(jié)構(gòu)在任意動力載荷作用下的質(zhì)點(diǎn)位移公式

(1)質(zhì)點(diǎn)初速度和初位移均為零

①考慮阻尼

對于圖12?1-9(b)所示一般形式的干擾力F(t),可以認(rèn)為它是一系列微小沖量F

(T)也連續(xù)作用的結(jié)果，因此應(yīng)有

,“)二工仇7)屋(?“名山一(5丁)加

加.Jo(12-5)

②不考慮阻尼

若不考慮阻尼，則有1=0,0)'=3,于是

y(t)=—[F(r)sin(u(i-r)dr

m3k(12-6)

式(12-5)及式(12-6)又稱杜哈梅積分。

(2)質(zhì)點(diǎn)初速度和初位移不為零

①考慮阻尼

y(0=e"(yocos?"+"/￡"。癡+'(*)「"""血—"?丁)匕

若在t=0時，質(zhì)點(diǎn)原來還具有初始位移y。和初始速度外,則質(zhì)點(diǎn)位移應(yīng)為

②不考慮阻尼

，(，)=JoC083+~sin(t)t+—^―fF(T)sin&)(t-T)dr

ma)Jo

如不考慮阻尼則有

3.兩種特殊載荷作用下的質(zhì)點(diǎn)位移公式

(1)突加荷載作用質(zhì)點(diǎn)

在t=0時，大小為F的力作用質(zhì)點(diǎn)，并保持常量繼續(xù)作用，以加載那一瞬間作為時

間的起點(diǎn)，其變化規(guī)律如圖12-1-10(a)所示。

①考慮阻尼

a.質(zhì)點(diǎn)位移公式

y=cos+-^sin3

coss"

將F(T)=F代入式(12-5)進(jìn)行積分求得

圖12-1-10

b.最大動力位移

將此式對t求一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于零。即可求得產(chǎn)生位移極值的各時刻。當(dāng)

fwv

7a二義川(1+e-7)

TT

6/時，最大動力位移yd為

從=1+e二7

c,動力因數(shù)

②不考慮阻尼

若不考慮阻尼影響，則t=o，3'=3。

y=---j-(1-cos3t)=ytl(1-cos3)

nuo

a.質(zhì)點(diǎn)位移公式

其圖形如圖12-1-10(b)所示。

b.最大動位移

yd=2yst

即在突加荷載作用下，最大動力位移為靜力位移的2倍。

(2)短期荷載作用質(zhì)點(diǎn)

在t=0時，荷載突然加于結(jié)構(gòu)上，但到t=?時，荷載又突然消失，如圖12-L11所

示。且不考慮阻尼影響。

圖12-1-11

①質(zhì)點(diǎn)位移公式

對于這種情況可作如下分析：當(dāng)t=0時有上面所述的突加荷或加入，并一直作用于

結(jié)構(gòu)上；到1=匕時，又有一個大小相等但方向相反的突加荷載加入，以抵消原有荷載的

作用?？衫蒙鲜鐾患雍奢d作用下的計(jì)算公式按疊加法來求解6

a.當(dāng)OVtVto時，則

y=ySt(1—cos(i)t)

y=/,,(1-cosa)t)-yBl[l-cos/(，-%)〕

=ylt[cos°(￡-%)-cosa)t]

b.當(dāng)t>t0時，則

=2y.i[sin野in《一和

前一階段（O<t<to）與前述突加荷載作用下的情況相同；后一階段（t>to）則為自

由振動。

②質(zhì)點(diǎn)最大位移

T

a.八，時

九=2九13m—

最大位移發(fā)生在后一階段。竺（1寸卜力時有最大位移，其值為

勺?50

a=Zsm

相應(yīng)的動力因數(shù)為

T

b.當(dāng)廿無時

最大位移將發(fā)生在前一階段，yd=2%,相應(yīng)的動力因數(shù)H=20

六、多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動

1.振動微分方程的建立

圖12?1?12（a）所示無重量簡支梁支承著n個集中質(zhì)量m“m2，…，mn,略去梁的

軸向變形和質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動，則為n個自由度的結(jié)構(gòu)。設(shè)在振動中任一時刻各質(zhì)點(diǎn)的位移分

別為y”yz,…，yn。

（1）按剛度法建立振動微分方程

①處理方法

a.首先加入附加鏈桿阻止所有質(zhì)點(diǎn)的位移(圖(b)),則在各質(zhì)點(diǎn)的慣性

力■叫力(j=i,2......n)作用下，各鏈桿的反力等于叫九

b.其次令各鏈桿發(fā)生與各質(zhì)點(diǎn)實(shí)際位置相同的位移(圖12?1?12(c)),此時各鏈

桿上所需施加的力為FRI(i=l,2,n)o

②質(zhì)點(diǎn)的動力平衡方程

若不考慮各質(zhì)點(diǎn)所受的阻尼力，各附加鏈桿上的總反力應(yīng)等于零，由此便可列出各質(zhì)

mJ]+/&=0

點(diǎn)的動力平衡方程。以質(zhì)點(diǎn)皿為例，有

一嘲

(b)

7^779^7

?IIIII

如匕

圖12-1-12

③求FW

Li的大小取決于結(jié)構(gòu)的剛度和各質(zhì)點(diǎn)的位移值，由疊加原理，它可寫為

FRi=kiyi+k2y2+...+kiy>+...+k(yj+...+km

式中，k“、%等為結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，它們物理意義見圖12-1-12(d)、(e)o例如

%為J點(diǎn)發(fā)生單位位移(其余各點(diǎn)位移均為零)時i點(diǎn)處附加鏈桿的反力。

則

+“力+七力+…+蜻兀=°

④多自由度結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動微分方程

叫/+自由+&2%+…+1以二°

用2%+七力+%%+…+①”二°

m仇+4.1/1+囁力+…+J,=0J

對每個質(zhì)點(diǎn)都列出這樣一個動力平衡方程，于是可建立n個方程如下

寫成矩陣形式為

或簡寫為

MY^KY^O(12.7)

式中，M為質(zhì)量矩陣，在集中質(zhì)量的結(jié)構(gòu)中它是對角矩陣；K為剛度矩陣，根據(jù)反

力互等定理，它是對稱矩陣；9為加速度列向量；Y為位移列向量。

(2)按柔度法建立振動微分方程

如果按柔度法來建立振動微分方程，則可將各質(zhì)點(diǎn)的慣性力看作是靜力荷載(圖12-

%=%(-嗎?])+6式-啊%)+~+&,(-m,%)+…+

%(+???+?1(-%九)

143(a)),在這些荷載作用下，結(jié)構(gòu)上任一質(zhì)點(diǎn)m.處的位移應(yīng)為

叫啊

(a)

-叫其T*!!?\-加工

rzzz/

%

圖12-1-13

式中，標(biāo)、怎等為結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)，它們的物理意義見圖12?1?13(b)、所示。

建立n個位移方程

力+而叫夕］+%嗎%+…+瓦叫力=0

力+&I必力+22皿2%+…+必叫”=0

九十心四膂地m濕+…+鼠叫力=0)

(12-8)

「九、

(叫o、ro\

y\\S12…5。

%壇…&.叫o

0m

ky.7兒…$?n/

寫成矩陣形式，就有

或簡寫為

Y+5MV=0(12-9)

式中，5為結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，根據(jù)位移互等定理，它是對稱矩陣。

(3)剛度矩陣與柔度矩陣的美系

S1Y+MY=0

若對式(12-9)左乘以則有

與式(12-7)對比，顯然應(yīng)有

S，=K

即柔度矩陣和剛度矩陣是互為逆陣的。

2.按柔度法求解

(1)特解形式

設(shè)按柔度法建立的振動微分方程的特解取如下形式

yi=AiSin(a)t+(p)(i=l,2,n)

設(shè)所有質(zhì)點(diǎn)都按同一頻率同一相位作同步簡諧振動，但各質(zhì)點(diǎn)的振幅值各不相同。

(2)求自振頻率3

①求解過程

a.將特解代入式(12=8)并消去公因子sin(a)t+(p)可得

I

卜“四?/卜1+3嗎4+…+吼叫八二0

員叫兒+/42啊-[4+???+/叫/1”。

(12-10)

寫成矩陣形式則為

fSM--y/jA=0

(12-11)

式中,A=(AlAz...An)丁為振幅列向量：I為單位矩陣。

b.要得到ABA2,人不全為零的解答，則必須是該方程組的系數(shù)行列式等于零,

即

匹叫

或?qū)憺?/p>

8M—=0

儂“(12-13)

C.將行列式展開，可解出n個自振頻率31,32,…，(Ono

②相關(guān)概念

a.振幅方程

振幅方程是指為振幅Al,A2,An的齊次方程，如式(12-10)o

b.頻率方程

頻率方程是指確定3數(shù)值的方程，如式(12-12)或式(1243)o

c.結(jié)構(gòu)的自振頻譜

n個自振頻率D，3,…，G的數(shù)值由小到大依次排列，則分別稱為第一，第二，…,

第n自振頻率，并總稱為結(jié)構(gòu)自振的頻譜。

(3)求主振型

①求解過程

a.設(shè)n個自振頻率中的任一個頻率為3七其得特解為

y；k，=Aiksin(u)kt+(pk)(i=l,2，…，n)

此時各質(zhì)點(diǎn)按同一頻率必作同步簡諧振動，各質(zhì)點(diǎn)的位移相互間的比值

y『p：y/P：...：y/k)=A/p：Az'L...：AJ'

由上式可知，比值不隨時間而變化，在任何時刻結(jié)構(gòu)的振動都保持同一形狀，整個結(jié)

構(gòu)就像一個單自由度結(jié)構(gòu)一樣在振動。

b.要確定振型便須確定各質(zhì)點(diǎn)振幅間的比值?？蓪?k值代回振幅方程(12-10)而

得

&邵』；'+M】+附+…+比明］？=°

.國”?叫叫片+…+也%?力/：=。

（12-14）

（5Af_與）V（A=1,2,…，幾）

或?qū)憺?/p>

（k）（k）（k）屋：））T

式…中，A一-（I冏A14A2…

由于此時式（12-14）的系數(shù)行列式為零，故其n個方程中只有（n-1）個是獨(dú)立的,

因而只能確定各質(zhì)點(diǎn)振幅間的相對比值，這便確定了振型。

②相關(guān)概念

a.主振動

主振動是指多自由度結(jié)構(gòu)按任一自振頻率3k進(jìn)行的簡諧振動。

b.主振型

主振型是指主振動的特定振動形式，簡稱振型。

c.主振型向量

/*）=（〃）仍）…屋”

仙相應(yīng)的主振型向量為

（4）振動微分方程的一般解

一個結(jié)構(gòu)有n個自由度，便有n個自振頻率，相應(yīng)地便有n個主振動和主振型，它

兀=M（?sin（3/+外）+4（：）sin（包f+%）+…+47而（@/+外）

A

sE屋?sin（//+七）（i=l,2,—,n）

們都是振動微分方程的特解。這些主振動的線性組合，就構(gòu)成振動微分方程的一般解

各主振動分量的振幅Ai/及初相角伙將取決于初始條件。自振頻率和振型只取決于

結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布和柔度系數(shù)（或剛度系數(shù)）。

（5）兩自由度的結(jié)構(gòu)振動微分方程的解

①求自振頻率3

具有兩個自由度的結(jié)構(gòu)的振幅方程（g）為

（與g+E2m242=0

4m/1+,嗎-引4=。

頻率方程為

（如叫+壇叫）+J（5、1瓶1+/叫）’-4（6通2?編）mxm2

尸2

（Suni|+622m2）■/（6“感1+22小2）=4（-加2）m?

2

將其展開并令4=5,解得

從而可得兩個自振頻率為

②求主振型

a.求第一振型

"嗎

-512ffh

將3=3代入式(g),求得與A2T的比值

優(yōu)［最-如叫

PL碎="74

b.同理可求得第二振型為

3.按剛度法求解

(1)求自振頻率3

利用柔度矩陣與剛度矩陣互為逆陣的關(guān)系，將前述求頻率和振型的公式加以變換即可。

|Af---6"卜=0

用8?左乘式(12-11)有

即

(K—32M)A=0(12-15)

這便是按剛度法求解的振幅方程。

因A不能全為零，故可得頻率方程為

|K—O)2M|=0

將其展開，可解出n個自振撅率31，5，…，a)no

(2)求主振型

將自振頻率逐一代回振幅方程(12-15)得

心二。(小1,2,…,71)(12-16)

便可確定相應(yīng)的n個主振型。

(3)兩自由度的結(jié)構(gòu)

①求自振頻率3

頻率方程為

分別再開平方便可求得31和(020

②求主振型

4,主振型的正交性

(1)主振型之間的兩個正交關(guān)系

①第一個正交關(guān)系

對于質(zhì)量矩陣M,不同頻率的兩個主振型是彼此正交的

(A/)MA,P=0

②第二個正交關(guān)系

對于剛度矩陣K,不同頻率的兩個主振型也是彼此正交的

(AV)TKAP=0

主振型的正交性也是結(jié)構(gòu)本身固有的特性，它不僅可以用來簡化結(jié)構(gòu)的動力計(jì)算，而

且可用以檢驗(yàn)所求得的主振型是否正確。

(2)主振型之間的正交性物理意義

①主振型之間的第一個正交關(guān)系的含義就是第i階振型的慣性力在經(jīng)歷第j階振型位

移時所作的功等于零；

②主振型之間的第二個正交關(guān)系的含義則是與第i階振型位移有關(guān)的等效靜力在經(jīng)

歷第j階振型位移時所作的功等于零。

(3)正交性的推導(dǎo)

=0

①每一頻率及其相應(yīng)的主振型均滿足式(12?16),即

②在式(12?16)中，分別取k=^9k=j,可得

族⑴(1247)

必"，(12」8)

③對式(12-17)兩邊左乘以Ar的轉(zhuǎn)置矩陣(A/)T,對式(12-18)兩邊左乘(A

/)一則有

(nT(0(/,T(0

(A)/G4=^(A)3fA(1219)

(4⑴)丁必。)="；(屋go)

(A。))TW(A。))“A⑴

④由于K和M均為對稱矩陣，故KT=K,MT=MO將式(12-20)兩邊轉(zhuǎn)置，將有

⑤再將式(12-19)減去式(12-21)得

(32一O)|2)(A「)TMAW=0

當(dāng)峋時，3學(xué)于是應(yīng)有

(A/)MA「=0

將這一關(guān)系代入式(12-19),立即可知

(Af)1KAP=0

七、多自由度結(jié)構(gòu)在筒諧荷載作用下的的受迫振動

1.按柔度法求解

圖12-1-14(a)所示無重量簡支梁上有n個集中質(zhì)點(diǎn)，并承受k個簡諧周期荷載

Fisin0t?F2Sin0t>...?FkSinHt的作用。

尸;%FlF2FkF；

圖12-1-14

(1)按柔度法來建立振動微分方程

①任一質(zhì)點(diǎn)mi的位移V、為

yi=6iiFii+6i2Fi2+...+6mFin+yip

kk

%P=Y%/產(chǎn)inffl=A,psina41P=VS也

式中；八】，/-I為各動力荷載同時

達(dá)到最大值時在質(zhì)點(diǎn)ni處所引起的靜力位移。

②n個質(zhì)點(diǎn)可建立n個這樣的位移方程，并注意到W=-my(??)，故可寫為

1\+瓦電力增+…域”請inft,

力地崎他叫%+-+VJ.=媼山例

…，，，“■

九+&叫％+…+九%九二心疝"(12-22)

Y+￡WY=dPsin0t

寫成矩陣形式

式中，AP=(AmA2P...AnP)-為荷載幅值引起的靜力位移列向量。

(2)純受迫振動的解

①設(shè)在平穩(wěn)階段各質(zhì)點(diǎn)均按干擾力的頻率8作同步簡諧振動，取純受迫振動的解為

yi=yi°sin0t(i=l,2,n)(12-23)

式中，并為質(zhì)點(diǎn)m的振幅。

②將上式代入式(12?22)并注意到口二一%。82§訪8匕可得

品n

，:4即叫，：4?“十九加，：+7=0

521mly：+(8”？-//+,?,+瓦巴小\二0

瓦必4+加m就+…十

2(12-24)

(5M十廣甜=0

或?qū)憺?/p>

式中，I為單位矩陣：Y。為振幅向量。

③解方程組可求出各質(zhì)點(diǎn)在純受迫振動中的振幅yw,以。，.?,，泮，并將振幅再代入

式(12?23)即得各質(zhì)點(diǎn)的振動方程。

(3)求慣性力幅值

F［尸-m/=m,。y：sin0t=/sinQl

①各質(zhì)點(diǎn)的慣性力為

式中，EiO=m0ya為慣性力的最大值。

②位移、慣性力及干擾力將同時達(dá)到最大值。在計(jì)算最大動力位移和內(nèi)力時，可將

慣性力和干擾力的最大值當(dāng)作靜力荷載加于結(jié)構(gòu)上(圖12-1-14(b))進(jìn)行計(jì)算。

利用Ea=m32yp的關(guān)系，將式(12-24)改寫成

僅11片+九界+…+九尺+41P=0

621Kl+（%+…+M此+42P=0

S.Xi+以建+…?（鼠-^?）匕+△.，二°

或?qū)憺?/p>

式中，R。為最大慣性力向量。

這樣便可直接解得各慣性力幅值。

(4)共振現(xiàn)象

當(dāng)0=3k(k=L2,...,n),即干擾力的頻率與任一個自振頻率相等時，系統(tǒng)發(fā)生

共振，此時的振幅、慣性力及內(nèi)力值均為無限大。實(shí)際上由于存在阻尼，振幅等量值不會

為無限大，但這對結(jié)構(gòu)仍是很危險(xiǎn)的，應(yīng)避免。

2.按剛度法求解

(1)振動微分方程

圖12-1-15所示n個自由度的結(jié)構(gòu)，當(dāng)各干擾力均作用在質(zhì)點(diǎn)處時，其動力平衡方

瑪（。瑪⑺K0FAt）

程如下

圖12T-15

叫夕1+垢力+匕2,2+…+心兀=F[Q)'

血2%+%|力+磯，2+…+=B(D

~九十篙為+。，2+…+3”=匕⑺?

寫成矩陣形式則為

“八燈二尸⑴(12.25)

設(shè)各干擾力均為同步簡諧荷載。即

F(t)=FsinGt

式中，F(xiàn)=(FiF2...Fn)T為荷載幅值向量。

(2)微分方程求解

在平穩(wěn)階段各質(zhì)點(diǎn)亦均按頻率0作同步簡諧振動

Y=YoSin0(12-26)

代入式(12-25)并消去sinOt得

(K-02M)Yo=F(12-27)

由上式便可解算各質(zhì)點(diǎn)的振幅值。代入式(12-26)即得各質(zhì)點(diǎn)的位移方程。

(3)求慣性力幅值

FI--AfF=MY°sina=Fjsin

a.各質(zhì)點(diǎn)的慣性力為

式中，&為慣性力向量：Ro=SMY。為慣性力幅值向量。

b.利用Ro=RMY?？蓪⑹健?2-27)改寫為

(KM1-021)F|O=02F

式中，I為單位矩陣。

由上式即可直接求解慣性力幅值。

八、振型分解法

1.振型分解法的優(yōu)點(diǎn)

多自由度結(jié)構(gòu)的無阻尼受迫振動微分方程，按剛度法有

MY+KY^F(t)

質(zhì)量矩陣M是對角矩陣，但剛度矩陣K一般不是對角矩陣，因此方程組是耦聯(lián)的。

當(dāng)荷載F(t)不是按簡諧規(guī)律變化而是任意動力荷載時，求解聯(lián)立微分方程組是很困難

的。振型分解法解除了方程組的耦聯(lián)，亦即使其變?yōu)橐粋€獨(dú)立方程，可使計(jì)算大為簡化。

2.振型分解法的步驟

(1)求自振頻率G和振型①「(i=l,2...n)

M.]

_I(i=1,2,???

-