1998年北京高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

第頁|共頁1998年北京高考理科數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題（共15小題，每小題4分，滿分60分）1．（4分）sin330°等于（）A．-32 B．-122．（4分）函數(shù)y＝a|x|（a＞1）的圖象是（）A． B． C． D．3．（4分）曲線的極坐標(biāo)方程ρ＝4cosθ化為直角坐標(biāo)方程為（）A．（x+2）2+y2＝4 B．（x﹣2）2+y2＝4 C．（x+4）2+y2＝16 D．（x﹣4）2+y2＝164．（4分）兩條直線A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直的充要條件是（）A．A1A2+B1B2＝0 B．A1A2﹣B1B2＝0 C．A1A5．（4分）函數(shù)f（x）=1x（x≠0）的反函數(shù)f﹣1（A．x（x≠0） B．1x（x≠0） C．﹣x（x≠0） D．-1x（6．（4分）若點(diǎn)P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，則在[0，2π）內(nèi)α的取值范圍是（）A．(π2，C．(π27．（4分）已知圓錐的全面積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為（）A．120° B．150° C．180° D．240°8．（4分）復(fù)數(shù)﹣i的一個(gè)立方根是i，它的另外兩個(gè)立方根是（）A．32±12i B．-32±129．（4分）如果棱臺的兩底面積分別是S，S′，中截面的面積是S0，那么（）A．2S0=S+S′ B．S0=S′S C．2S0＝S+S′ D．S10．（4分）向高為H的水瓶中注水，注滿為止．如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系如圖，那么水瓶的形狀是圖中的（）A． B． C． D．11．（4分）3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士．不同的分配方法共有（）A．90種 B．180種 C．270種 D．540種12．（4分）橢圓x212+y23=1的焦點(diǎn)為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在yA．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍13．（4分）球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的16，經(jīng)過這3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長為4πA．43 B．23 C．2 D．314．（4分）一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角是（）A．a(chǎn)rccos5-12 B．a(chǎn)rcsin5-1215．（4分）在等比數(shù)列{an}中，a1＞1，且前n項(xiàng)和Sn滿足limn→∞Sn=1a1A．（1，+∞） B．（1，4） C．（1，2） D．（1，2）二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）16．（5分）已知圓C過雙曲線x29-17．（5分）（x+2）10（x2﹣1）的展開式中x10的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．18．（5分）如圖，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件時(shí)，有A1C⊥B1D1．（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形．）19．（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）＝4sin(2x+π3)（x①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整數(shù)倍；②y＝f（x）的表達(dá)式可改寫為y＝4cos(2x-π③y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(π④y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x=-π其中正確的命題的序號是．（把你認(rèn)為正確的命題序號都填上）三、解答題（共6小題，滿分70分）20．（10分）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，設(shè)a+c＝2b，A﹣C=π3．求sinsinθ+sin?＝2sinθ+?2cosθ-?sinθ﹣sin?＝2cosθ+?2sinθ-?cosθ+cos?＝2cosθ+?2cosθ-?cosθ﹣cos?＝﹣2sinθ+?2sinθ-?21．（12分）如圖，直線l1和l2相交于點(diǎn)M，l1⊥l2，點(diǎn)N∈l1．以A，B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|=17，|AN|＝3，且|BN|＝6．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C22．（12分）如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出．設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比．現(xiàn)有制箱材料60平方米．問當(dāng)a，b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。ˋ、B孔的面積忽略不計(jì)）．23．（12分）已知如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝23，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C．（1）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大?。唬?）求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大?。唬?）求頂點(diǎn)C到側(cè)面A1ABB1的距離．24．（12分）設(shè)曲線C的方程是y＝x3﹣x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t、s單位長度后得曲線C1．（1）寫出曲線C1的方程；（2）證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A（t2，s（3）如果曲線C與C1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明s=t34-t25．（12分）已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1＝1，b1+b2+…+b10＝145．（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn；（2）設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝loga（1+1bn）（其中a＞0，且a≠1），記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．試比較Sn與13loga

1998年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共15小題，每小題4分，滿分60分）1．（4分）sin330°等于（）A．-32 B．-12【解答】解：∵sin330°=-sin30°=-故選：B．2．（4分）函數(shù)y＝a|x|（a＞1）的圖象是（）A． B． C． D．【解答】解：法一：由題設(shè)知y=a又a＞1．由指數(shù)函數(shù)圖象易知答案為B．法二：因y＝a|x|是偶函數(shù)，又a＞1．所以a|x|≥1，排除AC．當(dāng)x≥0，y＝ax，由指數(shù)函數(shù)圖象知選B．故選：B．3．（4分）曲線的極坐標(biāo)方程ρ＝4cosθ化為直角坐標(biāo)方程為（）A．（x+2）2+y2＝4 B．（x﹣2）2+y2＝4 C．（x+4）2+y2＝16 D．（x﹣4）2+y2＝16【解答】解：將原極坐標(biāo)方程ρ＝4cosθ，化為：ρ2＝4ρcosθ，化成直角坐標(biāo)方程為：x2+y2﹣4x＝0，即y2+（x﹣2）2＝4．故選：B．4．（4分）兩條直線A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直的充要條件是（）A．A1A2+B1B2＝0 B．A1A2﹣B1B2＝0 C．A1A【解答】解：直線A1x+B1y+C1＝0的方向向量為（﹣B1，A1），直線A2x+B2y+C2＝0的方向向量為（﹣B2，A2），兩條直線A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直，就是兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0，即：（﹣B1，A1）（﹣B2，A2）＝0可得A1A2+B1B2＝0故選：A．5．（4分）函數(shù)f（x）=1x（x≠0）的反函數(shù)f﹣1（A．x（x≠0） B．1x（x≠0） C．﹣x（x≠0） D．-1x（【解答】由y=1x得x=1y且y≠0，所以反函數(shù)f﹣1（x）=16．（4分）若點(diǎn)P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，則在[0，2π）內(nèi)α的取值范圍是（）A．(π2，C．(π2【解答】解：∵sinα-cosα＞0tanα＞0?π4故選：B．7．（4分）已知圓錐的全面積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為（）A．120° B．150° C．180° D．240°【解答】解：圓錐的全面積是底面積的3倍，那么母線和底面半徑的比為2，設(shè)圓錐底面半徑為1，則圓錐母線長為2，圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長是圓錐底面周長為2π，該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角：π，即180°故選：C．8．（4分）復(fù)數(shù)﹣i的一個(gè)立方根是i，它的另外兩個(gè)立方根是（）A．32±12i B．-32±12【解答】解：∵﹣i＝cos3π2+isin3π2，其立方根是cos2kπ+3π23+即i，-32-12故選：D．9．（4分）如果棱臺的兩底面積分別是S，S′，中截面的面積是S0，那么（）A．2S0=S+S′ B．S0=S′S C．2S0＝S+S′ D．S【解答】解：不妨設(shè)棱臺為三棱臺，設(shè)棱臺的高為2r，上部三棱錐的高為a，根據(jù)相似比的性質(zhì)可得：(aa+2r消去r，可得2S故選：A．10．（4分）向高為H的水瓶中注水，注滿為止．如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系如圖，那么水瓶的形狀是圖中的（）A． B． C． D．【解答】解：如果水瓶形狀是圓柱，V＝πr2h，r不變，V是h的正比例函數(shù)，其圖象應(yīng)該是過原點(diǎn)的直線，與已知圖象不符．故D錯(cuò)；由已知函數(shù)圖可以看出，隨著高度h的增加V也增加，但隨h變大，每單位高度的增加，體積V的增加量變小，圖象上升趨勢變緩，其原因只能是瓶子平行底的截面的半徑由底到頂逐漸變小．故A、C錯(cuò)．故選：B．11．（4分）3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士．不同的分配方法共有（）A．90種 B．180種 C．270種 D．540種【解答】解：三所學(xué)校依次選醫(yī)生、護(hù)士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42＝540種．故選：D．12．（4分）橢圓x212+y23=1的焦點(diǎn)為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在yA．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍【解答】解：由題設(shè)知F1（﹣3，0），F(xiàn)2（3，0），如圖，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y），線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x-32，y∵線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，∴x-32∴x＝3將P（3，y）代入橢圓x212+y2∴|PF1|=36+|PF2|=0+∴|PF故選：A．13．（4分）球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的16，經(jīng)過這3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長為4πA．43 B．23 C．2 D．3【解答】解法一：過O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，則O′是△ABC的中心，則O′A＝r＝2，又因?yàn)椤螦OC＝θ=πOA＝OC知OA＝AC＜2O′A．其次，OA是Rt△OO′A的斜邊，故OA＞O′A．所以O(shè)′A＜OA＜2O′A．因?yàn)镺A＝R，所以2＜R＜4．因此，排除A、C、D，得B．解法二：在正三角形ABC中，應(yīng)用正弦定理，得AB＝2rsin60°＝23．因?yàn)椤螦OB＝θ=π3，所以側(cè)面AOB是正三角形，得球半徑R＝OA＝AB＝2解法三：因?yàn)檎切蜛BC的外徑r＝2，故高AD=32r＝3，D是在△OBC中，BO＝CO＝R，∠BOC=π3，所以BC＝BO＝R，BD=12在Rt△ABD中，AB＝BC＝R，所以由AB2＝BD2+AD2，得R2=14R2+9，所以R＝2故選：B．14．（4分）一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角是（）A．a(chǎn)rccos5-12 B．a(chǎn)rcsin5-12【解答】解：設(shè)Rt△ABC中，C=π2，則A與B互余且又由已知得sin2B＝sinA，即cos2A＝sinA，1﹣sin2A＝sinA，解得sinA=5-12或sin故選：B．15．（4分）在等比數(shù)列{an}中，a1＞1，且前n項(xiàng)和Sn滿足limn→∞Sn=1a1A．（1，+∞） B．（1，4） C．（1，2） D．（1，2）【解答】解：由題意知limn→∞Sn=∴a12＝1﹣q，∵a1＞1，|q|＜1，∴1＜a12＜2，∴1＜a故選：D．二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）16．（5分）已知圓C過雙曲線x29-y2【解答】解：由雙曲線的幾何性質(zhì)易知圓C過雙曲線同一支上的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，所以圓C的圓心的橫坐標(biāo)為4．故圓心坐標(biāo)為（4，±47∴它到中心（0，0）的距離為d=16+故答案為：16317．（5分）（x+2）10（x2﹣1）的展開式中x10的系數(shù)為179（用數(shù)字作答）．【解答】解：（x+2）10（x2﹣1）＝x2（x+2）10﹣（x+2）10∴（x+2）10（x2﹣1）的展開式中x10的系數(shù)是（x+2）10展開式的x8的系數(shù)﹣x10的系數(shù)∵（x+2）10展開式的通項(xiàng)為Tr+1＝C10rx10﹣r2r＝2rC10rx10﹣r∴令r＝0，2分別得x10，x8的系數(shù)為1，180故展開式中x10的系數(shù)為180﹣1＝179，故答案為17918．（5分）如圖，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件AC⊥BD時(shí)，有A1C⊥B1D1．（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形．）【解答】解：∵四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD是直棱柱，∴B1D1⊥A1A，若A1C⊥B1D1則B1D1⊥平面A1AC1C∴B1D1⊥AC，又由B1D1∥BD，則有BD⊥AC，反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1故答案為：BD⊥AC．19．（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）＝4sin(2x+π3)（x①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整數(shù)倍；②y＝f（x）的表達(dá)式可改寫為y＝4cos(2x-π③y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(π④y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x=-π其中正確的命題的序號是②．（把你認(rèn)為正確的命題序號都填上）【解答】解：函數(shù)f（x）＝4sin(2x+π3)的最小正周期T由相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)間的距離是T2=π利用誘導(dǎo)公式得f（x）＝4cos[＝4cos(π6-2x)=4cos(2x-由于曲線f（x）與x軸的每個(gè)交點(diǎn)都是它的對稱中心，將x=π6代入得f（x）＝4sin因此點(diǎn)（π6，0）不是f（x故命題③錯(cuò)誤．曲線f（x）的對稱軸必經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，且與y軸平行，而x=-π6時(shí)（-π故直線x=-π6不是圖象的對稱軸，因此命題故答案為：②三、解答題（共6小題，滿分70分）20．（10分）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，設(shè)a+c＝2b，A﹣C=π3．求sinsinθ+sin?＝2sinθ+?2cosθ-?sinθ﹣sin?＝2cosθ+?2sinθ-?cosθ+cos?＝2cosθ+?2cosθ-?cosθ﹣cos?＝﹣2sinθ+?2sinθ-?【解答】解：由正弦定理和已知條件a+c＝2b得sinA+sinC＝2sinB．由和差化積公式得2sinA+C2cosA-C2=由A+B+C＝π得sinA+C2=cos又A﹣C=π3得32cosB所以32cosB2=2sinB因?yàn)?＜B2＜所以sinB2從而cosB所以sinB=321．（12分）如圖，直線l1和l2相交于點(diǎn)M，l1⊥l2，點(diǎn)N∈l1．以A，B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|=17，|AN|＝3，且|BN|＝6．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C【解答】解：法一：如圖建立坐標(biāo)系，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．依題意知：曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以l2為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A，B分別為C的端點(diǎn)．設(shè)曲線段C的方程為y2＝2px（p＞0），（xA≤x≤xB，y＞0），其中xA，xB分別為A，B的橫坐標(biāo)，p＝|MN|．所以M（-p2，0），N（由|AM|=17，|AN（xA+p2）2+2pxA（xA-p2）2+2pxA由①，②兩式聯(lián)立解得xA=4p．再將其代入①式并由p因?yàn)椤鰽MN是銳角三角形，所以p2＞xA所以p＝4，xA＝1．由點(diǎn)B在曲線段C上，得xB＝|BN|-p綜上得曲線段C的方程為y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）．解法二：如圖建立坐標(biāo)系，分別以l1、l2為x、y軸，M為坐標(biāo)原點(diǎn)．作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分別為E、D、F．設(shè)A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）．依題意有xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，yA＝|DM|=|AM|由于△AMN為銳角三角形，故有xN＝|ME|+|EN|＝|ME|+|AN|xB＝|BF|＝|BN|＝6．設(shè)點(diǎn)P（x，y）是曲線段C上任一點(diǎn)，則由題意知P屬于集合{（x，y）|（x﹣xN）2+y2＝x2，xA≤x≤xB，y＞0}．故曲線段C的方程為y2＝8（x﹣2）（3≤x≤6，y＞0）．22．（12分）如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出．設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比．現(xiàn)有制箱材料60平方米．問當(dāng)a，b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。ˋ、B孔的面積忽略不計(jì)）．【解答】解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則y=kab，其中k＞0為比例系數(shù)．依題意，即所求的a，b值使根據(jù)題設(shè)，有4b+2ab+2a＝60（a＞0，b＞0），得b=30-a2+a（0＜a于是y==k≥k當(dāng)a+2=64a+2時(shí)取等號，這時(shí)a＝6，a＝﹣10（舍去）．將a＝6代入①式得b＝3．故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小．解法二：依題意，即所求的a，b的值使ab最大．由題設(shè)知4b+2ab+2a＝60（a＞0，b＞0），即a+2b+ab＝30（a＞0，b＞0）．因?yàn)閍+2b≥22ab，所以22ab+當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)，上式取等號．由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．即當(dāng)a＝2b時(shí)，ab取得最大值，其最大值為18．所以2b2＝18．解得b＝3，a＝6．故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。?3．（12分）已知如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝23，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C．（1）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大小；（2）求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小；（3）求頂點(diǎn)C到側(cè)面A1ABB1的距離．【解答】（1）解：如圖作A1D⊥AC，垂足為D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，所以∠A1AD為A1A與面ABC所成的角．因?yàn)锳A1⊥A1C，AA1＝A1C，所以∠A1AD＝45°為所求．（2）解：作DE⊥AB，垂足為E，連A1E，則由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．所以∠A1ED是面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角．由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．又D是AC的中點(diǎn)，BC＝2，AC＝23，所以DE＝1，AD＝A1D=3，tan∠A1ED=故∠A1ED＝60°為所求．（3）解法一：由點(diǎn)C作平面A1ABB1的垂線，垂足為H，則CH的長是C到平面A1ABB1的距離．連接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB．又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，所以∠HBC＝∠A1ED＝60°所以CH＝BCsin60°=3解法二：連接A1B．根據(jù)定義，點(diǎn)C到面A1ABB1的距離，即為三棱錐C﹣A1AB的高h(yuǎn)．由V錐C-A1即1所以h=324．（12分）設(shè)曲線C的方程是y＝x3﹣x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t、s單位長度后得曲線C1．（1）寫出曲線C1的方程；（2）證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A（t2，s（3）如果曲線C與C1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明s=t34-t【解答】（1）解：曲線C1的方程為y＝（x﹣t）3﹣（x﹣t）+s．（2）證明：在曲線C上任取一點(diǎn)B1（x1，y1）．設(shè)B2（x2，y2）是B1關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，則有x1+x22=t2，y1+y22=s2，所以代入曲線C的方程，得x2和y2滿足方程：s﹣y2＝（t﹣x2）3﹣（t﹣x2），即y2＝（x2﹣t）3﹣（x2﹣t）+s，可知點(diǎn)B2（x2，y2）在曲線C1