2008年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（湖南）（解析卷）

第頁|共頁2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）文科數(shù)學(xué)能力測(cè)試一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，，則()A．C．D.2．“”是“”的()A．充分不必要條件B.必要不充分條件C．充分必要條件D.既不充分也不必要條件3．已條變量滿足則的最小值是()A．4B.3C.2D.14.函數(shù)的反函數(shù)是()5.已知直線m,n和平面滿足,則()或或6．下面不等式成立的是()A．B．C．D．7．在中，AB=3，AC=2，BC=，則()A．B．C．D．8．某市擬從4個(gè)重點(diǎn)項(xiàng)目和6個(gè)一般項(xiàng)目中各選2個(gè)項(xiàng)目作為本年度啟動(dòng)的項(xiàng)目，則重點(diǎn)項(xiàng)目A和一般項(xiàng)目B至少有一個(gè)被選中的不同選法種數(shù)是()A．15B．45C．60D．759．長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且AB=2，AD=，，則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是()A．B．C．D．210．若雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是()A．B．C．D．二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在橫線上。11．已知向量，，則||=_____________________.12.從某地區(qū)15000位老人中隨機(jī)抽取500人，其生活能否自理的情況如下表所示：性別人數(shù)生活能否自理男女能178278不能2321則該地區(qū)生活不能自理的老人中男性比女性約多_____________人。13．記的展開式中第m項(xiàng)的系數(shù)為，若，則=__________.14．將圓沿x軸正向平移1個(gè)單位后所得到圓C，則圓C的方程是________,若過點(diǎn)（3，0）的直線和圓C相切，則直線的斜率為_____________.15．設(shè)表示不超過x的最大整數(shù)，（如）。對(duì)于給定的,定義則________;當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是_________________________。三．解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16．（本小題滿分12分）甲乙丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約。甲表示只要面試合格就簽約，乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約。設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響。求：（I）至少一人面試合格的概率；（II）沒有人簽約的概率。17．（本小題滿分12分）已知函數(shù).（I）求函數(shù)的最小正周期；（II）當(dāng)且時(shí)，求的值。18．（本小題滿分12分）如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，。（I）證明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角A—BE—P的大小。19（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)是，且兩條準(zhǔn)線間的距離為。（I）求橢圓的方程；（II）若存在過點(diǎn)A（1，0）的直線，使點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，求的取值范圍。20．（本小題滿分13分）數(shù)列滿足（I）求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，，，求使的所有k的值，并說明理由。21．（本小題滿分13分）已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)。（I）證明：；（II）若存在實(shí)數(shù)c，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍。2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）文科數(shù)學(xué)能力測(cè)試一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，，則()A．C．D.【答案】B【解析】由，，，易知B正確.2．“”是“”的()A．充分不必要條件B.必要不充分條件C．充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由得，所以易知選A.3．已條變量滿足則的最小值是()A．4B.3C.2D.1【答案】C【解析】如圖得可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)分別為代入驗(yàn)證知在點(diǎn)時(shí),最小值是故選C.4.函數(shù)的反函數(shù)是()【答案】B【解析】用特殊點(diǎn)法,取原函數(shù)過點(diǎn)則其反函數(shù)過點(diǎn)驗(yàn)證知只有答案B滿足.也可用直接法或利用“原函數(shù)與反函數(shù)的定義域、值域互換”來解答。5.已知直線m,n和平面滿足,則()或或【答案】D【解析】易知D正確.6．下面不等式成立的是()A．B．C．D．【答案】A【解析】由,故選A.7．在中，AB=3，AC=2，BC=，則()A．B．C．D．【答案】D【解析】由余弦定理得所以選Ｄ.8．某市擬從4個(gè)重點(diǎn)項(xiàng)目和6個(gè)一般項(xiàng)目中各選2個(gè)項(xiàng)目作為本年度啟動(dòng)的項(xiàng)目，則重點(diǎn)項(xiàng)目A和一般項(xiàng)目B至少有一個(gè)被選中的不同選法種數(shù)是()A．15B．45C．60D．75【答案】C【解析】用直接法：或用間接法：故選Ｃ.9．長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且AB=2，AD=，，則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是()A．B．C．D．2【答案】B【解析】設(shè)則故選Ｂ.10．若雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】C【解析】而雙曲線的離心率故選Ｃ.二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在橫線上。11．已知向量，，則||=_____________________.【答案】２【解析】由12.從某地區(qū)15000位老人中隨機(jī)抽取500人，其生活能否自理的情況如下表所示：性別人數(shù)生活能否自理男女能178278不能2321則該地區(qū)生活不能自理的老人中男性比女性約多_____________人。【答案】60【解析】由上表得13．記的展開式中第m項(xiàng)的系數(shù)為，若，則=__________.【答案】5【解析】由得所以解得14．將圓沿x軸正向平移1個(gè)單位后所得到圓C，則圓C的方程是________,若過點(diǎn)（3，0）的直線和圓C相切，則直線的斜率為_____________.【答案】,【解析】易得圓C的方程是,直線的傾斜角為,所以直線的斜率為15．設(shè)表示不超過x的最大整數(shù)，（如）。對(duì)于給定的,定義則________;當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是_________________________?！敬鸢浮俊窘馕觥慨?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以故函數(shù)的值域是.三．解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16．（本小題滿分12分）甲乙丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約。甲表示只要面試合格就簽約，乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約。設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響。求：（I）至少一人面試合格的概率；（II）沒有人簽約的概率。解：用A,B,C分別表示事件甲、乙、丙面試合格．由題意知A,B,C相互獨(dú)立，且（I）至少有一人面試合格的概率是（II）沒有人簽約的概率為17．（本小題滿分12分）已知函數(shù).（I）求函數(shù)的最小正周期；（II）當(dāng)且時(shí)，求的值。解：由題設(shè)有．（I）函數(shù)的最小正周期是（II）由得即因?yàn)?所以從而于是18．（本小題滿分12分）如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，。（I）證明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角A—BE—P的大小。解：解法一（I）如圖所示,連結(jié)由是菱形且知，是等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以又所以又因?yàn)镻A平面ABCD，平面ABCD，所以而因此平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）由（I）知，平面PAB,平面PAB,所以又所以是二面角的平面角．在中,．故二面角的大小為解法二：如圖所示,以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（I）因?yàn)槠矫鍼AB的一個(gè)法向量是所以和共線.從而平面PAB.又因?yàn)槠矫鍼BE，所以平面PBE平面PAB.（II）易知設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量,則由得所以故可取而平面ABE的一個(gè)法向量是于是,．故二面角的大小為19（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)是，且兩條準(zhǔn)線間的距離為。（I）求橢圓的方程；（II）若存在過點(diǎn)A（1，0）的直線，使點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，求的取值范圍。解：（I）設(shè)橢圓的方程為由條件知且所以故橢圓的方程是（II）依題意,直線的斜率存在且不為0,記為,則直線的方程是設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為則解得因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以即設(shè)則因?yàn)樗杂谑?當(dāng)且僅當(dāng)上述方程存在正實(shí)根,即直線存在.解得所以即的取值范圍是20．（本小題滿分13分）數(shù)列滿足（I）求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，，，求使的所有k的值，并說明理由。解：（I）因?yàn)樗砸话愕?當(dāng)時(shí)，即所以數(shù)列是首項(xiàng)為0、公差為4的等差數(shù)列，因此當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列的通項(xiàng)公式為（II）由（I）知，于是.下面證明:當(dāng)時(shí)，事實(shí)上,當(dāng)時(shí)，即又所以當(dāng)時(shí)，故滿足的所有k的值為3,4,5.21．（本小題滿分13分）已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)。（I）證明：；（II）若存在實(shí)數(shù)c，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍。解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)極值點(diǎn),所以有三個(gè)互異的實(shí)根.設(shè)則當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù);當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù);當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù);所以函數(shù)在時(shí)取極大值,在時(shí)取極小值.當(dāng)或時(shí),最多只有兩個(gè)不同實(shí)根.因?yàn)橛腥?/p>