《電路分析基礎》課件第10章

10.1耦合電感元件

10.2耦合電感的連接及去耦等效

10.3空芯變壓器電路分析

10.4理想變壓器和全耦合變壓器

10.5含理想變壓器電路的分析與計算

10.6練習題及解答提示

習題10第10章耦合電感和變壓器電路分析10.1.1耦合電感的伏安關系

當一線圈中通以變化電流時，將在線圈中產(chǎn)生變化的磁通，根據(jù)電磁感應定律，這些變化的磁通將在線圈兩端產(chǎn)生感應電壓。當兩線圈靠近時，一線圈中變化電流所產(chǎn)生的磁通不僅會在本線圈中產(chǎn)生感應電壓，還可能在另一線圈中產(chǎn)生感應電壓。一個線圈中的變化電流在另一個線圈中產(chǎn)生感應電壓的現(xiàn)象叫做磁耦合現(xiàn)象或互感現(xiàn)象。產(chǎn)生磁耦合現(xiàn)象的這對線圈稱做互感線圈或耦合線圈?；ジ芯€圈的理想化模型即為耦合電感。下面討論耦合電感的伏安關系。10.1耦合電感元件相互靠近的兩個線圈如圖10-1(a)所示。設通過線圈Ⅰ的電流為i1,通過線圈Ⅱ的電流為i2,由于兩個線圈之間存在磁耦合，因此每個線圈電流所產(chǎn)生的磁通不僅要與本線圈交鏈形成磁鏈，而且有部分甚至全部還將與相鄰的另一線圈交鏈形成磁鏈。所以，每個線圈中的磁鏈將由本線圈電流所產(chǎn)生磁鏈和相鄰線圈電流所產(chǎn)生磁鏈兩部分組成。圖10-1耦合線圈若兩線圈匝數(shù)分別為N1、N2，線圈的每匝都全部交鏈，且選定線圈中各部分磁鏈的參考方向與產(chǎn)生該磁鏈的線圈電流的參考方向符合右手螺旋法則，每個線圈的總磁鏈的參考方向與它所在線圈電流的參考方向也符合右手螺旋法則，則各線圈總磁鏈在圖10-1(a)所示電流參考方向下可表示為(10-1)其中:Φ11、Φ22分別為電流i1、i2流經(jīng)線圈Ⅰ、線圈Ⅱ所產(chǎn)生的磁通，稱為自感磁通；Φ12、Φ21分別是Φ22、Φ11中與相鄰線圈交鏈的部分磁通，稱為互感磁通；

Ψnn=NnΦnn(n=1，2)，表示線圈n的線圈電流在線圈n中產(chǎn)生的磁鏈，稱為自感磁鏈；Ψnm=NnΦnm(n，m=1，2且n≠m)表示線圈m的線圈電流在線圈n中產(chǎn)生的磁鏈，稱為互感磁鏈；Ψ1、Ψ2分別是線圈Ⅰ、Ⅱ的總磁鏈。由于線圈自感磁鏈的參考方向由本線圈的電流按右手螺旋法則決定，而互感磁鏈的參考方向由相鄰線圈的電流按右手螺旋法則決定，故隨著線圈電流的參考方向和線圈繞向以及線圈間的相對位置的不同，自感磁鏈與互感磁鏈的參考方向可能一致，也可能相反。當線圈繞向和電流的參考方向如圖10-1(a)所示時，每個線圈中的自感磁鏈和互感磁鏈的參考方向均一致；而當線圈繞向和電流的參考方向如圖10-1(b)所示時，每個線圈中的自感磁鏈和互感磁鏈的參考方向均不一致。因此，耦合線圈中的總磁鏈可表示為

當線圈中及周圍空間是各向同性的線性磁介質(zhì)時，每一種磁鏈都與產(chǎn)生它的電流成正比，即

(10-2)(10-3)式中:、分別稱為線圈Ⅰ、Ⅱ的自感系數(shù)，簡稱自感，單位為亨［利］(H)；、稱為互感系數(shù)，簡稱互感，單位為亨［利］(H)?？梢宰C明M12=M21，表明互感的互易性質(zhì)。所以，當只有兩個線圈有耦合時，可以略去M的下標，即可令M=M12=M21。當流經(jīng)線圈的電流變化時，與線圈交鏈的磁通要作相應的變化，并在線圈兩端產(chǎn)生感應電壓。設各線圈電壓、電流均取關聯(lián)參考方向，則根據(jù)電磁感應定律可得

(10-4)上式即為耦合電感的一般伏安關系式。由該式可見：耦合電感的每一線圈的感應電壓包括兩部分，一部分是由線圈自磁鏈產(chǎn)生的自感電壓(uL1或uL2)，另一部分是由互磁鏈產(chǎn)生的互感電壓(uM1或uM2)。根據(jù)電磁感應定律，若自感電壓和互感電壓的參考方向與產(chǎn)生感應電壓的磁鏈的參考方向符合右手螺旋法則，當線圈的電流與電壓取關聯(lián)參考方向時，自感電壓前的符號總為正；而互感電壓前的符號可正可負，當互磁鏈與自磁鏈的參考方向一致時，取正號，反之，當互磁鏈與自磁鏈的參考方向不一致時，取負號。

從耦合電感的伏安關系式可知，由兩個線圈組成的耦合電感是一個由L1、L2和M三個參數(shù)表征的四端元件，并且由于它的自感電壓和互感電壓分別與線圈中的電流的變化率成正比，因此它是一種動態(tài)元件和記憶元件。10.1.2耦合線圈的同名端

由前面的分析可知，互感磁鏈與自感磁鏈的參考方向是否一致不僅與設定的兩線圈的電流的參考方向有關，還與線圈的繞向及線圈間的相對位置有關。實際的線圈往往是密封的，難以根據(jù)磁通方向來確定互感電壓的參考方向，其次在圖上也不便畫出線圈的繞向及相對位置。為了解決這一問題，引入了同名端的概念。所謂同名端，是指耦合線圈中的這樣一對端鈕：當線圈電流同時流入(或流出)該對端鈕時，它們所產(chǎn)生的磁鏈是相互加強的，即線圈中的自感磁鏈與互感磁鏈的參考方向是一致的。同名端通常用標志“·”(或“*”)表示。根據(jù)同名端的定義可以方便地判斷兩線圈的同名端：如圖10-2中，當i1、i2分別由端鈕a和c流入(或流出)時，它們各自產(chǎn)生的磁通相助，因此a端和c端是同名端(當然b端和d端也是同名端),并在圖上用“·”標出同名端；a端與d端(或b端與c端)稱異名端。圖10-2耦合電感的同名端有了同名端的標志，再根據(jù)設定電壓、電流的參考方向，就能直接寫出耦合電感的伏安關系式。其具體規(guī)則是：若耦合電感的線圈電壓與電流參考方向為關聯(lián)參考方向，

則自感電壓前取正號，否則取負號；若耦合電感線圈的電壓正極性端與另一線圈的電流流入端為同名端，則該線圈的互感電壓前取正號，否則取負號。在耦合線圈繞向無法知道的情況下若需確定同名端，可用圖10-3所示的試驗方法來測定。在該電路中，當開關S閉合時，i1將從線圈Ⅰ的a端流入，且，如果電壓表正向偏轉(zhuǎn)，表示線圈Ⅱ中的互感電壓，則可判定電壓表的正極所接端鈕c與i1的流入端鈕a為同名端；反之，如果電壓表反向偏轉(zhuǎn)，表示線圈Ⅱ中的互感電壓，則可判定電壓表的正極所接端鈕c與i1的流入端鈕a為異名端，而端鈕a與d為同名端。圖10-3測定同名端的實驗電路10.1.3耦合線圈的電路模型

有了同名端的概念，圖10-1(a)和(b)所示的耦合電感可分別用圖10-4(a)和(b)所示的電路模型表征，圖中L1、L2是自感系數(shù)，M是它們之間的互感系數(shù)，“·”或“*”表示同名端。圖10-4耦合電感的電路模型由于耦合電感中的互感反映了耦合電感線圈間的耦合關系，為了在電路模型中以較明顯的方式將這種耦合關系表示出來，各線圈中的互感電壓可用CCVS表示。若用受控源表示互感電壓，則圖10-4(a)和(b)所示的耦合電感可用圖10-5(a)和(b)所示的電路模型來表示。顯然，在這里電感L1和L2之間已沒有了耦合關系。圖10-5用受控源表示互感電壓時耦合電感的電路模型在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，式(10-4)所述的耦合電感伏安關系的相量形式為

式中：jωL1、jωL2稱為自感阻抗；jωM稱為互感阻抗。其相量模型如圖10-6(a)和(b)所示。相應地，用受控源表示互感電壓的耦合電感相量模型如圖10-7(a)和(b)所示。(10-5)圖10-6耦合電感相量模型圖10-7用受控源表示互感電壓的耦合電感相量模型10.1.4耦合線圈的耦合系數(shù)

一般情況下，流經(jīng)耦合線圈的電流所產(chǎn)生的磁通只有部分與另一線圈交鏈，彼此不交鏈的那部分磁通稱為漏磁通。而耦合線圈的互感量反映了一個線圈在另一個線圈產(chǎn)生磁鏈的能力。工程上為了定量地描述兩個耦合線圈的耦合緊密程度，把兩個線圈的互感磁鏈與自感磁鏈的比值的幾何平均值定義為耦合系數(shù)，并用符號k表示，即

(10-6)又因為Ψ11=L1i1，Ψ21=Mi1，

Ψ22=L2i2，Ψ12=Mi2，代入式(10-6)后，有

由于一般情況下Ψ21≤Ψ11，Ψ12≤Ψ22，因此k≤1。當k＝1時，稱為全耦合，此時一個線圈中電流產(chǎn)生的磁通全部與另一線圈交鏈，互感達到最大值，即；k≈1時，稱為緊耦合；k較小時，稱為松耦合；k＝0時，稱為無耦合，此時耦合電感的兩個線圈的磁通互不交鏈，互感M=0。(10-7)

例10-1

試寫出圖10-8所示耦合電感的伏安關系。圖10-8例10-1圖

解因為圖10-8所示耦合電感線圈Ⅰ的電流i1與電壓u1為關聯(lián)參考方向，故自感電壓；又因為線圈Ⅰ的正極性端與線圈Ⅱ電流i2的流入端為同名端，故線圈Ⅰ的互感電壓。因為線圈Ⅱ的電流i2與電壓u2為非關聯(lián)參考方向，故自感電壓；又因為線圈Ⅱ的正極性端與線圈Ⅰ電流i1的流入端為異名端，故線圈Ⅱ的互感電壓。由此可得該耦合電感的伏安關系為：

耦合電感的兩個線圈在實際電路中一般以某種方式相互連接，基本的連接方式有串聯(lián)、并聯(lián)和三端連接。在分析含耦合電感的電路時，首先將上述連接方式的耦合電感用無耦合的等效電路等效替代，然后進行分析。通常我們將這個等效替代的過程稱為去耦等效。本節(jié)主要介紹這三種基本連接方式、三種基本連接方式的去耦等效以及去耦等效法在含耦合電感電路分析中的應用。10.2耦合電感的連接及去耦等效10.2.1耦合電感的串聯(lián)

耦合電感的兩線圈串聯(lián)時有兩種連接方式：一種如圖10-9(a)所示，將耦合電感線圈的兩個異名端連在一起并通以同一個電流，耦合電感的這種連接方式稱為順串；另一種如圖10-9(b)所示，將耦合電感線圈的兩個同名端連在一起并通以同一個電流，耦合電感的這種連接方式稱為反串。圖10-9耦合電感的串聯(lián)設耦合電感線圈上的電壓、電流取如圖10-9所示的關聯(lián)參考方向，則由耦合電感的伏安關系可得兩種連接方式的串聯(lián)電路的伏安關系為

(10-8)式中:M前取正號時，對應于順串;M前取負號時，對應于反串。式(10-8)表明，作串聯(lián)連接的耦合電感在電路中可等效為一個如圖10-9(c)或(d)所示的電感元件，其等效電感為

Leq=L1+L2±2M10.2.2耦合電感的并聯(lián)

耦合電感的并聯(lián)連接也有兩種形式：一種如圖10-10(a)所示，將耦合電感線圈的兩個同名端連在一起并跨接在同一個電壓上，耦合電感的這種連接方式稱為同側(cè)并聯(lián)；

另一種如圖10-10(b)所示，將耦合電感線圈的兩個異名端連在一起并跨接在同一個電壓上，耦合電感的這種連接方式稱為異側(cè)并聯(lián)。圖10-10耦合電感的并聯(lián)設耦合電感線圈上的電壓、電流取如圖10-10所示的關聯(lián)參考方向，則由耦合電感的伏安關系可得兩種連接方式的并聯(lián)電路的伏安關系為

(10-9)式(10-9)中，M前取正號時，對應于同側(cè)并聯(lián)；M前取負號時，對應于異側(cè)并聯(lián)。對上式聯(lián)立求解得

(10-10)將式(10-10)中兩方程相加,即得兩種并聯(lián)連接方式的耦合電感的伏安關系為

或

(10-11)(10-12)其中:

在式(10-13)中，2M前取負號時，對應于同側(cè)并聯(lián)；2M前取正號時，對應于異側(cè)并聯(lián)。式(10-12)表明，作并聯(lián)連接的耦合電感在電路中可等效為一個如圖10-10(c)或(d)所示的電感元件。(10-13)10.2.3耦合電感的三端連接

將耦合電感的兩個線圈各取一端連接起來就構(gòu)成了耦合電感的三端連接電路。耦合電感的三端連接也有兩種接法：一種是將同名端相連，構(gòu)成如圖10-11(a)所示的三端連接電路；另一種是將異名端相連，構(gòu)成如圖10-11(b)所示的三端連接電路。顯然，前面介紹的耦合電感的串聯(lián)連接、并聯(lián)連接均可看成三端連接的特例。圖10-11耦合電感的三端連接下面介紹三端連接的耦合電感的去耦等效。設圖10-11(a)中耦合電感各線圈上的電壓和電流的參考方向如圖所示，則由耦合電感的伏安關系可得

(10-14)經(jīng)變換可得

由式(10-15)可得圖10-11(a)所示三端連接的耦合電感的去耦等效電路如圖10-11(c)所示。(10-15)同理可推得圖10-11(b)所示三端連接的耦合電感的去耦等效電路如圖10-11(d)所示。

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，對應于圖10-11所示耦合電感的三端連接及其去耦等效電路的相量模型如圖10-12所示。圖10-12耦合電感的三端連接的相量模型10.2.4去耦等效法在含耦合電感電路分析中的應用

下面舉例說明利用去耦等效的方法分析含耦合電感的電路。

例10-2

如圖10-13(a)所示電路，已知R1=12Ω，ωL1=2Ω，ωL2=10Ω，

ωM=6Ω，R3=6Ω，，試求其輸入阻抗Zab。

圖10-13例10-2題圖

解圖10-13(a)所示電路中的耦合電感為同名端相連的三端連接方式，其去耦等效電路的相量模型如圖10-13(b)所示。由圖(b)可得

例10-3

試求圖10-14(a)所示有源二端網(wǎng)絡的戴維南等效電路。已知，R1=R2=3Ω，ωL1=ωL2=4Ω，ωM=2Ω。

圖10-14例10-3題圖

解圖10-14(a)所示電路中的耦合電感為同名端相連的三端連接方式，其去耦等效電路的相量模型如圖10-14(b)所示。

(1)求等效阻抗Zab

：

(2)求開路電壓:

故得圖10-14(a)所示有源二端網(wǎng)絡的戴維南等效電路如圖10-14(c)所示。

例10-4

試列寫圖10-15(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路的網(wǎng)孔方程。

圖10-15例10-4題圖

解圖10-15(a)所示電路中的耦合電感為同名端相連的三端連接，其去耦等效后的電路如圖10-15(b)所示。對于圖10-15(b)，設各網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流及其方向如圖所示，則網(wǎng)孔方程為

整理得

具有互感耦合作用的耦合線圈在工程上有多種用途，變壓器就是利用耦合線圈間的磁耦合來實現(xiàn)從一個電路向另一個電路傳輸能量或信號的器件。變壓器通常由兩個線圈組成，其中一個線圈與電源相接，稱為初級線圈或原邊線圈；另一個線圈與負載相接，稱為次級線圈或副邊線圈。10.3空芯變壓器電路分析初、次級線圈間只有磁的耦合而沒有電的直接聯(lián)系，這種電路稱為變壓器耦合電路，而把這一對具有互感的線圈稱為變壓器。若變壓器的線圈繞在鐵芯材料上，則構(gòu)成鐵芯變壓器；若繞在非鐵磁材料上，則構(gòu)成空芯變壓器。前者的耦合系數(shù)接近1，屬于緊耦合；后者線圈間的耦合系數(shù)較小，屬于松耦合。本節(jié)只介紹含空芯變壓器電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析。圖10-16(a)是最簡空芯變壓器電路的相量模型，虛線框內(nèi)為空芯變壓器。它由一個互感元件與兩個電阻組成，其中：R1和R2分別表示原邊線圈和副邊線圈的繞線電阻；L1和L2分別表示原邊線圈和副邊線圈的繞線的自感；M表示原邊線圈和副邊線圈間的互感。圖10-16空芯變壓器在正弦穩(wěn)態(tài)下，設初、次級回路的電流相量分別為、，如圖10-16(a)所示。若將互感電壓用受控源等效替代，則圖10-16(a)可等效為圖10-16(b)所示電路，由此可列得回路間的KVL方程為

(10-16)若令Z11=R1+jωL1、Z22=R2+jωL2+ZL分別表示初、次級回路的自阻抗，則方程組(10-16)可簡寫為

(10-17)由此可解得

由式(10-18)可得初級回路從a、b端看入的等效阻抗為

(10-18)

(10-19)式(10-19)表明，等效阻抗Zi由兩部分組成：一部分為初級回路自阻抗Z11，另一部分為，稱為次級回路對初級回路的反映阻抗或引入阻抗，它是一個決定于互感及次級回路參數(shù)的阻抗，反映了次級回路通過磁耦合對初級回路所產(chǎn)生的影響。當時，Zi=Z11。利用反映阻抗的概念，空芯變壓器從電源看進去的等效電路如圖10-16(c)所示，該電路稱為初級等效電路。由該等效電路可方便地計算出初級回路電流。求得初級回路電流后，由圖10-16(b)可得次級回路的回路電流為

此外，對于空芯變壓器電路也可用上節(jié)介紹的去耦等效的方法進行分析。因為在圖10-17(a)所示的空芯變壓器電路中，若將b和d兩點相連，由于該連線上無電流流過，故對原電路并無影響，則此時空芯變壓器就變成了三端連接的耦合電感，通過去耦等效得圖10-17(b)所示的等效電路，對該電路用正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法即可求解。(10-20)圖10-17空芯變壓器電路的去耦等效電路

例10-5

空芯變壓器電路如圖10-18(a)所示，試求初、次級回路電流、。

圖10-18例10-5題圖

解法一利用反映阻抗的概念求解。

由圖10-18(a)所示電路可得

Z11=7.5+j30－j22.5=(7.5+j7.5)Ω

Z22=(60+j60)Ω

次級對初級的反映阻抗為

則可得初級等效電路如圖10-18(b)所示。由該圖可得

由圖10-18(a)進一步求解可得

解法二利用去耦等效的方法求解。

圖10-18(a)所示電路的去耦等效電路如圖10-18(c)所示，則由該圖可得：

10.4.1理想變壓器的伏安關系

理想變壓器也是一種耦合元件，它是實際變壓器在滿足以下三個理想化條件下的電路模型：

(1)變壓器本身無損耗，即其電阻效應為零。

(2)耦合系數(shù)k=1，即為全耦合。

10.4理想變壓器和全耦合變壓器

(3)線圈的自感系數(shù)L1和L2均為無限大，且L1/L2等于常數(shù)；互感系數(shù)也為無限大。

對于理想變壓器，我們一般用圖10-19所示的電路符號來表示。圖10-19理想變壓器在圖10-19(a)所示同名端及電壓、電流參考方向下，理想變壓器的伏安關系為

式中，n是常數(shù)，稱為理想變壓器的變比，數(shù)值上等于理想變壓器初、次線圈的匝數(shù)比，即，它是理想變壓器唯一的參數(shù)。(10-21)或式(10-21)是在圖10-19(a)所示同名端及電壓、電流參考方向下得到的。若將圖10-19(a)所示理想變壓器的同名端改為圖10-20(b)所示，則此時所對應的理想變壓器的伏安關系為

(10-22)或比較式(10-21)和式(10-22)可以看出，理想變壓器的伏安關系與線圈電壓、電流參考方向及同名端位置有關。為了正確列寫理想變壓器的伏安關系，在給定電壓、電流參考方向及同名端的情況下，具體可按以下規(guī)則列寫：當理想變壓器初、次級線圈電壓正極為同名端時,初、次級電壓比等于匝數(shù)比,否則為負值；當初、次級電流從異名端流入時,初、次級電流比等于匝數(shù)比的倒數(shù),否則為倒數(shù)的負值。另外，式(10-21)和式(10-22)均為代數(shù)關系式，可見，理想變壓器是一種無記憶元件，也稱即時元件。它具有按式(10-21)或式(10-22)變換電壓、電流的能力，不論電壓、電流是直流還是交流，電路是暫態(tài)還是穩(wěn)態(tài)，都沒有電感或耦合電感元件的作用。

理想變壓器的電路模型也可以表示成圖10-20(a)和(b)所示的受控源形式。圖10-20用受控源表示的理想變壓器接下來討論理想變壓器的功率問題。在任一時刻理想變壓器所吸收的功率應為其兩端口吸收功率之和，對應于圖10-19和圖10-20有

(10-23)上式表示，理想變壓器吸收的瞬時功率為零。這表明，理想變壓器是一個既不耗能也不儲能的元件。若把式(10-23)改寫成

p1=－p2

即u1i1=－u2i2

可以看出，理想變壓器的輸入瞬時功率等于輸出瞬時功率。可見，其在電路中只起著傳遞能量的“橋梁”作用。顯然，在正弦穩(wěn)態(tài)條件下，式(10-21)和式(10-22)所述理想變壓器的伏安關系都可以表示為相應的相量形式，即

或(10-24)10.4.2理想變壓器伏安關系的推導

前面我們介紹了理想變壓器的伏安關系。顯然，理想變壓器可看成耦合電感的極限情況，當耦合電感滿足耦合系數(shù)k=1，且L1與L2→∞，但為定值時，即成為理想變壓器。下面由耦合電感的伏安關系著手，推導理想變壓器的伏安關系式。對于圖10-21所示耦合電感，由于是全耦合的，即k=1，故其中一個線圈電流產(chǎn)生的磁通將全部與另一個線圈相交鏈，而不存在漏磁通。假設初、次級線圈的匝數(shù)分別為N1、N2，Φ11表示初級線圈電流i1產(chǎn)生的全部磁通，Φ21表示i1產(chǎn)生并與次級線圈相交鏈的磁通；Φ22表示次級線圈電流i2產(chǎn)生的全部磁通，Φ12表示i2產(chǎn)生并與初級線圈相交鏈的磁通，顯然Φ11=Φ21，Φ22=Φ12。故兩線圈的總磁鏈分別為

式中，Φ=Φ11+Φ22稱為主磁通，它的變化將在初、次級線圈中分別產(chǎn)生感應電壓u1、u2。在圖示參考方向下，

有：

(10-25)所以

上式表明，在全耦合的情況下，耦合電感初、次級電壓比等于初、次級線圈的匝數(shù)比。這就導出了式(10-21)的第一式。(10-26)

圖10-21全耦合電感又由耦合電感的伏安關系知，圖10-21所示耦合電感的伏安關系為

對式(10-27)中的第一式從－∞到t積分，則有

(10-27)(10-28)由于

N1Φ11=L1i1

N1Φ12=Mi2

N2Φ21=Mi1

N2Φ22=L2i2

當k=1時,將Φ11=Φ21，Φ22=Φ12代入上式，因此有

(10-29)將式(10-29)代入式(10-28)，得

當自感系數(shù)L1→∞時，有

上式表明，當k=1，L1→∞時，耦合電感初、次級電流比等于初、次級線圈的匝數(shù)比倒數(shù)的負值。這就導出了式(10-21)中的第二式。(10-30)或(10-31)以上我們由耦合電感的伏安關系導出了理想變壓器的伏安關系式。由于理想變壓器的伏安關系是一組代數(shù)方程，因此理想變壓器是一個即時、無記憶元件，即在任何時刻，理想變壓器兩對端子上的電流或電壓必同時存在或同時消失，不管該電流、電壓是直流還是交流，電路是暫態(tài)還是穩(wěn)態(tài)，其初、次級電壓比和初、次級電流比只與變比n有關。10.4.3理想變壓器的阻抗變換特性

理想變壓器具有三個基本特性：變換電壓、變換電流及阻抗變換。

我們在理想變壓器的伏安關系這部分內(nèi)容里介紹了理想變壓器對電壓、電流的變換特性，本小節(jié)我們介紹理想變壓器的另一個特性——阻抗變換特性。圖10-22(a)所示理想變壓器在次級并接阻抗ZL，則有

(10-32)即由式(10-32)可得圖10-22(b)所示等效電路。當

時，圖10-22(b)所示電路可等效為圖10-22(c)所示等效電路。由圖10-22可知，將與理想變壓器次級并接的阻抗ZL搬移至理想變壓器的初級，阻抗將擴大n2倍且仍與理想變壓器并接。圖10-22并接阻抗從次級搬移至初級類似推導可得，將與理想變壓器初級串接的阻抗ZL搬移至理想變壓器的次級，阻抗將縮小為原來的1/n2，且仍與理想變壓器串接，如圖10-23所示。圖10-23串接阻抗從初級搬移至次級上述“搬移”阻抗的方法還可以進一步推廣：

(1)與理想變壓器初級相連的二端口純阻抗網(wǎng)絡可以從初級搬移到次級(仍與理想變壓器相連)，且搬移的過程是一平移平插過程，同時阻抗將縮小為原來的1/n2，如圖10-24所示。

圖10-24二端口純阻抗網(wǎng)絡從初級搬移到次級

(2)與理想變壓器次級相連的二端口純阻抗網(wǎng)絡可以從次級搬移到初級(仍與理想變壓器相連)，且搬移的過程是一平移平插過程，同時阻抗擴大n2倍，如圖10-25所示。

圖10-25二端口純阻抗網(wǎng)絡從次級搬移到初級可見，利用理想變壓器變換阻抗的特性可以將與理想變壓器相連的阻抗在其初級與次級之間來回搬移，且：

(1)阻抗來回搬移與同名端無關。

(2)利用阻抗搬移可以簡化電路。

(3)理想變壓器具有以n2倍關系變換阻抗的作用：當阻抗從次級搬移到初級時要擴大n2倍；當阻抗從初級搬移到次級時要縮小為原來的1/n2。

(4)由于n為大于零的實常數(shù)，故阻抗在初、次級之間來回搬移過程中其性質(zhì)不變。

(5)理想變壓器次級短路相當于其初級也短路。

(6)理想變壓器次級開路相當于其初級也開路。10.4.4全耦合變壓器的電路模型

一個實際變壓器要完全滿足三個理想化條件是十分困難的。一般來說，若變壓器的線圈無損耗，耦合系數(shù)k=1，而自感系數(shù)為有限值，則這樣的變壓器稱為全耦合變壓器。

在工程上，實際鐵芯變壓器就可以看成一個全耦合變壓器。全耦合變壓器除了可以用耦合電感來表征其特性，如圖

10-26(a)所示，還可以用含理想變壓器的電路模型來等效。下面我們來推導該模型。

圖10-26全耦合變壓器及其電路模型對于圖10-26(a)所示全耦合變壓器，根據(jù)10.4.2小節(jié)對理想變壓器伏安關系的推導可得，其伏安關系滿足：

(10-33)(10-34)式(10-33)和式(10-34)表明：全耦合變壓器的初、次級電壓關系與理想變壓器相同；而其初級電流則由兩部分組成，其中是電感電流，與次級電流i2符合理想變壓器初、次級電流關系。由此可得全耦合變壓器的電路模型如圖10-26(b)所示，它由理想變壓器模型在其初級線圈并一電感L1而構(gòu)成，其中理想變壓器的變比。該電路模型與圖10-26(a)所示模型等效。由于理想變壓器的伏安關系比耦合電感的伏安關系簡單，因此，對全耦合變壓器分析與計算時，大多采用圖10-26(b)所示的全耦合變壓器模型。

全耦合變壓器的初級電流i常稱為空載電流，其為次級開路時(即i2=0，空載)流經(jīng)初級線圈的電流。該電流使變壓器鐵芯內(nèi)產(chǎn)生磁通，故又稱為激磁電流。圖中L1稱為激磁電感。由圖10-26(b)所示全耦合變壓器的等效電路模型可以看出，全耦合變壓器的等效電路中同樣含有理想變壓器，激磁電感(即初級電感)可以認為是外接電感。本節(jié)介紹含理想變壓器電路的分析與計算，也包括含全耦合變壓器電路的分析與計算。10.5含理想變壓器電路的分析與計算含理想變壓器電路的分析與計算方法有三種：

(1)直接法，即直接利用理想變壓器的伏安關系列方程求解。

(2)利用理想變壓器的電壓變換、電流變換及阻抗變換特性求解。

(3)等效電源定理法。

下面舉例介紹。

例10-6

試求圖10-27所示電路中流過4Ω電阻的電流。

圖10-27例10-6題圖

解本題利用直接法求解。設各支路電流相量及理想變壓器初、次級電壓相量的參考方向如圖所示，可列回路方程如下

解聯(lián)立方程得

通過4Ω電阻的電流為

例10-7

含理想變壓器的電路如圖10-28(a)所示，試求電壓。

圖10-28例10-7題圖

解利用理想變壓器的阻抗變換特性，將圖10-28(a)所示電路的次級阻抗搬移到初級，得圖10-28(b)所示的等效電路。由該電路可得

由理想變壓器的電壓變換特性，可得

例10-8

圖10-29(a)所示變壓器電路，已知：R1=30Ω,L1=15H,R2=60Ω,L2=60H,互感M=30H,負載電阻RL=

180Ω，且電路原已處于穩(wěn)態(tài)，當t=0時開關S閉合。求t>0時的電流i(t)。

圖10-29例10-8題圖

解由題意知該變壓器的耦合系數(shù)，所以圖10-29(a)所示電路中的變壓器為全耦合變壓器，故可將其等效為圖10-29(b)所示的電路，其中：

利用理想變壓器的阻抗變換特性，將圖10-29(b)所示電路的次級電阻搬移到初級，得圖10-29(c)所示的等效電路。對于該電路根據(jù)題意有

iL(0－)=0A由換路定則得

iL(0+)=iL(0－)=0A

所以

故

例10-9

含理想變壓器的電路如圖10-30(a)所示，已知R1=R2=2Ω,R3=10Ω，L=2H,us(t)=ε(t)V，試求uab(t)。圖10-30例10-9題圖

解首先根據(jù)戴維南定理將圖10-30(a)所示電路的a、b以左含理想變壓器的有源二端網(wǎng)絡等效為戴維南等效電路，如圖10-30(b)所示，其中：

uoc=2us(t)=2ε(t)V

Ro=4R1+R2=10Ω

對于圖10-30(b)，由直流激勵下的三要素公式，得

iL(0+)=iL(0－)=0A

uab(0+)=2V

uab(∞)=1V

代入三要素公式，得

uab(t)=(1+e－10t)ε(t)V由第8章可知，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，負載阻抗必須與電源內(nèi)阻抗達到共軛匹配時，負載才能獲得最大功率。但在實際電路中負載往往和電源一樣是給定的，并非任意可調(diào)。

在這種情況下，為了使負載獲得盡可能大的功率，可通過理想變壓器來實現(xiàn)匹配。如圖10-31(a)所示電路，其中理想變壓器的變比是可調(diào)的。利用理想變壓器的阻抗變換特性，將負載阻抗折合到初級，得圖10-31(b)所示電路。由于理想變壓器的變比n為大于零的實常數(shù)，故改變n只能改變負載阻抗的模而不能改變其阻抗角，故一般無法達到共軛匹配。圖10-31理想變壓器實現(xiàn)功率匹配對于圖10-31(b)所示電路，設

則有

其電流有效值為

此時獲得的功率為要使P達到最大，必須有

可求得

即當時，可獲得最大功率。由于此時不是共軛匹配，而是負載阻抗的模與電源內(nèi)阻抗的模相等，故將此使負載獲得最大功率的方法為模匹配?？梢宰C明，此時負載獲得的功率一般要比共軛匹配時的功率小。

又由于理想變壓器在傳遞能量的過程中本身不消耗能量，因此當圖10-31(b)中等效阻抗獲得最大功率時，圖10-31(a)中負載阻抗ZL也獲得最大功率

例10-10

電路如圖10-32(a)所示，為了使負載電阻RL獲得最大功率，試求理想變壓器的匝數(shù)比n應為多少？負載電阻RL獲得的最大功率為多少？

圖10-32例10-10題圖

解利用理想變壓器的變換阻抗作用，原電路可等效為如圖10-32(b)所示的電路。由于n為實常數(shù)，故與Zo=1∥(－j1)不可能達到共軛匹配，只能實現(xiàn)模匹配。即

因此

n=3.76此時

故負載獲得的最大功率為

在電路分析中，我們有時還會遇到一個初級線圈與多個次級線圈構(gòu)成的理想變壓器。例如，圖10-33(a)所示理想變壓器就是由一個初級線圈和兩個次級線圈組成的。圖10-33一個初級線圈與兩個次級線圈構(gòu)成的理想變壓器假設初級線圈的匝數(shù)為N1,兩個次級線圈的匝數(shù)分別為N2和

N3，在圖示電壓、電流參考方向下，有

又由全電流定理得

式中：。即若在兩個次級線圈中分別接負載電阻R2和R3，如圖

10-33(b)所示，則從初級線圈看入的等效電導為

由上式可得其等效電路如圖10-33(c)所示。由此可見，當理想變壓器由一個初級線圈和多個次級線圈組成時，若在每個次級線圈分別接負載阻抗Zi，則可將每個次級阻抗

先后搬移至初級，并且阻抗從次級折合至初級應擴大n2倍，同時這些阻抗在初級的關系為并聯(lián)關系。

例10-11

求圖10-34(a)所示理想變壓器電路初級線圈上的電壓。

圖10-34例10-11題圖

解圖10-34(a)所示理想變壓器是由一個初級線圈和兩個次級線圈組成的。首先將兩個次級線圈所接負載電阻折合至初級，得等效電路如圖10-34(b)所示。由該圖可得

1.試確定圖10-35所示耦合線圈的同名端。

提示：本題可根據(jù)同名端的定義，分別在線圈1的1端和線圈2的2端加電流，依據(jù)它們所產(chǎn)生的磁通是相互增強還是削弱來判斷耦合線圈的同名端。

［12′為同名端］10.6練習題及解答提示圖10-35

2.試求圖10-36中的電壓u2。

提示：本題直接利用耦合電感的伏安關系求電壓u2。

［u2(t)=－12e－2tV］圖10-36

3.耦合電感L1=6H,L2=4H,M=3H。(1)若L2短路，求L1端的電感值；(2)若L1短路，求L2端的電感值。

提示：本題可利用空芯變壓器反映阻抗的概念或耦合電感的三端去耦等效法求解。

［(1)L1端的電感值為3.75H;(2)L2端的電感值為2.5H］

4.如圖10-37所示電路，已知，求i(t)及uC(t)。

提示：本題可利用耦合電感的三端去耦等效法先消去互感，再用相量分析法求解。

圖10-37

5.圖10-38所示電路，已知，

，，ZL可調(diào)。問ZL為何值時其上可獲得最大功率，最大功率PLmax為多少？

提示：本題首先應判斷耦合線圈的同名端，然后利用耦合電感的三端去耦等效法將電路等效為無耦合的正弦穩(wěn)態(tài)電路，最后求響應。

［ZL=50－j50Ω;PLmax=25W］圖10-38

6.求圖10-39(a)、(b)所示電路的輸入阻抗Zab。

提示：對于圖(a)，由于2Ω電阻中沒有電流，故可去掉，再求解；對于圖(b)，由于2Ω電阻中有電流，故不可去掉，可利用加壓求流法及理想變壓器伏安關系求阻抗。

［(a)Zab=4Ω;(b)Zab=0.727Ω］圖10-39

7.求圖10-40所示電路中的電壓。

提示：本題利用理想變壓器變換電流的作用，先將初級電流折合至次級，然后求響應。

［］圖10-40

8.圖10-41所示為含理想變壓器的電路，已知us(t)=

12cos2tV,電路原已處于穩(wěn)態(tài)，當t=0時開關S閉合。求t>0時電容上的電壓uC(t)。

提示：本題是在正弦信號激勵下含理想變壓器的一階動態(tài)電路。應首先將全耦合電感用全耦合變壓器模型表示，再用第5章所講的三要素公式求響應。此時三要素公式應為

圖10-41

9.圖10-42所示電路，問當理想變壓器的匝數(shù)比n為多大時，負載R可獲最大功率？最大功率為多少?

提示：由于理想變壓器阻抗變換的特點，本題只能實現(xiàn)共模匹配。

［n=0.1;P=2500W］圖10-4210-1試標出題圖10-1所示耦合線圈的同名端。習題10題圖10-1

10-2題圖10-2所示電路中，M=L，正弦電壓源電壓U=50V，cd端短路。若將b和d相連接，測得ac間的電壓為100V；若將b和c相連接，測得ad間的電壓為