《電路分析基礎(chǔ)》課件5第5章

5.1正弦電流和電壓

5.2正弦量的相量表示

5.3電路定律的相量形式

5.4相量模型

5.5電路的相量分析方法

5.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

5.7串聯(lián)電路的諧振

5.8并聯(lián)電路的諧振

習(xí)題5第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

5.1正弦電流和電壓

5.1.1正弦量的三要素

正弦量隨時間的變化規(guī)律符合正弦函數(shù)。對于符合該函數(shù)的電壓或電流我們將其統(tǒng)稱為正弦交流電或正弦量。正弦量的數(shù)學(xué)描述可以用sin或cos函數(shù)表示。本教材統(tǒng)一用cos表示。例如：

u(t)=Umsin(ωt+ψu)

i(t)=Imsin(ωt+ψi)

u(t)=Umcos(ωt+ψu)

i(t)=Imcos(ωt+ψi)

圖5.1-1表示的是i(t)=Imcos(ωt+ψ)的波形圖。圖5.1-1i(t)=Imcos(ωt+ψ)的波形圖其中，u(t)或i(t)表示電壓或電流的t

時刻值，它表示通過某電路的電流或端電壓的瞬時值。瞬時值有時為正值，有時為負(fù)值。與直流情形類似，只有在設(shè)定正弦量參考方向的前提下，才能依據(jù)瞬時值的正負(fù)判定它在電路中的實際方向，如圖5.1-1的上部所示。

Um或Im為振幅，表示電壓或電流在整個變化過程中，可以達到的正的或負(fù)的最大值，是最大變化幅度的意思，該值取正值。ωt+ψ為電壓或電流的瞬時相位角，單位可以用弧度(rad)或角度(°)表示。ω稱為角頻率，表示相位隨時間變化的角速度，即

(5.1-1)

ω的單位是弧度/秒(rad/s)。ψ是

t=0時ωt+ψ的相位值，稱為初始相位，簡稱初相，其單位與相位相同，可用弧度或度表示。初相與計時零點(t=0)的位置有關(guān)。一般取|ψ|≤180°(或π弧度)。例如，出現(xiàn)i(t)=Imcos(ωt+240°)時用i(t)=Imcos(ωt－120°)表示。

由于正弦信號變化一周，其相位變化2π弧度，因此角頻率ω與時間周期T以及頻率的關(guān)系可表示為

式中,T

的單位是秒(s);f

的單位是赫茲(Hz)，簡稱赫。頻率較高時，f常用千赫(kHz)或兆赫(MHz)作單位，其轉(zhuǎn)換關(guān)系是

1MHz=103kHz=106Hz

(5.1-4)

正弦交流信號的振幅、角頻率和初相稱為正弦量的三要素。(5.1-2)(5.1-3)

【例5.1-1】已知正弦電流i(t)的振幅Im=100mA,初相角θ=－60°，周期T=2ms，試寫出i(t)的函數(shù)表達式(用cos表示)，并繪出它的波形。

【解】由已知條件求出正弦電流i(t)的三要素。

振幅:

Im=100mA

角頻率:

初相:

所以

波形圖如圖5.1-2所示。

橫軸也可以用時間t表示，如圖5.1-3所示。圖5.1-2i-ωt

圖圖5.1-3i-t

圖5.1.2相位差

在正弦電源激勵下，電路中各處的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)都是與電源有相同角頻率的正弦量。因此，為了便于比較不同正弦量的相位關(guān)系，對于同一電路，一般正弦量都采用相同的計時零點。

兩個同頻率正弦量的相位之差稱為相位差。設(shè)有兩正弦量:

u1(t)=U1mcos(ωt+ψ1)(5.1-5)

u2(t)=U2mcos(ωt+ψ2)

(5.1-6)

它們的相位之差用φ表示，即

φ=(ωt+ψ1)－(ωt+ψ2)=ψ1－ψ2(5.1-7)由式(5.1-7)可以得知，兩個同頻率的正弦信號的相位差等于它們的初相之差，并且與時間t無關(guān)，為一常數(shù)。如果

φ=ψ1－ψ2>0，如圖5.1-4所示，表示隨著t

的增大，u1要比u2先達到最大值、零值或最小值。這種關(guān)系稱u1超前于u2

或u2

滯后于u1，我們習(xí)慣稱u1

超前u2φ角度或u2

滯后u1φ角度，反之如圖5.1-5所示。圖5.1-4相位差φ>0圖5.1-5相位差φ<0我們在分析和計算同頻率正弦量的相位差時，還會經(jīng)常遇到下列三種特殊情況：

(1)若φ=ψ1－ψ2=0，則稱u1與u2同相，如圖5.1-6(a)所示。這時隨著時間t

的增長，u1與u2將依次同時到達最大值、零值和最小值。圖5.1-6三種特殊相位差

(2)若，則稱u1與u2正交,波形如圖5.1-6(b)所示。

(3)若φ=ψ1－ψ2=±π，則稱u1與u2反相，波形如圖5.1-6(c)所示。此時，若u1達到最大，則u2

達最小值，反之亦然。

【例5.1-2】已知正弦電壓u(t)和電流i1(t)、i2(t)的瞬時值表達式為

試求電壓u(t)與電流i1(t)和i2(t)的相位差。

【解】電壓u(t)與電流i1(t)的相位差為

φ=(－180°)－(－45°)=－135°

電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為

φ=(－180°)－60°=－240°

習(xí)慣上將相位差的范圍控制在－180°到+180°之間，我們不說電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為－240°，而說電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為

360°+(－240°)=120°

所以u(t)滯后i1(t)135°，u(t)超前i2(t)120°。5.1.3有效值

正弦量的瞬時值隨時間而變，為了衡量其大小，工程上采用有效值來表示。

設(shè)有兩個相同的電阻，分別通過正弦電流和直流電流，如圖5.1-7所示。若在正弦電流的一個周期內(nèi)，正弦量所作的功和某一直流量所作的功相同，則定義該直流電流的數(shù)值為這個正弦電流的有效值。圖5.1-7電阻負(fù)載

當(dāng)正弦電流i

通過電阻R

時，一個周期T內(nèi)電阻消耗的功為

當(dāng)直流電流I

通過電阻R

時，在相同時間內(nèi)，電阻消耗的功為

WI=I2RT(5.1-9)

(5.1-8)令Wi=WI，得

(5.1-10)

同樣可得正弦電壓u=Umcos(ωt+ψu)的有效值:

(5.1-11)可見，正弦量的有效值與振幅值之間有確定的關(guān)系，即振幅值是有效值的倍。應(yīng)用有效值，可將正弦電流、電壓的瞬時表達式改寫為

(5.1-12)有效值的概念在電力工程上非常有用，常用的交流電壓表和電流表都是用有效值來進行刻度的。當(dāng)我們用交流電壓表或普通萬用表測量正弦電壓的讀數(shù)為220V時，是指該電壓的有效值為220V，其振幅值為×220=311V。此外，各種交流電器設(shè)備銘牌上標(biāo)出的電流、電壓額定值也是有效值。

5.2正弦量的相量表示

由歐拉公式可將復(fù)指數(shù)函數(shù)

表示為

(5.2-1)式(5.2-1)中的實部即為正弦電流的表達式，于是有

(5.2-2)其中:

式(5.2-3)中，復(fù)數(shù)的模和輻角恰好分別對應(yīng)正弦電流的振幅和初相。在此基礎(chǔ)上，再考慮已知的角頻率，就能完全表示一個正弦量。像這樣能用來表示正弦量的特定復(fù)數(shù)稱為相量，并在符號上方標(biāo)記圓點“·”，以與一般復(fù)數(shù)相區(qū)別。稱為電壓相量，同理稱為電流相量。(5.2-3)

相量與復(fù)數(shù)一樣，可以在復(fù)平面上用矢量表示，如圖5.2-1(a)所示。相量在復(fù)平面上的圖示稱為相量圖。有時為了簡便，常省去坐標(biāo)軸，只畫出坐標(biāo)原點和一條表示參考相量的射線，如圖5.2-1(b)所示。圖5.2-1相量圖式(5.2-2)中的ejωt是旋轉(zhuǎn)因子，表示相量或在復(fù)平面上繞原點以角速度ω按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。由于正弦信號振幅是有效值的倍，因此有

(5.2-4)式中:

分別稱為電流、電壓的有效值相量，將和分別稱為電流和電壓的振幅相量。顯然，振幅相量是有效值相量的

倍。(5.2-5)

必須指出，正弦量是代數(shù)量，并非矢量或復(fù)數(shù)量，所以，相量不等于正弦量。相量必須乘以旋轉(zhuǎn)因子ejωt并取實部后才等于相應(yīng)的正弦量?？梢姡嗔颗c正弦量之間存在如下對應(yīng)關(guān)系，或變換關(guān)系:

(5.2-6)或者

(5.2-7)

【例5.2-1】試寫出下列各電壓的相量，并畫出相量圖。

(1)u1(t)=10cos(10π·t+30°)V；

(2)u2(t)=20sin(10π·t+135°)V;

(3)u3(t)=－5cos(10π·t+35°)V。

【解】(1)

(2)由于本書相量用cos函數(shù)表示，所以應(yīng)先把u2(t)表達式中的sin函數(shù)化為cos函數(shù)，將它改寫為

u2(t)=20sin(10π·t+135°)

=20cos(10π·t+135°－90°)

=20cos(10π·t+45°)V

然后得到相量:

(3)先把u3(t)改寫為

u3(t)=－5cos(100π·t+35°)

=5cos(100π·t+135°－180°)

=4cos(100π·t－145°)V

所以

以上三個正弦電壓的角頻率相同，可將其相量圖畫在同一復(fù)平面上，如圖5.2-2所示。

圖5.2-2例5.2-1圖

【例5.2-2】寫出正弦量的時域形式。

【解】換為振幅形式:

所以時域可寫為：A。

【例5.2-3】已知正弦電流i1(t)=5sin(314t+60°)A，i2(t)=－10sin(314t+60°)A。寫出這兩個正弦電流的電流相量，畫出相量圖，并求出i(t)=i1(t)+i2(t)。

【解】表示正弦電流i1(t)=5cos(314t+60°)A的相量為

表示正弦電流i2(t)=－10sin(314t+60°)A的相量為

將各電流相量和畫在一個復(fù)數(shù)平面上，就得到相量圖，從相量圖上容易看出各正弦電壓或電流的相位關(guān)系。

相量圖的另外一個好處是可以用向量和復(fù)數(shù)的運算法則求得幾個同頻率正弦電壓或電流之和。例如,用向量運算的平行四邊形作圖法則可以得到電流相量，如圖5.2-3所示，從而知道電流i(t)=Imcos(314t+ψ)的振幅為11.18A，初相為123.4°。作圖法的優(yōu)點是簡單直觀，但不精確。采用復(fù)數(shù)運算可以得到更精確的結(jié)果。計算如下：圖5.2-3例5.2-3圖

所以有

i(t)=i1(t)+i2(t)=Imcos(314t+ψ)=11.18cos(314t+123.4°)A

從上面的例題可以看出，引入相量概念后，可用復(fù)數(shù)表示正弦量，還可將正弦量的三角函數(shù)運算轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)運算，從而為簡化正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析提供了條件。

5.3電路定律的相量形式

本節(jié)介紹基本元件的相量形式和相關(guān)定律的相量形式。

5.3.1電路中基本元件的相量形式

1.電阻元件

如圖5.3-1(a)所示，假設(shè)電阻R

的端電壓與電流為關(guān)聯(lián)參考方向。設(shè)

i(t)=Imcos(ωt+ψi)由歐姆定律可知電阻元件的端電壓為

u(t)=Ri(t)=RImcos(ωt+ψi)=Umcos(ωt+ψu)(5.3-1)

式中,Um和ψu是電壓u(t)的振幅和初相。式(5.3-1)表明，在正弦電流的作用下，電阻元件的端電壓是與電流同頻率的正弦量。電阻上電流、電壓波形如圖5.3-1(b)所示。圖5.3-1電阻元件的電流、電壓波形式(5.3-1)的相量形式為

由和可將式(5.3-2)改寫成有效值形式:

(5.3-2)(5.3-3)(或或)(或或)由式(5.3-2)和式(5.3-3)可得電阻上電壓、電流的振幅(或有效值)關(guān)系和相位關(guān)系滿足:

(5.3-4)

式(5.3-2)和式(5.3-3)表明了電阻上電壓、電流相量之間的關(guān)系，稱為電阻元件VCR的相量形式。電阻上電流、電壓的相量圖如圖5.3-1(c)所示。

綜上所述，電阻元件VCR的相量形式既反映了元件上電壓、電流振幅或有效值之間的關(guān)系，同時又體現(xiàn)了電壓、電流同相位的特點。

2.電感元件

假設(shè)電感L

的端電壓與電流為關(guān)聯(lián)參考方向，如圖

5.3-2(a)所示。設(shè)

i(t)=Imcos(ωt+ψi)

則電感兩端電壓為

(5.3-5)圖5.3-2電感元件的電流、電壓波形

式中,Um和ψu為電感電壓的振幅和初相。由式(5.3-5)可知，電感電壓、電流是同頻率的正弦量，其波形如圖5.3-2(b)所示。

根據(jù)微分特性可寫出式(5.3-5)對應(yīng)的相量表達式:

對應(yīng)有效值相量為(5.3-6(a))

(或)

式(5.3-6)稱為電感元件VCR的相量形式，該式表明電感電壓在相位上超前于電流90°。(5.3-6(b))

由此可見，電感元件VCR的相量形式不僅表明了電感電壓和電流之間的振幅、有效值關(guān)系，而且也表明了它們之間的相位關(guān)系，用公式表示有

電感元件的相量模型和電感電流、電壓相量圖如圖

5.3-3(a)和(b)所示。(5.3-7)圖5.3-3電感的相量模型和、相量圖

3.電容元件

假設(shè)電容元件C兩端的電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向,如圖5.3-4(a)所示。設(shè)電容兩端電壓為u(t)=Umcos(ωt+ψu),則通過C的電流為(5.3-8)式中,Im和ψi是電容電流的振幅和初相。式(5.3-8)表明，電容電壓、電流是同頻率的正弦量，其波形如圖5.3-4(b)所示。

根據(jù)微分特性可寫出式(5.3-8)對應(yīng)的相量表達式:

或

對應(yīng)有效值相量為

(5.3-9(a))

(5.3-9(b))圖5.3.4電容元件的電壓、電流波形

式(5.3-9)是電容元件VCR的相量形式。該式表明，電容電壓在相位上滯后于電流90°。

由上可見，電容元件VCR的相量形式綜合反映了電容元件電壓、電流的振幅、有效值及相位之間的關(guān)系,用公式表示有

電容元件的相量模型和電流、電壓的相量圖如圖

5.3-5(a)和(b)所示。(5.3-10)

圖5.3-5電容的相量模型和、相量圖

【例5.3-1】將正弦電壓u(t)=10cos(500t+30°)V加到C=1000μF的電容上，求流過該電容的正弦穩(wěn)態(tài)電流。

【解】電壓振幅相量。

由電容元件VCR有

對應(yīng)的正弦穩(wěn)態(tài)電流為i(t)=5cos(500t+120°)A。5.3.2基爾霍夫定律的相量形式

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各支路電流都是同頻率的正弦量，只是振幅和初相不同，其KCL可表示為

表示成相量關(guān)系為(5.3-11)(5.3-12)這就是KCL的相量形式。式(5.3-12)表明，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，對任一節(jié)點或割集，各相關(guān)支路電流相量的代數(shù)和恒為零。

同理，對于正弦穩(wěn)態(tài)電路中的任一回路，KVL的相量形式為

(5.3-13)

式中,n

為回路中的支路數(shù)，和分別為回路中第k條支路電壓的振幅相量和有效值相量。式(5.3-13)表明，沿正弦穩(wěn)態(tài)電路中任一回路繞行一周，各相關(guān)支路電壓相量的代數(shù)和恒為零。

5.4相量模型

5.4.1阻抗與導(dǎo)納

無源單口電路N如圖5.4-1(a)所示，在正弦穩(wěn)態(tài)下的端口電壓相量和端口電流相量之間成比例關(guān)系，這就是相量形式的歐姆定律，它可以用阻抗或?qū)Ъ{來描述。

1.阻抗

我們定義無源單口電路端口電壓相量與電流相量之比為該電路的阻抗，記為Z，即

(5.4-1)圖5.4-1阻抗與導(dǎo)納顯然，阻抗的單位為歐姆(Ω)。將式(5.4-1)中的相量表示成極型，可得

(5.4-2)式中，|Z|稱為阻抗模，φz稱為阻抗角。實部Re［Z］=|Z|cosφz稱為電阻，記為R，虛部Im［Z］=|Z|sinφz稱為電抗，記為X。式(5.4-2)可寫成:

Z=R+jX

(5.4-3)

阻抗模、阻抗角、電阻和電抗之間的對應(yīng)關(guān)系為

(5.4-4)式(5.4-4)表明，無源單口電路的阻抗模等于端口電壓與端口電流的有效值之比，阻抗角等于電壓與電流的相位差。φz>0時，電壓超前電流，電路呈電感性；φz<0時，電壓滯后電流，電路呈電容性；φz=0時，電抗為零，電壓與電流同相，電路呈電阻性。

將式(5.4-1)改寫為

(5.4-5)式(5.4-5)與電阻電路中的歐姆定律相似，故稱為歐姆定律的相量形式。根據(jù)式(5.4-5)畫出的相量模型如圖5.4-1(b)所示。如果無源單口電路內(nèi)部僅含單個元件R、L

和C

，則對應(yīng)的阻抗分別為(5.4-6)其中，XL(=ωL)稱為感抗。當(dāng)L

的單位為H，ω的單位為rad/s時，XL的單位為Ω。式(5.4-6)表明，感抗XL與L

或ω成正比。對于給定的電感L，當(dāng)電流I一定時，ω愈高，XL愈大，要求電感端電壓U

愈高；反之，ω愈低,則要求U

也愈低。也就是說，電感對高頻電流呈現(xiàn)阻力大，對低頻電流呈現(xiàn)阻力小。這種阻礙作用是由電感中感應(yīng)電動勢反抗電流變化而產(chǎn)生的。電子線路中應(yīng)用的高頻扼流圈就是利用這一原理制成的。在直流情況下,ω=0，XL=0，故U=0，此時電感L

相當(dāng)于短路。

XC稱為容抗，當(dāng)C

的單位為F，ω的單位為rad/s時，XC

的單位為Ω。式(5.4-6)表明，容抗模|XC|(

)與C

或ω成反比。對于給定的電容C，當(dāng)U

一定時，ω愈高，|XC|愈小，I

就愈大，表示電流愈容易通過；反之，ω愈低，電流將愈不容易通過。換言之，電容元件對低頻電流呈現(xiàn)的阻力大，對高頻電流呈現(xiàn)的阻力小。所以，在電子線路中常用電容旁通高頻信號。在直流情況下，ω=0，|XC|=∞，電容相當(dāng)于開路，故電容具有隔直流的作用。

2.導(dǎo)納

我們定義無源單口電路端口電流相量與電壓相量之比為該電路的導(dǎo)納，即導(dǎo)納為阻抗的倒數(shù)，記為Y，即

或

(5.4-7)(5.4-8)

導(dǎo)納的單位為西門子(S)。將式(5.4-8)中的電流、電壓相量表示成極型:

(5.4-9)式中，|Y|稱為導(dǎo)納模，φy稱為導(dǎo)納角。實部Re［Y］=

|Y|cosφy稱為電導(dǎo)，記為G，虛部Im［Y］=|Y|sinφy稱為電納，記為B。式(5.4-9)可寫成:

Y=G+jB

(5.4-10)

導(dǎo)納模、導(dǎo)納角、電導(dǎo)、電納、阻抗模和阻抗角之間的對應(yīng)關(guān)系為

(5.4-11)式(5.4-11)表明，無源單口電路的導(dǎo)納模等于電流與電壓的有效值之比，也等于阻抗模的倒數(shù)；導(dǎo)納角等于電流與電壓的相位差，也等于負(fù)的阻抗角。若φy>0，則表示滯后，電路呈電容性；若φy<0，則表示超前，電路呈電感性；若φy=0，則表示與同相，電路呈電阻性。

將式(5.4-7)改寫為(5.4-12)式(5.4-12)也常稱為歐姆定律的相量形式。該相量模型如圖5.4-1(c)所示。如果無源單口電路內(nèi)部僅含單個元件R、L

和C，則對應(yīng)的導(dǎo)納分別為

式中，BL稱為感納，BC稱為容納。(5.4-13)

5.4.2阻抗(導(dǎo)納)的串并聯(lián)

無源元件或無源單口電路的阻抗在串聯(lián)或并聯(lián)時，其總阻抗或?qū)Ъ{可以用類似電阻串并聯(lián)等效的方法求出。

對于由n個阻抗串聯(lián)而成的電路，其等效阻抗Z

為

Z=Z1+Z2+…+Zn(5.4-14)各個阻抗的分壓公式為

式中,為n個串聯(lián)阻抗的總電壓相量，為第k個阻抗Zk的電壓相量。

同理，對于由n個導(dǎo)納并聯(lián)而成的電路，其等效導(dǎo)納為

Y=Y1+Y2+…+Yn(5.4-16)

(5.4-15)各個導(dǎo)納的分流公式為

式中,為n個并聯(lián)導(dǎo)納的總電流相量,為第k個導(dǎo)納Yk的電流相量。

對于同一無源電路N，如圖5.4-2(a)所示，我們既可以把它等效成由電阻R

和電抗X

串聯(lián)組成的阻抗Z，如圖(b)所示,也可以將它等效成由電導(dǎo)G

和電納B

并聯(lián)組成的導(dǎo)納Y，如圖(c)所示。(5.4-17)圖5.4-2阻抗與導(dǎo)納的等效轉(zhuǎn)換顯然，阻抗Z

與導(dǎo)納Y

也是互為等效的，R、X與G、B之間滿足一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系。若將阻抗等效轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納，則由式(5.4-8)可得

可得(5.4-18)同理，將導(dǎo)納等效轉(zhuǎn)換為阻抗得

可得

(5.4-19)

由式(5.4-18)和式(5.4-19)可見，一般情況下，阻抗中的電阻與導(dǎo)納中的電導(dǎo)以及阻抗中的電抗與導(dǎo)納中的電納都不互為倒數(shù)關(guān)系。

【例5.4-1】求圖5.4-3(a)所示電路的等效阻抗，以及圖5.4-3(b)所示電路的等效導(dǎo)納。

【解】(a)Z=ZR+ZL+ZC=3+j8－j4=3+j4=5

53.13°Ω

(b)圖5.4-3例5.4-1圖

5.4.3正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型

在前幾章的電路模型中，電流和電壓都是隨時間變化的量，稱為時域模型。在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，把時域模型中的電源元件用相量模型代替，無源元件用阻抗或?qū)Ъ{代替，電流、電壓也用相量表示(其參考方向與原電路相同)，這樣得到的電路模型稱為相量模型。例如，對于圖5.4-4(a)所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路(時域模型)，設(shè)正弦電流源角頻率為ω，其相量模型如圖5.4-4(b)所示。從圖中可以看出，相量模型與時域模型具有相同的電路結(jié)構(gòu)。圖5.4-4時域模型和相量模型對于正弦穩(wěn)態(tài)電路，在引入相量、阻抗、導(dǎo)納和相量模型概念的前提下，電路KCL、KVL和元件端口VCR的相量形式與直流電路的相應(yīng)關(guān)系完全相同。因此，分析直流電路的所有方法也都適用于分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型。

【例5.4-2】電路如圖5.4-5(a)所示。已知R1=30Ω，R2=100Ω,C=0.1μF，L=1mH，。求電壓u(t)和ab兩端的等效阻抗Zab。圖5.4-5例5.4-2圖【解】XL=ωL=105×1×10－3=100Ω

設(shè)電感L支路的阻抗為Z1，R2C串聯(lián)支路的阻抗為Z2，即

電流i2的相量為

ab兩端的電壓相量為由KCL有

電阻R1上的電壓相量為

由KVL有

則ab兩端的等效阻抗為

Zab呈電感性。

u(t)的表達式為

5.5電路的相量分析方法

利用電路的相量模型，求變量的相量解，從而確定穩(wěn)態(tài)電路響應(yīng)的方法稱為相量分析。由于引入了阻抗和導(dǎo)納的概念，把動態(tài)元件的微積分伏安特性變成了代數(shù)伏安特性，使得無源元件的特性均可用歐姆定律的形式統(tǒng)一起來，從而采用相量分析和求解正弦穩(wěn)態(tài)電路響應(yīng)要比時域方法簡便得多。本節(jié)所示電路的基本變量是電流相量和電壓相量，分析的對象是相量模型電路。正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法與電阻電路的分析方法相同，其常用方法有方程法和等效法兩類。一般步驟如下:

(1)計算L、C元件的阻抗或?qū)Ъ{，寫出已知正弦電源的相量，將電路時域模型變?yōu)橄嗔磕Ｐ汀?/p>

(2)選擇適當(dāng)?shù)那蠼夥椒?，即用方程?如節(jié)點法、網(wǎng)孔法、回路法)、等效法(如戴維南定理、諾頓定理、阻抗串并聯(lián)、導(dǎo)納串并聯(lián)等)或疊加定理求得所需的電流、電壓相量。

(3)根據(jù)題目要求將求得的電流、電壓相量表示為時域表達式，或進一步求得所需要的功率。5.5.1方程法分析

對有三個獨立節(jié)點、三個網(wǎng)孔的正弦穩(wěn)態(tài)相量模型電路，可以分別列出相量模型電路的節(jié)點方程與網(wǎng)孔方程如下:(5.5-1)(5.5-2)

式(5.5-1)中,

(i=1,2,3)稱為第i節(jié)點的電位相量；Yii(i=1,2,3)稱為第i個節(jié)點的自導(dǎo)納，它等于與i節(jié)點相連各支路的導(dǎo)納之和；Yij(i,j=1,2,3,i≠j)稱為第i、j節(jié)點間的互導(dǎo)納，它等于i、j節(jié)點之間所有相連支路的導(dǎo)納之和；(i=1,2,3)稱為流入i節(jié)點的等效電流源，它等于流入該節(jié)點的各電流源的代數(shù)和，即流入i節(jié)點的電流源取正號，反之取負(fù)號。

式(5.5-2)中，(i=1,2,3)稱為第i網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流相量；Zii(i=1,2,3)稱為第i網(wǎng)孔的自阻抗，它等于第i網(wǎng)孔內(nèi)各支路阻抗之和；Zij(i,j=1,2,3,i≠j)稱為第i、j網(wǎng)孔間的互阻抗，它等于第i、j

網(wǎng)孔間各公共支路上的阻抗之和，且當(dāng)兩網(wǎng)孔電流流經(jīng)公共支路方向一致時取正號，否則取負(fù)號；

(i=1,2,3)稱為第i網(wǎng)孔等效電壓源，它等于第i網(wǎng)孔內(nèi)各電壓源的代數(shù)和，當(dāng)網(wǎng)孔電流由電壓源正極性端流出時取正號，否則取負(fù)號。

【例5.5-1】已知圖5.5-1(a)所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中,

A，V,R1=10Ω，R2=10Ω,R3=1Ω,L=5mH,C=1000μF。求節(jié)點1、2的電壓。圖5.5-1例5.5-1【解】ZL=jωL=j103×5×10－3=j5Ω

畫電路相量模型如圖5.5-1(b)所示。列出節(jié)點方程為節(jié)點1:

節(jié)點2:

將代入，得

計算方程組的系數(shù)行列式

解得：

故得節(jié)點1、2的電位分別為

【例5.5-2】如圖5.5-2(a)所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知V,R1=200Ω，R2=400Ω，R3=50Ω，L=250mH，C=2μF,求電流i1、i2。圖5.5-2例5.5-2圖

【解】畫出相量模型電路如圖5.5-2(b)所示。圖中:

設(shè)網(wǎng)孔電流、的參考方向如圖(b)所示。將電路中受控電壓源看成電壓為的獨立電壓源，列出網(wǎng)孔方程:網(wǎng)孔1:

網(wǎng)孔2:

由于受控電壓源控制變量未知，因此需要增加一個輔助方程，將該式代入上式，整理后得

則

5.5.2等效法分析

保留原電路中與待求變量有關(guān)的局部電路，先對電路的剩余部分進行等效化簡，然后將化簡后的部分電路與保留的局部電路重新組合，并分析得到待求變量的解的方法稱為等效分析法。等效分析法適用于求解電路中的部分變量。

【例5.5-3】正弦穩(wěn)態(tài)相量模型電路如圖5.5-3(a)所示，

已知Z1=Z2=－j30Ω,Z3=30Ω,Z=45Ω,求

。

圖5.5-3例5.5-3圖

【解】畫戴維南等效電路如圖5.5-3(c)所示。

開路電壓:

等效電阻:

Zo=Z1∥Z3+Z2=(15－j45)Ω

則可求得

5.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

5.6.1復(fù)功率

在引入復(fù)功率的概念之前，我們先介紹單口電路的瞬時功率、平均功率(有功功率)和無功功率的概念。如圖5.6-1(a)所示的單口電路N，其端口電流i、電壓u采用關(guān)聯(lián)參考方向。在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，設(shè)端口電流、電壓分別為

式中,φ=ψu－ψi,是端口電壓超前于電流的相位。(5.6-1)(5.6-2)

在任一時刻t，電路N

的瞬時吸收功率(簡稱瞬時功率):

(5.6-3)(5.6-4)

畫出i、u

和p的波形如圖5.6-1(b)所示。由圖可見，隨著電流i和電壓u的變化，瞬時功率p(t)有時為正，有時為負(fù)。當(dāng)u>0，i>0或u<0，i<0時，p(t)>0，說明此時電路N從外電路吸收功率：當(dāng)u>0，i<0或u<0，i>0時，p(t)<0，此時電路N向外電路發(fā)出功率。圖5.6-1單口電路的瞬時功率

式(5.6-3)還表明，單口電路的瞬時功率由兩部分組成：一部分是恒定量，且始終大于或等于零()，它是瞬時功率中的不可逆部分，表示在任一時刻，電路N均存在大小為UIcosφ的吸收功率；另一部分隨時間t

的增長按正弦規(guī)律變化，其值正負(fù)交替，其角頻率為2ω。顯然，在電流或電壓的一個周期內(nèi)，這部分吸收功率的平均值為零。這一結(jié)論也是容易理解的，以無源單口電路為例，設(shè)其等效阻抗為Z，通常由電阻和電抗分量組成。在p(t)>0時，由外電路輸入單口電路的能量，一部分由電阻分量消耗，另一部分以電場能量或磁場能量形式存儲在電抗分量中。在p(t)<0時，原來存儲在電抗分量中的能量將交還給外電路。在能量交換過程中，電阻分量始終消耗能量。因此就單口電路整體而言，討論正弦穩(wěn)態(tài)功率時，除考慮電路中電阻分量的能量消耗外，還需考慮電抗部分與外電路之間能量的交換情況。

瞬時功率的實際意義不大，且不便于測量。因此在工程上常用下面幾種功率。

1.平均功率P

單口電路的平均功率又稱有功功率，它是瞬時功率在一周期內(nèi)的平均值，即

式中,T

為正弦電流(或電壓)的周期。在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，平均功率除與電壓、電流的有效值有關(guān)外，還與電壓、電流的相位差有關(guān)。平均功率的單位是瓦(Ｗ)。(5.6-5)如果電路N為無源電路，則在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，可將它等效成阻抗Z，此時電壓、電流的相位差φ等于阻抗角φz，式(5.6-5)可寫為

P=UIcosφz=Sλ

(5.6-6)

式中:

λ=cosφz

(5.6-7)

S=UI

(5.6-8)

λ稱為功率因數(shù)；S稱為視在功率，其單位為伏安(V·A)。如果單口電路N是純電阻電路，則φz=0，P=UI；如果N

是純電抗電路，則由于，因此P=0。

對于電阻性電氣產(chǎn)品或設(shè)備，由于φz=0，λ=1，因此其額定功率常以平均功率形式給出，例如10W節(jié)能燈、600W電水壺等。但對于發(fā)電機、變壓器這類設(shè)備，其功率因數(shù)大小取決于負(fù)載情況，因此額定功率以視在功率形式給出，表示設(shè)備允許輸出的最大功率容量。例如，某發(fā)電機標(biāo)稱的額定功率為5kV·A，就是指該設(shè)備的視在功率S=5kV·A。如果負(fù)載為純電阻，則發(fā)電機正常運行時可以輸出5kW有功功率；如果外接電感性負(fù)載，設(shè)λ=0.7，那么發(fā)電機只能輸出3.5kW有功功率。因此，在實際應(yīng)用中，為了充分利用設(shè)備的功率容量，應(yīng)盡可能地提高功率因數(shù)。

2.無功功率Q

在工程中還引用無功功率的概念，用大寫字母Q表示，定義為

Q=UIsinφ(5.6-9)

它是單口電路內(nèi)部與外界能量交換的最大速率。為了與平均功率相區(qū)別，無功功率的單位是乏(var)。如果電路N為無源電路，φ=φz，則式(5.6-9)可寫成:

Q=UIsinφz(5.6-10)

顯然，當(dāng)N為電阻性電路時，Φz=0，Q=0，表示N與外電路沒有發(fā)生能量交換現(xiàn)象，流入N的能量全部被電阻消耗；當(dāng)N為電感性電路時，φz>0，Q>0；當(dāng)N為電容性電路時，φz<0，Q<0。后兩種情況中，Q≠0，表示電路N與外電路之間存在能量交換現(xiàn)象。

3.復(fù)功率

工程上為了計算方便，將有功功率P

與無功功率Q

組成復(fù)功率，用表示，其定義為

(5.6-11)

復(fù)功率的單位是伏安(V·A)。將式(5.6-5)和式(5.6-9)代式(5.6-11)中，可得

式中,為端口電流相量的共軛值。(5.6-12)

若電路N為無源單口電路，φ=φz，則式(5.6-12)可表示為

引入復(fù)功率后，可以直接利用電流、電壓相量計算功率。復(fù)功率使平均功率、無功功率、視在功率和功率因數(shù)的表示和計算更為簡便。但應(yīng)注意，復(fù)功率只是一個計算量，它不代表任何物理意義。(5.6-13)

【例5.6-1】圖5.6-2(a)所示的負(fù)載電路接在220V、50Hz的正弦電源上。已知R1=50Ω，R2=2Ω，L=10mH。

(1)求負(fù)載電路的平均功率、無功功率、視在功率、功率因數(shù)和電源電流。

(2)若功率因數(shù)λ<0.85，則應(yīng)在負(fù)載電路a、b端并接多大電容C，才能使功率因數(shù)提高到0.85?試計算此時的電源電流(要求保持負(fù)載電路的平均功率不變)。圖5.6-2例5.6-1圖

【解】(1)畫出電路相量模型,如圖5.6-2(b)所示。設(shè)電源V，則的共軛值為

復(fù)功率：

所以電路的平均功率、無功功率和視在功率分別為

P=7.97kW,Q=11kvar,S=13.6kV·A

電路功率因數(shù):

λ＝cosφz=cos54.1°≈0.59

(2)設(shè)電路并接電容后的功率因數(shù)角為，總電流為，則

由可得

根據(jù)相量圖5.6-2(c)，求得電容電流:

由于

IC=UsωC

所以計算結(jié)果表明，原電路呈電感性，其功率因數(shù)為0.59，電源電流為62A。并接電容元件后，功率因數(shù)提高至0.85，電源電流降低為42.6A。在電力系統(tǒng)中，電源電流變小，意味著輸電線損耗減少。根據(jù)平均功率P=UIcosφz，為保證負(fù)載獲得一定功率且減小線路電流，就應(yīng)提高電壓U和功率因數(shù)cosφz。因此，高壓輸電和提高功率因數(shù)是電力系統(tǒng)降低損耗、提高輸電效率的重要措施。5.6.2最大傳輸功率

在信號處理等實際應(yīng)用中，經(jīng)常需要從有源單口電路中提取出最大功率。如圖5.6-3(a)所示，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，一個有源單口電路向阻抗為ZL的負(fù)載傳輸功率，下面討論負(fù)載獲得最大功率的條件。根據(jù)戴維南定理，圖5.6-3(a)可簡化為圖(b)所示的等效電路。圖5.6-3最大功率傳輸條件

設(shè)等效電源的電壓相量為，等效電源的內(nèi)阻抗為Zs=Rs+jXs，負(fù)載阻抗ZL=RL+jXL。由圖(b)可知，電路中的電流:

其有效值為(5.6-14)

所以負(fù)載獲得的功率:

下面分兩種情況討論負(fù)載改變時，從給定電源獲得最大功率的條件以及獲得的最大功率。(5.6-15)

1.共軛匹配條件

設(shè)負(fù)載阻抗中的RL、XL均可獨立改變，即模與幅角均可變。由式(5.6-15)可見，若先固定RL，只改變XL，則因(Xs+XL)2是分母中非負(fù)值的相加項，故Xs+XL=0時PL達最大值，把此條件下PL的最大值記為PLm，則有

(5.6-16)在固定XL=－Xs的條件下，再改變RL，使PLm達最大。為此，可求出PLm對RL的導(dǎo)數(shù)并令其為零，即

式中,Us及分母項均非零，所以有：

(Rs+RL)2－2RL(Rs+RL)=0

解得

RL=Rs

當(dāng)RL和XL均可獨立改變時，負(fù)載獲得最大功率的條件為

(5.6-17)式(5.6-18)稱為負(fù)載從給定等效電源獲得最大功率的共軛匹配條件。將該條件代入式(5.6-16)，求得負(fù)載吸收的最大功率為

(5.6-18)

2.模值匹配條件

設(shè)等效電源內(nèi)阻抗和負(fù)載阻抗分別為

(5.6-19)式中，|Zs|、ψs為電源內(nèi)阻抗的模和輻角；|ZL|、ψL為負(fù)載阻抗的模和輻角。將Zs和ZL代入式(5.6-15)，得負(fù)載吸收功率:(5.6-20)設(shè)負(fù)載阻抗角ψL固定，模值|ZL|可以改變。因為式

(5.6-20)中只有分母中前面兩項與有|ZL|有關(guān)，所以若能使這兩項的和值最小，則負(fù)載吸收功率PL將達最大。于是，將這兩項對|ZL|求導(dǎo)并令其為零，即

解得

將式(5.6-21)代入式(5.6-20)得此時負(fù)載的吸收功率為

在固定ψL且允許改變|ZL|的情況下，當(dāng)負(fù)載阻抗的模值等于電源內(nèi)阻抗的模值時，負(fù)載阻抗可以獲得最大功率PLm2。式(5.6-21)稱為模值匹配條件。(5.6-21)

(5.6-22)

如果負(fù)載為純電阻RL，則可把選RL使負(fù)載獲得最大功率的問題看成是模值匹配的特殊情況。按式(5.6-21)選取電阻值為

時，就可獲得最大功率。式(5.6-22)中令ψL=0，求得該最大功率為

(5.6-23)

(5.6-24)

【例5.6-2】如圖5.6-4(a)所示的電路，在下列情況下，負(fù)載阻抗為何值時能獲得最大功率?試計算該最大功率。

(1)負(fù)載為純電阻RL，其值可以任意改變。

(2)負(fù)載為電感性阻抗，其輻角ψL=30°(固定)，模值|ZL|可以改變。

(3)負(fù)載為電容性阻抗，其輻角ψL=

－30°(固定)，模值|ZL|可以改變。

(4)負(fù)載阻抗ZL的模值|ZL|和輻角ψL均可獨立改變。

【解】自a、b處斷開ZL，得到單口電路如圖(b)所示。利用串聯(lián)電路分壓公式求得等效電源開路電壓(參考方向如圖中所示)：

將圖(b)中的電壓源短路，應(yīng)用阻抗串并聯(lián)等效，求得等效電源內(nèi)阻抗:

于是，畫出戴維南等效電路如圖(c)所示。圖5.6-4例5.6-2圖

(1)負(fù)載為純電阻時，根據(jù)模值匹配條件可知，當(dāng)RL=|Zs|=5Ω時，負(fù)載獲得最大功率。這時，流經(jīng)負(fù)載的電流為

其有效值：

因此，負(fù)載吸收的功率：或由式(5.6-24)得：

(2)記電感性負(fù)載阻抗

，其中|ZL|可變。根據(jù)模值匹配條件，當(dāng)ZL=|Zs|=5Ω時，負(fù)載|ZL|吸收功率最大，其值由式(5.6-22)確定，考慮到ψL=30°，故有

(3)記電容性負(fù)載阻抗，其中|ZL|可變。按照情況(2)中同樣的理由，當(dāng)|Zs|=5Ω時，可獲得最大功率:

(4)此時，負(fù)載阻抗的模值和輻角均可獨立改變，由共軛匹配條件可知，當(dāng)時，負(fù)載吸收功率最大。由式(5.6-18)得

求解結(jié)果表明，前面三種情況下的負(fù)載均滿足模值匹配條件，在等效電源一定時，負(fù)載獲得的最大功率值取決于電源內(nèi)阻抗與負(fù)載阻抗之間的輻角差值。第四種情況下的負(fù)載滿足共軛匹配條件，此時將獲得真正“最大”的吸收功率。一般來說，模值匹配條件下的最大功率PLm1要小于共軛匹配時的最大功率PLm1。

5.7串聯(lián)電路的諧振

在具有電感和電容元件的電路中，電路兩端的電壓與其中的電流一般是不同相的。如果我們調(diào)節(jié)電路的參數(shù)或電源的頻率使它們同相，這時電路中就會發(fā)生諧振現(xiàn)象。對圖5.7-1所示的RLC串聯(lián)組合，可寫出其阻抗為

Z的電抗成分X與ω有關(guān)，當(dāng)外加的信號頻率使得電抗X=0時，稱電路發(fā)生諧振現(xiàn)象。因為發(fā)生在串聯(lián)電路中，所以稱為串聯(lián)諧振。使電路產(chǎn)生諧振的頻率稱為諧振頻率。串聯(lián)諧振電路的諧振頻率為

(5.7-1)

即當(dāng)電源頻率f與電路參數(shù)L和C之間滿足式(5.7-2)的關(guān)系時，發(fā)生諧振?？梢?調(diào)節(jié)L、C或電源頻率f均能使電路發(fā)生諧振。

圖5.7-2畫出了電抗X隨f變化的曲線。其中,XL為感抗，XC為容抗，而總電抗X=XL+XC。當(dāng)f<f0時，XL<|XC|，X<0，阻抗Z呈容性；當(dāng)f>f0時，XL>|XC|，X>0，阻抗Z呈感性；當(dāng)f=f0時，Z=R,為純電阻。(5.7-2)

圖5.7-1串聯(lián)諧振電路圖5.7-2電抗曲線串聯(lián)諧振具有下列特征：

(1)電路的阻抗模，其值最小。

電路中的電流為

因此，在電源電壓不變的情況下，電路中的電流將在諧振時達到最大值。

(2)由于電源電壓與電路中的電流同相，因此電路對電源呈現(xiàn)電阻性。電源供給電路的能量全被電阻所消耗，電源與電路之間不發(fā)生能量的互換。能量的互換只發(fā)生在電感線圈與電容器之間。

(3)由于XL=XC，因此UL=UC。與在相位上相反，互相抵消，對整個電路不起作用，因此電源電壓

。但是，和的單獨作用不容忽視，因為(5.7-3)當(dāng)XL=XC>R時，UL和UC都高于電源電壓Us。當(dāng)電壓過高時，可能會擊穿線圈和電容器的絕緣層。因此，在電力工程中一般應(yīng)避免發(fā)生串聯(lián)諧振。但在無線電工程中則常利用串聯(lián)諧振以獲得較高電壓，電容或電感元件上的電壓常高于電源電壓幾十倍或幾百倍。所以,串聯(lián)諧振也稱電壓諧振。

UL或UC與電源電壓U的比值通常用Q來表示，即

Q稱為電路的品質(zhì)因數(shù)。在式(5.7-4)中，它表示的意義是在諧振時電容或電感元件的端電壓是電源電壓的Q倍。例如,Q=200，U=5V，那么在諧振時電容或電感元件上的電壓就高達1000V。

串聯(lián)諧振在無線電工程中應(yīng)用較多，如在接收機里被用來選擇信號和抑制干擾等。

(5.7-4)

【例5.7-1】將一線圈(L=4mH，R=50Ω)與電容器(C=160pF)串聯(lián)，接在U=25V的電源上。

(1)當(dāng)f0=200kHz時發(fā)生諧振，求電流與電容器上的電壓；

(2)當(dāng)頻率增加10%時，求電流與電容器上的電壓。

【解】(1)當(dāng)f0=200kHz電路發(fā)生諧振時:

(2)當(dāng)頻率增加10%時：

可見,偏離諧振頻率10%時，I和UC就大大減小。

5.8并聯(lián)電路的諧振

對圖5.8-1所示的RLC并聯(lián)組合，可寫出其阻抗為

(5.8-1)

當(dāng)將電源角頻率ω調(diào)到ω0時，，

或時，發(fā)生并聯(lián)諧振。并聯(lián)諧振具有下列特征：

(1)由式(5.8-1)可知，諧振時電路的阻抗模為

其值最大，因此在電源電壓U一定的情況下，電流I將在諧振時達到最小值，即

阻抗模與電流的諧振曲線如圖5.8-2所示。

(5.8-2)(5.8-3)

圖5.8-1并聯(lián)諧振電路圖5.8-2|Z|和I的諧振曲線

(2)由于電源電壓與電路中的電流同相(φ=0)，因此電路對電源呈現(xiàn)電阻性。諧振時電路的阻抗模|Z0