《電路分析基礎(chǔ)》課件5第9章

9.1動(dòng)態(tài)電路

9.2一階電路的零輸入響應(yīng)

9.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

9.4一階電路的全響應(yīng)

9.5一階電路的階躍響應(yīng)

9.6正弦激勵(lì)下的一階電路響應(yīng)

習(xí)題９第9章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析

9.1動(dòng)態(tài)電路

在前面的章節(jié)中我們學(xué)習(xí)的電路大多是由電源、電阻組成的，一般認(rèn)為電阻的阻值不變，所以我們把諸如此類的電路稱為靜態(tài)電路。當(dāng)電路中含電容、電感等參數(shù)可變的元件時(shí)稱為動(dòng)態(tài)電路，參數(shù)可變的元件稱為動(dòng)態(tài)元件。本章所涉及的動(dòng)態(tài)元件主要是電感、電容等儲(chǔ)能元件，主要介紹時(shí)域下含有儲(chǔ)能元件的電路分析。靜態(tài)電路(電阻電路)可用代數(shù)方程來(lái)描述。當(dāng)電路包含電容、電感這些儲(chǔ)能元件時(shí)，由于電容、電感這些元件的VCR是微分、積分關(guān)系，因此可用微分方程來(lái)描述。若微分方程是n階的，則稱該動(dòng)態(tài)電路為n階的。如果動(dòng)態(tài)電路是線性非時(shí)變的,則電路方程是線性常系數(shù)微分方程。如果電路響應(yīng)的參數(shù)固定不變，則稱電路工作在穩(wěn)定狀態(tài)(簡(jiǎn)稱穩(wěn)態(tài))；如果電路處于從一個(gè)穩(wěn)態(tài)變化到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)的中間狀態(tài)，則稱電路工作在過(guò)渡狀態(tài)(簡(jiǎn)稱暫態(tài)、瞬態(tài)或動(dòng)態(tài))。動(dòng)態(tài)電路從一個(gè)穩(wěn)態(tài)過(guò)渡到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)需要一定的時(shí)間，在這個(gè)過(guò)渡時(shí)間內(nèi)發(fā)生的現(xiàn)象稱為過(guò)渡現(xiàn)象，過(guò)渡時(shí)間內(nèi)經(jīng)歷的過(guò)程稱為暫態(tài)過(guò)程(也稱過(guò)渡過(guò)程、動(dòng)態(tài)過(guò)程或瞬態(tài)過(guò)程)。

穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)對(duì)應(yīng)于電路兩種不同的工作狀態(tài)，但兩者之間也有聯(lián)系，如穩(wěn)態(tài)是暫態(tài)的最終狀態(tài)，多數(shù)暫態(tài)是從穩(wěn)態(tài)開(kāi)始的。9.1.1換路與動(dòng)態(tài)電路方程

電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化所導(dǎo)致的電路變化稱為換路。發(fā)生換路現(xiàn)象的時(shí)刻稱為換路瞬間。因?yàn)閾Q路前的電路和換路后的電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)不盡相同，所以換路前的電路和換路后的電路是不一樣的。如果把換路瞬間記為t0，那么t0－為換路前電路的終了瞬間，t0+為換路后電路的初始瞬間。換路現(xiàn)象可以發(fā)生在任意時(shí)刻，但為了分析方便，通常令換路瞬間發(fā)生在0時(shí)刻，即換路前電路的終了瞬間為0－，換路后電路的初始瞬間為0+。當(dāng)電路中含有電感元件或電容元件時(shí)，電路方程是微分方程或積分方程，通常用微分方程來(lái)表示，稱為動(dòng)態(tài)方程。如果電路發(fā)生換路現(xiàn)象，那么從原有工作狀態(tài)到另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)就需要經(jīng)歷一個(gè)暫態(tài)過(guò)程。在時(shí)間域內(nèi)對(duì)動(dòng)態(tài)電路進(jìn)行分析首先要對(duì)動(dòng)態(tài)電路建立微分方程，再對(duì)微分方程求解，通常把這種分析方法稱為經(jīng)典法。

下面通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明含儲(chǔ)能元件電路的微分方程的建立過(guò)程。

【例9.1-1】電路如圖9.1-1所示，t＝0時(shí)開(kāi)關(guān)S閉合，試對(duì)換路后的電路建立關(guān)于電容電壓uC的微分方程。圖9.1-1

RC串聯(lián)電路

【解】t＝0時(shí)刻開(kāi)關(guān)閉合，將改變電路結(jié)構(gòu)，所以t＝0時(shí)刻是一個(gè)換路瞬間，要研究換路后電容兩端的電壓變化情況，首先要根據(jù)換路后的電路和電容元件的VCR建立微分方程。

對(duì)回路列寫KVL方程有

uR(t)+uC(t)=us(t)由于，，代入上式，經(jīng)整理可得關(guān)于uC的微分方程:

圖9.1-1所示的電路僅含一個(gè)儲(chǔ)能元件——電容，通常稱這類電路為RC電路。(9.1-1)

【例9.1-2】電路如圖9.1-2所示，試建立關(guān)于電感電流iL的微分方程。

圖9.1-2

RL并聯(lián)電路

【解】根據(jù)KCL方程有

iR(t)+iL(t)=is(t)

由于，，代入上式整理可得關(guān)于電感電流iL的微分方程:

圖9.1-2所示的電路僅含一個(gè)儲(chǔ)能元件——電感，通常稱這類電路為RL電路。(9.1-2)

式(9.1-1)和式(9.1-2)均為一階線性常系數(shù)微分方程，故圖9.1-1和圖9.1-2所示的RC和RL電路均稱為一階電路。一般一階電路中只含有一個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件。如果要分析暫態(tài)過(guò)程中電路響應(yīng)的具體情況，則還需要對(duì)微分方程進(jìn)行求解。

實(shí)際上在時(shí)間域內(nèi)對(duì)動(dòng)態(tài)電路進(jìn)行研究時(shí)，如果階次過(guò)高，則方程的求解過(guò)程將會(huì)變得較為復(fù)雜，所以在時(shí)間域內(nèi)的分析階次不宜過(guò)高。本章重點(diǎn)介紹一階電路的分析。9.1.2初始值的計(jì)算

對(duì)動(dòng)態(tài)電路進(jìn)行分析，首先要建立相應(yīng)的微分方程，在對(duì)微分方程求解時(shí)需要確定積分常數(shù)，通常積分常數(shù)是根據(jù)電路的初始條件來(lái)確定的。

1.換路定則

假設(shè)在t=－∞時(shí)儲(chǔ)能元件未儲(chǔ)存能量，在t=0時(shí)刻電感元件儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能，電容元件儲(chǔ)存的電場(chǎng)能，若電路在t=0時(shí)刻換路，則t=0－對(duì)應(yīng)換路前電路的終了瞬間，t=0+對(duì)應(yīng)換路后電路的初始瞬間。換路時(shí)在電容電壓和電感電流為有限值的情況下，電感元件和電容元件所儲(chǔ)存的能量不能發(fā)生突變，即因?yàn)?/p>

所以在換路現(xiàn)象發(fā)生時(shí)，電容電壓和電感電流具有連續(xù)性，即

(9.1-3)式(9.1-3)常稱為換路定則。換路定則指出，在換路瞬間電容電壓uC和電感電流iL為有限值時(shí)，具有連續(xù)性，不能突變?？梢愿鶕?jù)它們來(lái)確定換路時(shí)電路中電感元件的電流或電容元件兩端的電壓，即暫態(tài)過(guò)程的初始值。需要特別指出的是，除了電容電壓和電感電流不能突變外，電容電流和電感電壓等其他變量是可以發(fā)生躍變的。

在某些理想情況下，電容電流和電感電壓為無(wú)限大，這時(shí)電容電壓和電感電流將發(fā)生“強(qiáng)迫躍變”，電容電壓和電感電流的連續(xù)性不再適用，所以換路定則也將不再適用于此類理想情況的分析與計(jì)算(在發(fā)生強(qiáng)迫躍變的情況下，可根據(jù)電荷守恒和磁通鏈?zhǔn)睾阍韥?lái)確定各獨(dú)立初始值，相關(guān)內(nèi)容請(qǐng)參閱其他書籍)。

2.初始值的求解步驟

設(shè)換路發(fā)生在t=0時(shí)刻，t=0－對(duì)應(yīng)于換路發(fā)生前的電路，t=0+對(duì)應(yīng)于換路后的電路。由換路前的電路狀態(tài)和換路定則可以求出微分方程變量初始值，步驟如下：

(1)畫出t=0－時(shí)刻的等效電路，也就是換路前的電路。如果換路前的電路已經(jīng)處于穩(wěn)態(tài)，則當(dāng)激勵(lì)是直流電源時(shí)，電容相當(dāng)于開(kāi)路，電感相當(dāng)于短路，求出uC(0－)和iL(0－)。(2)根據(jù)換路定則，確定電容電壓uC(0+)和電感電流iL(0+)。

(3)如果要求電路中其他變量的初始值，則還需要畫出t=0+時(shí)刻的等效電路，也就是換路后的電路。電容以u(píng)C(0+)的電壓源代替,電感以iL(0+)的電流源代替，獨(dú)立電源取t=0+時(shí)的值。這樣就得到一個(gè)不含電容、電感的電路，應(yīng)用電阻電路分析方法可求得其他變量在t=0+時(shí)刻的初始值。

【例9.1-3】如圖9.1-3(a)所示的電路，已知Us=10V，L=1H,R1=R2=4Ω,t=0時(shí)，開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)。開(kāi)關(guān)斷開(kāi)前，電路已處于穩(wěn)態(tài)。求初始值iC(0+)、uL(0+)和

。

【解】

(1)求出開(kāi)關(guān)斷開(kāi)前的電容電壓uC(0－)和電感電流iL(0－)。當(dāng)t<0時(shí)，電路處于穩(wěn)態(tài)，電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開(kāi)路。畫出t=0－時(shí)的等效電路，如圖9.1-3(b)所示。由圖可得:

(2)根據(jù)換路定則，確定電容電壓uC(0+)和電感電流iL(0+):

uC(0+)=uC(0－)=10V

iL(0+)=iL(0－)=5A

(3)畫出t=0+時(shí)的等效電路，求出t=0+時(shí)各電流、電源的初始值。

根據(jù)替代原理，在t=0+瞬間，電容元件可用電壓等于uC(0+)的電壓源代替；電感元件可用電流等于iL(0+)的電流源代替。畫出t=0+的初始值等效電路，如圖9.1-3(c)所示。由初始值等效電路可求得：

圖9.1-3例9.1-3圖【例9.1-4】電路如圖9.1-4(a)所示，t＝0時(shí)開(kāi)關(guān)S由位置1切換到位置2，在t=0－時(shí)電路已經(jīng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。求初始值i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。圖9.1-4例9.1-4圖

【解】

(1)畫出t=0－時(shí)的等效電路，如圖9.1-4(b)所示，求iL(0－)。

(2)根據(jù)換路定律，有

iL(0+)=iL(0－)=3A

(3)畫出t=0+時(shí)的等效電路，如圖9.1-4(c)所示，求出t=0+時(shí)各變量的初始值。

9.2一階電路的零輸入響應(yīng)

如果儲(chǔ)能元件在換路前已經(jīng)具有初始儲(chǔ)能，那么換路后即使沒(méi)有獨(dú)立源激勵(lì)，電路在初始儲(chǔ)能的作用下也會(huì)產(chǎn)生響應(yīng)，這種響應(yīng)稱做零輸入響應(yīng)。

若電路是一個(gè)儲(chǔ)能元件和一個(gè)有源二端電阻網(wǎng)絡(luò)的組合，如圖9.2-1(a)、(b)所示，則根據(jù)戴維南等效或諾頓等效，電路可以簡(jiǎn)化成如圖9.2-1(c)和(d)所示的電路，即常見(jiàn)的RC電路和RL電路。圖9.2-1一階電路的一般形式9.2.1一階RC電路的零輸入響應(yīng)

如圖9.2-2(a)所示的一階RC電路，當(dāng)t＝0時(shí)，開(kāi)關(guān)S由位置A切換到位置B。假定t<0時(shí)，有足夠長(zhǎng)的時(shí)間使電容兩端的電壓處于穩(wěn)定狀態(tài)，即uC(0－)=U0。圖9.2-2一階RC電路的零輸入響應(yīng)根據(jù)換路后(t>0)的電路和KVL定律可知:

uR=uC

將uR=－RiC，代入上式，經(jīng)整理可得關(guān)于電容電壓uC的微分方程:

式(9.2-1)是一階線性齊次微分方程。它的通解可以寫成如下形式:

uC(t)=Aept

其中,A為積分常數(shù);p是特征方程的特征根。(9.2-1)特征方程為

RCp+1=0

所以方程的特征根為

根據(jù)換路定則可知，電容元件初始電壓uC(0+)=uC(0－)

=U0，將初始條件代入通解:

可求得積分常數(shù)為

A=U0

所以，滿足初始條件的微分方程的解為

如果要求換路后電流iC的響應(yīng)，則可以借助電容元件的VCR求出，即

(9.2-2)(9.2-3)式(9.2-2)和式(9.2-3)就是RC電路的零輸入響應(yīng)，uC(t)和iC(t)的波形圖如圖9.2-2(b)所示。由波形圖可知,uC和iC都是按相同的指數(shù)規(guī)律衰減的。這是因?yàn)閾Q路時(shí)電容已經(jīng)儲(chǔ)存電能，換路后電容儲(chǔ)存的能量將通過(guò)耗能元件電阻R釋放出來(lái)，由于電路沒(méi)有外部激勵(lì)源對(duì)電容充電，所以隨著放電過(guò)程的進(jìn)行，電容的初始儲(chǔ)能會(huì)逐漸被電阻消耗，電容電壓將逐漸下降，放電電流也會(huì)逐漸減小，響應(yīng)從初始值開(kāi)始逐漸衰減至零。從式(9.2-2)、式(9.2-3)可以看出,電容電壓uC和電流iC衰減得快慢取決于或RC的大小。為了研究衰減的快慢，令τ＝RC，由于電阻R的單位為歐姆(Ω)，電容的單位為法拉(F)，可以推出τ的單位為(秒)，因此被稱為電路的時(shí)間常數(shù)。引入τ以后，式(9.2-2)和式(9.2-3)可以表示為

(9.2-4)(9.2-5)RC電路的零輸入響應(yīng)實(shí)際上是RC電路的放電過(guò)程。在電容初始電壓為定值的情況下，電容量C越大，電容中存儲(chǔ)的電荷越多，放電時(shí)間就越長(zhǎng)；電阻R越大，放電電流越小，放電時(shí)間也越長(zhǎng)。τ值愈大，電路零輸入響應(yīng)衰減愈慢，暫態(tài)過(guò)程進(jìn)展愈慢，τ值反映了電容電壓uC和電流iC的衰減速度。由式(9.2-4)和式(9.2-5)可以計(jì)算出電容電壓uC和電流iC在不同時(shí)間下的響應(yīng)，如表9.2-1所示。由表9.2-1可以看出,盡管在理論上需要經(jīng)過(guò)無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間，電容電壓uC和電流iC才能衰減為零，但實(shí)際上在經(jīng)過(guò)(3～5)τ的時(shí)間后，響應(yīng)已經(jīng)衰減為初始值的5％以下，從工程角度可以忽略不計(jì)，即可以認(rèn)為電容電壓uC和電流iC已衰減為零。因此認(rèn)為在經(jīng)歷(3～5)τ時(shí)間后放電過(guò)程已經(jīng)結(jié)束，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。由于RC電路在t=0－時(shí)電路已經(jīng)處于穩(wěn)定狀態(tài)(穩(wěn)態(tài))，換路后電路在經(jīng)歷(3～5)τ的時(shí)間后，電路將達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，因此RC電路的零輸入響應(yīng)是從一個(gè)穩(wěn)態(tài)到達(dá)另一個(gè)穩(wěn)態(tài)的過(guò)程，也是一個(gè)暫態(tài)過(guò)程。表9.2-1時(shí)間常數(shù)τ的物理意義9.2.2一階RL電路的零輸入響應(yīng)

如圖9.2-3(a)所示的一階RL電路，t<0時(shí)，開(kāi)關(guān)S處于閉合狀態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)，若在換路前電路已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)狀態(tài)，則換路前的終了瞬間流過(guò)電感的電流為。圖9.2-3一階RL電路的零輸入響應(yīng)根據(jù)換路后(t>0)的電路和KVL定律可知:

uR+uL=0

將uR=RiL，代入上式，經(jīng)整理可得關(guān)于電感電流iL的微分方程:

(9.2-6)這也是一階齊次微分方程，可求得特征根為，根據(jù)換路定則可知其初始條件為，將其代入通解iL(t)=Aept，可求出電感電流iL的響應(yīng)為

(9.2-7)電感兩端電壓uL和電阻兩端電壓uR的響應(yīng)可以由元件的VCR推出:

其中,稱為RL電路的時(shí)間常數(shù)，它同樣具有時(shí)間量綱(

)，是表征電路暫態(tài)過(guò)程進(jìn)展速度的參數(shù)，由電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)決定。圖9.2-3(b)所示為RL電路的電感電流iL、電感電壓uL和電阻電壓uR的零輸入響應(yīng)波形圖。

與一階RC電路的零輸入響應(yīng)一樣，一階RL電路的零輸入響應(yīng)也是由電路的初始儲(chǔ)能引起的，隨著時(shí)間t的增長(zhǎng)，從初始值開(kāi)始按指數(shù)規(guī)律衰減至零。在一階電路的零輸入響應(yīng)中,電容或電感在初始狀態(tài)時(shí)具有初始儲(chǔ)能，電路中的電阻元件會(huì)逐步消耗儲(chǔ)能元件的能量，因此響應(yīng)會(huì)按指數(shù)規(guī)律衰減至零。

通過(guò)對(duì)RC和RL一階電路零輸入響應(yīng)的分析，由式(9.2-4)與式(9.2-7)可知，其電容電壓或電感電流均是按指數(shù)規(guī)律下降的，通常一階電路的電容電壓或電感電流的零輸入響應(yīng)表達(dá)式可以表示為

式中，y(t)表示電容電壓或電感電流的零輸入響應(yīng)，y(0+)是電容電壓或電感電流的零輸入響應(yīng)的初始值，τ為時(shí)間常數(shù)。(9.2-8)

【例9.2-1】電路如圖9.2-4(a)所示，當(dāng)t<0時(shí)，電路已經(jīng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)t＝0時(shí)，開(kāi)關(guān)S由位置A切換到位置B。試求t>0時(shí)的電感電流iL(t)和電感電壓uL(t)。

圖9.2-4例9.2-1圖

【解】由題意可知，該題是求電路的零輸入響應(yīng)。當(dāng)t<0時(shí)，電路已經(jīng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，電感元件可以視為短路，開(kāi)關(guān)切換瞬間，電感電流不能躍變，故根據(jù)換路定則有

iL(0+)=iL(0－)=0.1A

畫出t＝0+時(shí)刻的等效電路，如圖9.2-4(b)所示，將連接到電感的單口電阻網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)電阻R(200Ω)，故電路的時(shí)間常數(shù)τ為根據(jù)式(9.2-7)，電感電流和電感電壓的響應(yīng)為

9.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

若儲(chǔ)能元件在換路前初始儲(chǔ)能為零，則電路響應(yīng)只由獨(dú)立電源的激勵(lì)所引起，這種響應(yīng)稱做零狀態(tài)響應(yīng)。本節(jié)研究一階電路在直流電源激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)。9.3.1一階RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

如圖9.3-1(a)所示的一階RC電路，t<0時(shí)開(kāi)關(guān)一直閉合于A端，電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S由位置A切換到位置B，換路后電路響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)，換路前終了瞬間的電容電壓為uC(0－)=0。

根據(jù)換路后的電路和KVL定律可知:

uR+uC=Us圖9.3-1一階RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)將uR=RiC，代入上式，整理可得關(guān)于電容電壓uC的微分方程:

式(9.3-1)是一階非齊次微分方程。它的通解可以記為

uC(t)=uCh(t)+uCp(t)

(9.3-2)

其中,uCh(t)為相應(yīng)齊次微分方程的通解，uCp(t)是非齊次微分方程的一個(gè)特解。(9.3-1)首先來(lái)求齊次方程的通解，式(9.3-1)相應(yīng)的齊次方程為

其特征根為

故齊次方程的通解為

其中,A為積分常數(shù)。(9.3-3)

接下來(lái)求非齊次方程的特解。微分方程的特解具有與激勵(lì)相同的函數(shù)形式，電路中常見(jiàn)的激勵(lì)函數(shù)及相應(yīng)的特解yp(t)的函數(shù)形式列于表9.3-1中。當(dāng)激勵(lì)為直流電壓源時(shí)，其特解uCp為常數(shù)。令uCp＝K代入式(9.3-1)，得

故特解為

uCp＝K＝Us

所以微分方程(9.3-1)的通解為

積分常數(shù)A可由電容電壓的初始值確定。由換路定則可知uC(0+)=uC(0－)=0，代入上式得

uC(0+)=A+Us=0

所以積分常數(shù)

A=－Us令τ=RC，則電容電壓uC的零狀態(tài)響應(yīng)為

關(guān)于其他零狀態(tài)響應(yīng)(如電容電流、電阻電壓等)，可利用基爾霍夫定律與元件的電壓-電流關(guān)系得到，如電流iC(t)的零狀態(tài)響應(yīng)為

電容電壓uC(t)和電流iC(t)的波形圖如圖9.3-1(b)所示。表9.3-1不同激勵(lì)時(shí)方程的特解注：表中K0、K1、…、Kn均為特定常數(shù)。直流激勵(lì)下，一階RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)其物理過(guò)程實(shí)質(zhì)是換路后電路中電容元件的儲(chǔ)能從無(wú)到有逐漸建立的過(guò)程。t>0時(shí)電壓源Us通過(guò)RC串聯(lián)電路對(duì)電容充電，隨著時(shí)間t的增加，電容電壓從零開(kāi)始按指數(shù)規(guī)律上升至穩(wěn)態(tài)值uC(∞)，因此在一階零狀態(tài)RC電路中，電容電壓的一般表示式可以寫成

(9.3-4)由圖9.3-1(b)可見(jiàn)，電容電壓以指數(shù)規(guī)律從零上升到uC(∞)=Us，電流從其初始值以指數(shù)規(guī)律衰減到i(∞)=0。在工程上認(rèn)為經(jīng)過(guò)(3～5)τ后充電過(guò)程已經(jīng)結(jié)束，電路到達(dá)新的穩(wěn)態(tài)。

【例9.3-1】電路如圖9.3-2(a)所示，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)斷開(kāi)，已知uC(0－)=0。求t>0時(shí)電容電壓uC(t)、電容電流iC(t)以及電阻電流i1(t)。

圖9.3-2例9.3-1圖

【解】由換路定則可知電容電壓不能躍變，即

uC(0+)=uC(0－)=0

將換路后的電路用戴維南定理等效為圖9.3-2(b)所示的電路，其中

R0=300Ω

Uoc=120V

則電路的時(shí)間常數(shù)為

τ=R0C=300Ω×10－6F=3×10－4s當(dāng)電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，電容相當(dāng)于開(kāi)路，即

UC(∞)=Uoc=120V

由式(9.3-4)可得:

由基爾霍夫定律與元件的電壓-電流關(guān)系可得:

9.3.2一階RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)

如圖9.3-3(a)所示的一階RL電路，Us為直流電壓源，t<0時(shí)開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)，電感中沒(méi)有電流，即iL(0－)=0，t＝0時(shí)開(kāi)關(guān)S閉合，換路后電路的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)。

根據(jù)換路后的電路和KVL定律可知:

uR+uL=Us

圖9.3-3

RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)將uR=RiL,代入上式，經(jīng)整理可得關(guān)于電感電流iL的微分方程:

這是一個(gè)一階線性非齊次微分方程，其特征根為

令，相應(yīng)齊次方程的通解可以記為，A為積分常數(shù)。由于激勵(lì)為恒壓源，因此特解iLp為常數(shù)，令iLp=K，代入式(9.3-5)，解得。(9.3-5)非齊次微分方程的通解由相應(yīng)齊次方程的通解和非齊次方程的一個(gè)特解組成，即

根據(jù)換路定則，方程的初始條件為iL(0+)=iL(0－)=0，代入上式求得積分常數(shù)。所以方程的完全解為

(9.3-6)解得電感電流iL后，利用基爾霍夫定律與元件的電壓-電流關(guān)系，可進(jìn)一步求得電感電壓與電阻電壓:

iL(t)和uL(t)的波形圖如圖9.3-3(b)所示。經(jīng)過(guò)(3～5)τ的時(shí)間后認(rèn)為電路已經(jīng)到達(dá)新的穩(wěn)態(tài)。(9.3-7)(9.3-8)直流激勵(lì)下一階RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)其本質(zhì)仍是電路中儲(chǔ)能元件儲(chǔ)能從無(wú)到有的建立過(guò)程，相應(yīng)電感電流由零開(kāi)始按指數(shù)規(guī)律上升至穩(wěn)態(tài)值。結(jié)合式(9.3-6)可知，電感電流的一般表示式為

求解一階RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)，通常的方法是先按式(9.3-9)求出電感電流iL，然后用基爾霍夫定律或元件的VCR計(jì)算其他電流或電壓的零狀態(tài)響應(yīng)。(9.3-9)通過(guò)對(duì)RC和RL一階電路零狀態(tài)響應(yīng)分析，由式(9.3-4)和式(9.3-9)可知，其電容電壓或電感電流均是按指數(shù)規(guī)律上升的。通常一階電路中電容電壓或電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)的表達(dá)式可以記為

其中,y(t)表示電容電壓或電感電流的零狀態(tài)響應(yīng);y(∞)是電容電壓或電感電流響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值;是響應(yīng)中暫時(shí)存在的、按指數(shù)規(guī)律趨于零的分量，稱為暫態(tài)響應(yīng);時(shí)間常數(shù)τ反映了響應(yīng)從初始值到新的穩(wěn)態(tài)值的變化速度。(9.3-10)

9.4一階電路的全響應(yīng)

一階電路在儲(chǔ)能元件初始儲(chǔ)能和外加激勵(lì)共同作用下產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為全響應(yīng)。本節(jié)將介紹一階電路在直流電源激勵(lì)下的全響應(yīng)，并給出一階電路全響應(yīng)的工程分析方法——三要素法。9.4.1全響應(yīng)及其分解

如圖9.4-1(a)所示的一階RC電路，t=0時(shí)刻開(kāi)關(guān)S閉合，換路前電容已經(jīng)儲(chǔ)能且電容電壓uC(0－)=U0。

根據(jù)換路后的電路和KVL定律可知:

(9.4-1)圖9.4-1一階電路的全響應(yīng)

這個(gè)方程和一階RC電路零狀態(tài)響應(yīng)的微分方程具有相同的形式，所以它們的解也具有相同的形式，和零狀態(tài)響應(yīng)不同的只是電容電壓uC的初始條件不同。由9.3節(jié)的分析可以知道方程的解為

由換路定則可知uC(0+)=uC(0－)=U0,代入上式可得

U0=Us+A

A=U0－Us因此電容電壓在t>0時(shí)的全響應(yīng)為

圖9.4-1(b)分別畫出了Us、U0均大于零時(shí)，在Us>U0、Us=U0、Us<U0三種情況下uC的波形。(9.4-2)由式(9.4-2)可以看出,uC的解由兩項(xiàng)組成，其中第一項(xiàng)Us是隨時(shí)間t增長(zhǎng)穩(wěn)定存在的分量，是t趨于無(wú)窮大時(shí)的輸出狀態(tài)，我們把它稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，在直流激勵(lì)下，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為常數(shù)，是換路后電路的穩(wěn)態(tài)解；第二項(xiàng)是暫時(shí)存在的、隨時(shí)間t的增長(zhǎng)最終將衰減為零的分量，我們把它稱為暫態(tài)響應(yīng)，它反映了電路暫態(tài)過(guò)程的演變情況。因此全響應(yīng)可表示為

全響應(yīng)＝穩(wěn)態(tài)響應(yīng)＋暫態(tài)響應(yīng)式(9.4-2)可處理成如下形式:

式(9.4-3)的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別是我們前面所討論的電路零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。這是因?yàn)槌?dú)立電源外，如果視儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能為電路的另一種激勵(lì)，那么根據(jù)線性電路的疊加性質(zhì)，全響應(yīng)是兩種激勵(lì)各自作用時(shí)響應(yīng)的疊加。因此全響應(yīng)又可表示為

(9.4-3)

全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

圖9.4-2(a)所示的是U0>Us時(shí)全響應(yīng)分解為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、暫態(tài)響應(yīng)的波形，圖9.4-2(b)所示的是全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)的波形。

采用經(jīng)典法求一階RL電路的全響應(yīng)，其微分方程和零狀態(tài)響應(yīng)的方程也是相同的，與一階RC電路一樣，不同之處在于求積分常數(shù)時(shí)所對(duì)應(yīng)的初始條件不同。一階RL電路的全響應(yīng)同樣可以分解成“穩(wěn)態(tài)響應(yīng)+暫態(tài)響應(yīng)”或“零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)”，這里不再闡述。時(shí)間常數(shù)τ都反映響應(yīng)從一個(gè)穩(wěn)態(tài)到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)的變化速度。圖9.4-2全響應(yīng)的分解9.4.2三要素法

通過(guò)前面的分析可知，采用經(jīng)典法來(lái)確定給定激勵(lì)下的響應(yīng)包括三個(gè)步驟：

(1)建立描述動(dòng)態(tài)電路的數(shù)學(xué)方程；

(2)解微分方程，并根據(jù)初始條件確定積分常數(shù)；

(3)利用基爾霍夫定律、元件的VCR求出電路中的其他響應(yīng)。

對(duì)于直流激勵(lì)的一階電路而言，實(shí)際上還有一種工程分析的簡(jiǎn)便方法，即不對(duì)電路列寫方程，僅確定三個(gè)量就可以直接寫出響應(yīng)的表達(dá)式，這種方法稱為三要素法。如果用y(t)表示響應(yīng)，則由前面的分析可知,全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng),由式(9.2-8)和式(9.3-10)可得：

在直流激勵(lì)下，對(duì)于任何一階正τ電路,如果能求出初始值y(0+)、穩(wěn)態(tài)值y(∞)和時(shí)間常數(shù)τ這三個(gè)要素，那么就可以通過(guò)式(9.4-4)得到電路的響應(yīng)。需要指出的是，雖然在前面的分析中我們都是根據(jù)電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)為響應(yīng)變量推導(dǎo)得到的，但三要素法也可用來(lái)求電路中電阻電壓或電阻電流的響應(yīng)。

下面說(shuō)明三個(gè)要素的求解方法。(9.4-4)

1.初始值y(0+)

(1)在直流激勵(lì)下，若換路前電路已經(jīng)處于穩(wěn)態(tài)，則電路中的電容相當(dāng)于開(kāi)路，電感相當(dāng)于短路，可求出uC(0－)和iL(0－)。

(2)由換路定則可知，uC(0+)=uC(0－)，iL(0+)=iL(0－)。

(3)如果是求其他變量的初始值，則可取換路后的電路，將電路中的電感用數(shù)值為iL(0+)的理想電流源代替，電容用數(shù)值為uC(0+)的理想電壓源代替，這樣就得到一個(gè)直流純電阻電路，對(duì)其進(jìn)行計(jì)算可得其初始值y(0+)。

2.穩(wěn)態(tài)值y(∞)

由于換路后的電路在t→∞時(shí)已進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，在直流激勵(lì)下電路各電流、電壓不再變化，因此電容相當(dāng)于開(kāi)路，電感相當(dāng)于短路，對(duì)電路進(jìn)行計(jì)算可得響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值y(∞)。

3.時(shí)間常數(shù)τ

對(duì)于一階RC電路，時(shí)間常數(shù)τ=R0C；對(duì)于一階RL電路，其時(shí)間常數(shù)τ=L/R0。這里R0是指與儲(chǔ)能元件相串聯(lián)的等效電阻，即換路后從儲(chǔ)能元件向電路看過(guò)去用戴維南或諾頓等效的電源內(nèi)阻。

【例9.4-1】電路如圖9.4-3所示，t=0－時(shí)電路已經(jīng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)閉合。試求開(kāi)關(guān)閉合后電路中電容兩端電壓uC(t)和支路電流i(t)的響應(yīng)，并繪出其波形圖。

圖9.4-3例9.4-1圖1

【解】電容電壓的初始值uC(0+)可由換路定則求出。換路前電路如圖9.4-4(a)所示，易知

uC(0－)=20×1－10=10V

uC(0+)=uC(0－)=10V

要求支路電流i(t)的初始值為i(0+)，可將電容用數(shù)值為uC(0+)的理想電壓源來(lái)代替，得如圖9.4-4(b)所示的純電阻電路，易知

圖9.4-4例9.4-1圖2

(2)換路后的電路在t→∞時(shí)，電容相當(dāng)于開(kāi)路，等效電路如圖9.4-5(a)所示，易知

圖9.4-5例9.4-1圖3

(3)對(duì)于一階RC電路，時(shí)間常數(shù)τ=R0C。從儲(chǔ)能元件向電路看去是一個(gè)線性有源電阻二端網(wǎng)絡(luò)，R0是其相應(yīng)無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻，如圖9.4-5(b)所示。

由uC(t)和i(t)的表示式可以畫出響應(yīng)uC(t)和i(t)的波形圖，如圖9.4-6所示。圖9.4-6例9.4-1圖4

9.5一階電路的階躍響應(yīng)

在動(dòng)態(tài)電路的分析中，我們常引入階躍函數(shù)來(lái)描述電路的激勵(lì)和響應(yīng)。引入階躍函數(shù)可以更好地建立電路的數(shù)學(xué)模型，有利于電路的分析和設(shè)計(jì)。9.5.1階躍函數(shù)

單位階躍函數(shù)通常以符號(hào)ε(t)表示，波形圖如圖9.5-1所示。

在跳變點(diǎn)t=0處，函數(shù)值未定義(也可以規(guī)定該處函數(shù)值為1/2)，在t=0瞬間完成從0到1的躍變。(9.5-1)

圖9.5-1單位階躍函數(shù)

如果在t=0時(shí)躍變量是K個(gè)單位，則可以用Kε(t)來(lái)表示，Kε(t)稱為階躍函數(shù)，波形圖如圖9.5-2(a)所示。

(9.5-2)

圖9.5-2階躍函數(shù)如果躍變時(shí)間推遲到t=t0時(shí)刻，則可以用延遲階躍函數(shù)Kε(t－t0)來(lái)表示，波形如圖9.5-2(b)所示。

階躍函數(shù)表現(xiàn)出鮮明的單邊特性。利用這一性質(zhì)，單位階躍函數(shù)可以用來(lái)描述開(kāi)關(guān)動(dòng)作，作為開(kāi)關(guān)的數(shù)學(xué)模型，因此單位階躍函數(shù)又稱為開(kāi)關(guān)函數(shù)。例如,圖9.5-3所示的波形可以表示為函數(shù)f(t)=Umsin(ωt)·ε(t)，相當(dāng)于一個(gè)正弦電壓信號(hào)Umsin(ωt)在t=0時(shí)刻被接入電路。(9.5-3)階躍函數(shù)的另一個(gè)重要應(yīng)用是描述一些矩形脈沖信號(hào)。例如,圖9.5-4所示的方波電壓信號(hào)可以表示為G(t)=U0(t－

t1)－U0(t－t2)。對(duì)于線性電路來(lái)說(shuō)，這種表示方法的好處在于可以借助疊加定理來(lái)分析電路。圖9.5-3階躍函數(shù)描述開(kāi)關(guān)動(dòng)作圖9.5-4矩形脈沖信號(hào)的階躍函數(shù)表示此外，還可用ε(t)設(shè)定函數(shù)的作用區(qū)間。設(shè)給定信號(hào)f(t)，波形如圖9.5-5(a)所示，如果f(t)在t=0時(shí)開(kāi)始作用，如圖9.5-5(b)所示，則信號(hào)的數(shù)學(xué)模型可以記為f(t)ε(t)；若f(t)在時(shí)域(t1,t2)內(nèi)作用，如圖9.5-5(c)所示，則數(shù)學(xué)模型可以記為f(t)［ε(t－t1)－ε(t－t2)］。圖9.5-5用階躍函數(shù)設(shè)定信號(hào)作用區(qū)間9.5.2階躍響應(yīng)

電路在單位階躍函數(shù)ε(t)激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為階躍響應(yīng)，用g(t)表示。單位階躍函數(shù)ε(t)作用于電路相當(dāng)于在t=0時(shí)刻接入單位直流電源，因此對(duì)于一階電路，電路的階躍響應(yīng)可用三要素法求解。如果電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)均不隨時(shí)間變化，則稱該電路為線性時(shí)不變電路。對(duì)于線性電路，由疊加原理可知當(dāng)激勵(lì)為u1(t)、u2(t)時(shí)，電路的響應(yīng)為y1(t)、y2(t)；當(dāng)激勵(lì)為C1u1(t)+C2u2(t)時(shí)，響應(yīng)為C1y1(t)+C2y2(t)。由于時(shí)不變電路的元件參數(shù)不隨時(shí)間變化，因此在同樣的起始狀態(tài)下，電路的響應(yīng)與激勵(lì)施加的時(shí)間無(wú)關(guān)，即當(dāng)激勵(lì)為u(t)時(shí)響應(yīng)為y(t)，當(dāng)激勵(lì)為u(t－t0)時(shí)，響應(yīng)為y(t－t0)。

【例9.5-1】如圖9.5-6(a)所示的電路，激勵(lì)us(t)的波形如圖9.5-6(b)所示，試求電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)。

圖9.5-6例9.5-1圖

【解】由式(9.3-4)易知，在單位階躍信號(hào)ε(t)的作用下，電容電壓的階躍響應(yīng)為

圖9.5-6(b)所示的分段信號(hào)可以分解成多個(gè)延遲階躍信號(hào)的疊加，即

us(t)=ε(t)+2ε(t－t1)－4ε(t－t2)+3ε(t－t3)－2ε(t－t4)根據(jù)線性時(shí)不變性質(zhì)，電容電壓uC(t)的零狀態(tài)響應(yīng)可以表示為

uC(t)=g(t)+2g(t－t1)－4g(t－t2)+3g(t－t3)－2g(t－t4)

其中:

9.6正弦激勵(lì)下的一階電路響應(yīng)

正弦電源是實(shí)際電路中的一種常用電源，因此分析正弦電源激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)電路響應(yīng)具有實(shí)際意義。本節(jié)將以一階電路為例，討論它在正弦電源激勵(lì)下的響應(yīng)。下面結(jié)合圖9.6-1所示的一階RC電路討論正弦電源激勵(lì)下的電路的分析方法。當(dāng)t=0時(shí),開(kāi)關(guān)閉合，若電容電壓的初始值uC(0+)=U0，則電壓源為正弦交流電壓us(t)=Usmcos(ωt+ψs)。如果要討論t>0時(shí)的電容電壓uC(t)的響應(yīng)，則首先要使用KVL定律和元件的VCR建立換路后電路的動(dòng)態(tài)方程:

因?yàn)槿憫?yīng)uC(t)等于零狀態(tài)響應(yīng)uC1(t)與零輸入響應(yīng)uC2(t)的代數(shù)和，所以求全響應(yīng)的問(wèn)題可以分解為求零狀態(tài)響應(yīng)與求零輸入響應(yīng)。(9.6-1)圖9.6-1

RC電路的正弦激勵(lì)響應(yīng)9.6.1正弦激勵(lì)電路的零狀態(tài)響應(yīng)

由換路定則和零狀態(tài)響應(yīng)的定義可知,uC(0+)=uC(0－)=0。從9.3節(jié)關(guān)于零狀態(tài)響應(yīng)的討論中可知，零狀態(tài)響應(yīng)可以表示為

uC1(t)=u1S(t)+u1T(t)

其中，u1S(t)為零狀態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量;u1T(t)為零狀態(tài)響應(yīng)的暫態(tài)分量。u1T(t)可以表示為

式中,A為積分常數(shù)；τ為時(shí)間常數(shù)，對(duì)于RC電路，τ=RC，對(duì)于RL電路，。(9.6-2)

正弦激勵(lì)電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可用相量法來(lái)求解。按照相量法，激勵(lì)用相量表示為(也可用有效值向量表示為，元件的參數(shù)用復(fù)阻抗表示。根據(jù)歐姆定律，電容C上的電壓實(shí)際上是阻抗R與阻抗對(duì)激勵(lì)分壓得到的,即令，代入上式得

式中，為零狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相量形式。零狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的三角形式可以表示為

u1S(t)=UCmcos(ωt+ψC)(9.6-3)

其中，,ψC=ψs－arctan(ωCR)。令θ=arctan(ωCR)，則ψC=ψs－θ。

由式(9.6-2)、式(9.6-3)可知,零狀態(tài)響應(yīng)可以表示為

將初始條件uC(0+)=0代入上式，可以解得

A=－UCmcosψC

故零狀態(tài)響應(yīng)為

其中，。

(9.6-4)

9.6.2正弦激勵(lì)電路的零輸入響應(yīng)

圖9.6-1所示電路的零輸入響應(yīng)是在沒(méi)有外加激勵(lì)，僅由電容元件的初始儲(chǔ)能所引起的響應(yīng)。電容電壓的初始值為uC(0+)=U0，按式(9.2-8)或三要素法可知其零輸入響應(yīng)為

(9.6-5)9.6.3正弦激勵(lì)電路的全響應(yīng)

由式(9.6-4)、式(9.6-5)可知,圖9.6-1所示電路的全響應(yīng)為

經(jīng)整理，上式可寫為

其中，ψC=ψs－θ;

;τ=RC,為電路的時(shí)間常數(shù)。(9.6-6)考察式(9.6-6)我們可以看出，第一項(xiàng)UCmcos(ωt+ψC)是零狀態(tài)情況下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，它也是全響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，可以用相量法來(lái)求解；第二項(xiàng)為暫態(tài)響應(yīng)，又因?yàn)榱爿斎腠憫?yīng)和零狀態(tài)情況下的暫態(tài)響應(yīng)都是暫時(shí)存在的按指數(shù)規(guī)律趨向于零的項(xiàng)，所以它們的代數(shù)和是全響應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)，可以令其為，A為積分常數(shù)。因此正弦激勵(lì)一階電路的全響應(yīng)計(jì)算可按下列步驟進(jìn)行：

(1)利用相量法求解電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；

(2)代入初始條件求電路的全響應(yīng)。

【例9.6-1】電路如圖9.6-2所示，開(kāi)關(guān)在t=0時(shí)刻由位置A切換到位置B，已知u1s=1V，u2s=2costV，R=1Ω，L=1H，設(shè)t<0時(shí)電路有足夠的時(shí)間使電路處于穩(wěn)態(tài)，求t>0時(shí)電感電流i(t)的響應(yīng)。

圖9.6-2例9.6-1圖

【解】由相量法可知，電路換路后到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)電感電流為

三角形式的電感電流的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

令電感電流的暫態(tài)響應(yīng)為

時(shí)間常數(shù)，則電感電流的響應(yīng)可以表示為

換路前的電路到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，電感對(duì)直流相當(dāng)于短路，即

代入i(t)的表達(dá)式，求得A=0，則電感電流的響應(yīng)為

電路只有穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，沒(méi)有暫態(tài)響應(yīng)，換路后電路能立即進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。

習(xí)題9

9-1如圖9-1所示的電路，t=0時(shí)刻開(kāi)關(guān)S由位置1切換到位置2，在換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，試對(duì)換路后的電路寫出關(guān)于電感電流iL的微分方程，并求換路后iL的初始值。

9-2如圖9-2所示的電路，t=0時(shí)刻開(kāi)關(guān)S由位置1切換到位置2，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，試求uC、i、iC的初始值。圖9-1習(xí)題9-1圖圖9-2習(xí)題9-2圖

9-3如圖9-3所示的電路，t=0時(shí)刻開(kāi)關(guān)S由位置1切換到位置2，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，試求換路后uC、iL的初始值。圖9-3習(xí)題9-3圖

9-4如圖9-4所示的電路，t=0時(shí)刻開(kāi)關(guān)S閉合，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，試求換路后uC的響應(yīng)。圖9-4習(xí)題9-4圖

9-5如圖9-5所示的電路，t=0時(shí)刻開(kāi)關(guān)S由位置1切換到位置2，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，試求換路后uC、i的響應(yīng)。圖9-5習(xí)題9-5圖

9-6如圖9-6所示的電路，t=0時(shí)刻開(kāi)關(guān)S由位置1切換到位置2，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，試求換路后iL、uL的響應(yīng)。圖9-6習(xí)題9-6圖

9-7如圖9-7所示的電路，t=0時(shí)刻開(kāi)關(guān)S由位置1切換到位置2，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，試求換路后iL、uL的響應(yīng)。圖9-7習(xí)題9-7圖

9-8如圖9-8所示的電路，t=0時(shí)刻開(kāi)關(guān)S閉合，且uC(0－)=0V，試求換路后uC的響應(yīng)。圖9-8習(xí)題9-8圖

9-9如圖9-9所示的電路，t=0時(shí)刻開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)，且u