《電工基礎》課件第3章

技能訓練七RC一階電路的零狀態(tài)響應研究技能訓練八RC一階電路的零輸入響應研究

3.1線性動態(tài)電路及換路定律3.2電路初始值與穩(wěn)態(tài)值的計算3.3一階電路的零輸入響應3.4一階電路的零狀態(tài)響應3.5一階電路的全響應和三要素法3.6微分電路與積分電路3.7一階電路的階躍響應小結

習題三

1.訓練目的

(1)加深對一階電路動態(tài)過程的理解。

(2)掌握用示波器等儀器測試一階電路動態(tài)過程的方法。2.原理說明

1)零狀態(tài)響應

訓練圖7-1所示為RC充、放電電路。電容的初始電壓為零。t=0時，開關S合至1，電源向電容充電，則電容電壓uC和充電電流i分別為技能訓練七RC一階電路的零狀態(tài)響應研究訓練圖7-1RC充、放電電路其中τ=RC。

uC和i隨時間變化的一階零狀態(tài)響應曲線如訓練圖7-2所示。t=4.6τ時，uC=99%US，，可認為充電過程已結束，電路進入穩(wěn)定狀態(tài)。訓練圖7-2一階零狀態(tài)響應曲線

2)RC電路的矩形脈沖響應

將訓練圖7-3所示的矩形脈沖電壓接到RC電路兩端，在

內(nèi)，u=U，電路的工作情況相當于在t=0時RC電路被接通到直流電源的充電過程。在內(nèi)，u=0，電路的工作情況相當于在

時的放電過程。如果τ=RC<<T，電容的充電和放電過程均在半個周期的時間內(nèi)全部完成，以后出現(xiàn)的則是多次重復的連續(xù)過程，用示波器可以將uC連續(xù)變化的波形顯示出來。訓練圖7-3RC電路輸入方波的波形3.訓練設備

(1)電路板1塊

(2)雙束示波器1臺

(3)方波發(fā)生器1臺

(4)單刀雙擲開關1只

4.訓練內(nèi)容

(1)實訓電路如訓練圖7-4所示。選擇方波的頻率為1kHz，幅值為4V，電路參數(shù)為R=5kΩ、C=0.02μF、r=1Ω。使方波的半周期T/2與時間常數(shù)RC保持約5︰1的關系。

(2)調解示波器的有關旋鈕，使屏幕上顯示穩(wěn)定的uC和i的波形，并把波形描繪出來。

確認RC充電過程。訓練圖7-4

5.訓練注意事項

(1)要嚴格遵守實訓規(guī)程和安全操作規(guī)程。

(2)注意電解電容器的正負極性。

6.思考題

(1)示波器的使用應注意哪些方面？

(2)如何判斷RC電路充電過程已結束？

(3)如何理解零狀態(tài)響應？

7.訓練報告內(nèi)容

(1)定性畫出RC電路充、放電波形。

(2)將測量數(shù)據(jù)與計算數(shù)據(jù)進行比較。1.訓練目的

(1)加深對一階電路動態(tài)過程的理解。

(2)掌握用示波器等儀器測試一階電路動態(tài)過程的方法。

(3)學習測定一階電路時間常數(shù)的方法。技能訓練八RC一階電路的零輸入響應研究

2.原理說明

1)零輸入響應

技能訓練電路仍如訓練圖7-1所示，當電容充電至電壓US時，將開關S合至2(計時開始，t=0)，RC電路便短接放電。電容電壓uC和放電電流i分別為

它們的曲線如訓練圖8-1所示。i的實際方向與訓練圖7-1中箭頭所標的方向相反。訓練圖8-1一階零輸入響應的電壓和電流變化曲線

2)時間常數(shù)的測定

在電容充電過程中，t=τ時，uC=0.632US；在電容放電過程中，t=τ時，uC=0.368US

故由充、放電過程uC的曲線可測得時間常數(shù)τ。改變R和C的數(shù)值，也就改變了τ。若增大τ，充、放電過程變慢，過渡過程的時間增長；反之，則縮短。

3.訓練設備

(1)RC電路板1塊

(2)雙蹤示波器1臺

(3)方波發(fā)生器1臺

(4)單刀雙擲開關1只

4.訓練內(nèi)容

(1)技能訓練電路仍如訓練圖7-4所示。選擇方波的頻率為1kHz，幅值為4V，電路參數(shù)為：R=5kΩ、C=0.02μF、r=1Ω。使方波的半周期T/2與時間常數(shù)RC保持約5︰1的關系。

(2)調節(jié)示波器的有關旋鈕，使屏幕上顯示穩(wěn)定的uC和i的波形，并把波形描繪出來。

確認RC放電過程。

(3)改變電路的參數(shù)，使R分別等于500Ω和50kΩ，即分別使及，觀察uC和i的波形。

5.訓練注意事項

(1)要嚴格遵守實訓規(guī)程和安全操作規(guī)程。

(2)注意電解電容器的正負極性。

6.思考題

(1)示波器的使用應注意哪些方面？

(2)如何控制RC電路放電過程的快慢？

(3)如何理解零輸入響應？

7.訓練報告內(nèi)容

(1)定性畫出RC電路中電容元件放電過程的電壓、電流波形。

(2)將測量數(shù)據(jù)與計算數(shù)據(jù)進行比較。由于電路包含電感、電容等儲能元件，在電路狀態(tài)發(fā)生改變時，電路中的電流和電壓的改變是有一定規(guī)律的。本章介紹有關動態(tài)電路的一些基本概念：零輸入響應和零狀態(tài)

響應，全響應，瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)，時間常數(shù)等。在此基礎上，研究由RC、RL組成的一階電路，總結出分析一階電路的一般方法——三要素法。3.1線性動態(tài)電路及換路定律3.1.1線性電路動態(tài)分析

含有動態(tài)元件的電路稱之為動態(tài)電路。動態(tài)元件是指描述其端口電壓、電流關系的方程是微分方程或積分方程的元件，前面學過的電容元件和電感元件以及即將學習的耦合電感元件等都是動態(tài)元件。

動態(tài)元件的一個特征就是當電路的結構或元件的參數(shù)發(fā)生變化時(例如電路中電源或無源元件的斷開或接入、信號的突然注入等)可能使電路從原來的工作狀態(tài)，轉變到另

一個工作狀態(tài)，這種轉變往往需要經(jīng)歷一個過程，在工程上稱為過渡過程。上述電路結構或參數(shù)變化引起的電路變化統(tǒng)稱為換路。圖3-1-1動態(tài)電路動態(tài)電路與電阻電路重要的區(qū)別在于：電阻電路不存在過渡過程而動態(tài)電路存在過渡過程。如圖3-1-1所示，當閉合開關S時，會發(fā)現(xiàn)電阻支路的燈泡L1立即發(fā)光，且亮度不再變化，說明這一支路沒有經(jīng)歷過渡過程，立即進入了新的穩(wěn)態(tài)；電感支路的燈泡L2由暗漸漸變亮，最后達到穩(wěn)定，說明電感支路經(jīng)歷了過渡過程；電容支路的燈泡L3由亮變暗直到熄滅，說明電容支路也經(jīng)歷了過渡過程。這是因為動態(tài)(儲能)元件換路時能量的儲存和釋放需要一定時間來完成。表現(xiàn)在：

(1)要滿足電荷守恒，即換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓(電荷)在換路前后保持不變。

(2)要滿足磁鏈守恒，即換路瞬間，

若電感電壓保持有限值，則電感電流(磁鏈)在換路前后保持不變。3.1.2換路定律

通常我們認為換路是在t=0時刻進行的。為了敘述方便，把換路前的最終時刻記為t=0-，把換路后的最初時刻記為t=0+，換路經(jīng)歷的時間為0-到0+。

1.具有電感的電路

從能量的角度出發(fā)，由于電感電路換路的瞬間，能量不能發(fā)生躍變，即t=0+時刻，電感元件所儲存的能量為與t=0-時刻電感元件所儲存的能量相等，則有：

iL(0+)=iL(0-)

(3-1)

結論：在換路的一瞬間，電感中的電流應保持換路前一瞬間的原有值而不能躍變。

等效原則：在換路的一瞬間，流過電感的電流iL(0+)=iL(0-)=0，電感相當于開路；iL(0+)=iL(0-)≠0，電感相當于直流電流源，其電流的大小和方向與電感換路瞬間的電流的大小和方向一致。

2.具有電容的電路

從能量的角度出發(fā)，由于電容電路換路的瞬間，能量不能發(fā)生躍變，即t=0+時刻，電容元件所儲存的能量為與t=0-時刻電容元件所儲存的能量相等，則有：

uC(0+)=uC(0-)

(3-2)

結論：在換路的一瞬間，電容兩端的電壓應保持換路前一瞬間的原有值而不能躍變。

等效原則：在換路的一瞬間，電容兩端電壓uC(0+)=uC(0-)=0，電容相當于短路；uC(0+)=uC(0-)≠0，電容相當于直流電壓源，其電壓的大小和方向與電容換路瞬間的電壓的大小和方向一致。3.2.1電路初始值及其計算

換路后的最初一瞬間(即t=0+時刻)的電流、電壓值統(tǒng)稱為初始值。研究線性電路的過渡過程時，電容電壓的初始值uC(0+)及電感電流的初始值iL(0+)可按換路定律來確定。

其他可以躍變的量的初始值要根據(jù)uC(0+)、iL(0+)，應用KVL、KCL和歐姆定律來確定。3.2電路初始值與穩(wěn)態(tài)值的計算確定初始值的步驟為：

(1)根據(jù)換路前的電路，確定uC(0-)、iL(0-)；

(2)依據(jù)換路定則確定uC(0+)、iL(0+)；

(3)根據(jù)已求得的uC(0+)和iL(0+)，依據(jù)前述的等效原則，畫出t=0+時刻的等效電路；

(4)再根據(jù)等效電路，應用KVL、KCL及歐姆定律來確定其他躍變量的初始條件。

例3-1

如圖3-2-1(a)所示電路，在開關閉合前t=0-時刻處于穩(wěn)態(tài)，t=0時刻開關閉合。求初始值iL(0+)、uC(0+)、u1(0+)、uL(0+)、iC(0+)。圖3-2-1例3-1圖

解

(1)開關閉合前t=0-時刻，電路是直流穩(wěn)態(tài)，于是求得

(2)開關閉合時t=0-時刻，由換路定則得

iL(0+)=iL(0-)=1.2A,uC(0+)=uC(0-)=7.2V

(3)根據(jù)上述結果，t=0+時的等效電路如圖3-2-1(b)所示，其節(jié)點電壓方程為

將iL(0+)=1.2A帶入上式，求得：

u1(0+)=2.4V

根據(jù)KVL、KCL求得：

uL(0+)=u1(0+)-uC(0+)=2.4-7.2=-4.8V

iC(0+)=iL(0+)-i2(0+)=iL(0+)-

=1.2-

=1.2-1.2=03.2.2電路穩(wěn)態(tài)值及其計算

換路后的最后時刻(即t=∞時刻)的電流、電壓值統(tǒng)稱為穩(wěn)態(tài)值。如果外施激勵是直流量，則穩(wěn)態(tài)值也是直流量，可將電容代之以開路，將電感代之以短路，按電阻性電路計

算。確定穩(wěn)態(tài)值的步驟如下：

(1)首先，做出換路后電路達到穩(wěn)態(tài)時的等效電路(將電容代之以開路，將電感代之以短路)。

(2)然后，按電阻性電路的計算方法計算各穩(wěn)態(tài)值。

例3-2

在圖3-2-2(a)所示電路中，直流電壓源的電壓US=6V，直流電流源的電流IS=2A、R1=2Ω、R2=R3=1Ω、L=0.1H，求換路后的i(∞)和u(∞)。圖3-2-2例3-2圖

解換路后電路達到穩(wěn)態(tài)時的等效電路如圖3-2-2(b)所示。由該電路可得

例3-3

圖3-2-3(a)所示電路中，US=9V、R1=2kΩ、R2=3kΩ、R3=4kΩ，開關閉合時，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，在t=0時將開關斷開，求換路后的和uC(∞)。圖3-2-3例3-3圖

解首先做出換路后電路達穩(wěn)態(tài)時的等效電路，如圖3-2-3(b)所示。由該電路可得

只含有一個動態(tài)(儲能)元件的電路稱為一階動態(tài)電路。動態(tài)電路中無外施激勵電源，僅由動態(tài)(儲能)元件初始儲能的釋放所產(chǎn)生的響應，稱為動態(tài)電路的零輸入響應。3.3一階電路的零輸入響應圖3-3-1RC電路的零輸入響應3.3.1RC電路的零輸入響應

在圖3-3-1所示電路中，開關S閉合前，電容C已充電，其電壓uC=uC(0-)。開關閉合后，電容儲存的能量將通過電阻以熱能形式釋放出來?，F(xiàn)把開關動作時刻取為計時起點

(t=0)。開關閉合后，即t≥0+時，根據(jù)KVL可得：

uR-uC=0

(3-3)由于電流iC與uC參考方向為非關聯(lián)參考方向，則，又uR=RiC，代入

上述方程，有：

(3-4)

這是一階齊次微分方程，t=0+時，uC=uC(0+)=uC(0-)，求得滿足初始值的微分方程的解為

(3-5)這就是放電過程中電容電壓uC的表達式。

電容電流為

(3-6)

從以上表達式可以看出，電容電壓uC、電流iC都是按照同樣的指數(shù)規(guī)律衰減的。它們衰減的快慢取決于指數(shù)中1/RC的大小。

令

τ=RC

(3-7)τ稱為RC電路的時間常數(shù)。當電阻的單位為歐姆(Ω)，電容的單位為法(F)時，τ的單位為秒(s)。引入時間常數(shù)τ后，電容電壓uC和電流iC可以分別表示為

(3-8)

(3-9)時間常數(shù)τ的大小反映了一階電路過渡過程的進展速度，它是反應過渡過程特征的一個重要的量。通過計算可以得到表3-1。

從表3-1可見，經(jīng)過一個時間常數(shù)τ后，電容電壓uC衰減了63.2%，或為原值的36.8%。在理論上要經(jīng)歷無限長的時間,uC才能衰減到零值。但工程上一般認為換路后，經(jīng)過(3～5)τ的時間，過渡過程基本結束。表3-1時間常數(shù)τ=RC僅由電路的參數(shù)決定。在一定的uC(0+)下，當R越大時，電路放電電流就越小，放電時間就越長；當C越大時，儲存的電荷就越多，放大時間就越長。實際

中常通過選擇RC的值來控制放電時間的長短。

例3-4

供電局向某一企業(yè)的供電電壓為10kV，在切斷電源瞬間，電網(wǎng)上遺留的電壓為10

kV。已知送電線路長L=30km，電網(wǎng)對地絕緣電阻為500MΩ，電網(wǎng)的每千米分布電容為C0=0.08μF/km，問：

(1)拉閘后1min，電網(wǎng)對地的殘余電壓為多少？

(2)拉閘后10min，電網(wǎng)對地的殘余電壓為多少？

解電網(wǎng)拉閘后，儲存在電網(wǎng)電容上的電能逐漸通過對地絕緣電阻放電，這是一個RC串聯(lián)電路的零輸入響應問題。由題意知，長30km的電網(wǎng)總電容量為

C=C0L=0.08×30=0.24μF=2.4×10-7F

放電電阻為

R=500MΩ=5×108Ω

時間常數(shù)為

τ=RC=5×108×2.4×10-7=120s電容上初始電壓為

在電容放電過程中，電容電壓(即電網(wǎng)電壓)的變化規(guī)律為

故

由此可見，電網(wǎng)斷電，電壓并不是立即消失，此電網(wǎng)斷電經(jīng)歷了1min，仍有8.6kV的高壓，當t=5τ=5×120=600s時，即在斷電10min時電網(wǎng)上仍有95.3V的電壓。3.3.2RL電路的零輸入響應

在圖3-3-2所示電路中，開關S閉合前，電感中的電流已經(jīng)恒定不變，其電流iL=iL(0-)。開關閉合后，電感儲存的能量將通過電阻以熱能的形式釋放出來?，F(xiàn)把開關動作時刻取為計時起點(t=0)。開關閉合后，即t≥0+時，根據(jù)KVL可得：

uR+uL=0

(3-10)圖3-3-2RL電路由于電流iL與uL參考方向為關聯(lián)參考方向，則uL=L

，又uR=RiL，代入上述方程，有：

(3-11)

這是一階齊次微分方程，t=0+時，iL=iL(0+)=iL(0-)，求得滿足初始值的微分方程的解為(3-12)這就是放電過程中電感電流iL的表達式。

電感電壓為(3-13)從以上表達式可以看出，電感電壓uL、電流iL都是按照同樣的指數(shù)規(guī)律衰減的。它們的衰減的快慢取決于指數(shù)中R/L的大小。

令

τ=

(3-14)

τ稱為RL電路的時間常數(shù)。上述各式可以寫為

iL(t)=iL(0+)

(3-15)

uL(t)=-RiL(0+)

(3-16)

例3-5

圖3-3-3所示是一臺300kW汽輪發(fā)電機的勵磁回路。已知勵磁繞組的電阻R=0.189Ω，電感L=0.398H，直流電壓U=35V。電壓表的量程為50V，內(nèi)阻RV=5kΩ。開關未斷開時，電路中電流已經(jīng)恒定不變。在t=0時，斷開開關。求：(1)電阻、電感回路的時間常數(shù)；

(2)電流i的初始值和開關斷開后電流i的最終值；

(3)電流i和電壓表處的電壓UV；

(4)開關斷開時，電壓表處的電壓。圖3-3-3例3-5圖

解

(1)時間常數(shù)為

τ=

=

=79.6μs

(2)開關斷開前，由于電流已恒定不變，電感L兩端電壓為零，故

i=

=

=185.2A

由于電感中電流不能躍變，電流的初始值iL(0+)=iL(0－)=185.2A。

(3)由iL(t)=iL(0+)可得：

i=185.2e-12560tA電壓表處的電壓

UV=-RVi=-5×103×185.2e-12560t=-926e-12560tkV

(4)開關斷開時，電壓表處的電壓為

UV(0+)=-926kV在這個時刻電壓表要承受很高的電壓，其絕對值遠大于直流電源的電壓U，而且初始瞬間的電流也很大，可能損壞電壓表。由此可見，切斷電感電流時必須考慮磁場能量的

釋放。如果磁場能量較大，而又必須在短時間內(nèi)完成電流的切斷，則必須考慮如何熄滅因此而出現(xiàn)的電弧(一般出現(xiàn)在開關處)問題。零狀態(tài)響應就是電路在零初始狀態(tài)下(動態(tài)元件初始儲能為零)由外施激勵引起的響應。3.4一階電路的零狀態(tài)響應圖3-4-1RC電路3.4.1RC電路的零狀態(tài)響應

在圖3-4-1所示電路中，開關S閉合前，電路處于零初始狀態(tài)，其電壓uC=uC(0－)=0。

開關S閉合后，電路接入直流電壓源US。現(xiàn)把開關動作時刻取為計時起點(t=0)。開關閉合后，即t≥0+時，根據(jù)KVL可得：

uR+uC=US

(3-17)由于電流iC與uC參考方向為關聯(lián)參考方向，則iC=，又uR=RiC，代入上述方程，有：

RC

+uC=US

(3-18)

這是一階非齊次微分方程，US其實也是電容充滿電后的穩(wěn)態(tài)電壓UC(∞)。該微分方程的解為

uC(t)=US(1-

)=UC(∞)(1-

)

(3-19)這就是充電過程中電容電壓uC的表達式，其中，τ=RC。電容電流為

(3-20)

RC電路接通直流電壓源的過程也就是電源通過電阻對電容充電的過程。在充電過程中，電源供給的能量一部分轉換成電場能量儲存于電容中，一部分被電阻轉變?yōu)闊崮芟牡?。電阻消耗的電能為從上式可見，不論電路中電容C和電阻R的數(shù)值為多少，在充電過程中，電源提供的能量只有一半轉變成電場能量儲存于電容中，另一半則被電阻所消耗，也就是說，充電效率只有50%。

例3-6

在圖3-4-1所示電路中，已知US=200V，R=200Ω,C=1μF，電容事先未充電，在t=0時合上開關S。

(1)求時間常數(shù)和最大充電電流；

(2)求uC、uR和i的表達式及各自1ms時的值。

解

(1)時間常數(shù)為

τ=RC=200×1×10-6=200μs最大充電電流為

電路穩(wěn)定時的uC(∞)為

uC(∞)=uS=220V

(2)uC、uR和i的表達式：

3.4.2RL電路的零狀態(tài)響應

在圖3-4-2所示電路中，開關S閉合前，電感中沒有電流通過，其電流iL=iL(0－)=0。

開關閉合后，電感中的電流逐漸增大到一個恒定值?，F(xiàn)把開關動作時刻取為計時起點(t=0)。開關閉合后，即t≥0+時，根據(jù)KVL可得：

uR+uL=US

(3-21)圖3-4-2由于電流iL與uL參考方向為關聯(lián)參考方向，則

，又uR=RiL，代入上述方程，有：

(3-22)

這是一階非齊次微分方程。是電感充滿電后的穩(wěn)態(tài)電流iL(∞)。該微分方程的解為

(3-23)這就是充電過程中電感電流iL的表達式，其中τ=L/R。電感電壓為

(3-24)

例3-7

圖3-4-3所示電路為一直流發(fā)電機電路的簡圖，已知勵磁繞組R=20Ω，勵磁電感L=20H，外加電壓為US=200V。

(1)試求當S閉合后，勵磁電流的變化規(guī)律和達到穩(wěn)態(tài)值所需要的時間。

(2)如果將電源電壓提高到250V，求勵磁電流達到額定值所需要的時間。圖3-4-3例3-7圖

解

(1)這是一個RL串聯(lián)零狀態(tài)響應的問題，可求得τ=L/R=20/20=1s，則

一般認為當t=(3~5)τ時過渡過程基本結束，取t=5τ=5s，則合上開關S后，電流達到穩(wěn)態(tài)所需要的時間為5s，即認為勵磁繞組的額定電流就等于其穩(wěn)態(tài)值10A。

(2)由上述計算知，勵磁電流達到穩(wěn)態(tài)時需要5s。為縮短勵磁時間常采用“強迫勵磁法”，就是在勵磁開始時提高電源電壓，當勵磁電流達到額定值后，再將電壓調回到額定值。這種強迫勵磁所需要的時間t計算如下：

由額定電流值相等，得：

10=12.5(1-e-t)

解上式得：

t=1.6s

由此可見，采用電壓250V對勵磁繞組進行勵磁要比電壓200V時所需的時間短，這樣就縮短了起勵時間，有利于發(fā)電機盡快進入到正常工作狀態(tài)。3.5.1一階電路的全響應

當一個非零初始狀態(tài)的一階電路受到激勵時，電路的響應稱為一階電路的全響應。

在圖3-5-1所示電路中，開關S閉合前，電容已充電，其電壓uC=uC(0－)≠0。開關S閉合后，電路接入直流電壓源US?，F(xiàn)把開關動作時刻取為計時起點(t=0)。開關閉合后，即t≥0+時，根據(jù)KVL可得：

uR+uC=US

(3-25)3.5一階電路的全響應和三要素法圖3-5-1RC一階電路由于電流iC與uC參考方向為關聯(lián)參考方向，則

，又uR=RiC，代入上述方程，有：

(3-26)

這是一階非齊次微分方程，US其實也是電容達到穩(wěn)態(tài)后的電壓uC(∞)，求得的微分方程的解為

(3-27)這就是電容電壓在t≥0+時的全響應，其中，τ=RC。

可以看出，式(3-27)右邊的第一項是電路的零輸入響應，右邊的第二項則是電路的零狀態(tài)響應，這說明全響應是零輸入響應和零狀態(tài)響應的疊加。即全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應將圖3-5-1所示一階電路的全響應分解成零輸入響應和零狀態(tài)響應后，電路如圖3-5-2表示。圖3-5-2RC一階電路全響應的分解對式(3-27)稍作變形，可進一步化為

(3-28)

可以看出，式(3-28)右邊的第一項是恒定值，大小等于直流電壓源電壓，是換路后電容電壓達到穩(wěn)態(tài)后的量，右邊的第二項取決于時間常數(shù)τ，隨著時間的增長按指數(shù)規(guī)律逐漸衰減到零，是電容電壓瞬態(tài)的量，所以又常將全響應看作是穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量的疊加，即

全響應=穩(wěn)態(tài)分量+瞬態(tài)分量3.5.2一階電路的三要素法

無論是把全響應分解為零狀態(tài)響應和零輸入響應，還是分解為穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量，都不過是從不同的角度去分析全響應的。而全響應總是由初始值f(0+)、穩(wěn)態(tài)分量f(∞)，

時間常數(shù)τ三個要素決定的。在直流電源激勵下，仿式(3-28)，則全響應f(t)可寫為

f(t)=f(∞)+［f(0+)-f(∞)］(3-29)由式(3-29)可以看出，若已知初始值f(0+)、穩(wěn)態(tài)分量f(∞)和時間常數(shù)τ三個要素，就可以根據(jù)式(3-29)直接寫出直流激勵下一階電路的全響應，這種方法稱為三要素法。

而前面講述的通過求解微分方程的方式求得儲能元件響應函數(shù)的方法稱為經(jīng)典法。兩種方法的對比見表3-2。表3-2三要素法簡單易算，特別是對于求解復雜的一階電路尤為方便。下面歸納出用三要素法解題的一般步驟：

(1)畫出換路前(t=0－)的等效電路，求出電容電壓uC(0－)或電感電流iL(0－)；

(2)根據(jù)換路定律uC(0+)=uC(0－)，iL(0+)=iL(0－)，求出響應電壓u(0+)或電流i(0+)的初始值，即f(0+)；

(3)畫出t=∞時的穩(wěn)態(tài)電路(穩(wěn)態(tài)時電容相當于開路，電感元件相當于短路)，求出穩(wěn)態(tài)下電壓響應u(∞)或電流i(∞)，即f(∞)；

(4)求出電路的時間常數(shù)τ。τ=RC或L/R，其中R值是換路后斷開儲能元件C或L，直流電壓源相當于短路，直流電流源相當于斷路，由儲能元件兩端看進去，用戴維寧等效電路求得的等效內(nèi)阻。

例3-8

在圖3-5-3所示電路中，開關S斷開前電路處于穩(wěn)態(tài)。已知US=20V，R1=R2=1kΩ，C=1μF。求開關打開后，uC和iC的解析式，并畫出其曲線。

解選定各電流電壓的參考方向如圖3-5-3所示。圖3-5-3例3-8圖因為換路前電容上電流iC(0－)=0，故有

換路前電容上電壓為

uC(0－)=i2(0－)R2=10×10-2×1×103=10V

由于uC(0－)<US，因此換路后電容將繼續(xù)充電，其充電時間常數(shù)為

τ=R1C=1×103×1×10-6=10-3s=1ms電容充滿電后的穩(wěn)態(tài)電壓U(∞)=US=20V，將上述數(shù)據(jù)代入式(3-28)，得

uC、iC隨時間變化的曲線如圖3-5-4所示。圖3-5-4

uC、iC隨時間變化曲線

例3-9

圖3-5-5(a)所示電路中，t=0－時處于穩(wěn)態(tài)，設US1=38V，US2=20V，R1=20Ω，R2=5Ω，R3=6Ω，L=0.2H。求t≥0時，電流iL。

解由圖3-5-5(a)，計算換路前的電感電流：

圖3-5-5例3-9圖

由換路定律得：

iL(0+)=iL(0－)=1A

計算直流穩(wěn)態(tài)電流的電路如圖3-5-5(b)所示。

列網(wǎng)孔電流方程：

(R1+R2)i1-R2i2=US1-R2i1+(R2+R3)i2=-US2

求得：

i2=iL(∞)=0.44A令US1=US2=0，即直流電壓源等效為短路，而電感元件相當于短路，根據(jù)戴維寧等效電路的原則畫出等效電阻Req

的電路如圖3-5-5(c)所示。其中，

則

由三要素法公式，得：iL(t)=iL(∞)+［iL(0+)-iL(∞)］=(0.44+0.56e-50t)A

例3-10

電路如圖3-5-6所示，US1=12V，US2=10V，R1=2kΩ，R2=2kΩ，C=10μF，開關S合在1端，電路處于穩(wěn)態(tài)。在t=0時刻，開關S由1端合到2端，求換路后電路中各量的初始值及電容電壓的響應uC(t)。圖3-5-6例3-10圖

解

(1)求初始值。當開關S合在1端時

根據(jù)換路定律，當S合到2端瞬間

uC(0+)=uC(0－)=6V

uR2(0+)=uC(0+)=6V

則

由基爾霍夫電壓定律可得

i1(0+)R1+uC(0+)+US2=0

則

(2)求穩(wěn)態(tài)值。當開關合到2端后，電路達到穩(wěn)態(tài)時C相當于開路。則

(3)求時間常數(shù)。電阻R為從C兩端看進去的無源二端網(wǎng)絡的等效電阻:

則時間常數(shù)為

τ=RC=1×103×10×10-6=0.01s

由一階電路的三要素法可得

微分電路和積分電路是由電阻R和電容C構成的兩個重要電路，這兩種電路處理的信號多為脈沖信號，通過選擇合適的時間常數(shù)可進行脈沖整形和產(chǎn)生脈沖信號。

3.6.1微分電路

微分電路即輸出信號與輸入信號的微分成正比的電路，一般可用于電子開關加速電路、整形電路和觸發(fā)信號電路中。其電路如圖3-6-1所示，當R、C參數(shù)選擇合適時可以滿足微分電路的條件。3.6微分電路與積分電路圖3-6-1微分電路根據(jù)基爾霍夫電壓定律列出方程

當時，周期，

此時

(3-30)即輸出與輸入的微分成正比，其條件為τT(即要求電路的時間常數(shù)τ遠小于方波信號的脈沖寬度T)。

微分電路可將矩形波轉化為如圖3-6-2所示的尖脈沖，尖脈沖常用做觸發(fā)器或晶閘管的觸發(fā)信號。

用微分電路構成的放大器加速電容電路，可以加快三極管的導通和截止的轉換速度。圖3-6-2微分電路的波形變換3.6.2積分電路

積分電路即輸出與輸入的積分成正比的電路，這種電路可用于電視機的掃描電路中。

對如圖3-6-3所示的電路，根據(jù)基爾霍夫電壓定律可列方程

ui=uR+uo

其中

圖3-6-3積分電路則

當時，周期,uRuo,此時

則

(3-31)

該電路為積分電路，即輸出與輸入的積分成正比。條件為τT，電路的時間常數(shù)τ遠大于方波脈沖的寬度T。積分電路可以將矩形波轉化為如圖3-6-4所示的鋸齒波和三角波。

積分電路可構成電視機場掃描電路中的場積分電路，此電路可在混合的同步信號中，取出場脈沖信號。微分電路與積分電路總結對比如下：

(1)微分電路與積分電路在電路形式上與前面介紹的電阻分壓電路相似，但是電路的工作原理和分析方法是不同的。(2)微分電路的輸出信號取自電阻R上，而積分電路的輸出信號取自電容C上。

(3)微分電路中，要求RC電路的時間常數(shù)遠小于脈沖寬度，而積分電路則要求RC電路的時間常數(shù)遠大于脈沖寬度。圖3-6-4積分電路的波形變換3.7.1階躍函數(shù)

階躍函數(shù)是動態(tài)電路分析中常用的函數(shù)。用u(t)表示單位階躍函數(shù)，它的數(shù)學定義式為

(3-32)*3.7一階電路的階躍響應它的波形如圖3-7-1(a)所示。在t=0－到t=0+之間發(fā)生了單位階躍。當t<0時，u(t)=0；當t>0時，u(t)=1；當t=0時，u(t)從0躍變到1。當躍變量不是一個單位，而是k個單位時，可以用階躍函數(shù)ku(t)來表示，其波形如圖3-7-1(b)所示。當躍變不是發(fā)生在t=0時刻，而是發(fā)生在t=t0時，可以用延遲階躍函數(shù)u(t-t0)來表示，其波形如圖3-7-1(c)所示。圖3-7-1階躍函數(shù)u(t-t0)數(shù)學式為

(3-33)階躍函數(shù)可以用來描述開關的動作，如圖3-7-2(a)所示。用階躍函數(shù)代替開關來表示在t=0時開關的作用，即可以用階躍函數(shù)表示電路接到直流電壓源上；圖3-7-2(b)則用延時的階躍函數(shù)來表示在t=t0時把電路接通2A的直流電流源。圖3-7-2階躍函數(shù)的開關作用單位階躍函數(shù)還可以方便地表示分段函數(shù)，起到截取波形的作用。如圖3-7-3(a)所示，從t=0起始的波形可以用階躍函數(shù)表示為

(3-34)

若只需取f(t)的t>t0部分，可用式(3-34)得到如圖3-23(b)所示的波形，則

(3-35)圖3-7-3單位階躍函數(shù)截取波形的作用3.7.2一階電路的階躍響應

電路在(單位)階躍電壓或電流激勵下的零狀態(tài)響應，稱為(單位)階躍響應，用符號s(t)表示，它可以利用三要素法計算出來。

對于圖3-7-4(a)所示的RC串聯(lián)電路，其初始值uC(0+)=0V，穩(wěn)態(tài)值uC(∞)=1V，時間常數(shù)τ=RC。用三要素公式得到電容電壓uC(t)的階躍響應為s(t)=(1-

)u(t)。對于圖3-7-4(b)所示的RL并聯(lián)電路，其初始值iL(0+)=0，穩(wěn)態(tài)值iL(∞)=1，時間常數(shù)τ=L/R。利用三要素公式得到電感電流iL(t)的階躍響應為s(t)=(1-

)u(t)。圖3-7-4RC串聯(lián)電路和RL并聯(lián)電路的階躍響應

RC串聯(lián)電路和RL并聯(lián)電路的階躍響應可以用一個表達式表示為

(3-36)

式中，時間常數(shù)τ=RC或τ=L/R。

如果階躍激勵不是在t=0而是在t=t0時施加的，則將電路階躍響應中的t改為t-t0，即得到電路的階躍延遲響應。例如，上述RC電路的階躍延遲響應為

由二階微分方程描述的電路稱為二階電路。二階電路在電路結構上必須包含有兩種獨立的儲能元件，而且在這種電路中，既儲存電場能量又儲存磁場能量。本節(jié)將通過對RLC

串聯(lián)電路的討論來闡明二階電路的分析求解方法。*3.8二階電路的響應圖3-8-1在如圖3-8-1所示的RLC串聯(lián)電路中，若電容電壓及電感電流的初始值分別為uC(0+)和iL(0+)，開關S在t=0時閉，則儲能元件將通過電路進行放電。這是一個零輸入響應電路。下面對電路的響應情況進行分析。由KVL，得

uR+uL-uC=0

按圖中標定的電壓、電流參考方向有

將以上各式代入KVL方程，便可以得出以uC為響應變量的微分方程

(3-37)式(3-37)為一常系數(shù)二階線性齊次微分方程，其特征方程為

LCp2+RCp+1=0

其特征根為

(3-38)式中，稱為衰減系數(shù)，稱為固有振蕩角頻率。

由式(3-38)可見，特征根由電路本身的參數(shù)R、L、C的數(shù)值來確定，反映了電路本身的固有特性。根據(jù)電路參數(shù)R、L、C數(shù)值的不同，特征根p1、p2可能出現(xiàn)如下4種情況:

(1)當(R/2L)2>1/LC時，p1、p2為不相等的負實根，稱為過阻尼情況。特征根為

微分方程的通解為

(3-39)

式中待定常數(shù)A1、A2由初始條件來確定，其方法是當t=0+時刻，由式(3-39)可得

uC(0+)=A1+A2

(3-40)對式(3-39)求導，可得t=0+時刻uC對t的導數(shù)的初始值為

(3-41)

聯(lián)立求解式(3-40)和式(3-41)，便可以解出A1、A2。由式(3-39)可見，零輸入響應uC(t)是隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減的，沒有振蕩性質。uC(t)的波形如圖3-8-2所示。圖3-8-2過阻尼時uC的波形圖3-8-3臨介阻尼時uC的波形

(2)當時，p1、p2為相等的負實根，稱為臨界阻尼情況。特征根為

p1=p2=-α

微分方程的通解為

uC(t)=(A1+A2t)e-αt

(3-42)式中常數(shù)A1、A2由初始條件uC(0+)和uC′(0+)來確定。

根據(jù)式(3-42)可知，這種情況的響應也是非振蕩的。uC(t)的波形如圖3-8-3所示。

(3)當時，p1、p2為具有負實部的共軛復根，稱為欠阻尼情況。

特征根為

式中

(3-43)

稱為阻尼振蕩角頻率。微分方程的通解為

uC=Ae-αtsin(ωdt+φ)

(3-44)式中常數(shù)A和φ由初始條件確定。根據(jù)式(3-44)可知，uC隨時間變化的規(guī)律具有衰減振蕩的特性，它的振幅Ae-αt隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢取決于衰減系數(shù)α的大小，α越大則衰減得就越快。衰減

振蕩的角頻率為ωd。ωd越大，則振蕩周期t=2π/ωd就越小。uC(t)的波形如圖3-8-4所示。

(4)當R=0時，p1、p2為一對共軛虛根，稱為無阻尼情況。特征根為

p1,2=±jω0

響應的表達式為

uC=Asin(ω0t+φ)

(3-45)

A和φ可以直接由初始條件確定。uC的波形如圖3-8-5所示。圖3-8-4欠阻尼時的uC波形圖3-8-5無阻尼等振幅振蕩時的uC波形從式(3-45)和uC的波形圖中可見，電路的零輸入響應是不衰減的正弦振蕩，其角頻率為ω0。由于電路電阻為零，故稱為無阻尼等幅振蕩情況。

1.過渡過程產(chǎn)生的原因

電路從一