《電路分析基礎(chǔ)》課件1第7章

7.1換路定理及初始值計(jì)算

7.2一階電路的零輸入響應(yīng)

7.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

7.4一階電路的全響應(yīng)

7.5階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)第7章一階電路分析我們定義一個(gè)由一階微分方程描述的電路為一階電路。從電路結(jié)構(gòu)看，一階電路一般只含有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件。如果一個(gè)電路可以通過(guò)等效變換簡(jiǎn)化為僅有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件的電路，則它就是一階電路。同理，由n

階微分方程描述的電路為n階電路。從電路結(jié)構(gòu)看，n階電路一般含有n個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件。動(dòng)態(tài)元件可以性質(zhì)相同(如n個(gè)C或n個(gè)L)，也可以性質(zhì)不同(如m個(gè)C和n－m個(gè)L)。本書僅討論求解一階和二階動(dòng)態(tài)電路響應(yīng)的基本方法。由線性微分方程的理論可知，線性常系數(shù)微分方程的全解，由它的一個(gè)特解與相應(yīng)的齊次方程的全解(齊次解)相加而成。求得全解后，可根據(jù)初始值確定全解中的系數(shù)，從而可求得待求響應(yīng)。

在電路分析中，通常并不采用這種經(jīng)典的求解微分方程全解的方法。注意到動(dòng)態(tài)電路中的動(dòng)態(tài)元件可能含有初始儲(chǔ)能(表現(xiàn)為uC(0－)≠0或iL(0－)≠0)，若用X0來(lái)表示動(dòng)態(tài)電路的初始儲(chǔ)能，在外加激勵(lì)f(t)的作用下，動(dòng)態(tài)電路的全響應(yīng)可用圖7-1表示。圖7-1動(dòng)態(tài)電路的全響應(yīng)圖示在圖7-1中，若把動(dòng)態(tài)電路的初始儲(chǔ)能也看成一種“激勵(lì)”，則根據(jù)線性電路的疊加特性，可把由初始儲(chǔ)能X0和外加激勵(lì)f(t)共同作用所產(chǎn)生的響應(yīng)(全響應(yīng))，分解為由初始儲(chǔ)能X0單獨(dú)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)(零輸入響應(yīng))和由外加激勵(lì)f(t)單獨(dú)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng))的疊加，即

全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)(7-1)

若用yx(t)表示零輸入響應(yīng)，yf(t)表示零狀態(tài)響應(yīng)，式(7-1)可寫成

y(t)=yx(t)+yf(t)

(7-2)

因此，在動(dòng)態(tài)電路分析中，通常是將全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)來(lái)進(jìn)行求解的。設(shè)t=0是換路的計(jì)時(shí)起點(diǎn)，則從換路的全過(guò)程來(lái)看，可以分為開關(guān)動(dòng)作前的最后一瞬間和開關(guān)動(dòng)作后的第一個(gè)瞬間，分別記為t=0－和t=0+。換路前t=0－瞬間電路的儲(chǔ)能狀態(tài)表現(xiàn)為uC(0－)或iL(0－)，通常稱為電路的初始狀態(tài)；而t=0+，即換路后的第一個(gè)瞬間才表示換路的起始時(shí)刻，通常稱為初始值。7.1換路定理及初始值計(jì)算

1.換路定理

由前一章討論已知，在關(guān)聯(lián)參考方向下，電容元件VAR的積分形式為

令t0=0－，得

式中，uC(0－)為換路前最后瞬間電容的電壓值，即初始狀態(tài)。為求取換路后電容電壓的初始值，取t=0+代入上式，得

(7-3)

如果換路(開關(guān)動(dòng)作)是理想的，即不需要時(shí)間，則有

0－=0=0+。假設(shè)換路瞬間電容電流iC為有限值，則式(7-3)中的積分項(xiàng)將為零，即，故有

uC(0+)=uC(0－)(7-4)

同理，對(duì)于電感元件，有VAR：

如果在換路瞬間電感電壓uL為有限值，則有

iL(0+)=iL(0－)

(7-5)

式(7-5)表明，電感電流不能突變。

式(7-4)和式(7-5)統(tǒng)稱為換路定理。當(dāng)換路時(shí)刻為t0時(shí)，換路定理表示為

uC(t0+)=uC(t0－)；iL(0+)=iL(0－)

(7-6)

2.初始值的計(jì)算

換路定理給出的是，在換路前后瞬間，流過(guò)電感的電流和電容兩端的電壓是不跳變的。除此之外，電路中的其他變量(包括電感電壓和電容電流)在換路瞬間皆可能發(fā)生跳變，即其0+時(shí)的值不等于0－時(shí)的值。

根據(jù)初始狀態(tài)來(lái)確定初始值的步驟如下：

(1)求t<0時(shí)(穩(wěn)態(tài))的電容電壓uC(0－)，或電感電流iL(0－)，此時(shí)把電容看成開路、電感看成短路；

(2)求t=0+時(shí)的初值響應(yīng)，根據(jù)換路定理得到電容電壓

uC(0－)=uC(0+)，或電感電流iL(0－)=iL(0+)，此時(shí)把電容看成電壓源、電感看成電流源；

(3)根據(jù)電容和電感的VAR得

，

。

【例7-1】電路如圖7-2(a)所示，開關(guān)S閉合前電路已穩(wěn)定，已知us=10V，R1=30Ω，R2=20Ω，R3=40Ω，t=0時(shí)開關(guān)閉合。試求開關(guān)閉合時(shí)各電流、電壓的初始值。

解

(1)t<0時(shí)，(電容開路，電感短路)電路如圖7-2(b)所示,得

圖7-2例7-1圖

(2)t=0時(shí)，(電容看成電壓源，電感看成電流源)電路如圖7-2(c)所示。

由換路定理得

uC(0+)=uC(0－)=4V，iL(0+)=iL(0－)=0.2A

i1(0+)=iL(0+)=0.2A

u1(0+)=R1i1(0+)=6V，u2(0+)=u3(0+)=uC(0+)=4V

i2(0+)=u2(0+)/R2=0.2A，i3(0+)=u3(0+)/R3=0.1A

iC(0+)=iL(0+)－i2(0+)－i3(0+)=－0.1A，

uL(0+)=－u1(0+)+us－uC(0+)=0V

【例7-2】電路如圖7-3(a)所示，開關(guān)S斷開前電路已穩(wěn)定，當(dāng)t=0時(shí)開關(guān)斷開。求初始值iC(0+)、uL(0+)、i1(0+)、uC′(0+)和iL′(0+)。

解

(1)t<0時(shí)，(電容開路，電感短路)電路如圖7-3(b)所示,得

uC(0－)=10V

圖7-3例7-2圖

(2)t=0時(shí)，(電容看成電壓源，電感看成電流源)電路如圖7-2(c)所示，由換路定理得

uC(0+)=uC(0－)=10V，iL(0+)=iL(0－)=5A

uL(0+)=10－uC(0+)=0V

iC(0+)=5+i2(0+)－i1(0+)=2.5A

對(duì)于任意一階電路，總可以用圖7-4(a)所示的等效電路來(lái)描述，即一階電路總可以看成一個(gè)含源二端電阻網(wǎng)絡(luò)N處接一個(gè)電容或電感所組成的電路。根據(jù)戴維南定理和諾頓定理,圖7-4(a)所示電路總可以化簡(jiǎn)為圖7-4(b)或圖7-4(c)所示的電路。

本節(jié)分析一階電路的零輸入響應(yīng)，即分析圖7-4中動(dòng)態(tài)元件初始狀態(tài)不為零的響應(yīng)問(wèn)題。7.2一階電路的零輸入響應(yīng)圖7-4一階電路的基本形式

1.RC電路的零輸入響應(yīng)

我們以圖7-5(a)所示RC電路為例，換路前電路已經(jīng)處于穩(wěn)態(tài)。若t=0時(shí)S1斷開、S2閉合，求換路后(t≥0)uC(t)和iR(t)的變化規(guī)律。

(1)定性分析。

①t<0或t=0－(換路前瞬刻)時(shí)，

uC(0－)=U0，iR(0－)=0

②t=0+(換路后瞬刻)時(shí)，電路如圖7-2(b)所示。

圖7-5RC電路③t>0(換路后)時(shí)，RC電路形成回路，電容通過(guò)電阻放電，q(t)↓，uC(t)↓，iR(t)↓。

④t→∞，q(∞)→0，uC(∞)→0，iR(∞)→0。

uC(t)和iR(t)的波形分別如圖7-5(b)和(c)所示。uC(t)和iR(t)按什么樣的規(guī)律衰減，衰減的快慢與元件參數(shù)有什么關(guān)系，下面進(jìn)行定量分析。

(2)定量計(jì)算。

t>0時(shí)，電路有

即

(7-7)

式(7-7)為一階常系數(shù)線性齊次微分方程。對(duì)應(yīng)的特征方程為RCs+1=0，得特征根為s=－1／RC，故微分方程的解為

(7-8)式(7-8)中待定的系數(shù)K須由初始條件確定，由于uC(0+)=uC(0－)=U0，將其代入式(7-8)，解得U0=K。故電路的零輸入響應(yīng)為

(7-9)

(7-10)由此可得出結(jié)論：一階電路的零輸入響應(yīng)總是按相同的指數(shù)規(guī)律衰減的，這也就是初始儲(chǔ)能在電阻中能量耗盡的過(guò)程。衰減的速率與一階電路的時(shí)間常數(shù)τ有關(guān)，τ越大，衰減越慢，如圖7-6所示。這是因?yàn)樵赨0與R一定時(shí)，C越大則儲(chǔ)能越多，放電過(guò)程越長(zhǎng)；在U0與C一定時(shí)，R越大則放電電流越小，放電過(guò)程越長(zhǎng)。

當(dāng)誤差曲線已知時(shí)，時(shí)間常數(shù)的幾何意義如圖7-7所示。它是曲線起始點(diǎn)的切線和時(shí)間軸的交點(diǎn)，也就是零輸入響應(yīng)衰減到初始值的0.368(即1/e)時(shí)所需要的時(shí)間。從理論上講，t→∞時(shí)，uC(t)才能衰減到零。但實(shí)際上，當(dāng)t=4τ時(shí)，uC(t)已衰減為初始值的1.8%，一般可以認(rèn)為零輸入響應(yīng)已基本結(jié)束。工程上通常認(rèn)為經(jīng)過(guò)4τ時(shí)間，動(dòng)態(tài)電路的過(guò)渡過(guò)程結(jié)束，從而進(jìn)入穩(wěn)定的工作狀態(tài)。圖7-6不同τ值的響應(yīng)曲線圖7-7時(shí)間常數(shù)在曲線上的位置在整個(gè)放電過(guò)程中，電阻消耗的總能量為

(7-11)

其值恰好等于電容的初始儲(chǔ)能，可見電容的全部?jī)?chǔ)能在放電過(guò)程中被電阻耗盡。這符合能量守恒定律。

2.RL電路的零輸入響應(yīng)

討論如圖7-8(a)所示電路，假設(shè)在t<0時(shí)，開關(guān)在位置1，電路已經(jīng)處于穩(wěn)態(tài)，即電感的初始狀態(tài)iL(0－)=I0。當(dāng)t=0時(shí)，開關(guān)S由位置1倒向位置2，則在t>0后電路是零輸入的。根據(jù)換路定理可知iL(0+)=iL(0－)=I0，故換路后電感電流將繼續(xù)在RL回路中流動(dòng)。由于電阻R耗能，電感電流將逐漸減小，最后，電感儲(chǔ)存的全部能量被電阻耗盡，電路中的電流、電壓也趨于零。圖7-8RL零輸入電路及電壓、電流波形由換路后的電路可列方程

uL(t)－uR(t)=0

(7-12)

即

(7-13)

式(7-13)同樣為一階常系數(shù)線性齊次微分方程。對(duì)應(yīng)的特征方程為L(zhǎng)s+R=0，得特征根為s=－R/L，令τ=L/R，微分方程的解為

(7-14)

將初始值iL(0+)=I0代入得

I0=K

故

，t≥0

(7-15)

電感電流如圖7-8(b)所示。

，t≥0

其中，

uR(0+)=－RI0

與電感電流不同的是uL(t)和uR(t)在t=0處發(fā)生了跳變，其波形如圖7-8(c)所示。在整個(gè)放電過(guò)程中，電阻R消耗的總能量為

(7-16)

因此，我們可以得出以下結(jié)論：

(1)一階電路的零輸入響應(yīng)總按相同的指數(shù)規(guī)律衰減，其實(shí)質(zhì)是初始儲(chǔ)能在電阻中能量耗盡的過(guò)程。其中，對(duì)RC電路，τ=RC；對(duì)RL電路，τ=L/R。

(2)衰減總是由初始值yx(0+)開始，當(dāng)t→∞時(shí)為零，即yx(∞)=0。

(7-17)

(3)衰減的速率與時(shí)常數(shù)τ有關(guān)，τ越大，衰減越慢。

(4)時(shí)常數(shù)的意義：零輸入響應(yīng)衰減到初始值的0.368(即1/e)所需要的時(shí)間。

(5)衰減的過(guò)程即由一個(gè)穩(wěn)態(tài)過(guò)渡到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)的過(guò)程(過(guò)渡過(guò)程)。

工程上認(rèn)為，當(dāng)t=4τ時(shí)，以衰減為初始值的1.8%(e－4)，過(guò)渡過(guò)程已經(jīng)結(jié)束。

(6)對(duì)于任意的一階電路，都可將由動(dòng)態(tài)元件兩端看入的有源二端網(wǎng)絡(luò)等效為戴維南或諾頓等效電路，故此時(shí)，時(shí)常數(shù)τ=RC和τ=L/R中的R即為網(wǎng)絡(luò)的等效電阻R0。

顯然可直接用通式求一階電阻的零輸入響應(yīng)。

【例7-3】電路如圖7-9(a)所示，電路原已穩(wěn)定，t=0時(shí)開關(guān)斷開。求t≥0時(shí)的iL(t)、uR(t)、uL(t)。

解由可知，只要求出iL(0+)、uR(0+)、uL(0+及時(shí)常數(shù)τ，則可求得iL(t)、uR(t)、uL(t)。

(1)當(dāng)t<0時(shí)，電感看成短路電路，如圖7-9(b)所示，求iL(0－)，則

圖7-9例7-3圖

(2)當(dāng)t=0+時(shí)，電感看成電流源，如圖7-9(c)所示，求初始值iL(0+)、uR(0+)、uL(0+)，則

iL(0+)=iL(0－)=2A

uR(0+)=－2×2=－4V

uL(0+)=－4×2=－8V

(3)求時(shí)常數(shù)τ。

在t>0時(shí)電感兩端等效電阻如圖7-9(d)所示，有

R0=2+2=4Ω

故

(4)代入通式得

，t≥0

uR(t)=－4e－4t，t≥0

uL(t)=－8e－4t，t≥0

注意：uR(t)和uL(t)也可由iL(t)求得。

【例7-4】電路如圖7-10(a)所示，電路原已穩(wěn)定，t=0時(shí)開關(guān)斷開。求t≥0時(shí)的u1(t)的變化規(guī)律。

解

(1)當(dāng)t<0時(shí)，電容看成開路，電路如圖7-10(b)所示，求uC(0－)。

uC(0－)=1.5V

(2)當(dāng)t=0+時(shí)，電容看成電壓源，如圖7-10(c)所示，求初始值u1(0+)。

uC(0+)=uC(0－)=1.5V

因?yàn)?/p>

9i(0+)+1.5－4i(0+)=0

得

i=－0.3A

故

u1(0+)=－6i(0+)=1.8V圖7-10例7-4圖

(3)求時(shí)常數(shù)τ。

在t>0時(shí)以外加激勵(lì)法求電容兩端等效電阻R0，如圖7-9(d)所示。

因?yàn)?/p>

9i+u－4i=0

故

τ=R0C=0.1s

(4)代入通式得

u1(t)=1.8e－10tV，t≥0電路的初始狀態(tài)(儲(chǔ)能)為零，僅由外加激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)，如圖7-11所示。7.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)圖7-11零狀態(tài)響應(yīng)的圖示

1.RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

電路如圖7-12(a)所示，原已達(dá)穩(wěn)態(tài)。設(shè)t=0時(shí)開關(guān)斷開，討論t≥0后的uC(t)、iC(t)、iR(t)的變化規(guī)律。

定性分析：

(1)當(dāng)t<0(t=0－)時(shí)，

uC(0－)=0,iC(0－)=0,iR(0－)=0

(2)t=0+(換路后瞬間)時(shí)，電路如圖7-12(b)所示，有

uC(0+)=uC(0－)=0,

,iC(0+)=I0

圖7-12RC零狀態(tài)電路

(3)t>0時(shí)，電路如圖7-12(c)所示，有

uC(t)↑,iR(t)↑,iC(t)=(I0－iR)↓,如圖7-12(d)所示。

(4)t→∞時(shí)，有

uC(∞)=RI0，iC(∞)=0，iR(∞)=I0

定量分析：

t>0時(shí)如圖7-12(c)所示，列KCL方程有：

is(t)=iC(t)+iR(t)即

整理得

(7-18)

由上節(jié)可知，微分方程的通解為

式中，τ=RC仍是一階電路的時(shí)間常數(shù)。作為微分方程的特解，uCp(t)與方程右邊的自由項(xiàng)具有相同的函數(shù)形式，故uCp(t)為一常數(shù)。將其代入原方程(7-18)得

故

，t≥0將初始條件uC(0+)=0代入上式得

0=K+RI0K=－RI0

所以

，t≥0

(7-19)

，t≥0

(7-20)

，t≥0

(7-21)

2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)

下面討論如圖7-13(a)所示的RL電路。設(shè)開關(guān)S原閉合，電路處于穩(wěn)態(tài)，在t=0時(shí)開關(guān)斷開，分析t>0后電感電流iL(t)和電壓u(t)的變化規(guī)律。

根據(jù)換路定理，iL(0+)=iL(0－)=0。對(duì)于圖7-13(a)換路后的電路如圖7-13(b)所示，由KCL方程可得

iR(t)+iL(t)=I0，t>0

把元件的伏安關(guān)系代入，得一階常系數(shù)線性非齊次微分方程為

(7-22)圖7-13RL電路類似RC電路零狀態(tài)響應(yīng)的求解過(guò)程，可知

iL(t)=iLh(t)+iLp(t)

其中，

，顯然特解iLp(t)為常數(shù)，代入式(7-22)得

iLp(t)=I0

故式(7-22)的完全解為

，t>0將iL(0+)=0代入上式，得0=K+I0，即K=－I0，于是電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)為

(7-23)

式中，τ=L/R為電路的時(shí)間常數(shù)。由iL(t)可求得

，

t≥0

(7-24)

iL(t)和u(t)的波形分別如圖7-14(a)和(b)所示。圖7-14RL零狀態(tài)電路的iL(t)和u(t)的波形由此可得出如下結(jié)論：

(1)一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)也是按指數(shù)規(guī)律變化的(或)。

(2)可以確定的是：電感的電流和電容的電壓總是按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)的，即充電過(guò)程。增長(zhǎng)總是由0開始，當(dāng)t→∞時(shí)到達(dá)新的穩(wěn)態(tài)值uC(∞)或iL(∞)。即

(7-25)

或

(7-26)

(3)變化的速率與時(shí)常數(shù)τ有關(guān)，變化的過(guò)程即由一個(gè)穩(wěn)態(tài)過(guò)渡到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)的過(guò)程(過(guò)渡過(guò)程)。工程上認(rèn)為，當(dāng)t=4τ時(shí)，過(guò)渡過(guò)程已經(jīng)結(jié)束。

(4)對(duì)于任意的一階電路，都可將由動(dòng)態(tài)元件兩端看入的有源二端網(wǎng)絡(luò)等效為戴維南或諾頓等效電路。故此時(shí)，時(shí)常數(shù)τ=RC和τ=L／R中的R即動(dòng)態(tài)元件兩端看入網(wǎng)絡(luò)的等效電阻R0。

注意：在一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)中，僅有電容電壓和電感電流一定滿足通式)，而其他響應(yīng)可能是按)變化，也可能是按變化的，故求一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)一般先求電容電壓或電感電流，然后再求其他響應(yīng)。

【例7-5】電路如圖7-15(a)所示，原已穩(wěn)定，t=0時(shí)開關(guān)閉合，求t≥0的uR(t)和iL(t)。

解

(1)求iL(∞),畫出t=∞時(shí)的等效電路,如圖7-15(b)所示(電感看成短路)，有

(2)求從電感兩端看入的二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻R0(用直接等效將電壓源置零)，電路如圖7-15(c)所示，故

R0=10+3∥6=12Ω

所以圖7-15例7-5圖代入電感電壓通式得

，t≥0

，t≥0

由電路圖7-15(a)得

，t≥0

【例7-6】電路如圖7-16(a)所示，已知uC(0－)=0，t=0時(shí)開關(guān)閉合,求t≥0時(shí)的uC(t)、u(t)、i(t)。圖7-16例7-6圖

解

(1)求uC(∞)。

畫出t=∞時(shí)的等效電路，如圖7-16(b)所示。

由KCL方程得

i(∞)+4i(∞)=0

即

i(∞)=0

所以u(píng)C(∞)=10V

(2)求τ。

由t≥0后的電路，應(yīng)用開路短路法求R0，得

uoc=uC(∞)=10V

將電容短路求短路電流，如圖7-16(c)所示，由KVL方程得：

由KCL方程得

故

所以

，t≥0

，

t≥0

，

t≥0由初始儲(chǔ)能和外加激勵(lì)共同作用產(chǎn)生的響應(yīng)為全響應(yīng)，如圖7-17所示。7.4一階電路的全響應(yīng)圖7-17全響應(yīng)的圖示以RC電路為例，如圖7-18(a)所示，研究一階恒定激勵(lì)的全響應(yīng)的求解及特點(diǎn)。在圖7-18所示電路中，假設(shè)uC(0－)

=U0>RI0，t=0使開關(guān)閉合，求t≥0時(shí)的uC(t)。

編寫方程同前，有

(7-27)

(7-28)將初始條件uC(0+)=U0代入上式得

U0=K+RI0

K=U0－RI0

(7-29)

所以

(7-30)

其波形如圖7-18(b)所示。圖7-18求全響應(yīng)的電路及波形下面進(jìn)行討論：

①若is=I0=0，則為零輸入響應(yīng)；若uC(0－)=U0=0，則

為零狀態(tài)響應(yīng)。即按因果關(guān)系分解全響應(yīng)為

uC(t)=uCx(t)+uCf(t)

(7-31)②當(dāng)t→∞時(shí)，，此時(shí)，uC(t)=RI0=uC(∞)。定義為暫態(tài)響應(yīng)，uC(t)=RI0

為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即全響應(yīng)按過(guò)程分解為

uC(t)=uC暫(t)+uC穩(wěn)(t)

③一階電路在恒定激勵(lì)下的全響應(yīng)總是按指數(shù)規(guī)律變化的，其變化過(guò)程是由初始值逐漸過(guò)渡到穩(wěn)定值的過(guò)程。即

(7-32)

【例7-7】電路如圖7-19(a)所示，uC(0－)=1V，t=0時(shí)開關(guān)閉合，求t≥0時(shí)的i(t)。

解先求uC(t),再求i(t)。

因?yàn)?/p>

uC(t)=uCx(t)+uCf(t)

且

,

圖7-19例7-7圖①求uCx(t)。

uCx(0+)=uC(0－)=1V,τ=RC=1s

故

，t≥0

②求uCf(t)。t→∞時(shí)如圖7-19(b)所示，有

uCf(∞)=10+1=11V

故

uCf(t)=11(1－e－t)，

t≥0

③求i(t)。

uC(t)=uCx(t)+uCf(t)=e－t+11(1－e－t)，t≥0

，

t≥0

【例7-8】電路如圖7-20所示，已知某線性系統(tǒng)，當(dāng)初始儲(chǔ)能為X０、激勵(lì)為f(t)時(shí)，全響應(yīng)為y1(t)=2e－t+cos2t；儲(chǔ)能不變，激勵(lì)為2f(t)時(shí)，全響應(yīng)為y2(t)=e－t+2cos2t。求當(dāng)初始儲(chǔ)能為2X０、激勵(lì)為4f(t)時(shí)的全響應(yīng)。

解令f(t)→yf(t)，X0→yx(t)。則

解得

yx(t)=3e－t，yf(t)=－e－t+cos2t

故當(dāng)初始儲(chǔ)能為2X０、激勵(lì)為4f(t)時(shí)的全響應(yīng)為

y(t)=4yf(t)+2yx(t)=2e－t+4cos2t

圖7-20例7-8圖

2.三要素分析法

由上節(jié)可知一階線性時(shí)不變電路在恒定激勵(lì)下的全響應(yīng)滿足通式：

即

(7-33)

【例7-9】電路如圖7-21(a)所示，原電路穩(wěn)定，求t≥0時(shí)的i(t)、iL(t)。

解

(1)求i(0+)、iL(0+)。

①t<0時(shí)電路如圖7-21(b)所示，求iL(0－)。

②畫t=0+時(shí)的電路，如圖7-21(c)所示，求i(0+)。

iL(0+)=iL(0－)=－1.2A

由左邊的網(wǎng)孔KVL方程有

3=3i(0+)－2iL(0+)

得

(2)求i(∞)、iL(∞)。畫t=∞時(shí)的電路，如圖7-21(d)所示，有

(3)求τ,電路如圖7-21(e)所示，有

(4)代入三要素公式，得

圖7-21例7-9圖

【例7-10】電路如圖7-22(a)所示，處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開關(guān)閉合，求t≥0的i(t)。

解由于t≥0后電容電感元件的放電過(guò)程相互獨(dú)立，故電路可分解為兩個(gè)一階電路的疊加，如圖7-22(c)所示。故

i(t)=i1+i2

(1)畫t=0－時(shí)的電路(電容開路，電感短路)，如圖7-22(b)所示，求iL(0－)和uC(0－)。有

uC(0－)=3iL(0－)=6V=uC(0+)

(2)畫t=0+時(shí)的電路，如圖7-22(d)所示，求i1(0+)和i2(0+)。有

(3)求i1(∞)、i2(∞)。畫t→∞時(shí)的電路，如圖7-22(e)所示，有

(4)求τ1、τ2。電路如圖7-22(f)所示，有

R01=3∥6=2Ω，R02=1Ω

故

，τ2=R02C=3s

(5)求i(t)。代入三要素公式得

疊加得

圖7-22例7-10圖

【例7-11】電路如圖7-23(a)所示，求t≥0時(shí)的u0(t)的變化規(guī)律。

解

(1)求iL(0－)。畫t=0－時(shí)的電路，如圖7-23(b)所示。由KVL方程得

16=2i+1iL(0－)，iL(0－)=i+5i

解得

iL(0－)=12A

(2)畫t=0+時(shí)的電路，如圖7-23(c)所示，求u0(0+)。

iL(0+)=iL(0－)=12A

列節(jié)點(diǎn)方程，得

輔助方程為

解得

u0(0+)=9V圖7-23例7-12圖

(3)求u0(∞)。t→∞時(shí)的電路如圖7-23(d)所示，有節(jié)點(diǎn)方程：

輔助方程為

解得

(4)求τ(用開路短路法求R0′，R0=R0′+1)。

①求開路電壓uoc，如圖7-23(e)所示，有節(jié)點(diǎn)方程：

輔助方程為

解得

uoc=12V②求短路電流isc。如圖7-24(f)所示，有

，isc=i+5i=48A

故

(5)代入三要素公式得

，t≥0

1.單位階躍函數(shù)(階躍函數(shù))的基本概念

單位階躍函數(shù)的定義為

(7-34)

相應(yīng)的波形圖如圖7-24所示。7.5階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)圖7-24單位階躍函數(shù)波形單位階躍函數(shù)的性質(zhì)如下：

(1)時(shí)移特性。用t－t0代替U(t)中的t，得

(7-35)

相應(yīng)的波形如圖7-25所示，表示信號(hào)延遲t0時(shí)間。反之，U(t+t0)為信號(hào)在時(shí)間軸上左移t0時(shí)間，表示信號(hào)超前了t0時(shí)間，相應(yīng)的波形如圖7-26所示。圖7-25延遲的單位階躍函數(shù)圖7-26超前的單位階躍函數(shù)

(2)截取特性。任意的無(wú)始無(wú)終信號(hào)f(t)與U(t)相乘后，為一有始信號(hào)(因果信號(hào))，即f(t)·U(t)為因果信號(hào)。相應(yīng)的波形如圖7-27所示。