人教版數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習(xí)：幾何探究問(wèn)題壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練

人教版數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習(xí)：幾何探究問(wèn)題壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練

1.如圖1,△ABC是等腰直角三角形，四邊形AOE尸是正方形，。、尸分別在A3、AC邊上，此時(shí)

BD=CF,4Q_LCF成立.

(1)當(dāng)正方形ADE/繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(0。＜夕＜90。)時(shí)，如圖2,成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若

不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)當(dāng)正方形AOEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。時(shí)，如圖3,延長(zhǎng)8。交C產(chǎn)于點(diǎn)G.求證：BD±CF；

⑶在(2)小題的條件下，4c與8G的交點(diǎn)為M,當(dāng)48=4,后時(shí)，求線段CM的長(zhǎng).

2.如圖，AAOC和均為等腰三角形，NCAD=/DBE,AC=AD,BD=BE,連接CE,點(diǎn)尸為CE

的中點(diǎn).

⑴如圖1,A,。、8在同一直線上，ZCAD=ZDBE=90°fAC=AD=\,BD=BE=2,求OF的長(zhǎng)度;

(2)如圖2,4、D、產(chǎn)在同一直線上，G為A廠延長(zhǎng)線上一點(diǎn)(4代尸G),且GE=AC,連接A8,求證:

NAGE=2NBAD；

(3)如圖3,在3)間的條件下，將△AOC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接8F,將ABD尸沿著8。翻折得

ABDH,連接E”，當(dāng)C尸最大時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)8到直線E”的距離.

3.如圖，將一個(gè)矩形4BCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（00＜aW90。），得到矩形連接8D

⑴探先

①如圖1,當(dāng)a=90。時(shí)，點(diǎn)G恰好在08的延長(zhǎng)線上，若46=1,求8C的長(zhǎng)；

②如圖2,連接AG，過(guò)點(diǎn)。作RM〃AG交8。于點(diǎn)M,線段與0M相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）在探究（1）②的條件下，射線03分別交4R,AG于點(diǎn)P,N（如圖3）.求證：

①M(fèi)N=AN；

②MN?=PN?DN.

4.如圖1,在△ABC中，NBAC=90。，4B=AC=4,點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)，以AE為斜邊，在A4BC外，作

LADE,使得NADE=90。，且OE=D4.現(xiàn)將△AOE繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（0。＜。＜90。），連接

BE.

圖1圖2

（1）如圖2,當(dāng)a=15。且BE〃4。時(shí)，求BE的長(zhǎng);

（2）連接C￡,設(shè)CE的中點(diǎn)為點(diǎn)RAE的中點(diǎn)為點(diǎn)"，連接OF,直線。尸與線段BE交于點(diǎn)G,連接G”.

①求證：DFLBE；

②探索線段GH,GD,GE之間的數(shù)量關(guān)系.

5.如圖，已知正方形ABC。，點(diǎn)七為上的一點(diǎn)，EFA.AB,交BD于點(diǎn)、F.

⑴如圖1,直按寫出我的值_______：

AE

(2)將A/繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接4反DF,猜想OF與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明

你的結(jié)論：

(3)如圖3,當(dāng)BE=B4時(shí)，其他條件不變，AEBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為。(0°＜。＜360。)，當(dāng)a

為何值時(shí)E4=ED?請(qǐng)?jiān)趫D3或備用圖中畫出圖形并求出。的值.

6.小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在陽(yáng)△ABC中，NBAC=90。，4B=AC點(diǎn)。，E在邊BC上,

ND4E=45。.若8D=3,CE=1,求OE的長(zhǎng).

小明發(fā)現(xiàn)，將繞點(diǎn)4按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，得到AACF,聯(lián)結(jié)石尸(如圖2),由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和

等腰宜角三角形的性質(zhì)以及ND4E=45。，可證EGADAE,得FE=DE.解△產(chǎn)CE,可求得尸石(即

DE)的長(zhǎng).

(1)請(qǐng)回答：在圖2中，NFCE的度數(shù)是,￡＞E的長(zhǎng)為.

參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：

(2)如圖3,在四邊形A8C￡＞中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,尸分別是邊BC,CO上的點(diǎn)，且NE4F=

^ZBAD.猜想線段BE,EF,尸。之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

7.如圖，兩個(gè)等腰直角△ABC和ACOE中，ZACB=ZDCE=900.

(1)觀察猜想如圖1，點(diǎn)E在BC上，線段AE與8D的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是.

(2)探究證明把△(?￡>￡繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，(1)中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由；

(3)拓展延伸：把△《￡>￡繞點(diǎn)。在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AC=BC=13,DE=\0,當(dāng)A、E、。三點(diǎn)在同一條

直線上時(shí)，請(qǐng)宜接寫出4。的長(zhǎng).

8.在邊長(zhǎng)為2面的正方形A3CO中，點(diǎn)N為84延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接ON.

(1)如圖I,以8。為邊向內(nèi)作正△8CM,連接MM當(dāng)C,M,N三點(diǎn)共線時(shí)，求：AAON的面積;

(2)如圖2,以BC為邊向外作正△BCM,連接OM,CP平分N8CO交OM于點(diǎn)P,連接尸氏當(dāng)NAND=

60。時(shí)，連接NP.證明：DN+BN=gPN;

(3)如圖3,當(dāng)N4NO=45。，點(diǎn)尸為正方形內(nèi)一任意點(diǎn)，連接8P,CP,DP,NP,當(dāng)BPKP+。尸取最小值

時(shí)，直接寫出「解的值.

9.已知d5C是等腰三角形，AB=AC,將“8C繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到“VBC,

(1)感知：如圖①，當(dāng)8c落在AB邊上時(shí)，乙TAS與NC'CB之間的數(shù)量關(guān)系是(不需要證明)；

(2)探究：如圖②，當(dāng)8c不落在A8邊上時(shí)，N/TA8與NOC8是否相等？如果相等；如果不相等，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

(3)應(yīng)用：如圖③，若N84C=90。，A4\CC交于點(diǎn)E,則N/TEC=_____度.

10.問(wèn)題背景：在解決“半角模型'’問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用方法.如圖①，在四邊形ABC。中，

AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,點(diǎn)、E,尸分別是8C,C￡＞上的點(diǎn)，且NE4/=60。，連接

EF,探究線段BE,EF,。尸之間的數(shù)量關(guān)系.

GA

圖①圖②

⑴探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是將△可繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。至AADG的位置，使得48與AD重合，

然后證明A4G產(chǎn)經(jīng)△?!￡「，從而得出結(jié)論：；

(2)拓展延伸：如圖②，在正方形4BCO中，E、尸分別在邊BC、CO上，且Z￡4F=45。，連接所，(1)中

的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)嘗試應(yīng)用：在(2)的條件下，若BE=3,DF=2,求正方形A8CO的邊長(zhǎng).

11.如圖1,在RSABC中，ZACB=90°,A8=10,BC=6.D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，連接

DE.現(xiàn)將AAOE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接8。，CE并延長(zhǎng)交于點(diǎn)足

⑴如圖2,點(diǎn)E正好落在AB邊上，CF與AD交于點(diǎn)P.

①求證：AE*AB=AD*AC；

②求ar的長(zhǎng)；

(2)如圖3,若4尸恰好平分ND4E,直接寫出CE的長(zhǎng).

12.如圖，在RQABC中，ZBAC=90°,A8=AC,點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PO_LBC于點(diǎn)。，連接

A。，乃繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AE,連接CE,DE,PE.

圖1圖2備用圖

⑴求證：四邊形PQCE是矩形;

(2汝口圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)84的延長(zhǎng)線上時(shí)，OE與AC交于點(diǎn)F,其他條件不變，已知80=28,求

APA…

丁的值；

AF

(3)點(diǎn)P在A8邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段AD上存在一點(diǎn)Q,使QA+Q8+QC的值最小，當(dāng)QA+Q8+QC

的值取得最小值時(shí)，若A。的長(zhǎng)為2,求P。的長(zhǎng).

13.如圖，四邊形A8C。是正方形，AASE是等邊三角形，點(diǎn)”是線段3。(不含3點(diǎn))上的點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)M是CE與B。的交點(diǎn)時(shí)，如圖I,求NDWC的度數(shù)；

⑵若點(diǎn)M是40上任意一點(diǎn)時(shí)，將8M繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EM如圖2,求證:

EN=CM；

(3)當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，8M+2cM的值最個(gè)，說(shuō)明理由.

14.如圖，在中，ZABC=90°,Z4CB=30°,將-ABC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度。得到

△DEC,點(diǎn)、A,8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)。，E.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)￡恰好在4c邊上時(shí)二連接AO,求NA￡>E的度數(shù)；

(2)如圖②，當(dāng)。=60時(shí)，若點(diǎn)尸為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)/尸BC為何值時(shí)，四邊形BFDE為平行四邊形？請(qǐng)

說(shuō)出你的結(jié)論并加以證明

15.已知4。是等邊△八8C的高，4C=2,點(diǎn)0為直線4。上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，連接80,將線段

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段O￡連接RE.

(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：

如圖I,當(dāng)點(diǎn)。在線段A。上時(shí)，線段A。與CE的數(shù)量關(guān)系為,N4CE的度數(shù)是

(2)問(wèn)題探究：

如圖2.當(dāng)點(diǎn)O在線段AD的延長(zhǎng)線卜時(shí)，(I)中結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)問(wèn)題解決：

當(dāng)NAEU30。時(shí)，求出線段8。的長(zhǎng)

16.在△力BC中，ZACB=90°,ZBAC=60°,點(diǎn)。在斜邊AB上，且滿足8D=：AB,將線段OB繞點(diǎn)。

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至。石，記旋轉(zhuǎn)角為明連接4E,BE,以AE為斜邊在其一側(cè)作直角三角形AER且NA”E=

90°,ZE4F=60°,連接CF.

⑴如圖1,當(dāng)a=180。時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段8E與線段。尸的數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)0。<(1<180。時(shí)，

①如圖2,(1)中線段與線段C戶的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？諸說(shuō)明理由;

②如圖3,當(dāng)5,E,r三點(diǎn)共線時(shí)，連接CE,判斷ACEF的形狀，并證明.

17.如圖1,在R/AABC中，NACB=90。，E是邊4c上任意一點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A,。不重合)，以CE為一

直角邊作RMECD,ZECD=90Q,連接BE,AD.若AC=BC,CE=CD.

⑴猜想線段BE,A。之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，寫出結(jié)論并說(shuō)明理由；

⑵現(xiàn)將圖1中的心AECD繞著點(diǎn)。順時(shí)專旋轉(zhuǎn)銳角a,得到圖2,請(qǐng)判斷①中的結(jié)論是否仍然成立，若成

立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.如圖①，菱形ABCZ)和菱形4獷G有公共頂點(diǎn)A,點(diǎn)E,G分別落在邊4rA￡＞上，連接。P,

(1)求證：DF=B卜;

(2)將菱形AEAG繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).設(shè)旋轉(zhuǎn)角NBAE=a(O°WaW18O。)，且48=6,AE=&,

ZDAB=ZGAE=^)0.

①如圖②，當(dāng)。=90。時(shí)，則線段。尸的長(zhǎng)度為.

②連接BO,當(dāng)△。即為直角三角形時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù)為1

19.如圖1,點(diǎn)E為正方形A8CO內(nèi)一點(diǎn)，ZAEB=90°,現(xiàn)將/?/△ABE繞點(diǎn)8按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，得

到△C8產(chǎn)(點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C),延長(zhǎng)AE交C尸于點(diǎn)G.

圖1圖2圖3

(1)求證：四邊形8EGF是正方形；

(2)連接。￡,①如圖2,若A3=15,CG=3,試求的長(zhǎng)；②如圖3,DA=DE,求證：CG=FG.

20.(1)如圖1,△ABC和AAMN都是等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)為點(diǎn)4,ZkABC固定不動(dòng)，4AMN可以繞

著點(diǎn)兒旋轉(zhuǎn).

①如圖2,將44MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)M落在邊上，連接CN.

直接寫出圖中的全等三角形：：直接寫出線段CMCM,C8之間滿足的等量關(guān)系為：

②如圖2,試探索線段MA,MB,之間滿足的等量關(guān)系，并完整地證明你的結(jié)論；

(2)如圖3,P是等腰直角aABC內(nèi)一點(diǎn)，ZBAC=90°,連接RI,PB,PC,將AMP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90。后得到△C4Q,連接尸Q.已知以=2,PB=3,若NPQC=90°,求PC的長(zhǎng).

參考答案:

1.

解：BD=CF成立.

理由：???△ABC是等腰直角三角形，四邊形40瓦是正方形,

：.AB=AC,AD=AF,NRAC=ND4戶=90°,

VZBAD=^BAC-ZDAC,ZCAF=ZDAF-ZDAC,

：.ZBAD=Z.CAF,

在△84。和VC4產(chǎn)中，

AB=AC

?ZBAD=ZCAF,

AD=AF

：.^RAD^^CAF.

???BD=CF；

(2)

證明：設(shè)8G交AC于點(diǎn)M,如圖所示：

由(1)可得：ABA原屋X尸,

:.ZABM=NGCM,

???NBMA=4CMG,

：.ABMA^CMG,

???NBGC=NWC=90。，

:.BD1CF；

(3)

解：過(guò)點(diǎn)尸作/WJ_4c于點(diǎn)N,

E

;在正方形AOEF中，AD=DE=應(yīng),

AE=>IAD2+DE2=2?

/.AN=FN=-AE=\,

2

???在等腰直角中，AB=4,

：.CN=AC-AN=3,BC=>IAB2+AC2=4^?

FN1

/.在Rt^FCN中,tanZ.FCN=,

，在RhABW中，tan^ABM=—=tan^FCN=-,

AB3

14

AAM=-AB=-,

33

48

：.CM=AC-AM=4——=-.

33

2.

(1)

解：???AC=AD,BD=BE,NCAD=NDBE=90*,

.-.ZACD=Z4DC=45°,NBDE=NBED=45。,

Z.CDE-1800-ZADC-Z-BDE=90°,

??.?CQE為直角三角形，

vAC=A￡)=l,BD=BE=2,

??-CD=\lAC2+AD2=y/2?DE=QBD2+BE2=2&，

,,CE=ylcif+DE2=屈，

?.F為CE中點(diǎn)，

.八々?回

??DF=—CE=---;

22

(2)

證明：過(guò)點(diǎn)E作"http://AC,

:.ZACF=NFEH,

在?ACF與6HEF中,

4CFA=4EFH

CF=EF,

NACF=/FEH

：.*ACF—HEF,

???AC=EH,/EHF=NCAD=/DBE,

:AC=GE,

：.EH=GE,

：2EHG=/EGH,

??NEHG+/EHF=18&,

：.NDBE+ZHGE=180°,

在四邊形8OGE中，

NBEG+/BDF=180。,

?；NBDF+NBDA=180。,

：&EG=NBDA,

,AC=ADfAC=GE,

..AD=GE,

在*ADB與*GEB中,

AD=GE

<NBDA=NBEG,

BD=BE

?ADB2GEB,

:.BA=BG,/BAD=/BGE,

；"BAD=/BGD,

ZAGE=ZAGB+/BGE=2NB4D；

(3)

解：在，CZ)尸中，CF<CD+DF,

當(dāng)C、。、E三點(diǎn)共線時(shí)，且產(chǎn)為CE中點(diǎn)，

此時(shí)C尸=8+。/=；叱，CF取得最大值，

由(1)可得。。=應(yīng)，DE=2&，

:CE=3近,

.?.CF=EF=-CE=-42,

22

.刖吩「戶V2

?"Dr=DE-CF=19

2

?：NFDB=45。，DF=—,

2

ZHDB=45°,DH=—f

2

???/FDH=900,

在Ri今EDH中,

EH=JDE?+DH，=J(2司+停=率，

如圖所示：過(guò)點(diǎn)尸作AG_L8E,過(guò)點(diǎn)”作EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)朋,

:,FG//DB///以，

CA

》EFG?-EDB,

"二匕即FG/

BDED丁*

：.FG=-

2

?.?點(diǎn)人”關(guān)于對(duì)稱，且FG1BE,HMA.EM,

3

:.FG=HM=士

2

設(shè)點(diǎn)B到EH的距離為/?,

則S.EHB=；xEBxHM=；xEHxh,

可得LX2X3=L媽x。，

2222

6后

解得：h-------,

34

???當(dāng)。尸最大時(shí)，點(diǎn)8到直線E”的距離為2叵.

34

3.

(1)

①如圖1,

;四邊形A8C。是矩形，

：.CD=AB,BC=DA,/84。=90。，

;將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到矩形ABCD],

：.ZDiAD=ZBAD=90°,CiDi=CD=A8=\f

，AB與力。重合，即點(diǎn)A、B、在同一條直線上，

設(shè)BC=DA=DiA=xf則DiB=x-1,

TN。尸N8AD=90°,NDiBC尸NABD,

：?4D]BC]SAABD,

.D1B=C1DL

**ABDA

??.3=L

1X

解得百=竽1=臂

經(jīng)檢驗(yàn)，菁=上咨,々=與叵是原方程的解，但勺=與叵＜0（不符合題意，舍去）,

.??

2

②D/M=。"，理由如下：

JZAD/D=ZADDi,

VD/C/MB,ZC/DM=ZBAD=90°,AD^DA,

：?ACQ/Ag4BAD(SAS),

：.ZDtACi=ZADB,

?；DIM"ACI,

/.NAD]M=/DIACI,

/./ADiM=/ADB,

/.ZADjD-ZADiM=ZADDi-ZADB,

???ZMD]D=ZMDDh

：,DiM=DM.

⑵

證明：如圖3,連結(jié)AM,

圖3

?VAD/=AD,DiM二DM,AM=AMf

：.AADiM^AADM(SSS),

AZADIM=ZADM,/MAD尸NMAD,

VNAD]M=NNADi,

???NNAD尸/ADM,

/./NADi+/MAD產(chǎn)NADM+NMAD,

,/NNAM=/NADi+/MAD],NNMA=NADM+NMAD,

:?/NAM=/NMA,

:?MN=AN.

②?:NNAD尸NADM,

:"NAP—NDA,

VNANP=/DNA,

?'△ANPs△。帥，

.PN_AN

?‘俞一麗’

:?A2PN?DN,

???M解=PN?ON.

4.

⑴

解：如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AM_LBE于M,

D

VZADE=90°,DE=DA,

AZD^E=ZDEA=45°,

*：BE//ADf

：.ZAEM=/DAE=^°,

VAMA.BE,

/.NE4M=/AEM=45。，

：.AM=EMf

“15。,

AZDAB=90°+15°+45°=150°,

VAD//BE,

/.ZABE+ZDAB=ISO°,

JNA8E=30°,

?"M=；AB=2=ME,BM=GAM=26,

：?BE=BM+ME=26+2；

(2)

①證明：如圖3,延長(zhǎng)EO至M使。N=OE,連接4N,連接NC交班:于點(diǎn)O,

VZADE=90°,DN=DE,

:,AE=AN,

:.NAEN二NANE=45。,

AZNAE=90°=ZBACf

：.ZBAE=ZCAN,

又YAN=AE,AB=AC,

:.^ABE^△ACN(SAS),

：.NABE=/ACN,

■:ZABE+ZCBE+ZACB=90°,

:.ZCBE+ZACB+ZACN=90°,

:.N80090。，

:?BE1NC,

■;DN=DE,點(diǎn)F是EC中點(diǎn),

:?DF〃NC,

???DFLBE；

②解：GD-GE=4iGH,理由如下：

如圖4,連接過(guò)點(diǎn)H作〃P_L”G,交DG于P,

BC

圖4

VZADE=90°,DN=DE,點(diǎn)〃是AE的中點(diǎn)，

：.DH=HE,DH±AE,ZDEA=45\

:.NDHE=900,

?；HPLHG,

:.NPHG=NDHE=90。,

：.NDHP=NEHG,

?；DG上BE,

ANDGE=NDHE=90。,

???點(diǎn)。，點(diǎn)”，點(diǎn)G,點(diǎn)E四點(diǎn)共圓，

；?NDEH=NDGH=45。,

/.ZHPG=ZDGH=45°,

:?PH=HG,

：.PG=y/2GH,

?:PH=HG,ZDHP=ZEHG,DH=HE,

:?△DPH@MHG(SAS),

[DP=GE,

?:DG-DP=PG,

:?DG-GE=4iHG.

5.

(1)

QAD是正方形AAC。的對(duì)角線，

??,NA8O=45。，BD=y/2AB，

-.EF.LAB,

N班方=90。，

/.ZBF￡：=ZABD=45O,

:.BE=EF,

BF=五BE，

DF=BD-BF=近AB-&BE=正(AB-BE)=近AE,

AE

故答案為：&;

(2)

。尸=&AE，

理由：由(1)知，BF=6BE，BD=&B，NBFE=ZABD=45。,

正,

BEAB

由旋轉(zhuǎn)知，ZABE=^DBF,

「.空二處二技

AEAB

DF=>/2AE;

(3)

如圖3,連接O￡CE

圖3

*：EA=ED,

，點(diǎn)上在40的中垂線上，

：,AE=DE,BE=CE,

???四邊形ABC。是正方形，

.\ZBAD=ZABC=90°,AB=BC,

BE=CE=BC9

???△8C￡是等邊三角形,

..ZCBE=60P,

.?.ZABE=ZABC-Z.CBE=90°-60°=30°,即：a=30。,

如圖4,同理，△BCE是等邊三角形，

.?.ZABE=ZABC+ZCBE=90o+60o=150o,即：a=150°,

故答案為:30。或150°.

6.

(1)

解：?.?將△川￡)繞點(diǎn)4按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，得到AACR

：.7ADB爾AFC

ZACF=ZABD

?.?AB=AC,NBAC=90。

:.ZACB=ZABC=45°

ZACF=ZABD=45°

ZFCE=ZACF+ZACB=90°

在RlVFCE中,

?.80=3,CE=[,FC=BD=3

:.EF=ylcF2+CE2=V32+12=710

故答案為：90°；Vio

(2)

猜想：EF=BE+FD；

理由如下：

如圖，將△A8E繞點(diǎn)4按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使AB與A。重合，得到△ADG,

:,BE=DG,AE=AG,ZDAG=^BAE,NB=NADG,

???NB+NADC=180。，ZB=ZADG,

???NAOG+NAOC=180。，即點(diǎn)八D,G在同一條直線上.

*：ZEAF=^ZBAD,

：.ZGAF=ZDAG+ZDAF=/BAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=NE4F,

即NG4/=NEAF.

AE=AG,

在AAE”和ZkAGF中，＜NE4/=NG4尸，

AF=AF

：./\AEF^^AGF,

:?EF=FG

VFG=DG+FD=BE+OF,

：?EF=BE+FD

7.

(1)

如圖1中，延長(zhǎng)AC交B。于”.

,:AC=CB,/ACE=NBCD,CE=CD,

/.△ACE^ABCD,

：,AE=BD,/EAC=/CBD,

VZ￡AC+ZA￡C=90°,NAEC=NBEH,

：?NBEH+NEBH=9()Q,

，/￡778=90。，RRAE±BD,

故答案為AE=8。，AELBD.

(2)

結(jié)論：AE=BD,AEVBD.

理由：如圖2中，延長(zhǎng)AE交8。于”，交8c于O.

:.ZACE=/BCD,

;AC=CB,/ACE=NBCD,CE=CD,

AAACE^ABCD,

：.AE=BDfZEAC=ZCBD,

???NE4C+/AOC=90。，NAOC=/BOH,

:?/BOH+/OBH=90。,

???NOHB=90。,

即AELBD.

(3)

當(dāng)射線AO在直線AC.的上方時(shí)，作CH_LAO于〃.

圖3

*：CE=CD,NECD=90。,CHIDE,

:,EH=DH,CH=』DE=5,

在Rt&AC"中，

???AC=13,CH=5,

AA//=7132-52=12,

???AO=A"+OH=12+5=17.

②當(dāng)射線4。在直線AC的下方時(shí)，作CHL4Q于凡

A

同法可得：AH=12,故40=4"-?！?12?5=7,

綜上所述，滿足條件的AD的值為17或7.

8.

(1)

解：???四邊形ABC。是正方形，邊長(zhǎng)為2#

AB=BC=CD=AD=2底

ZBAD=ZABC=90°

「△BCM是正三角形

/.N8CM=60。

在Rt/BCN中，

BN

-----=tanN8CM二萬(wàn)

BC

；?BN=WBC=6近

：.AN=BN-AB=6應(yīng)一2#

VZDAN=1800-ZfiAD=90°

???△ANO是直角三角形

:.—2(675-2病X2而

=12百-12

(2)

證明：???四邊形A8CO是正方形，邊長(zhǎng)為2太

/.AB=BC=CD=AD=2y/6

NBAD=NABC=90°

VZDAN=1800-ZBAD=90°

???△ANO是直角三角形

在△4N￡>中，N4NO=60。，

AD=246

AF)

—=sinZAND=sin60°

DN

AN=DNxcos600=2①

如圖4.作干點(diǎn)從交C￡＞于點(diǎn)G.

作MEJ_8C于點(diǎn)E,作MnLOC交

。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則GH_L。。于點(diǎn)”

則四邊形BCG”、四邊形4/7G。、四邊形CEM尸都是是矩形.

設(shè)CG=BH=x,則DG=DC-CG=2瓜一x,

VCP平分乙BCD

：.NGCP=WN8CD=45。

???ZCGP=90°

，ZGCP=ZPCG==45°

???△PGC是等腰直角三角形

/.GP=GC=x,PH=GH-GP=2#一%

???△BCM正三角形

???NMCE=60。，CE=^BC=46

FM=CE=4^

在RsMCE中，CM=BC=2瓜

NCEM=90。

:.ME=CMsinZMCE=CA/sin60°=372

：.CF=ME=342

???DF=DC+CF=2X/6+372

VZDGP=ZF=90°

NPDG:NMDE

:?人PDGs人MDF

.PGDG

^~MF~~DF

.x_2\/6—x

?.瓜―2瓜+3丘

解得x="一&

/.CG=GP=BH=瓜一五,DG=AH=PH="&

JNH=AN+AH=76+372?

BN=NH+BH="+3&+6-&

=2瓜+2&

:.DN+BN=472+2>/6+272

=672+2x/6=2V6(\/3+1)

在RMPHN中，

PN2=PH2+NH2

=(\/6+V2)2+(瓜+3近平

=8(石+1)2

???PN=2&(6+1)

:?DN+BN=QPN

(3)

PAT2=64+1673

理由如下：

如圖5,

圖5

將ABCP繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,

得到力。9,連接PP，

ANP8P'=60。

△BCPQABCP

.\CP=CPf

BP=BP

NBPC=/BPC

???△8PP為等邊三角形

BP=PP

：.BP+CP+DP=PP+CP+DP

當(dāng)。、P、〃、E四點(diǎn)共線時(shí)，

BP+CP+DP=PP,+CP,+DP最小.

此時(shí)，NBPC+NBPP=18O°,

JNBPC=NBPC=180°-60°=1200

???Z.CPC=/BPC-ZBPP=1200-60o=60°

???NCPD+NCPC=180。

:.NCPD=1800-4cpe=120°

將ABCP沿CP翻折，BP落在DP上,

,/DC=BC

???oc與8C重合

：.ZBCP=ZDCP=45°

:?/CDP=/CBP=15°

過(guò)點(diǎn)P作PH_LAB于點(diǎn)”，交CD于點(diǎn)、G,

由(2)知CG=PG="一五

PH=DG=AH=^6+^2

???NANQ=45。，N04290。

AD=2y/6

:?AN=AD=2R

???NI1=AN+AII=2R+瓜+4i

=3V6+V2

???PN'PFP+NH2

=(>/6+x/2)2+(3?+&)2

=64+166.

9.

(1)

感知：???將?48c繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ZA'BC'=ZABC,

Z4'BC+ZCBA=ZABC+ZC,BA,當(dāng)BC落在48邊上時(shí)，

即N/T8A=NC'8C,

：A'B=AB,C'B=BC,

180°-ZA'BA1800-ZC*BC

:.-------------------=---------------------,

22

即N/VA5=NCC8,

故答案為：相等；

(2)

探究：N4A8=NC，C8,證明如下：

?.?將eABC繞點(diǎn)、B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到-48。，

：.A'B=AB,C'B=BC,ZABA=ZC,BC,

BCBC'

??,

BABA'

??.ZA'AB=NCCB；

(3)

應(yīng)用：???ZA，A8=NCC8,

.-.ZBA,A=ZC'CB,

■:C'B=CB,

：2C'CB=NCC'B,

??.NBA'A=NCC，B,

設(shè)C'B與A石相交于點(diǎn)O,如圖所示:

???ZAPB=NC'OE,

AZCEO=NOBA'=ZACB,

,AB=AC,ZBAC=90°,

..ZACB=450=ZC'EOf

ZA￡C=1800-ZC￡0=135°.

10.

(1)

解：???△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。至AAOG的位置，使得AB與AD重合,

AZEAG=ZBAD=120°,

*/ZBAE=ZBAD-ZEAD=\200-ZEADfZDAG=ZEAG-ZEAD=\200-ZEAD,

:,NBAE=/DAG,

且AE=AG,

：.ZiBA比△OAG(44S),

???NEB4=/GOA=90。，GD=BE,

???NGDA+ZADF=90o+90°=180°,

AG.O、尸三點(diǎn)共戌，

又由已知：Z￡AF=60°,

JZGAF=ZEAG-ZEAF=120°-60°=60°,

AE=AG

在“IG/7和AAEF中：＜Z.EAF=NGA尸=60,

AF=AF

：.^AGF^^AEF(SAS),

/.EF=GF=GD+DF=BE+DF.

(2)

解：(1)中的結(jié)論依然成立，即：EF=BE+DF,理由如下:

將△40尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，。點(diǎn)落在8點(diǎn)處，尸點(diǎn)落在G點(diǎn)處，連接G8,如上圖,

'：N￡A”=45",

AZD4F+ZBAE=45°,

;旋轉(zhuǎn)90。，即/唐G=90。，

/.NBAG+NB4E=90。-NO4尸=90°-45。=45。,

：.ZDAF=ZBAG,

AG=AF

在和AM。中：,NBAG=NOA尸，

AB=AD

△物D(S4S),

工/ABG=NA。/=90°,BG=DF,

ZABG+Z/tfiE=900+90°=180°,

:.G、B、E三點(diǎn)共線，

又已知/E4F=45。，

工ZGAE=90°-Z^^=90°-45°=45°,

：.ZGAE=ZEAF,

AG=AF

在AGAE和△以E中：,NGAE=N/<4E=45,

AE=AE

???△GAEg△用E(S4?,

JEF=GE=GB+BE=DF+BE.

(3)

解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x,貝iJEC=5CBE=x?3,FC=CD-DF=x-2f

由(2)中結(jié)論可知：EF=BE+DF=3+2=5,

在RtAEFC中，由勾股定理有：EO+C產(chǎn)二七尸，代入數(shù)據(jù)：

：.(x-3)2+(x-2Y=25,

解出：刀尸6,12=-1(負(fù)值舍去)

???正方形的邊長(zhǎng)為6.

11.

(1)

①證明：???。、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，

:.DE//BC,

：.△AOES/XABC,

.AE_AD

??就一布’

：.AE*AB=AI>AC；

②解：如圖1,

B

lD_____-71

C

圖1

作CG于G,作FHLAB于H,

在RtA4BC中，AB=\O,BC=6,

???AC=8,

???AE=4,

：.BE=AB-AE=6f

BC618

VBG=BC*cosZABC=6*—=6x—=—

AB105

CG=BC*sinZABC=6y<—=—,

105

1QI2

EG=BE-8G=6--=—，

55

tanZFEH=tanZCEG==2,

EG

FH

???tan/fT〃=—=2,

EH

設(shè)EH=a,FH=2a,

：.BH=4a,

?:BH-EH=BE,

/?4a-a=6,

：?a=2,

，/77=4,BH=8,

'BF=4FH?+BH?=>/42+82=4逐;

故答案為：4后.

(2)

如圖2,

圖2

當(dāng)A尸平分ND4E時(shí)，AFVBD,

Z/tFD=ZAED=90°,

.?.點(diǎn)A、E,F、D共圓，

：?4DEF=4DAF,

設(shè)A尸與OE的交點(diǎn)為。，作OG_4。于G,作A”_LC尸于H,

YA尸平分ND4E,

：?OG=OE,AG=AF=4f

：,DG=AD-AG=\t

設(shè)OG=OE=x,

OD=3-x,

在RSOOG中，

(3-x)2-%2=12?

.4

??x=—，

3

4

：.OG=OE=-

3t

4

-

31/八4口VlO/八A口3V10

：AanZDAF=OG---sinZDAF=-----，cosZDAF=--------，

~AG431()10

?JZAED=90°,

，NAEH+NDEF=90。,

ZAEH+ZEAH=W,

：.NEAH=NDEF=NDAF,

.\EH-AE-sinZEAH-4x^--^^-f

105

.,,4/T?MJA3>A06>/l()

AH=AErt?cosZEAH=4x——=——,

105

??.CH=JAC?_A“2=p一("*=繆^，

/.CE=EH+CH=2加+2>/^,

5

故答案為：2M+2標(biāo)

5

12.

證明：'：AB=AC.NBAC=90。,

：.ZB=ZACB=45°,

???NQAE=NR4C=90°,AD=AE,

：.ZBAD=ZCAE,

在△BAD和△CAE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAEt

AD=AE

.,.△BAD^ACAE(SAS),

???NB=N4CE=45。，BD=CE,

/.NECD=NACE+N4C8=90。，

???尸。_LBC,

:?/BDP=NECD=90。,

：,PD//CEt

VZB=ZBPD=45°,

：.PD=BD,

：.PD=EC,

???四邊形PDCE是平行四邊形，

VZPDC=90°,

，四邊形PQCE是矩形；

⑵

如圖2中，過(guò)點(diǎn)4作4M_LBC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)尸作FMLBC于點(diǎn)M

圖2

設(shè)CD=2m,則BD=2CD=4ni,BC=6m,

???4B=AC,NB4c=90。，AMIBC,

：.BM=MC=3m,

，AM=8M=3，〃，AB=AC=3>/5冽,BD=PD=4m,PB=4夜〃?,

/.=72m

*/AABD^AACE,

，BD=EC=4m,

設(shè)CN=FN=x,

,:FN〃CE,

.FN_DN

9,~EC~~DC'

；?DN=Wx，

^x+x=2nif

.4

..x=-m,

3

CF=4?m，AF=AC-CF=3丘m-&?tn=$&,〃

333

APy/2m_3

AF5\f25:

-----m

3

(3)

如圖3-1,將^BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△BNM,連接QN,

:?BQ=BN,QC=NM,NQ3N=60。，

.??△8QN是等邊三角形，

：,BQ=QN,

：.QA+QB+QC=AQ+QN+MNf

，當(dāng)點(diǎn)A,點(diǎn)。，點(diǎn)N,點(diǎn)”共線時(shí)，04+Q8+QC值最小,

此時(shí)，如圖3-2,連接MC

???將△BQC繞點(diǎn)、8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,得到△BNM,

:?BQ=BN,BC=BM,N08260。=/CBM,

???△BQN是等邊三角形，△CBM是等邊三角形，

/BQN=NBNQ=60。,BM=CM,

?:BM=CM,AB=ACt

JAM垂直平分BC,

VADlfiC,N8QO=60。，

:?BD=6QD,

???AB=AC,ZBAC=90°,AD1BC,

：.AD=BD,此時(shí)P與A重合，設(shè)PO=x,則DQ=x-2,

:?x=叢(x-2),

：.x=3+下,

.\PD=3+V3.

13.

(1)

解：???四邊形ABC。是正方形，AABE是等邊三角形，

:?BC=AB=BE,ZABC+Z4BE=150°,ZMBC=45°,

J/BCM=15。,

:.4DMC=/MBC+NBCE=60°；

(2)

證明：由題意知：BM=BN,ZABD=/DBC,

ZABM+^ABN=/EBN+ZABN二位，

???ZABM=NEBN,

/.NCBM=NEBN,

VBC=BE,

:.ABMC0ABNEg網(wǎng),

:?EN=CM；

(3)

當(dāng)點(diǎn)M在CE與6。的交點(diǎn)時(shí)，2cM+8M的值最小.理由如下：

將BM繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BM連接EMMN，則△8MN是等邊三角形,

BA/=MN,

如圖甲，由(2)知EN=CM,

/.2CM+BM=MC+MN+EN,

，當(dāng)C,M,N,E在一條直線上時(shí)MC+MN+&V最小，即2CM+BW最小,

，當(dāng)點(diǎn)M在CE與的交點(diǎn)時(shí)，如圖乙，2CM+8M的值最小.

14.

(1)

解：???將dBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度a得到△DEC,￡點(diǎn)在AC上，

：.CA=CD,ZECD=ZBCA=30°,

???ZC4D=ZCDA=g(180。-30。)=75°,

XVNDEC=NABC=9。。,

Z^DE=90°-75o=15°；

(2)

NFBL30。時(shí)，四邊形BQE為平行四邊形,

???ZAfiF=ZA=60°,

:,BF=CF=AF,

，AARF是等邊三角形.

工BF=AB,

???將”8C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△。七C,

:.DE=AB,ABCE是等邊三角形,ZDEC=ZABC=90°,

/CBE=/BEC=6M,

jZEBF=ZEBC-ZFBC=300,

???NQEB+NEB產(chǎn)=180。，

:,DE=BF,DE//BF,

，四邊形BFDE為平行四邊形.

15.

(1)

解：AO=CEtZAC￡=90°,

理由如下：

,?,線段BO繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段OE,

：.BO=OE,NB。石=60。，

???△8OE為等邊三角形，

???NOBE=60°,BE=BO,

ZOBE=60°=ZOBD+ZDBEf

:△A5c為等邊三角形，

/.ZABC=60°=ZABO+ZOBD,AB=AC,

：./ABO=NCBE,

在△430和4C8E中，

AB=AC

■NABO=NCBE,

BO=BE

，△4B0g△CBE(SAS),

：.AO=CE,/BAO=/BCE,

???4。是等邊三角形ABC的高，

???NAC8=60。，AD也是N8AC的平分線，

NBAO=30o=NBCE,

JZACE=ZBCE+ZACB=30o+600=90°,

故答案為：AO=CE,ZACE=90°；

(2)

解：成立，理由如下：

如圖：連接BE.

???線段BO繞點(diǎn)、O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了60。得EO,

???△8OE是等邊三角形，

:?BO=BE,ZOBE=60°,

???△ABC是等邊三角形，

：.BA=BCfZABC=60°,

.??ZABC+ZOBC=ZOBE+ZOBC,即ZABO=ZCBE,

在△480和4CBE中，

AH=AC

?NAB。=NCBE

BO=BE

/.△ABO^ACM(SAS),

：,AO=CE,NBACA/BCE,

〈AO是等邊△A8c的高，

，N3CE=NB4O=30。，Z5CA=60°,

???ZACE=ZBCE+ZACB=30°+60c=90°,

：.AO=CE,ZACE=90°；

(3)

解:①當(dāng)點(diǎn)0/在線段AQ的延長(zhǎng)線上時(shí)，

由(1)和(2)知：△80/瓦是等邊三角形，NACE/=90。,

VZACE/=90°,ZAEiC=30°,

AZ￡MC=60°,

VNBAU60。，

???點(diǎn)A、B、E/在一條直線上,

???在RAACE/中，AC=2,ZAE/C=30°,

?'?AEi=4,

:,B0尸BEi=2；

②當(dāng)點(diǎn)。2在線段DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，

VZACE2=90°,NAE2c=30。，AC=2,

222

?"￡=4,CE2=ylAE^-AC=>/4-2=2^,

,/△ABO294CBE2(SAS),

AO、—CE,=2>/5，

???AO是等邊△ABC的高，AB=AC=2,

?,BD=1?AO=VAB2—BD2=5/2?-產(chǎn)=-75?

在RfAOzDB中,BD=1,

而&O=4Q+40=26+6=375,

21

???8O2=y]O2D+BD=?3⑹&+『二2"

綜上，80=2或2/7.

16.

（1）

解：（1）BE=2CF,理由如下：

VZACB=90°,ZBAC=60°,

???NABC=30。，

：.AC=^ABf

\'BD=^ABf將線段。8繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OE,

12

：,BD=DE=-AB,BE=-AB,

：.AE=-AB,

3

VZAFE=90°,ZE4F=60°,

:.ZA￡F=30°,

：.AF=^AE=-AB,

26

：.CF=AC-AF=-AB,

3

???BE=2CF；

⑵

（2）①結(jié)論仍然成立，理由如下：

VZBAC=ZEAF=60°,

:?/BAE=NCAF,

▽??AC1AF

又.——=—=---，

AB2AE

:.XABESXACF,

,CFAF\

..----=-----=—,

BEAE2

：?BE=2CF；

②△（：￡：?是等邊三角形，理由如下:

?:B,E,/三點(diǎn)共線，

ANAE8+NAE尸=180。，

，NAE8=150°,

:△ABES△AC尸，

/.ZAEB=ZAFC=150°,

JNEFC=150°-90°=60°,

如圖3,過(guò)點(diǎn)。作OH_LBE于，,

圖3

?：BD=DE,DHVBE,

'：BE=2CF,

：.BH=HE=CFt

^DHIBE,AF±BE,

：,DH//AF,

,BHBD\

??,=,

HFAD2

:,HF=2BH,

:?EF=HE=BH,

:.EF=CF,

???△EFC是等邊三角形.

17.

(1)

BE=AD,BEA.AD：

理由：在aBCE和AACO中，

[CA=CB

\Z.ACB=ZACD,

\CE=CD

???△BCEdACO(SAS),

:?BE=AD,ZBEC=ZADC,

?；NEBC+NBEC=90。,

???NEBC+N4DC=90°,

延