《電路分析基礎(chǔ)》課件4第5章

第5章電路的暫態(tài)分析

5.1元件特性和換路定則5.2初始值和穩(wěn)態(tài)值的確定5.3一階電路暫態(tài)過程的三要素分析法5.4RC微分電路和積分電路自然界事物的運動，在一定條件下有一定的穩(wěn)定狀態(tài)。當條件改變時，就要過渡到新的穩(wěn)定狀態(tài)。例如對于電動機來說，當接通電源后電動機由靜止狀態(tài)啟動、升速，最后達到穩(wěn)定的速度；當切斷電源后，電動機將從某一穩(wěn)定的速度逐漸減速，最后停止轉(zhuǎn)動，速度為零。由此可見，從一種穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)到另一種穩(wěn)定狀態(tài)往往不能躍變，而需要一定的時間，這個物理過程稱為過渡過程。對于電路而言，同樣也存在穩(wěn)定狀態(tài)和過渡過程。本書前面幾章所討論的都是指電路的穩(wěn)定狀態(tài)。所謂穩(wěn)定狀態(tài)，就是在給定條件下電路中的電流和電壓已達到某一穩(wěn)態(tài)值（對交流電路來說，是指電流和電壓的幅值已達到穩(wěn)定值），穩(wěn)定狀態(tài)簡稱穩(wěn)態(tài)。電路中的過渡過程往往為時短暫，所以電路在過渡過程中的工作狀態(tài)稱為暫態(tài)，因而過渡過程又稱為暫態(tài)過程。電路的暫態(tài)過程雖然短暫，但在很多實際工作中卻又非常重要。研究暫態(tài)過程的目的就是：認識和掌握這種客觀存在的物理現(xiàn)象的規(guī)律，既要充分利用暫態(tài)過程的特性，同時也必須預(yù)防它所產(chǎn)生的危害。

研究暫態(tài)過程的方法有數(shù)學分析法和實驗分析法兩種，歐姆定律和基爾霍夫定律仍然是分析與計算電路暫態(tài)過程的基本定律。電路的過渡過程與電路元件的特性有關(guān)，本章所研究的電路，其電阻、電容和電感都是線性的。由于表征電容或電感的伏安關(guān)系是通過導(dǎo)數(shù)或積分來表述的，因此按照基爾霍夫定律建立的電路方程必然是一微分方程或微分—積分方程。如果電路中只有一個儲能元件（電容或電感），得到的微分方程為一階微分方程，相應(yīng)的電路為一階電路；如果電路中有兩個儲能元件（包含一個電容和一個電感），得到的微分方程為二階微分方程，相應(yīng)的電路為二階電路，電路的其他部分可以由電源和電阻組成。本章僅限討論一階電路的暫態(tài)過程，基本要求是掌握一階動態(tài)電路的基本概念、換路定則、電路變量初始值和穩(wěn)態(tài)值的確定、一階電路分析的三要素法等。

5.1元件特性和換路定則

電路在一定的條件下有一定的穩(wěn)定狀態(tài)。條件變了，穩(wěn)定狀態(tài)也要改變。一般來說，含有儲能元件的電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)到另一種穩(wěn)定狀態(tài)，需要經(jīng)過一個電磁過程，這個過程稱為暫態(tài)過程或過渡過程。我們把電路的結(jié)構(gòu)或參數(shù)發(fā)生的變化，如電路與電源的接通或斷開、某支路的短路或切斷、電路參數(shù)的突然改變、電路外加電壓的幅值、頻率或初

相的躍變等，統(tǒng)稱為換路。

為了研究方便，通常把換路的瞬間作為暫態(tài)過程的起始時刻，記為t=0；把換路前的最后一瞬間記為t=0-，把換路后的初始瞬間記為t=0+。5.1.1元件特性

對線性電阻元件來說，由于遵循歐姆定律，所以當電流發(fā)生突變時，電阻電壓也會發(fā)生相應(yīng)的突變，即電阻電流和電壓都可以發(fā)生突然變化。

對線性電容元件來說，由于電容上的電荷和電壓在換路前后不會發(fā)生突然變化，所以有

q(0+)=q(0-)

uC(0+)=uC(0-)

對線性電感元件來說，由于電感中的磁通鏈和電流在換路前后瞬間不會發(fā)生突變，所以有

ψL(0+)=ψL(0-)

iL(0+)=iL(0-)5.1.2換路定則

由于電容電壓和電感電流在換路瞬間不能發(fā)生突變，我們稱之為換路定則，即

對于換路定則，有兩點需要說明：

(1)換路時電感電流不能發(fā)生突變，并不意味著電感電壓也不能突變，因為電感電壓并不取決于電流，而是取決于電流的變化率。同理，在換路時，電容電壓不能突變，也并

不意味著電容電流不能突變。(5.1.1)

(2)在某些特殊情況下，電容電壓和電感電流在換路瞬間也可能發(fā)生突變，這是因為當有理想沖激波形的電流激勵或電壓激勵時，其沖激波形的幅值是無窮大的緣故。

5.2初始值和穩(wěn)態(tài)值的確定

5.2.1初始值的確定

初始值是指電路在t=0+時各元件的電壓值和電流值，可用u(0+)及i(0+)來表示。從前面的分析可知，在換路時通常只有電容的電壓和電感中的電流不能發(fā)生跳變，這是由于電容和電感都是儲能元件，電容中儲有的電能為；而電感中儲有的磁能為，電能和磁能的積累或衰減是需要時間的。因此在求各電量的初始值時，首先應(yīng)根據(jù)換路定則uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-)確定uC(0+)和iL(0+)的值，然后再來確定其他各電量的初始值，下面先分析電容的兩種初始狀態(tài)值。其一，若電容無初始儲能，即uC(0-)=0，則uC(0+)=uC(0-)=0，在發(fā)生換路t=0+時，可將電容視為短路，其等效電路如圖5.2.1(a)所示。其二，若電容有初始儲能，即uC(0-)=U0則uC(0+)=uC(0-)=U0，在發(fā)生換路時，可將電容等效為恒壓源U0，且恒壓源的正方向與電容兩端電壓的正方向相同，其等效電路圖如圖5.2.1(b)所示。圖5.2.1電容初始時刻等效電路圖下面分析電感的兩種初始狀態(tài)值。其一，若電感無初始儲能，即iL(0-)=0，則iL(0+)=iL(0-)=0，在發(fā)生換路t=0+時，可將電感視為開路，其等效電路圖如圖5.2.2(a)所示。其二，若電感有初始儲能，即iL(0-)=I0，則iL(0+)=iL(0-)=I0，在發(fā)生換路t=0+時，可將電感等效為恒流源，其大小等于iL(0+)的值，且正方向與iL(0-)的正方向一致，其等效電路如圖5.2.2(b)所示。

根據(jù)t=0+時的等效電路，選擇適當?shù)碾娐贩治龇椒?，就可以求出電路中其他電壓和電流的初始值。圖5.2.2電感初始時刻等效電路圖例5.2.1在圖5.2.3所示電路中，開關(guān)S在t=0時突然閉合，試求i1(0+)、i2(0+)、i3(0+)及uL(0+)，已知uC(0-)=100V，i3(0-)=0A。

解首先確定電感中電流i3(0+)及電容兩端電壓uC(0+)，根據(jù)換路定則有

i3(0+)=i3(0-)=0A

uC(0+)=uC(0-)=100V

t=0+時的等效電路如圖5.2.4所示，顯然

可見，當發(fā)生換路時電容中的電流iC由0A躍變?yōu)?.5A，電感兩端的電壓uL由0V躍變?yōu)?0V。圖5.2.3例5.2.1圖圖5.2.4例5.2.1解圖例5.2.2在圖5.2.5所示電路中，開關(guān)S原來處于閉合狀態(tài)，并且電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)，t=0時，突然斷開開關(guān)S，求剛斷開時電路各支路的電流、電容電壓及電感電壓。

解根據(jù)換路定則，uC(0+)與iL(0+)的值要由uC(0-)與iL(0-)的值來決定，而uC(0-)與iL(0-)的值就是原來開關(guān)S閉合時uC(∞)與iL(∞)的值，原電路開關(guān)S處于閉合狀態(tài)時，時間已經(jīng)足夠長就可認為t=∞，電路已達到穩(wěn)態(tài)，這時電感相當于短路、電容相當于開路。當t=0-時的等效電路如圖5.2.6(a)所示，則有故i2(0+)=i2(0-)=1A

uC(0+)=uC(0-)=100V

t=0+時的等效電路圖如圖5.2.6(b)所示，則

根據(jù)基爾霍夫定律(KCL)有

i3(0+)=-i1(0+)-i2(0+)=-0.5-1=-1.5A

根據(jù)基爾霍夫定律(KVL)有

uL(0+)=uC(0+)-100i2(0+)=100-100×1=0V圖5.2.5例5.2.2圖圖5.2.6例5.2.2解圖5.2.2穩(wěn)態(tài)值的確定

在電路換路后，當t=∞時，電路中各元件的電流或電壓值稱為穩(wěn)態(tài)值或終值，用u(∞)和i(∞)表示。

在恒定電源情況下，電感電壓uL和電容電流iC最終都變?yōu)榱?，這是因為此時電路和，所以，說明在t=∞時，電感相當于短路，電容相當于開路。例5.2.3圖5.2.7為t=0時換路后的電路，換路前i1(0-)=2A，u4(0-)=4V。求圖中所示各變量的初始值和穩(wěn)態(tài)值。

解根據(jù)換路定則，有

i1(0+)=i1(0-)=2A

u4(0+)=u4(0-)=4V

u1(0+)=10-u4(0+)=6V圖5.2.7例5.2.3圖

5.3一階電路暫態(tài)過程的三要素分析法

如果采用微分方程等經(jīng)典方法來求解一階電路的暫態(tài)過程，需強調(diào)很多的數(shù)學概念和煩瑣的計算過程。對于一階電路的分析，應(yīng)用最為普遍的是三要素法，這種方法實際上是對經(jīng)典法的一種概括和總結(jié)。三要素法公式可表示為

式(5.3.1)中f(t)代表要求解的電壓和電流變量，其中三要素分別為

(1)初始值f(0+);

(2)穩(wěn)態(tài)值f(∞);

(3)時間常數(shù)τ。

使用三要素法時，我們不必去了解電路是否是零輸入、零狀態(tài)等，而只要注意它的使用條件和使用方法。

(1)使用條件:

①只適合一階電路；

②如有外部激勵，必須為直流、階躍或正弦交流信號。(2)使用方法:

①確定初始值f(0+)；

②確定穩(wěn)態(tài)值f(∞)；

③確定電路的時間常數(shù)τ；

④代入三要素法公式進行求解。關(guān)于前兩要素的求法，我們已作過敘述，現(xiàn)在重點介紹時間常數(shù)τ的求解。電路的時間常數(shù)τ只與電路的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和元件類型有關(guān)，而與外加激勵無關(guān)，同一電路只有一個時間常數(shù)。

求時間常數(shù)τ時需注意：

(1)適合于換路后的一階電路；

(2)要化為無源電路，就是將電路中的獨立電壓源和獨立電流源的作用置零，即將獨立電壓源短路，獨立電流源開路；

(3)對于RC電路來說，τ=RC；對于RL電路來說，；其中電阻R是將電路中的獨立電壓源和獨立電流源作用置零后，從儲能元件(電容C或電感L)兩端看進去，求出的端口的輸入電阻。例5.3.1電路如圖5.3.1所示，t=0時開關(guān)閉合，求電路的時間常數(shù)τ。

解將電壓源短接后，等效電阻為

故時間常數(shù)為

τ=RC=2×1=2s圖5.3.1例5.3.1圖例5.3.2某一階電路的響應(yīng)u(t)=(-5+10e-2t)V，t≥0，求其三要素。

解u(0+)=-5+10×1=5V

u(∞)=-5V例5.3.3圖5.3.2所示電路在換路前已達穩(wěn)態(tài)。當t=0時開關(guān)接通，求t≥0時的i(t)。

解uC(0+)=uC(0-)=42×3=126V

i(∞)=42mA

τ=RC=6×103×100×10-6=0.6s

可得i(t)=(42+21e-1.67t)mAt≥0圖5.3.2例5.3.3圖例5.3.4圖5.3.3所示電路原已達穩(wěn)態(tài)。當t=0時開關(guān)接通，求t≥0時的uC(t)并繪出波形圖。

解

得t≥0

uC(t)的波形如圖5.3.4所示。圖5.3.3例5.3.4圖圖5.3.4例5.3.4解圖例5.3.5圖5.3.5所示電路t<0時已達穩(wěn)態(tài)。當t=0時開關(guān)斷開，求t≥0時的u(t)并繪出波形圖。

解u(0+)=0V

得

u(t)的波形如圖5.3.6所示。t≥0圖5.3.5例5.3.5圖圖5.3.6例5.3.5解圖

5.4RC微分電路和積分電路

在電子技術(shù)中，常需把矩形脈沖信號變換為尖脈沖，用于電路的上電復(fù)位或上電清零(例如單片機的上電復(fù)位)；或者需將矩形波變換為三角波或鋸齒波，用于波形的轉(zhuǎn)換以實現(xiàn)某個控制功能。我們常用RC串聯(lián)電路，輸入矩形脈沖，通過電容C的充放電作用(即暫態(tài)過程)實現(xiàn)上述兩個作用。5.4.1RC微分電路

如圖5.4.1所示為一無源雙口網(wǎng)絡(luò)，在輸入端(1、2端)加輸入信號電壓ui，從電阻兩端(3、4端)輸出信號電壓uo。圖5.4.1RC微分電路當輸出端開路時，有

可見，輸出電壓uo與電容電壓uC對時間的導(dǎo)數(shù)成正比。若使uC>>uo，則

ui=uC+uo≈uC

即(5.4.1)可見，為了使電路具有“微分”功能，必須滿足uC>>Ri的條件，這就要求電阻R要小，電容C也要小，也就是要求時間常數(shù)τ=RC要很小，一般取τ<0.2TW，其中TW為輸入脈沖的寬度，這時電路的充放電過程將進行得很快。

下面分析RC微分電路在輸入矩形脈沖信號電壓時的響應(yīng)。輸入信號電壓波形如圖5.4.2(a)所示。設(shè)電路中的時間常數(shù)τ=RC<<TW。

電路響應(yīng)可分段分析：

當0<t<t1時，ui=0，信號源短路，電容C無電荷積累或釋放，電路中i=0，uo=0。圖5.4.2RC微分電路波形當t=t1瞬間，因uC(t1-)=0，且不能躍變，因此uo=ui，而后C兩端電壓增長，充電電流衰減，由于C的充電過程進行很快，在t1<t<t2范圍內(nèi)，uC已充到穩(wěn)態(tài)值，uC=U，而uo也衰減到零(uo=ui-uC)。這樣，在輸出端R上產(chǎn)生一個正尖脈沖。在t=t2瞬間，ui為零，此時RC電路自成回路放電，由于uC不能躍變，所以uo=-uC=-U。電容C放電過程很快，因而在R上輸出得到一個負尖脈沖，如圖5.4.2(b)所示。因為電容C的充放電速度很快，uo存在時間很短，所以ui=uC+uo≈uC，而，這說明輸出電壓uo近似地與輸入電壓ui的微分成正比，因此稱這種電路為微分電路。電路輸出的雙向