精練08 杠桿相關(guān)問題（解析版）

精練08杠桿相關(guān)問題（本專題包括杠桿靜態(tài)平衡、動(dòng)態(tài)平衡、最小力分析）【知識儲(chǔ)備】一、杠桿(1)杠桿①定義：一根硬棒，在力的作用下如果能夠繞著固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，這根硬棒就叫杠桿。②杠桿五要素：支點(diǎn)O：杠桿繞著轉(zhuǎn)動(dòng)的點(diǎn)；動(dòng)力F1：使杠桿轉(zhuǎn)動(dòng)的力；阻力F2：阻礙杠桿轉(zhuǎn)動(dòng)的力；動(dòng)力臂l1：支點(diǎn)到動(dòng)力作用線的距離；阻力臂l2：支點(diǎn)到阻力作用線的距離。(2)杠桿的平衡條件①杠桿平衡：當(dāng)有兩個(gè)力或幾個(gè)力作用在杠桿上，若杠桿保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則杠桿平衡。②平衡條件：動(dòng)力×動(dòng)力臂＝阻力×阻力臂即F1L1=F2L2(5)注意：①杠桿可以是直的，也可以是彎的。②動(dòng)力和阻力使杠桿的轉(zhuǎn)動(dòng)方向剛好相反。決定杠桿轉(zhuǎn)動(dòng)的是力和力臂的乘積大小。③要使動(dòng)力最小，必須使動(dòng)力臂最長（如下兩圖所示）。④實(shí)際應(yīng)用中要分清五要素，在列平衡式求解?！緦ｎ}精煉】一．選擇題（共5小題）1．（2022?紹興模擬）如圖所示，足夠長的杠桿上放著質(zhì)量不相等（m1＞m2）的兩個(gè)球，杠桿在水平位置平衡，若兩球以相同速度同時(shí)向遠(yuǎn)離支點(diǎn)的方向運(yùn)動(dòng)相等的時(shí)間，則杠桿（）A．仍平衡 B．大球那端下沉 C．小球那端下沉 D．無法確定【解答】解：開始時(shí)兩球平衡，即力矩相等；當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩球速度相同，則在相同時(shí)間內(nèi)向遠(yuǎn)離支點(diǎn)的方向移動(dòng)的距離相同，則大球的力矩增加的快，所以大球的力矩會(huì)大于小球的力矩，杠桿向大球那端下沉。故選：B。2．（2021?鹿城區(qū)校級三模）如圖是在粗糙水平地面上的密度均勻長方體物塊，O為重力作用點(diǎn)，用始終垂直于AB邊的拉力，使物體勻速繞B點(diǎn)向右轉(zhuǎn)動(dòng)到虛線位置的過程，下列能正確表示拉力隨時(shí)間變化的是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意可知，B為支點(diǎn)，O為重力作用點(diǎn)，阻力大小等于物體重力的大小，所以阻力大小不變；用始終垂直于AB邊的拉力，則動(dòng)力臂的大小不變；物體勻速繞B點(diǎn)向右轉(zhuǎn)動(dòng)到虛線位置的過程，阻力的力臂變小，根據(jù)杠桿的平衡條件F1L1＝F2L2可知，動(dòng)力逐漸變小；物體在虛線位置時(shí)，阻力臂為0，所以動(dòng)力為0，故D正確。故選：D。3．（2023?鹿城區(qū)校級一模）為了拔除外來入侵物種“一枝黃花”，農(nóng)業(yè)專家自制輕質(zhì)拔草器，如圖所示，將拔草器左下端的叉子插入植株根部，用手對拔草器施力，可將植株連根拔起。若拔同一植株，手施力最小的是（）A． B． C． D．【解答】解：如圖所示，拔草器相當(dāng)于一個(gè)杠桿，拔草時(shí)支點(diǎn)在O點(diǎn)，若拔同一植株，則草對拔草器的阻力一定，由杠桿平衡條件F1L1＝F2L2可知，阻力臂越小，動(dòng)力臂越大，動(dòng)力越小。A、B、C圖相比，動(dòng)力臂相等，C圖中的阻力臂更小，所以C圖動(dòng)力更??；C圖與D圖相比，阻力臂相等，D圖的動(dòng)力臂更小，所以C圖動(dòng)力更小，符合要求的只有C圖。故選：C。4．（2021?海曙區(qū)模擬）如圖甲所示的力學(xué)裝置，杠桿OAB始終在水平位置保持平衡，O為杠桿的支點(diǎn)，OB＝20A，豎直細(xì)桿a的上端通過力傳感器相連在天花板上，下端連接杠桿的A點(diǎn)，豎直細(xì)桿b的兩端分別與杠桿的B點(diǎn)和物體M固定，水箱的質(zhì)量為0.8kg，底面積為200cm2，不計(jì)杠桿、細(xì)桿及連接處的重力，力傳感器可以顯示出細(xì)桿a的上端受到作用力的大小，圖乙是力傳感器的示數(shù)大小隨水箱中水的質(zhì)量變化的圖像，則（）A．物體M的密度為0.6×103kg/m3 B．當(dāng)傳感器示數(shù)為0N時(shí)，加水質(zhì)量為1.4kg C．當(dāng)加水質(zhì)量為1.8kg時(shí)，容器對桌面的壓強(qiáng)為1900Pa D．加水質(zhì)量為2kg時(shí)，水對水箱底部的壓力為31N【解答】解：A．由圖乙可知，水箱中沒有水時(shí)（m＝0），力傳感器的示數(shù)為F0＝6N（即細(xì)桿a的上端受到的拉力為6N），由杠桿的平衡條件可得：F0×OA＝GM×OB；6N×OA＝GM×2OA；解得：GM＝3N。由圖乙可知，當(dāng)M完全浸沒時(shí)，壓力傳感器的示數(shù)為24N，由杠桿的平衡條件可得：FA×OA＝FB×OB，24N×OA＝FB×2OA；解得：FB＝12N。對M受力分析可知，受到豎直向上的浮力、豎直向下的重力和桿的作用力，則此時(shí)M受到的浮力：F?。紾M+FB＝3N+12N＝15N，那么M的體積為：V=V則M的密度ρMB．設(shè)M的底面積為S，壓力傳感器示數(shù)為0時(shí)M浸入水中的深度為h1，M的高度為h，當(dāng)壓力傳感器的壓力為零時(shí)，M受到的浮力等于M的重力3N，由阿基米德原理F浮力＝ρ水gV排可得：ρ水gSh1＝3N①；由圖乙可知，當(dāng)M完全浸沒時(shí)，壓力傳感器的示數(shù)為24N，則此時(shí)M受到的浮力：F浮＝15N，由阿基米德原理可得：ρ水gSh＝15N②由①和②得：h＝5h1，由圖乙可知，加水1kg時(shí)水面達(dá)到M的下表面（此時(shí)浮力為0），加水2kg時(shí)M剛好浸沒（此時(shí)浮力為15N），該過程中增加水的質(zhì)量為1kg，浮力增大了15N，所以，每加0.1kg水，物體M受到的浮力增加1.5N，當(dāng)向水箱中加入質(zhì)量為1.2kg的水時(shí)，受到的浮力為3N，此時(shí)傳感器的示數(shù)為0N，故B錯(cuò)誤；C．由選項(xiàng)B可知，每加0.1kg水，物體M受到的浮力增加1.5N，加水1kg時(shí)水面達(dá)到M的下表面，加水質(zhì)量為1.8kg時(shí)，浮力為12N，物體M受到細(xì)桿b向下的壓力：FB′＝F浮′﹣GM＝12N﹣3N＝9N，水箱對水平面的壓力：F＝（m水箱+m水）g+GM+FB′＝（0.8kg+1.8kg）×10N/kg+3N+9N＝38N，容器對桌面的壓強(qiáng)為：p=FD．加水質(zhì)量為2kg時(shí)，M剛好完全浸沒，由選項(xiàng)B可知此時(shí)M受到的浮力是15N，由阿基米德原理可知排開水的重力是15N，水對水箱底部的壓力：F壓＝G水+G排＝m水g+G排＝2kg×10N/kg+15N＝35N，故D錯(cuò)誤。故選：C。5．（2021秋?江北區(qū)期末）有一質(zhì)量分布不均勻的木條，質(zhì)量為2.4kg，長度為AB，C為木條上的點(diǎn)，AC=1A．14AB B．12AB C．34AB 【解答】解：木條的重力：G＝mg＝2.4kg×10N/kg＝24N；設(shè)木條重心在D點(diǎn)，當(dāng)C點(diǎn)放在托盤秤甲上，B端放在托盤秤乙上時(shí)，以B端為支點(diǎn)，托盤秤甲的示數(shù)是0.8kg，則托盤受到的壓力：F壓＝mCg＝0.8kg×10N/kg＝8N，根據(jù)力的作用是相互的，所以托盤秤對木條C點(diǎn)的支持力為8N，如圖所示：由杠桿平衡條件有：FC×CB＝G×BD，即：8N×CB＝24N×BD，所以：CB＝3BD，因AC=14AB，所以CB則BD=13×CD＝AB﹣AC﹣BD＝AB?14AB?1欲使乙秤的示數(shù)變?yōu)?，需將甲秤移到D點(diǎn)，故向右移動(dòng)的距離為12故選：B。二．填空題（共6小題）6．（2022?溫州模擬）如圖所示，兩個(gè)完全相同的托盤秤甲和乙放在水平地面上，托盤秤的自重為9N，底面積為150cm2．木條AB質(zhì)量分布不均勻（粗細(xì)忽略不計(jì)），A、B是木條兩端，C、D是木條上的兩個(gè)點(diǎn)，AD＝BD，AC＝DC．A端放在甲上，B端放在乙上，A、B下方各墊有一個(gè)大小和質(zhì)量不計(jì)的小木塊，甲的示數(shù)是6N，乙的示數(shù)是18N．則甲對地面的壓強(qiáng)是1000Pa；若此時(shí)用細(xì)線系住A端，豎直向上拉細(xì)線，使A端緩慢上升，此過程中乙的示數(shù)不變（選填“變大”“變小”或“不變”）；若移動(dòng)甲，讓C點(diǎn)放在甲上，則乙的示數(shù)是16N?！窘獯稹拷猓海?）由甲的示數(shù)是6N可知，甲托盤秤受到的壓力FA壓＝6N，則甲對地面的壓力：F甲＝FA壓+G托盤秤＝6N+9N＝15N，甲對地面的壓強(qiáng)：p甲=F（2）若此時(shí)用細(xì)線系住A端，豎直向上拉細(xì)線，使A端緩慢上升，等效圖如下圖所示：由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得：EBAB由重力的作用點(diǎn)E不變、AB的長度不變可知，EBAB的值不變，則FB由杠桿的平衡條件G?FB＝F?HB的變形式F=FB把木條看做整體，受到分析可知：受到豎直向上的拉力F和B點(diǎn)的支持力FB支、豎直向下重力G作用處于平衡狀態(tài)，由木條受到的合力為零可得：F+FB支＝G，則B點(diǎn)對木條的支持力不變，因B點(diǎn)對木條的支持力和木條對B點(diǎn)的壓力是一對相互作用力，所以，木條對B點(diǎn)的壓力不變，此過程中乙的示數(shù)不變；（3）圖中等效圖如下圖所示：因A點(diǎn)和B點(diǎn)對木條的支持力與木條對A點(diǎn)和B點(diǎn)的壓力分別是一對相互作用力，所以，F(xiàn)A支＝FA壓＝6N，F(xiàn)B支＝FB壓＝18N，對木條受力分析可知：受到豎直向上A點(diǎn)的支持力FA支和B點(diǎn)的支持力FB支、豎直向下的重力G作用處于平衡狀態(tài)，由木條受到的合力為零可得，木條的重力：G＝FA支+FB支＝6N+18N＝24N，設(shè)AC為L，由AD＝BD、AC＝DC可知，木條AB的長度為4L，把A點(diǎn)看做支點(diǎn)時(shí)，B點(diǎn)的支持力為動(dòng)力，木條的重力為阻力，由杠桿的平衡條件可得：FB支?4L＝G?AE，解得：AE=F若移動(dòng)甲，讓C點(diǎn)放在甲上時(shí)，如下圖所示：把C點(diǎn)看做支點(diǎn)時(shí)，B點(diǎn)的支持力FB支′為動(dòng)力，其力臂為3L，木條的重力G為阻力，其力臂為2L，由杠桿的平衡條件可得：FB支′?3L＝G?2L，解得：FB支′=23G因B點(diǎn)對木條的支持力與木條對B點(diǎn)的壓力是一對相互作用力，所以，此時(shí)木條對B點(diǎn)的壓力FB壓′＝FB支′＝16N，則乙的示數(shù)為16N。故答案為：1000；不變；16。7．（2021?新昌縣模擬）如圖所示，OAB是杠桿，OA與BA垂直且OA＝2AB，在OA的中點(diǎn)處掛一個(gè)G＝10N重物，杠桿重力及摩擦均不計(jì)。若加在B點(diǎn)的動(dòng)力F甲使OA在水平位置保持靜止。如圖甲所示，那么，此時(shí)F甲＝5N；若動(dòng)力F乙始終與OA垂直，將杠桿由水平位置勻速向上提升重物，如圖乙所示，則F乙的大小變化是變?。ㄟx填“變大”、“變小”“先變大后變小”或“先變小后變大”）；若動(dòng)力F丙由豎直向上的方向沿逆時(shí)針緩慢地轉(zhuǎn)到水平向左的方向，在此過程中OA始終保持水平靜止，如圖丙所示。請?jiān)诖痤}紙上畫出動(dòng)力F丙隨時(shí)間t的變化趨勢?！窘獯稹拷猓海?）由杠桿平衡條件得：G×OA2=即：10N×0A2=F甲（2）若動(dòng)力F乙始終與OA垂直，將杠桿由水平位置勻速向上提升重物，此過程中，阻力和動(dòng)力臂不變，阻力臂逐漸減小，根據(jù)杠桿的平衡條件可知?jiǎng)恿ψ冃?；?）如圖所示，由圖可知，當(dāng)F丙由豎直向上的位置沿逆時(shí)針方向緩慢的轉(zhuǎn)到水平向左的位置時(shí)，動(dòng)力臂先變大后變小，阻力與阻力臂不變，由杠桿平衡條件可知，動(dòng)力先變小后變大。且上圖可以看出，F(xiàn)丙水平時(shí)，比F垂直O(jiān)A時(shí)力臂小，所以動(dòng)力更大。動(dòng)力F丙隨時(shí)間t的變化趨勢如圖所示：故答案為：5N；變??；見上圖。8．（2021?紹興模擬）如圖所示，杠桿AB放在鋼制圓柱體的正中央水平凹槽CD中，杠桿AB能以凹槽兩端的C點(diǎn)或D點(diǎn)為支點(diǎn)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，長度AC＝CD＝DB，左端重物G＝12N．當(dāng)作用在B點(diǎn)豎直向下的拉力F足夠大時(shí)，杠桿容易繞D（選填“C”或“D”）點(diǎn)翻轉(zhuǎn)，為使杠桿AB保持水平位置平衡，拉力F1＝6N的最小值，最大值F2＝24N．（杠桿、細(xì)繩的質(zhì)量及摩擦均忽略不計(jì)）【解答】解：由圖可知，D點(diǎn)更加靠近拉力一端，故當(dāng)作用在B點(diǎn)豎直向下的拉力F足夠大時(shí)，杠桿容易繞D點(diǎn)翻轉(zhuǎn)；當(dāng)以C點(diǎn)為支點(diǎn)時(shí)拉力最小，以D點(diǎn)為支點(diǎn)時(shí)拉力最大，則根據(jù)杠桿平衡條件可得：F1×BC＝G×AC，F(xiàn)2×BD＝G×AD，因?yàn)锳C＝CD＝DB，所以BC：AC＝2：1，BD：AD＝1：2，可得：F1×2＝12N×1，F(xiàn)2×1＝12N×2，解得，F(xiàn)1＝6N，F(xiàn)2＝24N。故答案為：D；6；24。9．（2023?濱江區(qū)模擬）學(xué)習(xí)了杠桿知識后，小金自制了一個(gè)桿秤，如圖。秤桿、秤鉤及秤紐的總質(zhì)量為0.05千克，秤砣的質(zhì)量為0.1千克，秤鉤懸掛處A與秤紐O間的距離為4厘米。（1）已知秤桿、秤鉤及秤紐組成的系統(tǒng)重心在O點(diǎn)。掛上重物后，將秤砣移至距O點(diǎn)16厘米的B處時(shí)，秤桿恰好處于水平平衡，則所掛重物為0.4千克。手提秤紐O的拉力為5.5牛頓；（2）稱完以后，小金發(fā)現(xiàn)使用的秤砣生銹了，則稱得的質(zhì)量偏小（選填“偏大”“偏小”或“不變”）。【解答】解：（1）根據(jù)杠桿平衡條件可得F1L1＝F2L2，故GA×OA＝GB×OB，即：mAg×OA＝mBg×OB，已知OA＝4cm，OB＝16cm，則所掛重物的質(zhì)量：mA=m根據(jù)力的平衡條件可得，手提秤紐O的拉力為：F＝m′g+mAg+mBg＝（0.05kg+0.4kg+0.1kg）×10N/kg＝5.5N；（2）用天平稱量物體時(shí)，如果秤砣生銹，會(huì)導(dǎo)秤砣的實(shí)際質(zhì)量比所標(biāo)質(zhì)量偏大，即F2變大，而F1L1不變，根據(jù)F1L1＝F2L2可知L2變小，則稱得的質(zhì)量偏小。故答案為：（1）0.4；5.5；（2）偏小。10．（2022?臺(tái)州模擬）小金用輕質(zhì)木棒、小桶（容積100mL）等器材，制作了一個(gè)“密度秤”（如圖所示）。已知AO＝10cm，秤砣質(zhì)量為100g，桶內(nèi)不裝任何液體時(shí)，移動(dòng)秤砣到B處，秤桿恰好處于平衡狀態(tài)，請回答下列問題：（1）若OA＞OB，秤砣的質(zhì)量＞小桶的質(zhì)量（填“＞”、“＜”或“＝”）；（2）該秤的刻度是均勻（選填“均勻”或“不均勻”）的；（3）當(dāng)小金向桶內(nèi)裝滿某種液體后，需將秤砣向右移動(dòng)8cm，秤桿再次達(dá)到平衡狀態(tài)，則該液體的密度為0.8×103kg/m3?！窘獯稹拷猓海?）由杠桿的平衡條件F1l1＝F2l2可得m桶g×OA＝m秤砣g×OB，即m桶×OA＝m秤砣×OB，由于OA＞OB，所以m桶＜m秤砣；（2）設(shè)桶內(nèi)裝滿密度為ρ液的某種液體后，秤砣由B點(diǎn)向右移動(dòng)到C點(diǎn)，秤桿再次達(dá)到平衡狀態(tài)后，由杠桿的平衡條件F1l1＝F2l2可得：（m桶+m液）g×OA＝m秤砣g×（OB+BC），又m桶g×OA＝m秤砣g×OB，化簡得：m液×OA＝m秤砣×BC，又m液＝ρ液V液，代入可得：ρ液=BCOA×m秤砣V液，由于OA、m（3）把OA＝10cm，BC＝8cm，m秤砣＝100g，V液＝100mL＝100cm3代入ρ液=BCOA×m秤砣V液中可得：ρ液=故答案為：（1）＞；（2）均勻；（3）0.8×103。11．（2022秋?諸暨市期中）小金是運(yùn)動(dòng)會(huì)儀仗隊(duì)的旗手（如圖）。他豎直舉旗前進(jìn)時(shí)，風(fēng)給紅旗的水平阻力是20N，其作用點(diǎn)可以看成在A點(diǎn)。已知A、B間的距離為1.6m，B、C間的距離為0.4m，B點(diǎn)手對旗桿施加的最小的力是100N。如果風(fēng)力變大，小金可采取哪些方法仍保持旗子豎直將B點(diǎn)手向上移動(dòng)一段距離（寫出一種方法即可）?！窘獯稹拷猓盒〗鹪谪Q直舉旗前進(jìn)時(shí)，以C為支點(diǎn)時(shí)，B處垂直于旗桿向左的力為動(dòng)力，A處垂直杠桿向右的力為阻力，BC為動(dòng)力臂，AC為阻力臂，且AC＝BC+AB＝0.4m+1.6m＝2m；根據(jù)杠桿的平衡條件可得：F1×BC＝F2×CA，所以最小的動(dòng)力為：F1=F風(fēng)力變大，使旗子仍保持豎直，可增大動(dòng)力臂，即可將B點(diǎn)手向上移動(dòng)一段距離。故答案為：100；將B點(diǎn)手向上移動(dòng)一段距離。三．計(jì)算題（共2小題）12．（2021?西湖區(qū)校級二模）一根長為L，質(zhì)量為m的均勻木桿平放在地面上，現(xiàn)要使木桿立起來，推力F與桿始終垂直。（1）力F至少需要對木桿做多少功？（2）設(shè)木桿立起來的過程中與水平面的夾角為θ，試推導(dǎo)出某一時(shí)刻F的表達(dá)式，并說明隨θ增大，F(xiàn)大小如何改變?！窘獯稹拷猓海?）根據(jù)圖示可知，杠桿從水平位置到豎直位置移動(dòng)的距離h=1力F做的功至少等于木桿克服重力做的功，即W＝Gh＝mg×12L（2）根據(jù)杠桿平衡條件和直角三角形知識可得：FL＝G×12F＝G×12cosθ=1答：（1）力F至少需要對木桿做的功為12（2）F＝G×12cosθ=113．（2023?濱江區(qū)模擬）如圖所示為某小區(qū)道閘的結(jié)構(gòu)原理，質(zhì)量8kg、長4m的長直桿AB通過P、Q兩點(diǎn)，固定在半徑為15cm的圓盤C上，圓盤C能夠繞O點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，通過P點(diǎn)帶動(dòng)直桿轉(zhuǎn)動(dòng)。O點(diǎn)距A端為20cm，OP為圓盤直徑，圓盤C與電動(dòng)機(jī)M用齒輪連接。電動(dòng)機(jī)M的齒輪盤順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，長直桿AB隨圓盤C逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。（g取10N/kg）（1）求桿AB水平靜止時(shí)，電動(dòng)機(jī)齒輪對圓盤C齒輪的力；（2）若不計(jì)摩擦，電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率為72W，求道閘直桿從水平轉(zhuǎn)到豎直位置完全打開需要的時(shí)間；（AB垂直地面、不計(jì)能量損失）（3）道閘勻速抬高，圓盤C齒輪受力怎么變？【解答】解：（1）杠桿自重提供阻力：G＝mg＝8kg×10N/kg＝80N；由杠桿平衡公式可知：F1L1＝GL2；作用在杠桿的動(dòng)力：F1＝L2L1×G＝1.8m0.15m×80N＝960N；（2）不計(jì)摩擦，即額外功為零，此時(shí)電動(dòng)機(jī)克服杠桿自重做的有用功等于消耗電能的總功。此時(shí)杠桿重心被提高：h＝1.8m。即：W總＝W有；Pt＝Gh.轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間t＝GhP＝80N×1.8m72W＝2s；（3）由杠桿平衡條件可知：F1L1＝GL2，其中G不變，L1不變，則F1與L2的變化有關(guān)成正比。當(dāng)杠桿抬高時(shí)，杠桿自重的力臂L2不斷減小，所以圓盤C齒輪受力F1不斷變小。答：（1）桿AB水平靜止時(shí)，電動(dòng)機(jī)齒輪對圓盤C齒輪的力為960N；（2）道閘直桿從水平轉(zhuǎn)到豎直位置完全打開需要的時(shí)間2s；