清單07 二次函數(shù)（13個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）（原卷版）25學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講（北師大版）

清單07二次函數(shù)（13個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)【清單02】二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標(biāo)是（h，k）．（3）交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)，a≠0．【清單03】二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對稱軸x=–頂點（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時，y最小值=當(dāng)x=–時，y最大值=最點拋物線有最低點拋物線有最高點增減性當(dāng)x<–時，y隨x的增大而減?。划?dāng)x>–時，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而減小【清單04】拋物線的平移二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)頂點之間的平移求出變化后的解析式．【清單05】二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．3）（1）b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；（3）b2–4ac<0?方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點．【清單06】用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決許多生活和生產(chǎn)實際中的最大和最小值的問題，它的一般方法是：（1）列出二次函數(shù)的解析式，列解析式時，要根據(jù)自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍（2）在自變量取值范圍內(nèi)，運用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值或最小值【清單07】用二次函數(shù)圖象解決幾何問題二次函數(shù)與幾何知識聯(lián)系密切，互相滲透，以點的坐標(biāo)和線段長度的關(guān)系為紐帶，把二次函數(shù)常與全相似、最大(小)面積、周長等結(jié)合起來，解決這類問題時，先要對已知和未知條件進(jìn)行綜合分析，用點的等、坐標(biāo)和線段長度的聯(lián)系，從圖形中建立二次函數(shù)的模型，從而使問題得到解決.解這類問題的關(guān)鍵就是要善于利用幾何圖形和二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達(dá)到解題目的【考點題型一】二次函數(shù)的概念

【典例1-1】下列函數(shù)中屬于二次函數(shù)的是（

）A．y=3x?1 B．y=ax2+bx+c C．y=2【典例1-2】關(guān)于x的函數(shù)y=(m?1)xm2+1+5【變式1-1】下列屬于二次函數(shù)的是（

）A．y=?2x2+3 B．y=2x C．y=【變式1-2】若y=(m?4)x2?5x+3表示y是x的二次函數(shù)，則m【變式1-3】若y=m?2xm2?2+3x是關(guān)于

【考點題型二】特殊二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

【典例2】對于拋物線y=?2x?12+3A．函數(shù)最小值是3 B．當(dāng)x>1時，y隨x的增大而增大C．拋物線的頂點坐標(biāo)是?1,3 D．對稱軸為直線x=1【變式2-1】若二次函數(shù)y=x2+3的圖象經(jīng)過點?1,y1，3,y2A．y1=y2 B．y1【變式2-2】拋物線y=x?12?2A．?1,?2 B．1,?2 C．?1,2 D．1,2【變式2-3】設(shè)A(?5,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是拋物線y=?A．y2>y3>y1 B．【變式2-4】已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=?x?52+1，當(dāng)2<x<6時，【考點題型三】與特殊二次函數(shù)有關(guān)的幾何知識

【典例3】如圖，拋物線C1:y=x2?4x的對稱軸為直線x=a，將拋物線C1向上平移5個單位長度得到拋物線C2【變式3-1】如圖，已知拋物線y1=?12x2+4，?2≤x≤2，將【變式3-2】如圖，拋物線y=13x2?3與x軸交于A，B兩點，F(xiàn)是以點C0,4為圓心，1為半徑的圓上的動點，D是線段AF的中點，連接OD，【變式3-3】將拋物線y=?x2向右平移后，所得新拋物線的頂點是B，新拋物線與原拋物線交于點A（如圖所示），聯(lián)接OA、AB如果△AOB是等邊三角形，那么點B的坐標(biāo)是【變式3-4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點A、B、C的坐標(biāo)分別為1,1、1,4、4,4．若拋物線y=ax2的圖象與正方形ABCD有公共點，則a的取值范圍是

【考點題型四】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)

【典例4】已知二次函數(shù)y=2x2?x+1A．頂點坐標(biāo)為12,7C．當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而減小 D．若1<x1【變式4-1】下列關(guān)于二次函數(shù)y=?3x+1x?2的圖象和性質(zhì)的敘述中，正確的是（A．點0,2在函數(shù)圖象上 B．開口方向向上C．對稱軸是直線x=1 D．與直線y=3x有兩個交點【變式4-2】已知二次函數(shù)y=?mx2+2mx+4m>0經(jīng)過點A?2,y1A．y1<y2<y3 B．【變式4-3】二次函數(shù)y=ax2+x?6的圖象與x軸交于A?3,0、A．它的對稱軸為直線x=1 B．頂點坐標(biāo)為?C．點B的坐標(biāo)為2,0 D．當(dāng)x<?1時，y隨x的增大而增大【變式4-4】拋物線y=ax2+bx+ca≠0，y與x?2012my?5343?5A．開口向下 B．頂點坐標(biāo)為1,4 C．當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小 D．m=4

【考點題型五】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值與求參數(shù)范圍問題

【典例5】已知二次函數(shù)y=x2?2ax+a2?1，當(dāng)A．1或0 B．1或2?3 C．2?3或3?1【變式5-1】已知二次函數(shù)y=x2?bx+1，當(dāng)?32≤x≤12時，函數(shù)A．?2或32 B．?116或32 C．±【變式5-1】已知二次函數(shù)y=mx2?4mx+1，其中m>0．若當(dāng)0≤x≤4時，對應(yīng)的y的整數(shù)值有6個，則mA．12<m<34 B．1<m≤54【變式5-2】已知拋物線y=x2+2a?1x?3，若當(dāng)?1≤x≤3時，函數(shù)的最大值為1，則a的值為【考點題型六】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像判斷有關(guān)的信息

【典例6】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc<0；②2a+b=0；③m為任意實數(shù)，則a+b≤m(am+b)；④a?b+c>0；⑤若ax12+bA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式6-1】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖所示，現(xiàn)給以下結(jié)論：①abc<0；②c+2a<0；③9a?3b+c=0；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式6-2】如圖，已知頂點為?3,?6的拋物線y=ax2+bx+c過?1,?4，則下列結(jié)論：①abc<0；②對于任意的x，均有am2+bm+c+6>0；③?5a+c=?4；④若A．2 B．3 C．4 D．5【變式6-3】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸交于點A?1,0，與y軸的交點在0,?2和0,?1之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1，下列結(jié)論：①4a+2b+c>0；②4ac?A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式6-4】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標(biāo)為12,1，下列結(jié)論：①abc<0；②b2?4ac>0A．1 B．2 C．3 D．4【考點題型七】二次函數(shù)的平移變換

【典例7】將拋物線y=x2向上平移2個單位長度，再向左平移5個單位長度后，得到的拋物線的解析式為（A．y=x+52+2C．y=x+52?2【變式7-1】將拋物線y=3xA．y=3(x+1)2+2C．y=3(x?2)2+1【變式7-2】要得到二次函數(shù)y=?x?22+1A．向左平移2個單位，再向下平移1個單位B．向右平移2個單位，再向上平移1個單位C．向左平移1個單位，再向上平移2個單位D．向右平移1個單位，再向下平移2個單位【變式7-3】在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=x2+1A．y=x?32?1C．y=x+32?1【考點題型八】二次函數(shù)的交點問題

【典例8】拋物線y1=?x2+4x和直線yA．x<0 B．0<x<4 C．0<x<2 D．2<x<4【變式8-1】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，當(dāng)函數(shù)值y<0時，自變量x【變式8-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bxa>0和直線y=kxk>0交于點O和點A，則關(guān)于x【變式8-3】如圖，已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c與一次函數(shù)y2=kx+m的圖象相交于點A(?5,?3)，B(3,4)【考點題型九】二次函數(shù)應(yīng)用-類拋物線問題

【典例9】【綜合與實踐】為響應(yīng)國家“雙減”政策號召，落實“五育并舉”舉措，我縣各校開展了豐富多彩的社團(tuán)活動．球類運動課上，甲乙兩人打乒乓球，讓乒乓球沿著球臺的中軸線運動，從側(cè)面看乒乓球臺如圖所示，MN為球臺，EF為球網(wǎng)，點E為MN中點，MN=28dm，EF=1.5dm，甲從M正上方的A處擊中球完成發(fā)球，球沿直線撞擊球臺上的B處再彈起到另一側(cè)的C處，從C處再次彈起到P，乙再接球．以MN所在直線為x軸，M為原點作平面直角坐標(biāo)系，xdm表示球與M的水平距離，ydm表示球到球臺的高度，將乒乓球看成點，兩次彈起的路徑均為拋物線，BC段拋物線的表達(dá)式為y1(1)①點F的坐標(biāo)為______；②用含t的式子表示：點B的坐標(biāo)為______；點C的坐標(biāo)為______；(2)當(dāng)球在球網(wǎng)EF正上方時到達(dá)最高點，求此時球與F的距離；(3)若球第二次的落點C在球網(wǎng)右側(cè)5dm處，球再次彈起最高為1.25dm，乙的球拍在N處正上方如線段GH，GH=1.5dm，【變式9-1】如圖，小明在某次投籃中，球的運動路線是拋物線y=?0.2x2+3.5A．3m B．3.5m C．4m 【變式9-2】“一河詩畫，滿城煙花”，每逢過年過節(jié)，人們會在美麗的瀏陽河邊上手持網(wǎng)紅煙花加特林進(jìn)行燃放，當(dāng)發(fā)射角度與水平面成45度角時，煙花在空中的高度y（米）與水平距離x（米）接近于拋物線y=?0.5x2+10x?38【變式9-3】圖①是古代的一種遠(yuǎn)程投石機(jī)，其投出去的石塊運動軌跡是拋物線的一部分．據(jù)《范蠡兵法》記載：“飛石重十二斤，為機(jī)發(fā)，行二百步”，其原理蘊(yùn)含了物理中的“杠桿原理”．在如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系中，將投石機(jī)置于斜坡OA的底部點O處，石塊從投石機(jī)豎直方向上的點C處被投出，已知石塊運動軌跡所在拋物線的頂點坐標(biāo)是50,25，OC=5．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在斜坡上的點A建有垂直于水平線OD的城墻AB，且OD=75，AD=12，AB=9，點D，A，B在一條直線上．通過計算說明石塊能否飛越城墻AB．【變式9-4】某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的拱門的跨度與拱高之積為48m方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，點N在x軸上，PE⊥ON，方案二，拋物線型拱門的跨度ON′=8m，拱高P′E′=6m要在拱門中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計），方案一中，矩形框架ABCD的面積記為S1，點A、D在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面積記為S2，點A′

(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在方案一中，當(dāng)AB=3m時，求矩形框架ABCD的面積S1并比較S1【考點題型十】二次函數(shù)應(yīng)用-面積問題

【典例10】以農(nóng)業(yè)和農(nóng)村為載體的生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園，不僅具有生產(chǎn)性功能，還具有改善生態(tài)環(huán)境質(zhì)量，為人們提供觀光、休閑、度假的生活性功能．?dāng)?shù)學(xué)探究小組以“設(shè)計矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園”為主題開展數(shù)學(xué)實踐活動．如圖，△ABC是一塊用籬笆圍出的直角三角形田地，其中∠C=90°，AB=500m，BC=300m，數(shù)學(xué)探究小組準(zhǔn)備繼續(xù)用籬笆在該田地中圍出“矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園”．該觀光園為矩形DEFG，E、F落在BA邊上，D在BC邊上，G在AC邊上，（其中(1)若DE=204m，請求出矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園DG(2)因材料限制，新添加的籬笆總長最多只能為485m【變式10-1】如圖1，用一段長為33米的籬笆圍成一個一邊靠墻并且中間有一道籬笆隔墻的矩形ABCD菜園，墻長為12米．設(shè)AB的長為x米，矩形ABCD菜園的面積為S平方米，(1)分別用含x的代數(shù)式表示BC與S；(2)若S=54，求x的值；(3)如圖2，若在分成的兩個小矩形的正前方各開一個1.5米寬的門（無需籬笆），當(dāng)x為何值時，S取最大值，最大值為多少？【變式10-2】綜合與實踐在綜合實踐課上，小明想做一些矩形木板零件，他找到了一些木板余料：(1)如圖1，已知三角形小木塊△ABC，邊BC=120cm，高AD=80cm，小明要利用它做一個正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．求加工成的正方形零件(2)如圖2，已知三角形小木塊△ABC，邊BC=a，高AD=?，小明要利用它做一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．求加工成的矩形零件PQMN面積的最大值是多少？（用含a，?的代數(shù)式表示）(3)如圖3，已知四邊形的小木塊ABCD，測得AB=60cm，BC=100cm，CD=70cm，∠B=∠C=60°，小明要利用它做一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，CD【變式10-3】如圖，四邊形ABCD中，AD=CD,AB=BC，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．(1)如果箏形的兩條對角線長分別為6cm、8(2)已知箏形ABCD的對角線AC,BD的長度為整數(shù)值，且滿足AC+BD=6．試求當(dāng)AC,BD的長度為多少時，箏形ABCD的面積有最大值，最大值是多少？

【考點題型十一】二次函數(shù)應(yīng)用-利潤問題

【典例11】某款網(wǎng)紅產(chǎn)品很受消費者喜愛，每個產(chǎn)品的進(jìn)價為40元，規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于52元．某商戶在銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天的銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元．(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍．(2)將產(chǎn)品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售產(chǎn)品獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少元？(3)該商戶從每天的利潤中捐出200元做慈善，為了保證捐款后每天剩余利潤等于2200元，求銷售單價x的值．【變式11-1】某商店銷售一種進(jìn)價60元/件的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的每天銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數(shù)，其售價、銷售量的二組對應(yīng)值如下表：售價x/（元/件）80100銷售量y/件10060(1)求銷售量y關(guān)于售價x的函數(shù)關(guān)系式．(2)①設(shè)商店銷售該商品每天獲得的利潤為W（元），求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式．②若規(guī)定售價高于進(jìn)價且不超過進(jìn)價的1.5倍，問當(dāng)售價定為多少時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【變式11-2】某超市購進(jìn)一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克．由銷售經(jīng)驗知，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元）x≥30存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)該超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當(dāng)銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？(3)根據(jù)市場調(diào)查，該超市經(jīng)理要求每天利潤不得低于4320元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價x的范圍（直接寫出）．【變式11-3】著名作家史鐵生用他積極樂觀的人生態(tài)度影響著無數(shù)的讀者，他是當(dāng)之無愧的“時代巨人”．近日華南書苑直播平臺直播帶貨史鐵生散文集《病隙碎筆》，贏得了眾多粉絲的青睞．已知這本書的成本價為每本10元，規(guī)定銷售單價不低于成本價，且不高于成本價的3倍．通過前幾天的銷售發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售定價為15元時，每天可售出700本，銷售單價每上漲10元，每天銷售量就減少200本．設(shè)每天的銷售量為y（本），銷售單價為x（元/本）(1)直接寫出y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(2)若銷售該書每天的利潤為7500元，求該書的銷售單價；(3)甘肅地震牽動著全國人民的心，該主播決定，每銷售一本書就捐贈a元a>0給災(zāi)區(qū)，當(dāng)每天銷售最大利潤為6000元時，求a的值．【考點題型十二】二次函數(shù)與幾何綜合應(yīng)用

【典例12】如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸分別交于點A(?1,0)，B(3,0)，與y軸交于點C(0,3)，點P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，點P(1)求拋物線的解析式；(2)連接OP，若點D在拋物線上且∠DBO+∠POB=90°，求點D的坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線y=ax2+bx+c當(dāng)?1≤x≤4時的函數(shù)圖象記為l1，將圖象l1在x軸上方的部分沿x軸翻折，圖象l1的其余部分保持不變，得到一個新圖象l2．若經(jīng)過點P【變式12-1】如圖，拋物線y=?x2+bx+c與軸交于點A，與x軸交于點B、C，已知A(1)求拋物線的表達(dá)式，并求出點C的坐標(biāo)．(2)點M是拋物線（第一象限內(nèi)）上的一個動點，連接MA，MB，當(dāng)△MAB面積最大時，求M點的坐標(biāo)．(3)若點M坐標(biāo)固定為1,6，Q是拋物線上除M點之外的一個動點，當(dāng)△ABM與△ABQ的面積相等求出點Q的坐標(biāo)．【變式12-2】如圖，拋物線y=?x2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標(biāo)；(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點P，使得以A，C，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【變式12-3】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca<0的圖象與x軸交于A(?1,0)，B兩點，與y軸交于點C，已知(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接AC，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，連接PA，若△PDA與△COA相似，請求出滿足條件的P點坐標(biāo)；若沒有滿足條件的P點，說明理由．【變式12-4】如圖，點C為二次函數(shù)y=x2+2x+1的頂點，直線y=?x+m與該二次函數(shù)圖象交于A(?3,4),B兩點（點B在y(1)求m的值及點C坐標(biāo)；(2)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍；(3)連接AC、BC，求△ABC的面積；(4)在該二次函數(shù)的對稱軸上是否存在點Q，使得以A,C,Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出符合條件的Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式12-5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+3分別交x軸，y軸于A，B兩點，經(jīng)過A，B兩點的拋物線y=?x2+bx+c與x(1)求拋物線的解析式；(2)點D在第二象限的拋物線上，且△AOD與△ABC面積相等，求D點坐標(biāo)；(3)若P為線段AB上一點，∠APO=∠ACB，求AP的長；(4)在（3）的條件下，設(shè)M是y軸上一點，試問：拋物線上是否存在點N，使得以A，P，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考點題型十三】二次函數(shù)與其他實際應(yīng)用綜合【典例13】【綜合探究】運用二次函數(shù)來研究植物幼苗葉片的生長狀況在大自然里，有很多數(shù)學(xué)的奧秘.圖1是一片美麗的心形葉片，圖