2024-2025學(xué)年廣東省湛江市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省湛江市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知空間向量，若，則（

）A． B．C． D．3．已知向量為平面的法向量，點在內(nèi)，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．4．已知橢圓中，，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．過直線上一點P向圓作切線，切點為Q，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．如圖，為四面體的棱的中點，為的中點，點在線段上，且，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．7．在坐標平面內(nèi)，與點距離為3，且與點距離為1的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條8．已知點P是橢圓上一動點，Q是圓上一動點，點，則的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，，則（

）A．當(dāng)時，直線的一個方向向量為B．若與相互平行，則或C．若，則D．若不經(jīng)過第二象限，則10．已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．不存在實數(shù)，使得 D．若，則11．圓與圓，下列說法正確的是（

）A．對于任意的，圓與圓始終相切B．對于任意的，圓與圓始終有四條公切線C．當(dāng)時，圓被直線截得的弦長為D．P，Q分別為圓與圓上的動點，則的最大值為4三、填空題（本大題共3小題）12．已知空間向量和，則在上的投影向量為(用坐標表示).13．已知直線過點，且在軸上的截距是在軸上的截距的兩倍，則直線的方程為．14．橢圓的焦距為2，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且.(1)求A；(2)若a=2，求△ABC面積的最大值.16．某偏遠縣政府為了幫助當(dāng)?shù)剞r(nóng)民實現(xiàn)脫貧致富，大力發(fā)展種植產(chǎn)業(yè)，根據(jù)當(dāng)?shù)赝寥狼闆r，挑選了兩種農(nóng)作物，，鼓勵每戶選擇其中一種種植.為了解當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶對兩種農(nóng)作物的選擇種植情況，從該縣的甲村和乙村分別抽取了戶進行問卷調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下：所有農(nóng)戶對選擇種植農(nóng)作物，相互獨立．村莊農(nóng)作物甲村乙村A250150B250350(1)分別估計甲、乙兩村選擇種植農(nóng)作物的概率；(2)以樣本頻率為概率，從甲、乙兩村各隨機抽取戶，求至少有戶選擇種植農(nóng)作物的概率；(3)經(jīng)調(diào)研，農(nóng)作物的畝產(chǎn)量為斤、斤、斤的概率分別為，，，甲、乙兩村各有一農(nóng)戶種植了一畝農(nóng)作物，求這兩個農(nóng)戶中，甲村農(nóng)戶種植農(nóng)作物的畝產(chǎn)量高于乙村的概率．17．設(shè)常數(shù)，已知直線：，：．(1)若，求的值；(2)若，求與之間的距離．18．已知平面四邊形中，，，且.以為腰作等腰直角三角形，且，將沿直線折起，使得平面平面.

(1)證明：平面；(2)若是線段上一點，且平面，求平面與平面夾角的余弦值.19．已知圓，直線，點在直線上，過點作圓的切線、，切點為、．（1）若，求點坐標；（2）若點的坐標為，過作直線與圓交于、兩點，當(dāng)時，求直線的方程；（3）求證：經(jīng)過、、三點的圓與圓的公共弦必過定點，并求出定點的坐標．

答案1．【正確答案】A【詳解】解：因為直線的斜率為，所以直線的傾斜角是，故選：A2．【正確答案】B【詳解】根據(jù)題意，由，設(shè)，即解得：，則有，由此得．故選：B.3．【正確答案】B【詳解】因為，所以，因為平面的法向量，所以點到平面的距離.故選：B4．【正確答案】B【分析】根據(jù)橢圓離心率的定義和的大小關(guān)系求解離心率的取值范圍即可.【詳解】由橢圓，則橢圓的離心率，又因為，則，所以.故選：B5．【正確答案】A【分析】求出圓C的半徑和圓心，由勾股定理可得，當(dāng)時最小，再由點到直線的距離公式可得答案.【詳解】因為圓C的半徑為，所以，當(dāng)時，最小，因為圓C的圓心為，所以，所以的最小值為．故選：A.6．【正確答案】A【分析】根據(jù)空間向量基本定理得到，故.【詳解】為四面體的棱的中點，為的中點，故，，，因為，所以，.故選：A7．【正確答案】D【詳解】到點距離為3的點的軌跡為以為圓心，半徑為3的圓，到點距離為1的點的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓，則所求直線即為兩圓的公切線，因為，且，可知兩圓相離，有4條公切線，所以符合題意的直線有4條.故選：D.8．【正確答案】C【分析】易知圓的圓心是為橢圓的左焦點，利用橢圓的定義得到，然后由求解.【詳解】如圖所示：由，得，則，則圓的圓心是為橢圓的左焦點，則右焦點為，由橢圓的定義得，所以，又，所以，，故選：C9．【正確答案】CD【分析】代入，根據(jù)方向向量定義即可判斷A，根據(jù)直線平行和垂直與斜率的關(guān)系即可判斷B,C，將直線方程化簡可得，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對A，當(dāng)時，，斜率為，則其一個方向向量為，，A錯誤；對B，若與相互平行，則，解得或，當(dāng)時，與重合，B錯誤；對C，若，則，解得，故C正確；對D，若不經(jīng)過第二象限，，即，則，解得，D正確.故選CD.10．【正確答案】AC【詳解】對于A，因為，所以，解得，故A正確；對于B，因為，所以，所以，故B錯誤；對于C，假設(shè)，則，所以，該方程組無解，故C正確；對于D，因為，所以，解得，所以，，所以，故D錯誤.故選：AC.11．【正確答案】ACD求出圓心距，判斷兩圓位置關(guān)系絈可判斷AB，求出圓心到直線的距離，由勾股定理求得弦長判斷C，由兩圓心距離可判斷D．【詳解】由已知，，等于兩圓半徑之和，兩圓始終相切，A正確，B錯誤；時，，到已知直線的距離為，則弦長為，C正確；由于，∴，共線時最大值．D正確．故選：ACD．12．【正確答案】【分析】利用投影向量的定義結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標運算可得在上的投影向量的坐標.【詳解】已知空間向量和，則在上的投影向量為.故答案為.13．【正確答案】或【分析】當(dāng)縱截距為時，設(shè)直線方程為，代入點求得的值，當(dāng)縱截距不為時，設(shè)直線的截距式方程，代入點求解.【詳解】①當(dāng)直線在兩坐標軸上的截距均為時，設(shè)直線方程為，因為直線過點，所以，所以直線的方程為；②當(dāng)直線在兩坐標軸上的截距均不為時，設(shè)直線在軸上的截距為，則在軸上的截距為，則直線的方程為，又因為直線過點，所以，解得：，所以直線的方程為，即，綜上所述：直線的方程為或，故或．14．【正確答案】3或5【分析】本題首先可根據(jù)焦距為得出，然后將橢圓分為焦點在軸上以及焦點在軸上兩種情況，分別進行計算即可得出結(jié)果．【詳解】解：因為橢圓的焦距為，所以，若焦點在軸上，則有，解得；若焦點在軸上，則有，解得；綜上所述，或．故3或5．15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由余弦定理得，整理得，因為，所以，所以，則，所以.（2）由余弦定理得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以三角形ABC的面積最大值為．16．【正確答案】(1)甲、乙兩村選擇種植農(nóng)作物的概率分別為，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用古典概型的概率求解；（2）根據(jù)甲村和乙村選擇種植農(nóng)作物與種植農(nóng)作物的概率，利用獨立事件和互斥事件的概率求得隨機抽取的戶中有戶選擇和有戶選擇種植農(nóng)作物的概率，再利用對立事件的概率求解；（3）分甲村種植農(nóng)作物的畝產(chǎn)量為斤，乙村為800斤和甲村為1000斤，乙村為800斤或900斤三類，利用獨立事件的概率求解.(1)解：記“甲村選擇種植農(nóng)作物”為事件，“乙村選擇種植農(nóng)作物”為事件，則，．(2)因為甲村選擇種植農(nóng)作物與種植農(nóng)作物的概率估計值分別為，，乙村選擇種植農(nóng)作物與種植農(nóng)作物的概率估計值分別為，．隨機抽取的戶中有戶選擇種植農(nóng)作物的概率為：．有戶選擇種植農(nóng)作物的概率為：．記“至少有戶選擇種植農(nóng)作物”為事件，則．(3)記“甲村農(nóng)戶種植農(nóng)作物的畝產(chǎn)量高于乙村”為事件，則．17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由一般式下兩直線垂直的充要條件可得，即可求解；（2）根據(jù)題意，由一般式下兩直線平行的必要條件可求得的值，進而由平行線間的距離公式計算可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，直線：，：，若，則，解可得a（2）根據(jù)題意，若，則有，解可得或，當(dāng)時，直線：，：，兩直線重合，不符合題意，當(dāng)時，直線：，：，即，兩直線平行，此時與之間的距離18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因，，故，又，且，故在直角梯形中，，由可得；因平面平面，，平面平面，則平面，又平面，則，又，因平面，故平面.（2）如圖，連接交于，因為，，

故，，故，則為等腰直角三角形，故，又，故，為靠近的三分點，又因為平面平面，平面，平面，故，則為靠近的三分點，如圖，以點為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，

則，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，因為靠近的三分點，則，故，，設(shè)平面的法向量為，則由，可取，故，故平面與平面夾角的余弦值為.19．【正確答案】（1）或；（2）或；（3）【詳解】試題分析：解：（Ⅰ）由條件可知，設(shè)，則解得或，所以或(Ⅱ)由條件可知圓心到直線的距離，設(shè)直線的方程為