2024-2025學(xué)年廣西南寧市高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣西南寧市高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若全集，集合，則（）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A．2 B．3 C． D．3．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則（

）A． B． C．3 D．4．已知實(shí)數(shù)，，滿足，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．5．天上有三顆星星，地上有四個(gè)孩子．每個(gè)孩子向一顆星星許愿，如果一顆星星只收到一個(gè)孩子的愿望，那么該愿望成真，若一顆星星收到至少兩個(gè)孩子的愿望，那么向這顆星星許愿的所有孩子的愿望都無法成真，則至少有兩個(gè)孩子愿望成真的概率是（）A． B． C． D．6．已知，則（

）A． B． C．1 D．37．已知函數(shù)（）的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，若函數(shù)在上的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則的范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某科技攻關(guān)青年團(tuán)隊(duì)共有10人，其年齡（單位：歲）分布如下表所示，則這10個(gè)人年齡的（

）年齡454036322928人數(shù)121321A．中位數(shù)是34 B．眾數(shù)是32C．第25百分位數(shù)是29 D．平均數(shù)為34.310．如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，是正三角形，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)：則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，平面平面B．若，直線與平面所成的角的正弦值為C．若直線和異面，點(diǎn)不可能為底面的中心D．若平面平面，且點(diǎn)為底面的中心，則11．設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和.若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．C．D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，為中點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，則.13．已知三棱錐，二面角的大小為，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，其外接球的表面積為.14．拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)正三角形，則這三個(gè)正三角形的中心恰為另一個(gè)正三角形的頂點(diǎn).”利用該定理可為任意形狀的市區(qū)科學(xué)地確定新的發(fā)展中心區(qū)位置，合理組織人流?物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率達(dá)到最佳，因而在城市建設(shè)規(guī)劃中具有很好的應(yīng)用價(jià)值.如圖，設(shè)代表舊城區(qū)，新的城市發(fā)展中心，分別為正，正，正的中心?現(xiàn)已知，的面積為，則的面積為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知等差數(shù)列{an}中，a5＝8，a10＝23．（1）令，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{nbn}的前n項(xiàng)和Sn．16．米接力短跑作為田徑運(yùn)動(dòng)的重要項(xiàng)目，展現(xiàn)了一個(gè)國(guó)家短跑運(yùn)動(dòng)的團(tuán)體最高水平.每支隊(duì)伍都有自己的一個(gè)或幾個(gè)明星隊(duì)員，現(xiàn)有一支米接力短跑隊(duì)，張三是其隊(duì)員之一，經(jīng)統(tǒng)計(jì)該隊(duì)伍在參加的所有比賽中，張三是否上場(chǎng)時(shí)該隊(duì)伍是否取得第一名的情況如下表.如果依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為隊(duì)伍是否取得第一名與張三是否上場(chǎng)有關(guān)，則認(rèn)為張三是這支隊(duì)伍的明星隊(duì)員.張三是否上場(chǎng)隊(duì)伍是否取得第一名的情況取得第一名未取得第一名上場(chǎng)1040未上場(chǎng)6合計(jì)24(1)完成列聯(lián)表，并判斷張三是否是這支隊(duì)伍的明星隊(duì)員.(2)米接力短跑分為一棒?二棒?三棒?四棒4個(gè)選手位置.張三可以作為一棒?二棒或四棒選手參加比賽.當(dāng)他上場(chǎng)參加比賽時(shí)，他作為一棒?二棒?四棒選手參賽的概率分別為，相應(yīng)隊(duì)伍取得第一名的概率分別為.當(dāng)張三上場(chǎng)參加比賽時(shí)，隊(duì)伍取得第一名的概率為0.7.（i）求的值；（ii）當(dāng)張三上場(chǎng)參加比賽時(shí)，在隊(duì)伍取得某場(chǎng)比賽第一名的條件下，求張三作為四棒選手參加比賽的概率.附.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82817．如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，底面是矩形，平面平面分別為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)）.(1)若，求證：點(diǎn)四點(diǎn)共面；(2)若，是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出，若不存在，請(qǐng)說明理由.18．已知橢圓，四點(diǎn)，其中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求的方程；(2)設(shè)是的左?右頂點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為.若，證明：直線過定點(diǎn).19．懸鏈線在建筑領(lǐng)域有很多應(yīng)用.當(dāng)懸鏈線自然下垂時(shí)，處于最穩(wěn)定的狀態(tài)，反之其倒置時(shí)也是一種穩(wěn)定狀態(tài).鏈函數(shù)是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，正鏈函數(shù)表達(dá)式為，相應(yīng)的反鏈函數(shù)表達(dá)式為.(1)證明：曲線是軸對(duì)稱圖形；(2)若直線與函數(shù)和的圖象共有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，證明：；(3)已知函數(shù)，其中.若對(duì)任意的恒成立，求的最大值.

答案1．【正確答案】A【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所?故選：A.2．【正確答案】D【詳解】.故選：D.3．【正確答案】C【詳解】根據(jù)雙曲線的方程寫出漸近線方程，對(duì)照條件可求答案．解：因?yàn)殡p曲線為，所以它的漸近線方程為，因?yàn)橛幸粭l漸近線方程為，所以．故選：．4．【正確答案】C【詳解】由題，，取，則，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即，故C正確.故選：C.5．【正確答案】C【分析】利用古典概型的概率公式，結(jié)合排列組合知識(shí)求解．【詳解】四個(gè)孩子向三顆星星許愿，一共有種可能的許愿方式.由于四個(gè)人選三顆星星，那么至少有一顆星星被兩個(gè)人選，這兩個(gè)人愿望無法實(shí)現(xiàn)，至多只能實(shí)現(xiàn)兩個(gè)人的愿望，所以至少有兩個(gè)孩子愿望成真，只能是有兩顆星星各有一個(gè)人選，一顆星星有兩個(gè)人選，可以先從四個(gè)孩子中選出兩個(gè)孩子，讓他們共同選一顆星星，其余兩個(gè)人再選另外兩顆星，有種情況，所以所求概率為.故選C.6．【正確答案】B【詳解】由，解得，故.故選：B.7．【正確答案】C【詳解】由，令，，要使，（）的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，即在內(nèi)，與有交點(diǎn)，畫出與圖像，如圖：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)故故選C8．【正確答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，所以，又，得，令，得，所以在上的圖象與直線的第一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，第二個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得，綜上所述，.故選.9．【正確答案】BCD【詳解】把10個(gè)人的年齡由小到大排列為，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，A錯(cuò)誤，B正確；由，得這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第3個(gè)數(shù)，為29，C正確；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，D正確.故選：BCD10．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故A正確；對(duì)于B，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則.平面平面，平面平面平面.平面，又平面，則，設(shè)與平面所成的角為，則，由，則，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接，易知平面，由確定的面即為平面，當(dāng)直線和異面時(shí)，若點(diǎn)為底面的中心，則，又平面，則平面，又平面，則平面，則與共面，矛盾，故C正確；對(duì)于D，結(jié)合選項(xiàng)A，B的推理知平面，又平面，則，同理可證,分別為的中點(diǎn)，則，又，故，，則，故D正確.故選：ACD.11．【正確答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，借助賦值法探討對(duì)稱性、周期性，再逐項(xiàng)分析判斷即可得.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由為奇函數(shù)，得，即，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以A正確；對(duì)于B項(xiàng)，由，得，則，又因?yàn)椋谑?，令，得，即，則，，因此函數(shù)是周期函數(shù)，周期為4，由，得，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，顯然函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，所以，，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，，則，所以D正確.故選AD.【思路導(dǎo)引】函數(shù)的定義域?yàn)镈，，①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.12．【正確答案】3【詳解】因?yàn)槿切问钦切?，為中點(diǎn)，所以，所以，又正三角形的邊長(zhǎng)為2，所以，所以.故答案為.13．【正確答案】【詳解】要使棱錐體積最大，需保證到面的距離最大，此時(shí)，又都在面上，故面，且故，設(shè)外接圓半徑為，則由余弦定理，所以，所以，即，所以，外接球半徑，故其表面積為，故答案為.14．【正確答案】【詳解】如圖所示：連接，由題意得：，又因?yàn)?，所以，，解得，由勾股定理得，即，即，由余弦定理得，解得，所以三角形ABC的面積為，故15．【正確答案】（1）見解析（2）Sn＝（n﹣1）?2n+1+2．【詳解】（1）證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a5＝8，a10＝23，∴a1+4d＝8，a1+9d＝23，聯(lián)立解得：a1＝-4，d＝3，∴an＝-4+3（n﹣1）＝3n-7．∴，∴2．∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．（2）nbn＝n?2n．∴數(shù)列{nbn}的前n項(xiàng)和Sn＝2+2×22+3×23+……+n?2n．∴2Sn＝22+2×23+……+（n﹣1）?2n+n?2n+1．∴兩式相減得﹣Sn＝2+22+……+2n﹣n?2n+1n?2n+1．∴Sn＝（n﹣1）?2n+1+2．16．【正確答案】(1)列聯(lián)表見解析，是(2)（i）（ii）【詳解】（1）根據(jù)題意，可得的列聯(lián)表：張三是否上場(chǎng)隊(duì)伍是否取得第一名的情況合計(jì)取得第一名未取得第一名上場(chǎng)301040未上場(chǎng)61420合計(jì)362460零假設(shè)：隊(duì)伍是否取得第一名與張三是否上場(chǎng)無關(guān)；，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為隊(duì)伍是否取得第一名與張三是否上場(chǎng)有關(guān)；故張三是這支隊(duì)伍的明星隊(duì)員.（2）由張三上場(chǎng)時(shí)，作為一棒?二棒?四棒選手參賽的概率分別為，相應(yīng)隊(duì)伍取得第一名的概率分別為.設(shè)事件：張三作為一棒參賽，事件：張三作為二棒參賽，事件C：張三作為四棒參賽，事件D：張三上場(chǎng)且隊(duì)伍獲得第一名；則；（i）由全概率公式：，即，又，聯(lián)立解得.（ii）由條件概率公式.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)存在，或【分析】（1）方法1：利用向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形關(guān)系得到，即可證明；方法2：過作直線與平行，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，再利用平行線段對(duì)應(yīng)成比例得到即可證明；（2）先由面面垂直的性質(zhì)證明平面，再建系，找到平面的法向量和，再利用線面角的公式求出值即可.【詳解】（1）證明：方法1：，系數(shù)和為1，根據(jù)平面向量共線定理可知四點(diǎn)共面.方法2：過作直線與平行，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接.因?yàn)榈酌媸蔷匦危堑闹悬c(diǎn)，所以，且.所以，則直線與直線相交，記交點(diǎn)為.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，可得，則，所以.因?yàn)?，所以點(diǎn)即點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面.（2）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平?取中點(diǎn)，連接，易知兩兩相互垂直，如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，所以.設(shè)，則.設(shè)與平面所成角為，則，解得或，則或.18．【正確答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由橢圓對(duì)稱性，必過，又橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過，所以過三點(diǎn)，代入橢圓方程得，解得橢圓的方程為：（2）依題意，點(diǎn)（i）若直線的斜率為，則必有，不合題意；（ii）設(shè)直線方程為與橢圓聯(lián)立，整理得：，由，則，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，即，設(shè)直線的斜率為，所以，所以，即，因?yàn)椋?，即直線方程為，令，可得，所以直線恒過定點(diǎn).

19．【正確答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解(3)7【分析】（1）將函數(shù)化簡(jiǎn)得，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)即可判斷此函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可大致判斷函數(shù)和的圖象，且為偶函數(shù)，結(jié)合圖象可判斷，且，再解不等式即可；（3）觀察函數(shù)特征，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，得，從而對(duì)恒成立，再解不等式即可.【詳解】（1），令，則，所以為偶函數(shù)，故曲線是軸對(duì)稱圖形，且對(duì)稱軸為.（2）令，得，

當(dāng)；當(dāng)，所以在處取得極小值1，當(dāng)趨近正無窮時(shí)，趨近正無窮，當(dāng)趨近負(fù)無窮時(shí)，趨近負(fù)無窮，恒成立，所以在R上單調(diào)遞增，當(dāng)趨近正無窮時(shí)，趨近正無窮，當(dāng)趨近負(fù)無窮時(shí)，趨近負(fù)無窮，所以的大致圖象如圖所示，不妨設(shè)，由為偶函數(shù)可得，與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，顯然