2024-2025學(xué)年湖北省高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年湖北省高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A．2i B． C．2 D．2．已知三點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與線段AB有公共點(diǎn)時，直線斜率的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．4．圓與圓的公共弦長為（）A． B． C． D．5．已知平面向量滿足.則向量與向量的夾角為（）A． B． C． D．6．一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號分別為1，2，3，4，5，6的6個小球，從中任意摸出兩個球．設(shè)事件“摸出的兩個球的編號之和不超過6”，事件“摸出的兩個球的編號都大于3”，事件“摸出的兩個球中有編號為4的球”，則（）A．事件與事件是相互獨(dú)立事件 B．事件與事件是對立事件C．事件與事件是互斥事件 D．事件與事件是互斥事件7．如圖，在正四棱臺中，.直線與平面EFG交于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．8．閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個法向量為的平面的方程為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是平面與平面的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法不正確的是（）A．若直線的斜率為，則此直線的傾斜角為B．不與坐標(biāo)軸平行或重合的直線，其方程一定可以寫成兩點(diǎn)式C．是直線與直線垂直的充要條件D．是直線與直線平行的充要條件10．如圖，棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)的一個動點(diǎn)（包括邊界），且平面，則下列說法正確的有（）A．的最小值為B．當(dāng)與垂直時，直線與平面所成的角的正切值為C．三棱錐體積的最小值為D．當(dāng)三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為11．已知曲線，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，則（）A．曲線的圖象表示兩個圓 B．的最大值是C．的取值范圍是 D．直線與曲線有且僅有2個交點(diǎn)三、填空題（本大題共3小題）12．經(jīng)過點(diǎn)，且在軸上的截距為軸上截距的2倍的直線方程為.13．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，圓上存在點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，已知點(diǎn)邊上的高線所在的直線方程為，角的平分線所在的直線方程為.(1)求直線AC的方程；(2)求直線AB的方程.16．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，.(1)求；(2)若的面積為，求BC邊上中線的長.17．黃石二中舉行數(shù)學(xué)競賽校內(nèi)選拔賽（滿分100分），為了了解本次競賽成績的情況，隨機(jī)抽取了100名參賽學(xué)生的成績，并分成了五組：第一組50,60，第二組60,70，第三組，第四組，第五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同.(1)求出頻率分布直方圖中a，b的值，并估計此次競賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，第二組考生成績的平均數(shù)和方差分別為65和40，第四組考生成績的平均數(shù)和方差分別為83和70，據(jù)此估計這次第二組和第四組所有參賽學(xué)生成績的方差；(3)甲、乙、丙3名同學(xué)同時做試卷中同一道題，已知甲能解出該題的概率為，乙能解出而丙不能解出該題的概率為，甲、丙都能解出該題的概率為，假設(shè)他們?nèi)耸欠窠獬鲈擃}互不影響，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.18．如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，為AD的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動（不包括端點(diǎn)），設(shè)平面平面，當(dāng)直線與平面所成角取最大值時，求平面與平面夾角的余弦值.19．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)且，那么點(diǎn)的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，直線，點(diǎn)為和的交點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)點(diǎn)為曲線與軸正半軸的交點(diǎn)，直線交曲線于A，B兩點(diǎn)，與A，B兩點(diǎn)不重合，直線MA、MB的斜率分別為，且，證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；(3)當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動時，求的最小值.

答案1．【正確答案】C【詳解】因為，所以，其虛部為：2.故選：C2．【正確答案】B【詳解】運(yùn)用兩點(diǎn)間的斜率公式，，，過點(diǎn)的直線與線段AB有公共點(diǎn)時，如圖所示，直線斜率的取值范圍是.

故選：B.3．【正確答案】D【詳解】因為，所以，，所以，所以在方向上的投影向量的坐標(biāo)為.故選：D.4．【正確答案】C【詳解】圓①與圓②，①－②得，即公共弦方程為，又圓的半徑為，圓心為，圓心到直線距離，所以公共弦長為.故選：C.5．【正確答案】A【詳解】已知，根據(jù)向量模長公式.因為，將其兩邊平方可得.根則有.，所以；，所以.代入上式可得，化簡得，所以.，解得.因為，所以.故選：A.6．【正確答案】D【詳解】解：由題意可知：所以基本事件為：，；；，所以，，，對于A，因為，而，故錯誤；對于B，因為，所以事件與事件不是對立事件，故錯誤；對于C，因為，則，所以事件與事件不是互斥事件，故錯誤；對于D，因為，，所以，所以事件與事件是互斥事件，故正確.故選：D.7．【正確答案】A【詳解】依題意，，在四棱臺中，，設(shè)，則四點(diǎn)共面，.故選：A8．【正確答案】B【詳解】依題意，平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)直線的方向向量為，，，∴，令，∴直線與平面所成角的正弦值為.故選：B.9．【正確答案】ACD【詳解】對于A選項，直線的斜率為時，傾斜角的范圍是.當(dāng)不在這個區(qū)間時，不能直接說直線的傾斜角為.例如時，，但直線傾斜角.所以A選項說法不正確.

對于B選項，不與坐標(biāo)軸平行或重合的直線，它有兩個不同的點(diǎn).兩點(diǎn)式方程（且）適用于這種直線，所以其方程一定可以寫成兩點(diǎn)式，B選項說法正確.

對于C選項，對于直線和，若兩直線垂直，則.對于直線與直線，由垂直條件可得，即，解得或.所以是兩直線垂直的充分不必要條件，C選項說法不正確.

對于D選項，若兩直線平行，則.對于直線與直線，由平行條件可得.由得，即，解得.當(dāng)時，，，，不滿足，所以兩直線不平行.所以不是兩直線平行的充要條件，D選項說法不正確.故選：ACD.10．【正確答案】ABC【詳解】如圖，令中點(diǎn)為中點(diǎn)為，連接MN，又正方體中，為棱的中點(diǎn)，可得，平面平面，又，且平面平面平面，又平面，且平面平面，又為正方形內(nèi)一個動點(diǎn)（包括邊界），平面平面，而平面平面，的軌跡為線段，對A，將平面和平面展開到一個平面內(nèi)，的最小值即點(diǎn)和點(diǎn)連線的距離，由題意易得，所以，從而可得取最短距離時，是的中點(diǎn)，且，又，所以，所以，故A正確；對B，的軌跡為線段與平面ABCD所成的角即與平面所成的角，F(xiàn)點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)在平面的射影P在上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，，故直線與平面ABCD所成的角的正切值為，故選項B正確；對C，由正方體側(cè)棱底面，所以三棱錐體積為，所以面積最小時，體積最小，如圖，，易得在處時最小，此時，所以體積最小值為，故選項C正確；對D，如圖，當(dāng)在處時，三棱錐的體積最大時，由已知得此時，所以在底面的射影為底面外心，，所以底面為直角三角形，所以在底面的射影為中點(diǎn)，設(shè)為，如圖，設(shè)外接球半徑為，由，可得外接球半徑，其外接球的表面積為，故選項D錯誤．故選：ABC.11．【正確答案】ACD【詳解】對于A，由得，即，所以或，所以曲線表示以為圓心，為半徑的兩個圓．故A正確.對于表示到原點(diǎn)距離的平方再加1，如圖，根據(jù)兩圓關(guān)于原點(diǎn)對稱，故最大值考慮一種情況即可，即為.故B錯誤.對于表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率.如圖，設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線為，由直線與圓相切得或故C正確.對于D，由C知，時，則直線為，與圓M相切.圓心N到直線距離，故直線為，與圓N相切.直線與曲線有且僅有兩個交點(diǎn).故D正確.故選：ACD.12．【正確答案】或【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時,因為直線過原點(diǎn)和點(diǎn)，則斜率.直線方程為，即.

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時,設(shè)直線在軸上的截距為，則在軸上的截距為，直線的截距式方程為.因為直線過點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入截距式方程.解得.所以直線方程為，化為一般式為.

故所求直線方程為或.故或.13．【正確答案】【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓是以為圓心，1為半徑的圓，的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓.依題意，兩圓有交點(diǎn)，則，兩邊平方得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】設(shè)Ax1,因為，，所以、為圓上的兩點(diǎn).如圖：

則.又，所以，取中點(diǎn)，則.作直線：，作，，，，垂足分別為，，，.所以又，所以.即.所以.故15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）邊上的高線所在的直線方程為，邊可設(shè)為又點(diǎn)在AC邊上，，求得直線AC的方程為.（2）由，解得設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，解得,又點(diǎn)在直線AB上，，則求得直線AB的方程為：，即.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題設(shè)得于是故由正弦定理得又，故.（2）由（1）知，所以是頂角為，底角為的等腰三角形，即，，設(shè)BC邊上中線的長為，則有..17．【正確答案】(1)，(2)第二組、第四組的方差是(3)【詳解】（1）由題意可知：，解得可知每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均數(shù)等于，（2）設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為，且兩組頻率之比為，成績在第二組、第四組的平均數(shù)成績在第二組、第四組的方差，故估計成績在第二組、第四組的方差是.（3）設(shè)“甲解出該題”為事件A，“乙解出該題”為事件B，“丙解出該題”為事件，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題”為事件，由題意得，所以，所以，所以乙、丙各自解出該題的概率為，則，因為，所以，因為相互獨(dú)立，所以，所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率為.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：連，又，即，均為等邊三角形，，所以四邊形為菱形．取中點(diǎn)，連.為等邊三角形，，又，即，又平面.平面.又平面平面平面.（2）解：平面平面平面PCD又平面平面，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，易得，，令，，令平面法向量為，，令，可得：，即，，令，當(dāng)，，所以平面的法向量，，設(shè)平面的法向量，令，，得設(shè)二面角的夾角為，19．【正確答案】(1)(2)證明見解析，（）(3)【詳解】（1）當(dāng)時，，此時，交點(diǎn)為當(dāng)時，由，斜率為t，由，斜率為，綜上，.直線恒過，直線恒過，若為的交點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是以EF為直徑的圓，又因為當(dāng)代入方程得到不成立，所以點(diǎn)的軌跡不包含點(diǎn).則圓心為EF的中點(diǎn)