2024-2025學(xué)年江西省臨川高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江西省臨川高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的模（

）A． B． C． D．2．已知直線，，若，則m的值為（

）A． B．6 C． D．3．直線的一個方向向量為，且直線經(jīng)過點，則直線的方程為（

）A． B．C． D．4．若拋物線上的一點A到焦點的距離為2，則點A的縱坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．5．將一枚質(zhì)地均勻的股子連續(xù)拋擲6次，得到的點數(shù)分別為1，3，4，5，6，x，則這6個點數(shù)的中位數(shù)為4的概率為（

）A． B． C． D．6．已知直線與橢圓相交于A，B兩點，橢圓的兩個焦點是，，線段AB的中點為，則的面積為（

）A． B． C． D．7．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點滿足.設(shè)點的軌跡為曲線，直線，若直線與曲線交于不同的兩點，是坐標(biāo)原點，且有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，，為雙曲線的左、右焦點，，P為E左支上異于頂點的一點，直線PM平分，，，則E的離心率為（

）A． B．2 C． D．4二、多選題9．已知雙曲線的離心率，C的右支上的點到其右焦點的最短距離為，則（

）A．雙曲線C的焦點坐標(biāo)為B．雙曲線C的漸近線方程為C．點在雙曲線C上D．直線與雙曲線C恒有兩個交點10．已知一組樣本數(shù)據(jù)，其中，由這組數(shù)據(jù)得到另一組新的樣本數(shù)據(jù)，其中，則（

）A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同C．樣本數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為D．將兩組數(shù)據(jù)合成一個樣本容量為10的新的樣本數(shù)據(jù)，該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為211．如圖，四棱錐的底面是邊長為正方形，底面，，、分別為、的中點，過、、的平面與交于點，則（

）A．B．C．四棱錐外接球體積為D．以為球心，為半徑的球面與底面的交線長為三、填空題12．若橢圓的離心率為，則.13．已知定義在R上的函數(shù)，滿足，為偶函數(shù)，滿足，則.14．已知AD是的中線，，，交BC延長線于E，AC是的平分線，則.四、解答題15．函數(shù)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為，其中一個最低點坐標(biāo)為.(1)求函數(shù)的解析式及對稱中心；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間.16．已知圓，點，點.(1)過點作圓的切線，求出的方程；(2)設(shè)為圓上的動點，為三角形的重心，求動點的軌跡方程.17．如圖，平面，，，F(xiàn)為CE中點．(1)求證：平面；(2)求點C到平面的距離．18．已知直線與橢圓相交于兩點.(1)若橢圓的離心率為，焦距為，求線段的長；(2)若（其中為坐標(biāo)原點），當(dāng)橢圓的離心率時，求橢圓的長軸長的最大值.19．若拋物線：()上的點與點(4，1)關(guān)于直線對稱，是拋物線的焦點.（1）求的值；（2）若點是拋物線上使得取得最小值的點，，是拋物線上不同于點的兩點，且有，求證：直線恒過定點.答案：題號12345678910答案DBACACCAABACD題號11答案ACD1．D【分析】運用復(fù)數(shù)除法運算及復(fù)數(shù)模的公式計算即可.【詳解】因為，所以.故選：D.2．B【分析】由可知，列式求解即可.【詳解】因為，所以，即，解得.故選：B.3．A【分析】根據(jù)已知條件，先求出直線的斜率，再結(jié)合直線的點斜式公式，即可求解．【詳解】直線的一個方向向量為則直線的斜率為，直線過點，則，即．故選：A．4．C【分析】將拋物線方程標(biāo)準(zhǔn)化，可得其準(zhǔn)線方程，運用拋物線的定義轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】將標(biāo)準(zhǔn)化為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可知，拋物線上的點到焦點的距離等于點到準(zhǔn)線的距離.如圖所示，所以，解得.故選：C.5．A【分析】的可能取值為1，2，3，4，5，6共6種情況，滿足條件的為4，只有1種情況，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，的可能取值為1，2，3，4，5，6，共6種情況，當(dāng)這6個點數(shù)的中位數(shù)為4時，的取值為4，只有1種情況，所以這6個點數(shù)的中位數(shù)為4的概率為.故選：A.6．C【分析】運用點差法求得的值，進(jìn)而求得的值，結(jié)合求解即可.【詳解】如圖所示，由直線可知，直線斜率，設(shè)，，則①，②，又因為為線段的中點，則，，由①②可得，即，又因為，所以解得，所以橢圓方程為，經(jīng)檢驗點C在橢圓內(nèi)，所以，解得，則，所以.故選：C.7．C【分析】根據(jù)條件先確定出的軌跡方程，則曲線的方程可知，根據(jù)直線與曲線有兩個不同交點確定出的前提范圍，再通過取中點將條件不等式化為關(guān)于OQ的不等式，結(jié)合點到直線的距離公式完成計算.【詳解】設(shè)Px,y，因為，所以，化簡可得，所以的軌跡方程為，所以，即為圓心在，半徑為的圓，因為與有兩個不同交點，所以，所以，設(shè)的中點為，所以，又因為，所以，又因為OQ即為圓心到的距離，所以，所以或，又因為，所以，故選：C.8．A【分析】由題意得，設(shè)與交于點，可得，利用雙曲線定義可得，由離心率公式計算即可.【詳解】由，得，設(shè)與交于點，如圖，由直線PM平分，且，可得為等腰三角形，則為的中點，可得，又因為，可得，即，所以雙曲線E的離心率為.故選：A.9．AB【分析】由題意求出，，，即可求得雙曲線方程、焦點坐標(biāo)、漸近線方程即可判斷A項、B項；點代入雙曲線方程可判斷C項；求出直線恒過定點，可判斷點在雙曲線內(nèi)，當(dāng)過該點的直線與漸近線平行時，直線與雙曲線只有一個焦點即可判斷D項.【詳解】由題意知，，解得，所以雙曲線方程為，所以焦點坐標(biāo)為，雙曲線漸近線方程為，故A項正確，B項正確；對于C項，因為，所以點不在雙曲線上，故C項錯誤；對于D項，由整理得，所以直線恒過點，又因為，所以點在雙曲線內(nèi)，所以當(dāng)時，直線分別與雙曲線的漸近線平行，此時直線與雙曲線只有一個交點，故D項錯誤.故選：AB.10．ACD【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)加減一個數(shù)以及乘以一個數(shù)時，平均數(shù)及方差的性質(zhì)可判斷A、B、D項，根據(jù)百分位數(shù)公式計算可判斷C項.【詳解】由題意知，，又因為，所以，，故A項正確，B項錯誤；對于C項，因為，所以的第30百分位數(shù)為第2個數(shù)據(jù)，又因為的排列為，，，，，所以的第30百分位數(shù)為，故C項正確；對于D項，將兩組數(shù)據(jù)合成一個樣本容量為的新樣本數(shù)據(jù)，則新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故D項正確.故選：ACD.11．ACD【分析】選取基底分別表示各向量，進(jìn)而判斷AB選項，再根據(jù)線面位置關(guān)系可得四棱錐的外接球即為對應(yīng)正方體的外接球，可判斷C選項，由選項可知球與底面交線為以為圓心為半徑的圓，即可得解.【詳解】如圖所示，以，，為基底，分別表示各向量，設(shè)，，則，，，又點在平面上，可得，即，解得，即，，A選項正確；，則不存在使得，即與不平行，B選項錯誤；還原四棱錐到正方體，可知其外接球即為正方體外接球，且正方體棱長為，則外接球半徑，體積，C選項正確；設(shè)以為球心，為半徑的球面與底面的交線上一點為，則，，即點為在為圓心為半徑的圓在四邊形內(nèi)的弧上，即弧長為，D選項正確；故選：ACD.12．2【分析】由橢圓離心率公式計算即可.【詳解】因為，所以，，所以，解得.故2.13．0【分析】運用對稱性可得的周期，給賦值，可分別求得、、，進(jìn)而運用周期性可求得結(jié)果.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，①又因為，所以，②由①②得，③由③得，④由③④得，所以的周期為4，將代入②得，將代入①得，將代入③得，所以，所以，所以.故答案為.14．【分析】設(shè)，在和中，利用正弦定理解得，進(jìn)而利用解三角形知識可得，，，結(jié)合角平分線的性質(zhì)運算求解.【詳解】設(shè)，則，在中，由正弦定理可得，則，在中，由正弦定理可得，則，因為，即，且，則，則，可得，整理可得，解得或（舍去），在中，，，因為，則，即，解得，由余弦定理可得，即，又因為，且，即，可得，解得，又因為AC是的平分線，則，所以.故答案為.15．(1)，對稱中心為(2)和【分析】（1）根據(jù)最低點坐標(biāo)確定出，根據(jù)圖象上相鄰兩個最高點的距離確定出，代入最低點坐標(biāo)可求，由此可求的解析式，再通過整體替換法可求對稱中心；（2）根據(jù)整體替換法結(jié)合單調(diào)遞增區(qū)間的公式，可求解出的單調(diào)遞增區(qū)間，再對分析即可得到在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1）因為最低點的縱坐標(biāo)為，所以，因為圖象上相鄰兩個最高點的距離為，所以，所以，所以，代入點，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，所以；令，則，所以的對稱中心為.（2）令，所以，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.16．(1)或(2)【分析】（1）分別研究切線的斜率不存在與斜率存在時求解即可.（2）設(shè)，，由重心性質(zhì)可得，結(jié)合點為圓上的動點求解即可.【詳解】（1）由題意知，圓心，半徑，當(dāng)切線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，符合題意，當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，所以，解得，此時切線的方程為，即.綜述，切線的方程為或.（2）如圖所示，

設(shè)，，因為，，為的重心，所以，即，又因為點為圓上的動點，則，所以，整理得.即動點的軌跡方程為.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接，證明出四邊形為平行四邊形，得出，即可證明；（2）設(shè)點到平面的距離為，根據(jù)等體積法，由列出方程求解即可．【詳解】（1）取的中點，連接，因為F為CE中點，所以且，又，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因為，，所以，所以，又平面，所以，因為，，所以，由平面，平面，所以，又，所以，所以，設(shè)點到平面的距離為，則，解得，所以點C到平面的距離為．18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓中基本量的關(guān)系計算可得橢圓方程，再聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式求得線段的長即可；（2）設(shè)點，，根據(jù)，可得，再聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理表示關(guān)于基本量，的關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為，因為，可得，從而可得長軸長得最大值.【詳解】（1），，，，則，橢圓的方為，聯(lián)立消去得：，設(shè)Ax1,y1，，（2）設(shè)Ax1,，，即，由，消去得，由，整理得，又，，，由，得：，，整理得：，，代入上式得，，，則，則，，則，故長軸長的最大值為.19．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）首先根據(jù)點與點(4，1)關(guān)于直線對稱，求出點坐標(biāo)，再將點坐標(biāo)代入曲線方程，求得的值.（2）先根據(jù)拋物線方程為及點Q坐標(biāo)判斷點在拋物線內(nèi)部，數(shù)形結(jié)合得到取得最小值時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立韋達(dá)定理得到，，代入，化簡整理得到關(guān)于的等量關(guān)系式，進(jìn)而得到直線恒過定點.【詳解】解：（1）設(shè)，則線段的中點為.依題意可得即解得，所以.由為拋物線上一點，得，.（2）由（1）得拋物線方程為，將代入，得.因為，所以點在拋物線內(nèi)部.過點作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂