2024-2025學(xué)年山東省臨沂市部分縣區(qū)高二上學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省臨沂市部分縣區(qū)高二上學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．已知是直線的方向向量，為平面的法向量，若，則（

）A． B． C． D．4．若圓與圓有3條公切線，則（

）A．5 B．4 C．3 D．25．空間三點，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（

）A． B． C．7 D．6．若圓，點在直線上，過點作圓的切線，切點為，則切線長的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．47．若，兩點到直線的距離相等，則（

）A． B． C．2或 D．2或8．設(shè)為坐標原點，，為橢圓的兩個焦點，點在上，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若直線過點，且在兩坐標軸上截距相等，則直線方程可能為（

）A． B．C． D．10．在平面直角坐標系中，已知，，點滿足，設(shè)點的軌跡為，則（

）A．當(dāng)時，的方程是B．當(dāng)時，以為直徑的圓與的公共弦長為C．當(dāng)時，圓的圓心在線段的延長線上D．以為直徑的圓始終與相交11．如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐側(cè)面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截切，截面分別與球，球切于點，（，是截口橢圓的焦點）.設(shè)圖中球，球的半徑分別為3和1，球心距，則（

）

A．橢圓的中心在直線上B．C．直線與橢圓所在平面所成的角為D．橢圓的離心率為三、填空題（本大題共3小題）12．若點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則.13．若圓上恰有個點到直線的距離等于，則的取值范圍是.14．《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似地下車庫入口形狀的幾何體.如圖，羨除中，四邊形，均為等腰梯形，，，互相平行，平面平面，梯形，的高分別為2，4，且，，，則與平面所成角的正切值為，異面直線與所成角的余弦值為四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在空間四邊形中，，分別為，的中點，點為的重心，設(shè)，，.(1)試用向量，，，表示向量；(2)若，，，求的值.16．已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過圓與圓的交點.(1)求的方程；(2)直線與交于，兩點，當(dāng)弦最短時，求的值，并求出此時關(guān)于對稱的圓的方程.17．如圖，在直三棱柱中，，，，分別為棱，的中點，是與的交點.(1)求點到平面的距離；(2)在線段上是否存在一點，使平面，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.18．在圓上任取一點，過作軸的垂線段，垂足為，點在線段的延長線上，且，當(dāng)在圓上運動時，點形成的軌跡為.（當(dāng)經(jīng)過圓與軸的交點時，規(guī)定點與點重合.）(1)求的方程；(2)設(shè)的上頂點為，過點作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，直線，分別與軸交于點，，證明：線段的中點為定點.19．已知曲線，對坐標平面上任意一點，定義，若兩點，，滿足，稱點，在曲線的同側(cè)；，稱點，在曲線的兩側(cè).(1)若曲線，判斷，兩點在曲線的同側(cè)還是兩側(cè)；(2)已知曲線，為坐標原點，求點集所構(gòu)成圖形的面積；(3)記到點與到軸的距離之和為的點的軌跡為曲線，曲線，若曲線上總存在兩點，在曲線兩側(cè)，求曲線的方程和實數(shù)的取值范圍.

答案1．【正確答案】D【詳解】由題意得，直線的斜率，故直線的傾斜角為.故選：D.2．【正確答案】B【詳解】由得橢圓標準方程為，∴，∴離心率.故選：B.3．【正確答案】A【詳解】因為，所以與平行.對于兩個平行向量和，根據(jù)向量平行的性質(zhì)，它們對應(yīng)坐標成比例，即.由，交叉相乘可得，解得.故選：A.4．【正確答案】A【詳解】圓，其圓心坐標為，半徑.圓，其圓心坐標為，半徑.因為兩圓有3條公切線，所以兩圓外切，此時圓心距.根據(jù)兩點間距離公式，圓心與的距離.又因為，即.移項可得.兩邊平方可得，解得.故選：A.5．【正確答案】D【詳解】因為，，，所以，，所以，，，所以，因為，所以，所以，以，為鄰邊的平行四邊形的面積為.故選：D6．【正確答案】B【詳解】對于圓，其圓心坐標為，半徑.根據(jù)點到直線的距離公式，則.根據(jù)切線長、圓半徑和圓心到點距離構(gòu)成直角三角形，設(shè)切線長為，圓心到點的距離為，圓半徑.由勾股定理，當(dāng)取最小值時，最小，此時.故選：B.7．【正確答案】C【詳解】由題意知，，得，解得或，即實數(shù)的值為或.故選：C8．【正確答案】A【詳解】對于橢圓，可得，.可求出，所以焦點，.設(shè)，，在中，根據(jù)余弦定理.已知，，則.又因為點在橢圓上，根據(jù)橢圓的定義，將展開得.用減去可得：即則.代入中，可得.因為，所以..則，所以.故選：A.9．【正確答案】BC【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過原點時，可得直線方程為：，即．當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，可設(shè)的直線方程為：，把點代入可得：，可得．綜上可得：直線的方程為：或．故選：BC．10．【正確答案】ACD【詳解】設(shè)，因為，，則，整理得點的軌跡為為，對于A，B，當(dāng)時，的方程是，故A正確；此時圓心，半徑，又以為直徑的圓圓心為，半徑為2，圓的方程為，所以兩圓方程作差可得公共弦長所在直線方程為：，故公共弦長，故B不正確；對于C，由于方程為，則此時圓心坐標為，當(dāng)時，，則圓的圓心在線段的延長線上，故C正確；對于D，由于以為直徑的圓方程為，圓的圓心為，半徑為，當(dāng)時，，因為圓的圓心在線段的延長線上，又，則，，故點在圓內(nèi)，在圓外，即此時以為直徑的圓始終與相交；當(dāng)時，，的圓心在線段的延長線上，又，，則，，故點在圓外，在圓內(nèi)，即此時以為直徑的圓始終與相交；綜上，以為直徑的圓始終與相交，故D正確.故選：ACD.11．【正確答案】BD【詳解】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，

點分別為圓與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點，線段是橢圓長軸，可知橢圓C的中心（即線段的中點）不在直線上，故A錯誤；橢圓長軸長，過作于D，連，顯然四邊形為矩形，又，則，過作交延長線于C，顯然四邊形為矩形，橢圓焦距，故B正確；所以直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為，故C錯誤；所以橢圓的離心率，故D正確；故選：BD.12．【正確答案】【詳解】因為點是點在坐標平面內(nèi)的射影，所以，得，所以.故13．【正確答案】【詳解】圓心到直線的距離為，若圓上恰有個點到直線的距離等于，所以，則，解得。所以的取值范圍是.故答案為.14．【正確答案】215【詳解】過點作的垂線，垂足分別為，則.由四邊形，均為等腰梯形得，，.∵，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，∴,由題意得，平面的法向量為.設(shè)與平面所成角為，則，由得，，∴.∵，∴異面直線與所成角的余弦值為.故2；.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）（2），，.16．【正確答案】(1)(2)，.【詳解】（1）設(shè)經(jīng)過圓與圓的交點的圓的方程為：，即為，圓心為，代入得，，所以的方程為；（2）由得，所以直線經(jīng)過與的交點，由，得交點，所以當(dāng)時最短，因為，所以，解得，即直線的方程為由（1）得，半徑，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點，則，解得，所以關(guān)于對稱的圓的方程為.

17．【正確答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）在直三棱柱中，，，以為原點，直線，，分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z所以點到平面的距離.（2）由（1）知，，設(shè)，則，，平面的一個法向量為，由，得，而平面，所以存在點，當(dāng)時，平面.18．【正確答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）設(shè)，Px0,y所以，，因為點在圓上，所以，即的方程為；（2）設(shè)過點的直線為，，，由，得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，因為，都在軸上，所以，中點的縱坐標為0，所以線段的中點為定點.19．【正確答案】(1)，兩點在曲線