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空間中直線與直線之間的位置關(guān)系2同一平面內(nèi),平行于第三條直線的兩條直線互相平行公理4
平行于同一條直線的兩條直線互相平行ABCDA1B1C1D1異面直線所成的角在平面內(nèi),兩條直線相交成四個(gè)角,其中不大于90度的角稱為它們的夾角,用以刻畫兩直線的錯(cuò)開(kāi)程度,如圖.在空間,如圖所示,正方體ABCD-EFGH中,異面直線AB與HF的錯(cuò)開(kāi)程度可以怎樣來(lái)刻畫呢?ABGFHEDCO(2)問(wèn)題提出(1)復(fù)習(xí)回顧NEXTBACK(3)解決問(wèn)題異面直線所成角的定義:如圖,已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a,b′∥b則把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).abb′a′O思想方法:平移轉(zhuǎn)化成相交直線所成的角,即化空間圖形問(wèn)題為平面圖形問(wèn)題思考:
這個(gè)角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān)嗎?即O點(diǎn)位置不同時(shí),這一角的大小是否改變?NEXTBACK異面直線所成的角的范圍(0,90]oo如果兩條異面直線a,b所成的角為直角,我們就稱這兩條直線互相垂直,記為a⊥ba
″㈡:在平面內(nèi),我們可以證明“如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”.空間中這一結(jié)論是否仍然成立呢?定理(等角定理):空間中,如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).觀察:如圖所示,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC與∠A1D1C1,∠ADC與∠A1B1C1兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,這兩組角的大小關(guān)系如何?答:從圖中可看出,∠ADC=∠A1D1C1,∠ADC+∠A1B1C1=180OD1C1B1A1CABDNEXTBACK例1:已知ABCD是四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)平面內(nèi)的空間四邊形,E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),連結(jié)EF,F(xiàn)G,GH,HE,求證EFGH是一個(gè)平行四邊形。解題思想:∵EH是△ABD的中位線
∴EH∥BD且EH=BD同理,F(xiàn)G∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一個(gè)平行四邊形證明:連結(jié)BD把所要解的立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問(wèn)題——解立體幾何時(shí)最主要、最常用的一種方法。AB
DEFGHC變式一:
在例1中,如果再加上條件AC=BD,那么四邊形EFGH是什么圖形?
EHFGABCD分析:在例題1的基礎(chǔ)上我們只需要證明平行四邊形的兩條鄰邊相等。菱形變式二:
空間四面體A--BCD中,E,H分別是AB,AD的中點(diǎn),F,G分別是CB,CD上的點(diǎn),且,求證:四邊形ABCD為梯形.ABCDEHFG分析:需要證明四邊形ABCD有一組對(duì)邊平行,但不相等。練習(xí):
如圖,是平面外的一點(diǎn)分別是的重心,求證:。證明:連結(jié)分別交
于,連結(jié),∵G,H分別是⊿ABC,⊿ACD的重心,∴M,N分別是BC,CD的中點(diǎn),∴MN//BD,又∵
∴
GH//MN,由公理4知GH//BD.
例2:在正方體ABCD-A’B’C’D’中,棱長(zhǎng)為a,E、F分別是棱A’B’,B’C’的中點(diǎn),求:①異面直線AD與EF所成角的大??;②異面直線B’C與EF所成角的大??;③異面直線B’D與EF所成角的大小.平移法OGAC∥A’C’∥EF,OG∥B’DB’D與EF所成的角即為AC與OG所成的角,即為∠AOG或其補(bǔ)角.練習(xí);在正方體ABCD—A1B1C1D1中,練習(xí):1、求直線AD1與B1C所成的夾角;2、與直線BB1垂直的棱有多少條?指出下列各對(duì)線段所成的角:1)AB與CC1;2)A1B1與AC;3)A1B與D1B1。B1CC1ABDA1D11)AB與CC1所成的角=90°2)A1B1與AC所成的角=45°3)A1B與D1B1所成的角=60°2)與棱BB1垂直的棱有:ABCDA1B1C1D1AD、A1D1、DC、D1C1、A1B1、AB、B1C1、BC、相交:異面:垂直相交垂直異面垂直B1CC1ABDA1D11)直線AD1與B1C所成的夾角=90°ABGFHEDC練習(xí)
如圖,正方體ABCD-EFGH中,O為側(cè)面ADHE的中心,求
(1)BE與CG所成的角?
(2)FO與BD所成的角?
解:
(1)如圖:∵BF∥CG,∴∠EBF(或其補(bǔ)角)為異面直線BE與CG所成的角,
又
BEF中∠EBF=45,所以BE與CG所成的角是45ooNEXTBACKO連接HA、AF,依題意知O為AH中點(diǎn),∴∠HFO=30o(2)連接FH,所以FO與BD所成的夾角是30o∴四邊形BFHD為平行四邊形,∴HF∥BD∴∠HFO(或其補(bǔ)角)為異面直線FO與BD所成的角∵HDEA,EAFB∴HDFB∥=∥=∥=則AH=HF=FA∴△AFH為等邊△NEXTBACK
求異面直線所成的角的步驟是:
一作(找):作(或找)平行線二證:證明所作的角為所求的異面直線所成的角。三求:在一恰當(dāng)?shù)娜切沃星蟪鼋?/p>
如圖,已知長(zhǎng)方體ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答:(1)∵GF∥BC∴∠EGF(或其補(bǔ)角)為所求.Rt△EFG中,求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG(或其補(bǔ)角)為所求,Rt△BFG中,求得∠FBG=60oNEXTBACK練習(xí)ABGFHEDC2DABCFEG思考題如圖,正四面體A-BCD中,E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn),求異面直線EF與AC所成的角?∴
EGF中,有EG2+EF2=EF2,∴EGF為等腰直角三角形.∴∠GEF=450為異面直線EF與AC所成的角.思考:對(duì)棱AC與BD所成的角為多少度?注正四面體的對(duì)棱互相垂直解:取BC中點(diǎn)G,連接EG則EG∥AC,∴∠GEF(或其補(bǔ)角)為異面直線EF與AC所成的角,連FG,設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2,則EG=FG=1,連接AF,DF則
AFD中,AF=DF=又E為AD中點(diǎn),∴FE⊥AD,RtAEF中,得EF=NEXTBACK不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。異面直線的定義:相交直線
平行直線異面直線空間兩直線的位置關(guān)系6.課堂小結(jié)NEXTBACK公理4:在空間平行于同一條直線的兩條直線互相平行.異面直線的求法:一作(找)二證三求空間中,如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).等角定理:異面直線的畫法用平面來(lái)襯托異面直線所成的角平移,轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角作業(yè):P56:4,61.空間兩直線平行是指它們()
A.無(wú)交點(diǎn)B.共面且無(wú)交點(diǎn)
C.和同一條直線垂直D.以上都不對(duì)練習(xí)
2.在空間,如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,則這兩個(gè)角()
A.相等B.互補(bǔ)
C.相等或互補(bǔ)D.既不相等也不互補(bǔ)3.一條直線與兩條平行線中的一條是異面直線,那么它與另一條的位置關(guān)系是()
A.相交B.異面
C.相交或異面或平行D.相交或異面BCD4.如圖,
是長(zhǎng)方體的一條棱,這個(gè)長(zhǎng)方體中與異面的棱共有()
A.3條B.4條C.5條D.6條B5.兩條異面直線是指(
)
A.空間兩條沒(méi)有公共點(diǎn)的直線
B.平面內(nèi)一直線與這個(gè)平面外的一直線
C.分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線
D.不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線D6.正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,則OD1與A1C1所成的角的度數(shù)為A1D1C1B1ABCDO9007.在空間四邊形S-ABC中,SA⊥BC且SA=BC,E,F分別為SC、AB的中點(diǎn),那么異面直線EF與SA所成的角等于()CSABEFD(A)300(B)450(C)600
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