《數(shù)學(xué)（第8版 下冊）》 課件 第3章 概率與統(tǒng)計初步

概率與統(tǒng)計初步第3章79目錄3.1隨機事件及其概率3.2等可能事件的概率3.3事件的關(guān)系及其概率運算3.4抽樣方法3.5總體分布的估計3.6總體特征值的估計3.7一元線性回歸80學(xué)習(xí)目標1.隨機事件及其概率：（1）通過日常生活中的實例，理解隨機事件、不可能事件、必然事件的概念；（2）理解隨機事件的頻率與概率的概念；（3）理解概率的基本性質(zhì).2.掌握求等可能事件概率的一些常用方法，如排列、組合的方法及枚舉法.3.理解互斥事件和對立事件的意義，理解互斥事件和互逆事件（或?qū)α⑹录┑母怕视嬎愎?理解相互獨立事件的概念，會計算相互獨立事件同時發(fā)生的概率.814.理解總體、個體、樣本、樣本容量等概念的意義，結(jié)合實際問題，理解隨機抽樣的必要性和重要性，會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本，收集樣本數(shù)據(jù)，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.5.在樣本數(shù)據(jù)整理中，會列頻率分布表，會繪制頻率和頻數(shù)分布直方圖，了解用樣本的頻率分布估計總體分布的思想方法.6.了解總體特征值的估計；會用平均數(shù)、方差（標準方差）估計總體的穩(wěn)定程度.*7.了解一元線性回歸分析及其應(yīng)用.82知識回顧1.商場經(jīng)常設(shè)置轉(zhuǎn)盤抽獎活動，如圖所示，分區(qū)均勻的轉(zhuǎn)盤每個扇區(qū)的圓心角都是一樣的，那么，獲得一、二、三等獎的概率分別是多少呢？83分析

用力轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針對準每個扇區(qū)的機會相等，只需計算各種獎項扇區(qū)數(shù)與總扇區(qū)數(shù)即可.解

一共有13個大小相同的扇區(qū)，一等獎扇區(qū)數(shù)量只有1個，二等獎扇區(qū)4個，三等獎扇區(qū)8個.所以獲得一等獎的概率是，二等獎的概率是，三等獎的概率是.842.盒子里有10個除顏色外其他都相同的乒乓球，其中有4個黃球，6個白球.從盒子里摸出1個球，求事件“摸出1個黃球”和

“摸出1個白球”分別發(fā)生的可能性.分析

從盒子里摸出1個球的所有可能的結(jié)果有10個：4個結(jié)果是

“摸出黃球”，6個結(jié)果是“摸出白球”，而且每個結(jié)果發(fā)生的可能性都相等.解

因為所有可能的結(jié)果有10個，其中，出現(xiàn)“摸出黃球”的結(jié)果有4個，出現(xiàn)

“摸出白球”的結(jié)果有6個.所以，事件“摸出1個黃球”和“摸出1個白球”

發(fā)生的概率分別是

和，即分別為

和.853.1隨機事件及其概率86實例考察下列事件是否一定會發(fā)生？這些事件各有什么特點？（1）拋擲一枚骰子，朝上面的點數(shù)小于或等于6點；（2）早晨太陽從東邊升起；（3）從一副撲克牌（54張）中抽一張，抽出的是紅桃；（4）同性電荷，互相吸引；（5）買一張彩票，沒中獎；（6）隨機拋擲一枚硬幣，是正面朝上.873.1.1隨機事件和樣本空間根據(jù)生活常識，我們知道：上述事件（1）（2）一定會發(fā)生，事件（4）不可能發(fā)生，事件（3）（5）（6）可能發(fā)生也可能不發(fā)生.在一定條件下必然要發(fā)生的事件，稱為必然事件.在一定條件下不可能發(fā)生的事件，稱為不可能事件，用?表示.因為必然事件和不可能事件都是結(jié)果明確可知的事件，也稱為確定事件.在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件.確定事件和隨機事件統(tǒng)稱為事件.88在一定條件下，隨機試驗考察對象的每一個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，所有樣本點構(gòu)成的集合稱為樣本空間，通常用Ω（全集）來表示.只包含一個樣本點（元素）的事件稱為基本事件，例如，拋硬幣試驗中

“拋得正面朝上”和“拋得反面朝上”都只包含一個樣本點，這兩個事件都是基本事件；拋骰子試驗中，“拋得5點”只包含5一個樣本點，所以也是基本事件.基本事件的總數(shù)就是樣本空間中元素的個數(shù).事件“拋得偶數(shù)點”包含2，4，6共3個樣本點，所以不是基本事件，這種事件稱為復(fù)合事件.893.1.2概率的概念與性質(zhì)我們把對隨機現(xiàn)象的一次觀察稱為一次試驗.隨機事件在一次試驗中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，具有偶然性.但是在大量重復(fù)試驗的情況下，它的發(fā)生又呈現(xiàn)一定的規(guī)律性.要知道隨機事件發(fā)生的可能性有多大，又呈現(xiàn)出怎樣的規(guī)律，最直接的方法就是做試驗.一般地，在相同條件下做n次重復(fù)試驗，把隨機事件A

出現(xiàn)的次數(shù)m

稱為頻數(shù)，把比值

稱為頻率.90實例考察觀察下列隨機事件的規(guī)律.拋擲硬幣

歷史上曾有人做過拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗，觀察硬幣落下后正面向上的規(guī)律.91拋擲硬幣試驗結(jié)果

質(zhì)量抽查

對生產(chǎn)的某批乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量進行檢查，觀察優(yōu)等品頻率的規(guī)律.92

某批乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量檢查結(jié)果觀察下表，我們看到當拋擲硬幣的次數(shù)很多時，出現(xiàn)正面的頻率

的值在0.5附近擺動，也就是說，出現(xiàn)正面的頻率值穩(wěn)定在常數(shù)0.5上.觀察上表，我們看到當抽查的球數(shù)很多時，抽到優(yōu)等品的頻率

的值在0.95附近擺動，也就是說，抽到優(yōu)等品的頻率值穩(wěn)定在常數(shù)0.95上.93拋擲硬幣試驗結(jié)果由此，我們得到概率的概念：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A

發(fā)生的頻率

穩(wěn)定在某個常數(shù)上，我們就把這個常數(shù)稱為事件A

的概率，記作P（A）.實例考察中，拋擲一枚硬幣，正面向上的概率是0.5，即P（“正面向上”）=0.5.實例考察中，某批乒乓球的優(yōu)等品的概率為0.95，即P（“抽到優(yōu)等品”）=0.95.94頻率和概率是兩個不同的概念.頻率是指在多次重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)與試驗次數(shù)的比值，而這個比值是隨著試驗次數(shù)的增加而不斷變化的.概率卻是一個確定的數(shù)，因為事件發(fā)生的可能性大小是客觀存在的.在實際應(yīng)用中，通常將試驗次數(shù)最多時的頻率值，作為概率的估計值.由概率的定義，我們可以得到概率的基本性質(zhì)：性質(zhì)1

事件A

的概率滿足0≤P（A）≤1.95性質(zhì)2

必然事件的概率為1，即P（Ω）=1.不可能事件的概率為0，即P（?）=0.也就是說，任何事件的概率是區(qū)間[0，1]上的一個數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性.在一次試驗中，小概率（接近0）事件很少發(fā)生，而大概率（接近1）事件則經(jīng)常發(fā)生.963.2等可能事件的概率97實例考察在下列試驗中，結(jié)果的個數(shù)及每一個基本事件發(fā)生的可能性，有什么共同特征？（1）擲一枚骰子，觀察朝上一面的點數(shù)；（2）有紅桃1，2，3和黑桃4，5這5張撲克牌，從中任意抽取一張，觀察抽到的是什么牌；（3）一口袋中有紅、黃、白3個顏色不同的球，其大小、質(zhì)量完全相同，從中任取一個，觀察取到的是什么球；（4）同一副撲克牌中同一數(shù)字的4張牌反扣在桌面上，任意掀開一張，觀察其花色.98由實例考察可以看出：（1）試驗1共有6種不同的結(jié)果，分別是1點，2點，3點，······，6點，每一種結(jié)果的概率都是.（2）試驗2共有5種不同的結(jié)果，每一種結(jié)果的概率都是.（3）試驗3共有3種不同的結(jié)果，每一種結(jié)果的概率都是.（4）試驗4共有4種不同的結(jié)果，每一種結(jié)果的概率都是.99以上隨機試驗的結(jié)果都是只有有限個，且每一種結(jié)果發(fā)生的概率都相等.像這樣，如果隨機試驗具有下列兩個特點：（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.那么，我們把這一試驗的概率模型稱為等可能概率模型.在等可能概率模型中，如果基本事件的總數(shù)為n，那么任一基本事件Ai（i=1，2，···，n）發(fā)生的概率為P（Ai）=

，而包含m（m≤n）個基本事件的隨機事件A

的概率為1003.3事件的關(guān)系及其概率運算101實例考察學(xué)校將學(xué)生的德育考試成績分為4個等級：優(yōu)、良、中、不合格.某班45名學(xué)生參加了德育考試，結(jié)果見下表.（1）在某一學(xué)期結(jié)束時，某一名同學(xué)能否既得優(yōu)又得良呢？（2）如果從這個班任意抽取一名同學(xué)，那么這名同學(xué)的德育成績?yōu)閮?yōu)或良的概率是多少？102德育考試結(jié)果3.3.1互斥事件與互逆事件將實例考察中德育考試成績的等級為優(yōu)、良、中、不合格的事件分別記為A，B，C，D.在一學(xué)期結(jié)束時，同一名同學(xué)不可能既得優(yōu)又得良，即事件A與B不可能同時發(fā)生.像這樣，不可能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件.對于上述事件A，B，C，D，其中任意兩個都是互斥事件.一般地，如果事件

A1，A2，A3，···，An

中的任意兩個都是互斥事件，就說事件A1，A2，A3，···，An

彼此互斥.設(shè)A

與B

為互斥事件，A∪B

表示A

發(fā)生或B

發(fā)生.在實例考察關(guān)于德育考試成績的問題中，A∪B

就表示事件“成績的等級為優(yōu)或良”，那么，事件A∪B

發(fā)生的概率是多少呢？103從45人中任意抽取1人，有45種等可能的方法，而抽到優(yōu)或良的可能結(jié)果有（9+20）個，從而事件A∪B

發(fā)生的概率為另一方面不難發(fā)現(xiàn)P（A∪B）=P（A）+P（B）.由以上分析得到：如果事件A，B

互斥，那么事件A∪B

發(fā)生的概率等于事件A，B

分別發(fā)生的概率的和，即互斥事件的概率加法公式為P（A∪B）=P（A）+P（B）.104如果將“德育成績合格”記為事件E，那么事件E

與D

不可能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生.像這樣，兩個互斥事件必有一個發(fā)生，則稱這兩個事件為互逆事件（或?qū)α⑹录?事件A的互逆事件記為.互逆事件A與

必有一個發(fā)生，故A∪

是必然事件，從而由此，我們得到一個重要公式1053.3.2獨立事件及其同時發(fā)生的概率分別拋出兩枚硬幣，將“拋出第一枚硬幣，正面朝上”記為事件A，“拋出第二枚硬幣，正面朝上”

記為事件B，很明顯，無論拋出的第一枚硬幣是正面朝上還是反面朝上，對另一枚硬幣正面朝上的概率沒有影響.這就是說，事件A（或B）是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件稱為相互獨立事件.下面我們討論事件

“兩枚硬幣分別拋出，都是正面朝上”，它的發(fā)生就是事件A，B

同時發(fā)生，我們將其記作

A·B.已知

A，B

是兩個相互獨立事件，那么A，B

同時發(fā)生的概率P（A·B）如何計算呢？106拋出第一枚硬幣有“正面朝上”和“反面朝上”2種可能事件，拋出第二枚硬幣也有“正面朝上”和“反面朝上”2種可能事件，因此，兩枚硬幣各拋一次共有2×2種等可能事件，將其記為（正反），（正正），（反正），（反反）.在上面2×2種等可能事件中，正面朝上的結(jié)果只有1×1種，因此，拋兩枚硬幣都是正面朝上的概率為根據(jù)

，我們可以得出P（A·B）=P（A）·P（B）.這就是說，兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積.1073.4抽樣方法108實例考察如果難以逐一觀察或試驗每個考察對象，用什么方法才能得到相對準確的考察結(jié)果呢？一批燈泡中，燈泡壽命低于1000h的為次品.要確定這批燈泡的次品率，最簡單的辦法就是把每一個燈泡都做壽命試驗，然后用壽命不超過1000h的燈泡個數(shù)，除以該批燈泡的總個數(shù).顯然這樣做是不現(xiàn)實的.我們只需從這批燈泡中抽取一部分燈泡做壽命試驗并記錄結(jié)果，根據(jù)這組數(shù)據(jù)計算出這部分燈泡的次品率，從而推斷整批燈泡的次品率.109例如，從這批燈泡中任意抽取10個燈泡做壽命（單位：h）試驗，結(jié)果為1203，980，1120，903，1010，995，1530，990，1002，1340.可以看出，其中有4個燈泡的壽命低于1000h，從而可以粗略地推斷出這批燈泡的次品率為0.4.1103.4.1總體與樣本像上面整批燈泡作為所考察對象的全體稱為總體，總體中每一個考察的對象稱為個體.一般地，為了考察總體ξ，從總體中抽取n個個體來進行試驗或觀察，這n個個體稱為來自總體ξ的一個樣本，n為樣本容量.對來自總體的容量為n的一個樣本進行一次觀察，所得的一組數(shù)據(jù)x1，x2，···，xn

稱為樣本觀察值.1113.4.2簡單隨機抽樣要使樣本及樣本觀察值能很好地反映總體的特征，必須合理地抽取樣本.樣本中的每個個體必須從總體中隨機地取出，不能加上人為的“偏向”.也就是必須滿足下面兩個條件：第一，總體中的每個個體都有被抽到的可能；第二，每個個體被抽到的機會都是相等的.我們稱這種抽樣方法為簡單隨機抽樣，用這種方法抽得的樣本稱為簡單隨機樣本.112具體抽樣方法有以下兩種.1.抽簽法一般地，用抽簽法從個體數(shù)為

N

的總體中抽取一個容量為k的樣本的步驟為：（1）將總體中的N個個體編號；（2）將這N

個號碼寫在形狀、大小相同的號簽上；（3）將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻；（4）從箱中每次抽出1個號簽，連續(xù)抽取k次；（5）將總體中與抽到的號簽編號一致的k個個體取出.這樣就得到一個容量為k的樣本.1132.隨機數(shù)表法用抽簽法抽取樣本時，編號的過程有時可以省略（如用已有的編號），但制簽的過程難以省去，而且制簽也比較麻煩.如何簡化制簽過程呢？一個有效的辦法是制作一個表，其中的每個數(shù)都是用隨機方法產(chǎn)生的（稱

“隨機數(shù)”），這樣的表稱為隨機數(shù)表，我們只需按一定的規(guī)則到隨機數(shù)表中選取號碼.這種抽樣方法稱為隨機數(shù)表法.114例如，前例中抽取10名學(xué)生的方法與步驟：（1）對40名學(xué)生按01，02，···，40編號.（2）在隨機數(shù)表中隨機地確定一個數(shù)，如第2行第3列的數(shù)27.為了便于說明，我們摘錄隨機數(shù)表的第1行到第5行.115（3）從數(shù)字27開始向右讀下去，每次讀一個兩位數(shù)，將不在01到40中的數(shù)跳過去不讀，遇到已經(jīng)讀過的數(shù)也跳過去，便可依次得到27，31，16，39，19，26，22，32，36，4這10個號碼，就是所要抽取的容量為10的樣本.給總體中的個體編號，可以從0開始，例如當

N=100時，編號可以是00，01，02，···，99.這樣，總體中的所有個體均可用兩位數(shù)字號碼表示，便于使用隨機數(shù)表.當隨機地選定起始數(shù)字后，讀數(shù)的方向可以向左、右、上、下等任意方向.116用隨機數(shù)表法抽取樣本的步驟是：（1）將總體中的個體編號（每個號碼位數(shù)一致）.（2）在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始.（3）從選定的數(shù)開始按一定的方向讀下去，若得到的號碼在編號中，則取出；若得到的號碼不在編號中或前面已經(jīng)取出，則跳過，如此繼續(xù)下去，直到取滿為止.（4）根據(jù)選定的號碼抽取樣本.1173.4.3系統(tǒng)抽樣當總體與樣本容量很大時，用簡單隨機抽樣非常麻煩，例如，從3000瓶礦泉水中抽出100瓶進行檢測，通過編號一個個抽取非常費時，這時我們可以使用另一種抽樣方法———系統(tǒng)抽樣.118實例考察某學(xué)校一年級新生共有20個班，每班有50名學(xué)生.為了解新生的視力狀況，從這1000名學(xué)生中抽取一個容量為100的樣本進行檢查，應(yīng)該怎樣抽樣？

通常先將各班學(xué)生平均分成5組，再在第一組（1~10號學(xué)生）中用抽簽法抽取一個，然后按照“逐次加10（每組中個體數(shù)）”的規(guī)則分別確定學(xué)號為11到20，21到30，31到40，41到50的另外4組中的學(xué)生代表.假如第一組中抽到3號，則抽到的班中學(xué)生編號分別為3，13，23，33，43.119將總體平均分成幾個部分，然后按照一定的規(guī)則，從每個部分中抽取一個個體作為樣本，這樣的抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣.系統(tǒng)抽樣也稱為等距抽樣.系統(tǒng)抽樣方法在日常生活中經(jīng)常會用到，例如，某班有5個組，每組人數(shù)相同，老師要隨機抽取5名同學(xué)了解作業(yè)完成情況，可以請每組第3位同學(xué)交作業(yè)（3是一個隨機抽取的數(shù)字），這也可以看作是系統(tǒng)抽樣的簡化使用.120某電影院擬對某電影的觀影情況做一個調(diào)查，如果采用重新編號抽樣的方式，費時且影響觀眾觀影.可采用系統(tǒng)抽樣方式抽取，請每排第n位觀眾填寫調(diào)查表（n為隨機抽取的數(shù)字）.某市由于交通擁堵嚴重，擬進行機動車單雙號限行，即車輛車牌尾號為單號時單日上路行駛，雙號時雙日上路行駛，這也是采用了等距抽樣的思想.如果每天公布可行駛的車輛的具體車牌號將是一項非常艱巨且難以執(zhí)行的工作.前面提到的礦泉水瓶的抽樣，可以從100箱中每箱抽取第n瓶（n是隨機抽取的數(shù)字）組成樣本，也是系統(tǒng)抽樣的一種方式.1213.4.3系統(tǒng)抽樣實例考察某學(xué)校一、二、三年級分別有學(xué)生1200名、960名、840名，為了了解全校學(xué)生的視力情況，從中抽取容量為100的樣本，怎樣抽樣較為合理？由于不同年級的學(xué)生視力狀況有一定的差異，不宜在3000名學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生，也不宜在三個年級中平均抽取.為準確反映客觀實際，不僅要使每個個體被抽到的機會相等，而且要注意總體中個體的層次性.122一個有效的辦法是，使抽取的樣本中各年級學(xué)生的占比與實際人數(shù)占總體人數(shù)的比例基本相同.據(jù)此，應(yīng)抽取一年級學(xué)生（名），二年級學(xué)生（名），三年級學(xué)生（名）.123一般地，當總體由差異明顯的幾個部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總體情況，我們常常將總體中的個體按不同的特點分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中的占比實施抽樣，這種抽樣方法稱為分層抽樣，所分成的各個部分稱為

“層”.分層抽樣的步驟是：（1）將總體按一定標準分層；（2）計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比；（3）按各層個體數(shù)在總體個體數(shù)的占比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；（4）在每一層進行抽樣（可用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣）.1243.5總體分布的估計1253.5.1頻率分布表實例考察為了觀察7月25日至8月24日北京地區(qū)的氣溫分布狀況，可以對北京歷年這段時間的日最高氣溫進行抽樣，并對得到的數(shù)據(jù)進行分析.隨機抽取近年來北京地區(qū)7月25日至8月24日的日最高氣溫，得到下表中的兩個樣本.

怎樣通過以上表中的數(shù)據(jù)，分析比較兩時間段內(nèi)日最高氣溫不低于33℃的狀況呢？126最高氣溫的樣本

單位：℃以上兩個樣本中的不低于33℃天氣的頻率用下表表示.由上表可以發(fā)現(xiàn)，近年來，北京地區(qū)7月25日至8月10日出現(xiàn)日最高氣溫不低于33℃天氣的頻率明顯高于8月8日至8月24日的頻率.實例說明，當總體很大或不便于獲得時，可以用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布.我們把反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表.127高溫天氣的情況一般地，編制頻率分布表的步驟如下：（1）計算極差，確定組數(shù)與組距，組距=，必要時取整.（2）分組.（3）登記頻數(shù)，計算各組頻率，列出頻率分布表.1283.5.2頻率分布直方圖我們繼續(xù)作出前面例題的頻率分布直方圖.129（1）以橫軸表示植物的高度，縱軸表示.（2）在橫軸上標出40.5，46.5，52.5，···，100.5的點.（3）在上面標出的各點中，分別以連接相鄰兩點的線段為底作矩形，高等于該組的.一般地，作頻率直方圖的方法是：把橫軸分成若干段，每一段對應(yīng)一個組距，然后以此線段為底作一個矩形，它的高等于該組的，這樣得出一系列的矩形，每個矩形的面積恰好是該組的頻率.這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖.130頻率直方圖比頻率分布表更直觀、形象地反映了樣本的分布規(guī)律.如上圖所示直方圖在70.5附近達到

“峰值”，這說明產(chǎn)品的尺寸在70.5cm附近較為集中.另外還可以看出，產(chǎn)品尺寸特別大或特別小的都很少，相對“峰值”具有一定的對稱性.頻率直方圖中所有矩形面積之和正好為1，根據(jù)需要，我們也可以使用頻數(shù)直方圖，頻數(shù)分布直方圖的縱坐標為頻數(shù)，每一組矩形高度為該組頻數(shù)，兩種圖形都可以清楚地看到數(shù)據(jù)分布的總體形態(tài)，頻數(shù)分布直方圖繪制難度相對較小.1311323.6總體特征值的估計1333.5.1頻率分布表實例考察某魚塘投放了1萬條魚，經(jīng)一段時間的養(yǎng)殖后，為了了解魚的生長情況，從中隨機打撈出30條，重量（單位：g）如下：742726681724652710720705696683678724735680661665681708724724736653714678735722669723697744134這里的總體是“某魚塘投放的1萬條魚”，將1萬條魚全部打撈上來稱重顯然不太現(xiàn)實，上面抽到的30條魚是總體的一個容量為30的樣本.通常情況下，我們可以用樣本的平均值作為魚塘中所有魚平均重量的估計值，實際上也可以用其他估計量來反映總體的數(shù)據(jù)特征.在數(shù)學(xué)中，通常把能反映總體某種特征的量稱為總體特征值.怎樣通過抽樣的方法，用樣本的特征值估計總體的特征值呢？1353.6.1平均數(shù)及其估計一般地，當樣本容量為

n

時，設(shè)每次抽取的樣本為（x1，x2，···，xn），樣本平均數(shù)記為，則對于實例考察中的問題，我們可通過計算撈出的魚的平均重量來反映魚塘中魚的總體情況，即1363.6.2方差與標準差我們也通過學(xué)生成績的波動情況來反映學(xué)生成績的總體情況，通常用方差來表示.波動越大，方差越大，說明學(xué)生成績參差不齊；波動越小，方差越小，說明學(xué)生整體成績較好.一般地，當樣本容量為

n

時，設(shè)每次抽取的樣本為（x1，x2，···，xn），樣本平均數(shù)記為，方差記為s2，則137其中s為樣本標準差.如實例考察中魚重量的方差為1383.7一元線性回歸139實例考察某超市為了了解熱茶銷量與氣溫之間的相關(guān)關(guān)系，隨機提取了一年內(nèi)6天賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的對照下表.如果某天的氣溫是-5℃，那么你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測這天賣出熱茶的杯數(shù)嗎？140杯數(shù)與氣溫對照表在實際問題中，有聯(lián)系的變量與變量之間的關(guān)系常見的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系.另一類是變量間有一定的關(guān)系，但又不能準確用函數(shù)關(guān)系來表達.通常把研究兩個變量的相關(guān)關(guān)系稱為一元回歸分析.這里我們只研究一元線性回歸分析.141我們以具體的例子來說明一元線性回歸方程的建立.在某種產(chǎn)品表面進行腐蝕刻線試驗，腐蝕深度y（單位：μm）與腐蝕時間x（單位：s）之間相應(yīng)的一組觀察值見下表.142

腐蝕深度與腐蝕時間的觀察值

由上表中的數(shù)據(jù)可以看出，y

有隨x

增加而增加的趨勢，它們之間的這種關(guān)系無法用函數(shù)式準確表達，是一種相關(guān)關(guān)系.為了探求兩者之間的定量關(guān)系，我們以腐蝕時間x

的取值作橫坐標，以y的相應(yīng)取值作縱坐標，在直角坐標系中描點（xi，yi）（i=1，2，···，11），如圖所示.這樣的圖叫散點圖