（寒假）2024-2025年高二數(shù)學(xué) 寒假鞏固講義+隨堂檢測(cè) 第02課 函數(shù)的性質(zhì)（原卷版）

第第頁(yè)第02課函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性與最值1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M(1)?x∈I，都有f(x)≥M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值常用結(jié)論1．?x1，x2∈D且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)?f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)．2．在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)．3．函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的單調(diào)性相反．4．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)y＝f(u)，u＝φ(x)在函數(shù)y＝f(φ(x))的定義域上，如果y＝f(u)與u＝φ(x)的單調(diào)性相同，那么y＝f(φ(x))單調(diào)遞增；如果y＝f(u)與u＝φ(x)的單調(diào)性相反，那么y＝f(φ(x))單調(diào)遞減．考向一函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間【例1】函數(shù)eqy＝log\s\do(5)(x\s\up6(2)＋2x－3)的單調(diào)遞增區(qū)間是______．【變式1-1】函數(shù)y＝logeq\f(1,2)(－x2＋x＋6)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))C.(－2，3) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))方法總結(jié)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用方法與判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法類(lèi)似，有定義法、圖像法、利用常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)法等．值得引起高度重視的是：(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求單調(diào)區(qū)間，必須先求出定義域；(2)對(duì)于基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以直接利用已知結(jié)論求解考向二函數(shù)的最值【例2】設(shè)m∈R，若函數(shù)f(x)＝|x3－3x－2m|在區(qū)間[0，2]上的最大值為4，求實(shí)數(shù)m的值．【變式2-1】設(shè)，函數(shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．方法總結(jié)：研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)行討論求解求解.【變式2-2】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－2a）x＋3a，x＜1，,2x－1，x≥1))的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【變式2-3】函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的范圍是_______.函數(shù)的奇偶性與周期性、對(duì)稱(chēng)性1、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2、周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．常用結(jié)論1．奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．2．函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則T＝2a(a>0)．3．函數(shù)對(duì)稱(chēng)性常用結(jié)論(1)f(a－x)＝f(a＋x)?f(－x)＝f(2a＋x)?f(x)＝f(2a－x)?f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng)．(2)f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱(chēng)．f(a＋x)＝－f(b－x)?f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(a＋b,2)，0)對(duì)稱(chēng)．考向三函數(shù)的周期性及應(yīng)用【例3】已知定義在上的函數(shù)滿足，且圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，則________.【變式3-1】函數(shù)滿足，且在區(qū)間上，則的值為．【變式3-2】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽．當(dāng)x<0時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則f(6)=（）A．?2 B．?1 C．0 D．2【變式3-3】若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,fx－1－fx－2，x>0，))則f(2023)＝________.方法總結(jié)：(1)判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期為T(mén)．(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．(3)在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用．

(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隱含周期的條件：，，，，，等.考向四函數(shù)奇偶性與單調(diào)性、周期性的應(yīng)用【例4】已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，有下列四個(gè)命題：甲：f(x)是奇函數(shù)；乙：f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)；丙：f(x)在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞減；?。汉瘮?shù)f(x)的周期為2．如果只有一個(gè)假命題，則該命題是A．甲B．乙C．丙D．丁【變式4-1】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈＝{x|x≠0}，且滿足對(duì)任意x1，x2∈D，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(3)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集．【變式4-2】已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【變式4-3】設(shè)函數(shù)，若，，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（

）．A． B． C． D．方法總結(jié)：1.已知函數(shù)的奇偶性，反求參數(shù)的取值，有兩種思路：一種思路是根據(jù)定義，由f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立，建立起關(guān)于參數(shù)的方程，解方程求出參數(shù)之值；另一種思路就是從特殊入手，得出參數(shù)所滿足條件，再驗(yàn)證其充分性得出結(jié)果．2.函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性之間有著緊密的聯(lián)系，奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性相反，掌握這一關(guān)系，對(duì)于求解有關(guān)奇偶性與單調(diào)性的綜合問(wèn)題，有著極大的幫助，要予以足夠的重視．函數(shù)的性質(zhì)隨堂檢測(cè)1.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．2.設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．3.設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（）A． B． C． D．4.已知函數(shù)，則A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6.(多選)如果函數(shù)eqf(x)＝log\s\do(a)|x－1|在(0，1)上是減函數(shù)，那么A．f(x)在(1，＋∞)上遞增且無(wú)最大值B．f(x)在(1，＋∞)上遞減且無(wú)最小值C．f(x)在定義域內(nèi)是偶函數(shù)D．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)7.已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．8.設(shè)偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．9.函數(shù)的定義域?yàn)椋羰瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．