2025年中考數(shù)學沖刺專項訓練（全國）專題12 相似三角形四種模型（解析版）

專題12相似三角形四種模型

壓軸題密押

通用的解題思路:

題型一：相似三角形基本模型（4字型）

【方法點撥】基本模型:

反X字型（不平行）

題型二：相似三角形基本模型（A字型）

【方法點撥】基本模型:

A字型（平行）反A字型（不平行）

題型三：相似基本模型（《字型（一線三等角））

【方法點撥】基本模型:

如圖1,4C=4EDF推出叢BDEs叢CFD（一線三等角）

如圖2,/后N俏N4定推出△?!況？s4WE（一線三等角）

如圖3,特別地，當〃時8。中點時：ABDEsADFEs4CFD推小ED平的4BEF,FD斗分4EFC,

題型四：相似三角形基本模型（旋轉(zhuǎn)型（手拉手））

【方法點撥】基本模型：

旋轉(zhuǎn)放縮變換，圖中必有兩對相似三角形.

壓軸題預測

題型一：相似三角形基本模型（4字型）

1.（2024?韶關模擬）如圖1是一張折疊型方桌子，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，支架力。與C8交于點O,

測得力O=BO=5()5?,CO=DO=30cm.

(1)若C￡>=40cm,求48的長;

（2）將桌子放平后，兩條桌腿叉開角度N4%=106。，求力8距離地面的高.（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)值

sin37°?0.60,cos37°?0.80)

rai

【分析】（1）先證明AJBOSAOCO,再由相似三角形的性質(zhì)求出力4的長即可;

（2）過點。作。七_L力4于點E,OFMD于點、F,在RtADOF中，。產(chǎn)=OOsin37。，在RtABOE中,

OE=OBsin37°,EF=OE+OF,進而作答即可.

【解答】解：(1),：AO-BO=50cin,CO=DO=30C/H,

MOB與bCOD是等腰三角形,

NAOB=/COD,

...NA=/B=NC=ZD,

MBOsbDCO,

AOAB

---=---，

DOCD

，回獨

3

即AB的長為；

3

（2）過點。作OE_L/I5于點E,OFLCD于點、F,如圖,

E

AB

?：AAOB=\06°,A4O8與ACOO是等腰三角形,

—d誓j,

在RlADOF中,

OF=OD-sin37。。30x0.60=18（cw）,

在RtABOE中，

OE=OB-sin37°?50x0.60=30（cm）,

.'.EF=OE+OF=3Q+\S=48（C7〃），

.?"3距離地面的高為48M.

【點評】此題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形的應用，解題的關鍵是作出輔助線.

2.〔2024?西安校級模擬）小明為了測量出一深坑的深度，采取如下方案：如圖，在深坑左側(cè)用觀測儀從

觀測出發(fā)點A觀測深坑底部P,且觀測視線剛好經(jīng)過深坑邊緣點E,在深坑右側(cè)用觀測儀CD從測出發(fā)點C

觀測深坑底部尸，且觀測視線恰好經(jīng)過深坑邊緣點尸，點4,E,F,。在同一水平線上.已知力8，Q~

CD1EF,觀測儀48高2〃？，觀測儀CO高1〃?，BE=1.6m,FD=0.8w,深坑寬度EF=88”，請根據(jù)以

【分析】過點P作尸“垂直,垂足為“，然后根據(jù)已知證明,^CDN^APHN,得出

HP=AB=8WN,設=則八方=（8.8-x）/〃，解得M〃=4.4,再求"P即可.

MBDN

【解答】解：過點尸作尸，垂直印，垂足為H,如圖：

???AB1EF,PH1EF,CD1EF,

：.ABHHP,CD//HP,

:.MBMS'PHM,ACDNS^PHN,

ABMBCDDN

HPMHPHHN

:.*竺4嚕生也

MBDN

ABMHCD-HN

MBDN

vAB=2m,5M=1.6〃？，CD=\m,ON=0.8/〃,MN=8.8m,

設=xm,則NH=(8.8-x)m,

2x_Ix(8.8-x)

1.60.8

A=4.4,

2x44

:.HP=——=—=5.5(w),

1.60.8

.?.深坑深度5.5米.

【點評】本題考杳相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應用及分析問題、解決問題的能力.利用數(shù)學知識解決

實際問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容.解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建立數(shù)學模理，把實際問

題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.

3.（2024?常州模擬）圖1是凸透境成像示意圖.蠟燭/。發(fā)出的光線”平行于直線/A,經(jīng)凸透鏡折

射后,過焦點“，并與過凸透鏡中心。的光線CO交于點D,從而得到像8。.其中，物距40=〃，像距BO=v,

焦距。b=/,四邊形4OEC是矩形，DBLAB,MN1AB.

（1）如圖2,當蠟燭力。在離凸透鏡中心一倍焦距處時，即〃=/，請用所學的數(shù)學知識說明此時“不成像”;

（2）若蠟燭/C的長為5cm,物距〃=15c，〃，焦距/=10c〃?，求像距v和像的長.

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AC=EO,NC4O=N/OE=90。，從而可得/。。=/E。/=90。，然后

利用S4S證明AC4O二AEO產(chǎn)，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得NCO/=NEFO,進而可得。O//E/，即

可解答；

(2)根據(jù)垂直定義可得，然后證明8字模型相似AOOSAQ99,

△EFOsbDFB,從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答.

【解答】解：(1):四邊形NOEC是矩形，

:.AC=EO,Z.CAO=Z.AOE=W,

￡EOF=1800-NAOE=90°,

.?.ZC/K)=NEOF=9M,

vAO=OF,

二.^CAO=^EOF(SAS),

：.ZCOA=NEFO，

.-.CO//EF,

.?.CO與E尸沒有交點，

.??此時“不成像”；

(2)vCALAB,DBA.AB,MN1AB,

/.ZCAO=Z-DBO=/EOF=90°,

ZCOA=ZBOD,

^CAO^\DBO,

,CA_DB

"7O~~BO'

5DB

■,運一前'

/.BO=3BD,

???2EFO=4DFB,

/XEFfJs^DFB,

EO_BD

"而=旅‘

?5—BD

"布一。8-10'

5BD

,,10-3BD-10'

解得：8。=10,

BO=3BD=30(cm),

像距v為30c小，像8。的長為10a〃.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三

角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

4.（2023?浙河區(qū)校級三模）綜合與實踐

瑩瑩復習教材時，提前準備了一個等腰三角形紙片力8C,如圖，AB=AC=5,BC=6.為了找到重心,

以便像教材上那樣穩(wěn)穩(wěn)用筆尖頂起，她先把點月與點C重疊對折，得折痕力后，展開后，她把點B與點力

重置對折，得折痕?！埃僬归_后連接C力，交折痕NE于點0,則點。就是A48C的重心.

教材重現(xiàn)：

如圖4-15,用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片.你知道怎樣確定這個點的位置嗎？

在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線（me力刖）.如圖

4-16,月E是&46c的6c邊上的中線.

圖4-15

讓我們先看看三角形的中線有什么特點.

?圖4—16????

（1）初步觀察：

連接"，則"'與"的數(shù)量關系是：_AF=BF_；

（2）初步探究：

請幫助瑩瑩求出入4OC的面積；

（3）猜想驗證；

瑩瑩通過測量驚奇地發(fā)現(xiàn)04=2OE,CO=2OD.她的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由;

（4）拓展探究：

瑩瑩把剪下后得△49C,發(fā)現(xiàn)可以與拼成四邊形，且拼的過程中點4不與點4重合,

直接寫出拼成四邊形時的長.

【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)即可得到答案；

（2）由折疊可知，BE=CE=-BC=3,ZJEC=90°,利用勾股定理求得力￡=4,連接。E,易得DE

2

為A/出。的中位線，則。K//.4C,DE=-AC,于是△OOESAO。，得到絲=匹=」，進而可得

2OAAC2

OA=2OE,則根據(jù)三角形面積公式可得SM℃=」O4C￡，代入計算即可求解；

3tviczk2

（3）連接OE,易得。E為AJ8C的中位線，貝i」QE//XC,DE=-AC,于是△0。4^。以，利用相

2

似三角形的性質(zhì)即可求解；

（4）連接08,由（2）知。4=?,則。七=±,利用勾股定理求得。8=姬，由折疊可知

333

ZADF=Z.BDF=90°,AF=BF,AD=BD=）,易證△尸BOs/uBE,由相似三角形的性質(zhì)可求得

2

957

BF=—f則叮=一，分兩種情況討論：當"與點4重合時，此時Od=O8：當點4與點廠重合時，

66

利用勾股定理求出。/即可.

【解答】解：（1）?.?點8與點力重疊對折，得折痕。歹，

/.MDFs\BDF（折疊的性質(zhì)），

??.AF=BF；

故答案為：AF=BF；

（2）由折疊可知，BE=CE=-BC=3,N/EC=90。，

2

在RtAACE中，AE=y）AC2-CE2=>/52-32=4,

如圖，連接OE，

A

?.?點。、E分別為、8c的中點，

/.QE為A44c的中位線，

:.DEMAC,DE=-AC,

2

NODE=NOCA,NOED=AOAC,

/.AODEsbOCA,

OEDE\

---==一，

OAAC2

OA=20E?

,/OA+OE=AE=4,

2X

：,OA=-AE=-

33t

11Q

S^.=—OA?CE=-x—x3=4；

市oc223

（3）正確，理由如下:

如圖，連接。七，

/點。、E分別為的中點，

OE為的中位線，

DE//AC,DE=-AC,

2

NODE=ZOCA,NOED=Z.OAC,

AODEsbOCA,

OEODDE1

「?---=----=----=-，

OAO（JAC2

?.OA=20E,OC=2OD；

(4)如圖，連接08,

在RQOBE中，OB=ylOE2+BE2

由折疊可知，/ADF=NBDF=90

：.NBDF=NBEA=90°,

NFBD=NABE,

bFBDsfBE，

即2=空,

BEBA35

二.BF=—,

6

257

:.EF=BF-BE=—-3=-

66f

當4與點8重合時，如圖①②，連接。8,

圖①

/o7

此時04=08=^x一；

3

A

?/ZJFB+Z/lFC=180o,NAFC=N4FC：

ZL4FB+ZJTV=180°,

此時拼成的圖形為三角形，不符合題意;

圖③

：6=OF耳.

綜上，0/的長為坦或業(yè)..

36

【點評】本題主要考查折疊的性質(zhì)、中線的定義、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線

的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關鍵是讀懂題意，熟知折疊的性質(zhì)，學會利用數(shù)形結(jié)合

和分類討論思想解決問題.

5.（2023?南關區(qū)四模）如圖，是0。的直徑，OA=3.動點尸從點力出發(fā)，在00上沿順時針方向運

動到終點3,速度為每秒點個單位.同時動點。從點3出發(fā)，在。。上沿順時針方向運動，速度為每秒3乃

個單位.當點夕到達終點時，點。也隨之停止運動.連結(jié)OP、O。.設點。的運動時間為/秒.

（1）00的周長為—6?！?；

（2）當點〃與點0重合時，求崩所在的扇形的面積；

（3）當0P1。。時，求，的值；

（4）作半徑。。的垂直平分線交。。于點M、N,連結(jié)P。.當P。將線段MN分成1:2的兩部分時，直接

寫出，的值.

【分析】（1）直接利用圓的周長公式計算即可；

（2）當點。與點。重合時，根據(jù)點P走過的弧長+弧48的長=點8走過的弧長列出方程，求出，值，于

是可求出辦所在扇形的圓心角度數(shù)，進而利用扇形的面積公式求解即可；

（3）分兩種情況：當點P與點。重合前,當點。與點。重合前.根據(jù)兩點走過的弧長關系列出方程,求解

即可；

（4）情況一：連接0M,PM,PN,ON,PQ交MN于點、H,=根據(jù)線段垂直平分線的

性質(zhì)易得AOPM為等邊三角形，APON為等邊三角形，進而得到四邊形PM0N為菱形，易得AGFVSAPHM,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得GN=LpM=Lov,由等邊三角形三線合一可知PG垂直平分ON,于是可得

22

^HON=AHNO=30°,則/力OP=30。，利用此時崩的長小點P的運動速度即可得到時間；情況二：同情

況一方法即可求解.

【解答】解：（1）。。的周長為24x3=6乃；

故答案為：6兀；

（2）當點夕與點。重合時，

3"+九7=3九7,

解得：，=2,

2

3

一71

.?.點P走過的圓心角度數(shù)為乙X360°=90°,

6兀

—onQ

所在的扇形的面積為衛(wèi)x;rx32j；

3604

（3）當點。與點。重合前，OPLOQ,

則,x6%一二3"一3乃1,

4

解得：/=3；

4

當點P與點。重合后，OP1O。，

1、

無7+—X6x4=5711-571,

4

解得：f=

4

（4）情況一：如圖，連接OM,PM,PN,ON,PQ交MN于點、H,NH:MH=\:2,

vMN垂直平分OP,

0M=PM,

,/OP=OM,

OP=OM=PM,

XOPM為等邊三角形，

/.￡POM=60°,

同理可得：APON為等邊三角形，

OP=PN=ON,NPON=60°,

"WON=120°,PM=OM=ON=PN,

.?.四邊形尸MON為菱形,

PXf//ON,

△GHNSKHM,

里二些=1,即GN」PM,

PMMH22

GN=-ON,

2

尸G垂直平分。N,

NH=OH，4HNO=Z.HON，

???NMON=120°,OM=ON,

/.ZONM=3()。，即4HN0=30°,

/.NHON=ZHNO=30°,

/.NAOP=4PON-/HON=60°-30°=30°,

迎,6”?

,U=^=1;

兀2

情況二：連接OM,PM,PN,ON,PQ交MN于點H,NH:MH=1:2,

Q

同理可得：N8OP=30。,

...AAOP=\80°-Z.BOP=180°-30°=150°,

150,

.「

?1_-3-6--0------—_5一

7T2

綜上，f=，或

22

【點評】本題主要考查圓的面積公式、扇形的面積公式、弧長公式、一元一次方程的應用、線段垂直平分

線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)等，理清題意，學會

利用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題關鍵.

6.（2023?海曙區(qū)校級三模）如圖1,在菱形48CQ中，48=2后，點P是對角線8。上的動點，。。是△尸48

的外接圓，tanZZ）5C=-,設。。的半徑為r,BP=x.

2

圖1圖2

(D如圖2,當/〃=/4時，求證：AC是0。切線；

(2)延長4P交射線8c于點。.

①如圖3,若8尸為。。直徑，求C。的長；

②如圖4,若點0、A、。三點共線，求理的值：

PQ

(3)當0<x<4時，直接寫出廠與x的函數(shù)關系式：_/.=：>/5/-40尤+1()()_.

【分析】(1)連接80并延長交。。于點E,連接產(chǎn)￡,由此得NE+/E8尸=90。，然后根據(jù),以=%?以及

菱形的性質(zhì)可證：4BAP=4ABP=4E=/CBP,據(jù)此可得/￡水?=90。，進而利用切線的判定可得出結(jié)論;

(2)①連接PC,根據(jù)已知條件ian/O8C=；可求出P4=PC=石，進而根據(jù)A0PC和整陽相似，然后

列出比例式即可求出C0的長；

②延長彳。與。。交于點G,連接G尸，AC,4c與BD交于H,先證明產(chǎn)G=P。，再證產(chǎn)G=24P,根據(jù)

已知條件tanNQ4C=［分別求出,4，=2,。，=4,可設/尸="，則PG=P。=2。，PH=2a-4,然后在

2

RtAAPH中，由勾股定理求出。，進而求出8P的長和OP的長，最后根據(jù)A4。尸和A08P相似可得出答案;

(3)作0。的直徑尸.”，連接力W,連接力C交8。于點〃，［tl4Q=x,貝I|P〃=4—x,在RtAAPH中，

由勾股定理求出力尸，再由NM=N/6O=NO4c得tan/M=L進而得4W=24P,最后在RtAAMP中，

2

由勾股定理可得出r與x的函數(shù)關系式.

【解答】（1）證明：作OO的直徑4E,連接尸E,

???BE為QO的直徑,

ZEPB=90°,

ZE+NEBP=90°,

又?：PA=PB，

PA=PB,

NBAP=NABP=NE,

:.NABP+NEBP=90°,

?.?四邊形力8CO為菱形,

/.NABP=NCBP,

NCBP+/EBP=90。,

即：ZEBC=90°,

又「08為。。的半徑，

:,BC為?0的切線.

(2)解：①連接PC,

NPAB=NPCB=900,

?.?四邊形力8CQ為菱形，AB=BC=26

ZDBC=NDAB,

pr1

在RtAPBC中，tanNDBC

BC2

即：今PC=上I，

2石2

PC=4S,

???Z.DBC=Z.DAB，NPAB=4PCB=90°,

PA=PC=4S,

vZQCP=ZQAB=9(f,NPQC=ZBQA,

XQPCsbQBA，

PQ=CQPC=V5

~BQ~7Q~AB~2^5f

：.RQ=2PQ，AQ=2CQ,

RQ=RC+CQ=2舊+CQ、4。=4P+PQ=#+PQ.

:.2舊+CQ=2PQ,舊+PQ=2CQ,

由后+尸0=2CQ得：PQ=2CQ-y/5,

將PQ=2CQ—出代入2石+CQ=2尸Q,得：。0=孚.

②延長月。與OO交于點G,連接GP,AC,4c與BD交于H,

?.?四邊形力8。力為菱形，

:.AB=AD=2后,ACLBD,且AH=CH,BH=DH,ADIIBC,

ZABD=ZADB,

又「ABD=NG,

：.ZG=ZADB,

PG=PD,

vAD//BC,

NADB=NDBC=NG,

?/tan/DBC=-,

2

tanZ.ADB=tanZE=—?

2

AP1

在RtAAPG中，tanZF=——=一，

PG2

即：PG=2AP,

設/尸=a,則尸G=尸。=2a,

AU1

在RtAADH中，tanZADB=-=-,

HD2

即：HD=2AH,

由勾股定理得：HD2+AH2=AD',

?.(i2AH)2+AH-=(2x/5)2,

AH=2,

:.HD=4,

:.PH=PD-HD=2a-A,

在RtAAPH中，由勾股定理得：AP2=AH2+PH1,

即：即=22+(2a-4)2,

解得：%=果生=2(不合題意，舍去)，

PD=2a=—,

3

又;BD=2HD=8,

2()4

二BP=BD-PD=8——=一，

33

vAD//BC,

MDPs&QBP,

20

一

尸

。3

-7--

尸T=5.

3

(3)解：r=—-40x+100.理由如下:

2

作。。的直徑PM,連接連接4C交8。于點〃,

由(2)可知：AH=2,BH=4,

,/BP=x,

:.PH=BH-BP=4-x,

在RtAAPH中，由勾股定理得：AP2=AH2+PH2=(4-x)2+22=x2-8x+20,

?.?PM為O。直徑，

PM=2r,ZMJP=90°,

?/ZM二4ABD=Z.DBC,

tanZ八.M/=—1,

2

Ap1

在R3AMP中，tanZM=—=-,

AM2

=2Ap,

在RtAAMP中，由勾股定理得：AP2+AM1=,

即：AP2+(2AP)2=(2r)2,

...5AP2=4/2,

4/=5(x2-8x+20)=5x2-40x+100,

/.r=—V5x2-40x+100.

2

故答案為：,-=lV5x2-40x4-100.

2

【點評】此題主要考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角

函數(shù)、勾股定理等，解答此題的關鍵是熟練掌握切線的判定，直徑所對的圓周角是直角.構(gòu)造圓的直徑，

利用直徑所對的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形，并利用三角函數(shù)的定義找出相關線段的關系是解答此題的

難點.

7.(2024?廬江縣一模)已知：如圖，AZM8和中，DA=DB,EB=EC,4ADB=NBEC,且點X、

B、C在一條直線上，聯(lián)結(jié)4￡、ED,AE與BD交于點F.

(1)求證：DF,BC=BF?AB；

(2)若DF=CE,求"的值.

BD

【分析】（1）根據(jù)已知易證AD4ESA反g然后利用相似三角形的性質(zhì)可得NO"=NE8C,—,

EBEC

從而可得/Q//E4,進而證明8字模型相似&4O產(chǎn)SAE用丁最后利用相似三角形的性質(zhì)可得絲=空，

EBBF

等量代換得出黑=,，即可解答:

7

（2）利用（1）的結(jié)論可得：bDABs^EBC，從而可得NO3/1-乙ECB,進而可證A字模型相似AJZ?7sAz1c后，

然后利用相似三角形的性質(zhì)可得生=烏，從而可得4￡=2，再利用（1）的結(jié)論可得：—,

ABBFABBFBCBF

從而可得絲=W￡,進而可得力旌=4C.8C,最后根據(jù)黃金分割的定義可得點〃是力C的黃金分割點，從

BCAB

而可得鋁'進而可得務=箓=*’進行計算即可解答?

【解答】證明：(1)---DA=DB,EB=EC.

DADB

----=-----9

EBEC

ZADB=4BEC,

NDABS'EBC，

DA_AB

￡DAB=Z.EBC,

/.AD//EB,

ZDAF=乙4EB,NADF=NDBE,

MDFsbEBF,

ADDF

---=----，

EBBF

ABDF

----=-----9

BCBF

DFBC=BFAB；

(2)解：由(1)得：?:ADABs'EBC,

...NDBA=4ECB,

???NFAB=/EAC,

:.MBFsMCE,

ACCE

???Db=CE,

?HC二DF

,~AB~'BF

ABDF

由（1）得:

~BC~~BF

ABAC

~3C~~AB

AB2=AC-BC,

點8是4C的黃金分割點,

ABV5-1

---=------,

AC2

ACDF2

DF_2_2_2(6_1)_6-1

8。一石-1+2-x/5+1-(x/5+l)(x/5-l)-2

需的值為“-1

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判

定與性質(zhì)，黃金分割是解題的關鍵.

8.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級二模）四邊形R8C。內(nèi)接于。。，4C是0。的直徑，連結(jié)8。交彳。于點G,AF1BD,

D

圖1圖2

(1)如圖1,若AF交BC于點、F.

①求證：ABAF=ZCAD：

4

②若OO的直徑為10，cosZBCA=~,BE:CG=3:5,求"'的長.

（2）如圖2,若4F交CD于點F,連結(jié)。。，若ODHAB,力石=石，DF=2CF,求。。的直徑.

【分析】（1）①易得//8。=90。=/力￡8,利用同角的余角相等得NC8O=N84/，結(jié)合圓周角定理即可得

證；

②過點G作GKJ.8C于點K,由題意易得4。=8,48=6,sinZKCG=sinZBCA=—=-,

CG5

4R3

tanZKCG=tanZBCA結(jié)合：CG=3:5知=GK,進而利用44S證明A48廠蘭ABKG,得

AC4

至h48=6K=6,于是CK=2,

KG=CK-tanZKCG=±=BF,最后利用勾股定理求解即可：

2

（2）設力F交OD于點0,過點。作?！╛1_力尸于點〃，鏈接6。并延長交力產(chǎn)于點尸，延長力產(chǎn)交OO于

點G,連接CG,易得QH=PH,CG//OH//BD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)依次得出CG=2OH,DE=40H,

EP=6PH,DQ=-OD,BE=6OH,于是里=^=>,則

5DE40〃2

4FRFT.0SSx/s

—=—=-^>QE=-AE^>AQ=-AE=—,易得AAQD=ABAQ=ZODA=ZOAD,于是

2333

力。=/10=卷5,M）AQs&DOA,得到</>'="）?。。，設。。的半徑為尸，則OO=r,。0=1廠，以此

列出方程求解即可.

【解答】（1）①證明：?.YC是。。的直徑，AF1BD,

NABC=90°=/AEB,

ZABE+ZCBD=90°,ZABE+ZBAF=90°,

：.ZCBD=NBAF,

又;CD=CD,

...ZCBD=Z.CAD,

/.ZBAF=ACAD.

②解：如圖，過點G作GK_L4C于點K,

B

4

在RtAABC中，AC=\O,cosZ5CJ=—=-,

AC5

/.BC=S，

由勾股定理得AB=y/AC2-BC2=V102-82=6,

/.sinZZ?CJ=—=-,tanZi?CJ=—=-,

AC5AC4

在RtAGKC中，sin^KCG=sinZ5CJ=—=-,tanNKC'G=tanN8G4="=3,

CG5AC4

又7BF.CG=3:5,

BF=GK,

在MBF和\BKG中，

ZBAF=ZKBG

-NABF=ZBKG，

BF=KG

:.MBF^\BKG(AAS)，

AB=BK=6,

；.CK=BC-BK=8-6=2,

/.KG=CK-tanNKCG=2x-=-,BF=KG=~,

42

.?./產(chǎn)-J"爐+"42奇-當

(3)解：如圖，設力尸交。。于點0,過點。作OHITIF于點H,鏈接80并延長交力產(chǎn)于點P,延長/IE

交。。于點G,連接CG,

?/AFA.BD,OHLAF,

...￡0H0=NBEG=90°,

OH//BD,

/.ZQOH=NODB,ZPOH=NOBD,

又7OB=OD,

Z.ODB=乙OBD,

AQOH=4POH,

QH=PH,

?：AC為OO的直徑,

ZAGC=900="HQ=/AEB,

/.CG//OH//BD,

MOHsMCG=>-=—=-=>CG=2OH,

CGAC2

DFDF2

^DEFs^CGFn—=——=-nDE=ICGnDE=4OH,

CGCF1

4

皿~器嚼嗡嚼=4=>QE=4PH,DQ=4OQ=EP=6PH,DQ=jOD,

^OPH^\BPE^-=-=-^BE=6OH,

BEPE6

BE60H3

DE4OH2

-OD//AB,

:.MBEsbQDE,

QEDE2333

-AD=AD,OD=OC,

ZOCD=/ABD=ZODC,

NBAE=900-AABD=90°-NODC=NODA，

vOD//AB,OA=OD,

...ZAQD=ZBAQ=NODA=ZOAD,

AD=AQ=^y-,\DAQ^\DOA,

:處=吆,即心=。。?。0

DODA

4

設。O的半徑為廠，則OO=〃，DQ=M，

25

~6

.?.00的直徑為號.

【點評】本題主要考查圓周角定理、銳角三角形函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性

質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)等，屬于圓的綜合題，難度較大，是中考壓軸題.解

題關鍵是正確作出輔助線，利用平行線和相似三角形的性質(zhì)解決問題.

9.（2023?谷城縣模擬）在A44C和中，NC=NEBD=90。,/BAC=NBED=a,點。在線段力C上.

圖⑴圖⑵圖⑶

（1）【特例證明】如圖（1）,當a=30。時，EO?L48,證明：AE1AC；

（2）【類比探究】如圖（2）,當a工30。，點。是線段4c上任一點時，證明:

Q）NBDFsM：AF；

②<￡_L4C；

（3）【拓展運用】如圖（3）,當a=45。時，——=-,AE=\2,求8c長.

B卜5

［分析［(1)證明ABFEs^DFA,得到一=——，進而推出bBFDsbEFA,得到4BDF=NEAF,推出

EFAF

ZEAF+ZBED=90°,即可得證：

RFDF

(2)①證明,得至ij—=一，進而推出A8以)\BFD^^EFA,得到

EFAF

ZBDF=Z.EAF,推出Z.EAF+Z.BED=90°，即可得證；

(3)設力/=3*BF=5a,證明A8PQsA8D4,得到BD2=M?B4,求出80,在等腰RtAABC中，求

出〃C=力。=4上々，在RtABCD中，求出C'O=2x/ia,在RtABDE中求出OE=4石a,進而推出

AE=65/26/=12＞求出a的值，即可得解.

【解答】(1)證明：VABAC=ZBED=30°,

又/BFE=/DFA,

MFES^DFA,

BFDF

----=-----9

EFAF

?：NBFD=NEFA,

ABFDS〉EFA,

/.ZBDF=ZEAF,

NBDF+NBED=90。

ZEAF+NBED=90°,

/.AE1AC；

(2)證明：①?；NBAC=/BED,

又乙BFE=4DFA,

:.&BFEsbDFA,

BF_DF

￡BFD=Z.EFA,

/.XBFDsbEFA；

②:MFDSAEFA,

ZBDF=AEAF,

2BDF+/BED=90°,

...LEAF+/BED=90°,

/.AE1AC,

⑶解："

設力尸=3。，BF=5a,貝i」48=8a,

???/.BDb=N8AD=45u,

又NDBA=NDBA,

XBFDskBDA,

：.BD2=BF-BA,

/.BD=2x/10?,

?.?在等腰RQABC中，4B=8a,

BC=AC=4>/2a,

在RtABCD中，BD=2yf\0a,BC=4區(qū),

CD=2缶，

/.AD=CD=2缶，

在等腰RtABDE中，BD=2M4,

DE=4瓜,

由（2）知力E_L/C,

在RtADAE中，DE=4舊a,AD=141a>

二AE=6&Q,

vJ￡=12,

a=V2,

二.BC=4瓜=8.

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.熟練掌握相似三角形

的判定與性質(zhì)是解答本題的關鍵.

10.（2023?深圳模擬）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知四邊形力灰?Q是正方形，點、E為CD邊二一點、（不與

端點重合）,連接BE，作點D關于BE的對稱點D',DD'的延長線與BC的延長線交于點F,連接BD',D'E.

①小明探究發(fā)現(xiàn)：當點￡在。上移動時，bBCE三bDCF.并給出如下不完整的證明過程，請幫他補充完

整.

證明：延長BE交DF于點、G.

②進一步探究發(fā)現(xiàn)，當點。'與點/重合時，NCDF=22.5°.

（2）【類比遷移】如圖②，四邊形48CQ為矩形，點￡為CQ邊上一點，連接8E,作點。關于的對稱

點D',的延長線與8C的延長線交于點尸，連接8。'，CD',DfE.當CD'1DF,AB=2,8c=3時，

求S'的長；

（3）【柘展應用】如圖③，己知四功形44。。為菱形，AD=^3,AC=2,點/為線段〃。二一動點，將

線段AD繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當點D旋轉(zhuǎn)后的對應點E落在菱形的邊上（頂點除外州寸，如果DF=EF,

請直接寫出此時。尸的長.

圖③圖③備用圖

【分析】（I）①延長BE交DF于點G,則由對稱可知Z.EGD=/EGO'=90。，結(jié)合/DEG=4BEC得到

NEBC=NEDF,由正方形的性質(zhì)得到/8CE=N。。廣、BC=DC,從而證明A8CE三AO。打；

②當點。'與點F重合時，由對稱可知/DBG==22.5°,然后由①得到NEDF=NEBC=225°；

（2）延長BE交DF于點、G,由對稱可知點G是。。的中點、/EGD=NEGD，=90。,結(jié)合CD'_LOE得到

CD'//BG,從而有EG是AQCQ'的中位線，得到點E是C。的中點，從而求得CE=OE=1,再由勾股定理

求得8E的長：由（1）①得/￡8。=/"）。，NECB=NEGD=90。得到AECBs&EGD,進而借助相似三角

形的性質(zhì)求得￡G的長，然后由中位線的性質(zhì)求得C。的長；

（3）以點/為圓心，力。的長為半徑作圓弧，與。。和8c的交點即為點E,然后分點E在CZ）上和點E在

8C上討論，延長力產(chǎn)交OE于點G,然后借助（I）（2）的思路求解.

【解答】（I）①證明：如圖①，延長由對稱可知，NEGD=NEGD，=90°,

NDEG=/BEC,

ZEBC=NEDF,

?.?四邊形/4C。是正方形，

...ZBCE=/DCF=90°,BC=DC,

在MCE和AQC”中,

ZEBC=ZEDF

?BC=CD,

/BCE=/DCF

^BCE^^DCF(ASA).

②解：如圖1,當點。'與點尸重合時，由對稱可知/Q8E=NO'8E,

???四邊形48CO是正方形，

，ZDBC=45°,

NDBE=ND'BE=22.5°,

由①得到4CDF=ZEBD',

ZCDF=22.5°,

故答案為：22.5°.

(2)解：如圖2,延長8E交。產(chǎn)于點G,

由對稱可知，點G是。Q'的中點，ZEGD=Z.EGD'=90°,

CD'LDF,

:.CD”IBG,

：.EG是ADC7T的中位線，

.?.點E是CO的中點，

..CE=DE=-CD=-x2=\,

22

/.BE=y]8C2+CE2=V32+12=VlO,

由(1)①得，4EBC=4FDC,4ECB=4EGD=90°,

二.XECBS^EGD,

.ECBCBE

"~EG~~DG~~EDf

13Vfp

~EG~~DG~~T'

,rr而

10

:.BG=BE+EG=y/w+—=,

1010

￡6是兇。。'的中位線，

.E——M_屈

??CD=2EG=2x------=------?

105

（3）以點力為圓心，力。的長為半徑作圓弧，與CO和8C的交點即為點E,

①如圖3,當點E在。。上時，延長力產(chǎn)交OE于點G,

由（1）①可得，NGDF=NOAF,且DF=EF,

?.?四邊形MCO為菱形，

:.AC1BD,AO=CO,40DC=40DA,

NOAF=NODA,

/AC=2,

/.0/1=1,

?/AD=y/i,

0D=4i,

C）AI

/.tanZ.OAF=tanZ.ODA==—,

ODy/2

OFOF1

FPF

：.OF=-x

2

②如圖4,當點E在8c上時，延長力/交。石于點G,則4GO=90。，NDAG=NEAG==NDAE,DF=EF,

2

vAD=AB=AE,

ZAEB=Z.ABE,

?.?四邊形力4c。是菱形，

:.NABO='/ABE,AD!IBC,

2

/.NDAE=NAEB,

AABO=ZDAG,

在AJG力和A3Q4中，

ZGD=/BOA

,/DAG=/ABO,

AD=AB

..AAGD^ABOA（AAS）,

DG=AO=1,AG=BO=6，

DG=AO,

2FAO=KFDG,/FOA=/FGD,

:.^FOA^\FGD(ASA),

OF=FG,

設OF=FG=X、則。尸二拒-工，

在RtADFG中，DF?=GF，+DG：

:.(y[2-x)2=x2+\2,

解得：x=正，

4

:.0F=—f

4

綜上所述,。尸的長為也或