2011年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（湖南）（解析卷）

第頁|共頁2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）參考公式：（1），其中為兩個(gè)事件，且，（2）柱體體積公式，其中為底面面積，為高。（3）球的體積公式，其中為求的半徑。一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1．（5分）（2011?湖南）若a，b∈R，i為虛數(shù)單位，且（a+i）i=b+i則（）A．a(chǎn)=1，b=1B．a(chǎn)=﹣1，b=1C．a(chǎn)=﹣1，b=﹣1D．a(chǎn)=1，b=﹣12．（5分）（2011?湖南）設(shè)集合M={1，2}，N={a2}，則“a=1”是“N?M”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件3．（5分）（2011?湖南）設(shè)如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．9π+42B．36π+18C．D．4．（5分）（2011?湖南）通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110由算得，．

P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”5．（5分）（2011?湖南）設(shè)雙曲線的漸近線方程為3x±2y=0，則a的值為（）A．4B．3C．2D．16．（5分）（2011?湖南）由直線與曲線y=cosx所圍成的封閉圖形的面積為（）A．B．1C．D．7．（5分）（2011?湖南）設(shè)m＞1，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)Z=X+my的最大值小于2，則m的取值范圍為（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3）D．（3，+∞）8．（5分）（2011?湖南）設(shè)直線x=t與函數(shù)f（x）=x2，g（x）=lnx的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時(shí)t的值為（）A．1B．C．D．二、填空題（共8小題，每小題5分，滿分35分）9．（5分）（2011?湖南）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C2的方程為p（cosθ﹣sinθ）+1=0，則C1與C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_________．10．（5分）（2011?湖南）設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則的最小值為_________．11．（2011?湖南）如圖，A，E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑BC=4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交與點(diǎn)F，則AF的長為_________．12．（5分）（2011?湖南）設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項(xiàng)和，且a1=1，a4=7，則S9=_________．13．（5分）（2011?湖南）若執(zhí)行如圖所示的框圖，輸入x1=1，，則輸出的數(shù)等于_________．14．（5分）（2011?湖南）在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)，則=_________．15．（5分）（2011?湖南）如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形．將一顆豆子隨機(jī)地扔到該院內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內(nèi)”，則（1）P（A）=_________；（2）P（B|A）=_________．16．（5分）（2011?湖南）對(duì)于n∈N+，將n表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+ak﹣1×21+ak×20，當(dāng)i=0時(shí)，ai=1，當(dāng)1≤i≤k時(shí)，a1為0或1．記I（n）為上述表示中ai為0的個(gè)數(shù)（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2），則（1）I（12）=_________；（2）=_________．三、解答題（共6小題，滿分75分）17．（12分）（2011?湖南）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足csinA=acosC．（1）求角C的大?。唬?）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值時(shí)角A、B的大小．18．（12分）（2011?湖南）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量（件）0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率．（Ⅰ）求當(dāng)天商品不進(jìn)貨的概率；（Ⅱ）記X為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（12分）（2011?湖南）如圖，在圓錐PO中，已知PO=，⊙O的直徑AB=2，C是的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面POD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．20．（13分）（2011?湖南）如圖，長方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動(dòng)，速度為v（v＞0），雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為c（c∈R）．E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個(gè)面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與|v﹣c|×S成正比，比例系數(shù)為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為，記y為E移動(dòng)過程中的總淋雨量，當(dāng)移動(dòng)距離d=100，面積S=時(shí)．（Ⅰ）寫出y的表達(dá)式（Ⅱ）設(shè)0＜v≤10，0＜c≤5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度v，使總淋雨量y最少．21．（13分）（2011?湖南）如圖，橢圓C1：=1（a＞b＞0）的離心率為，x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長等于C1的長半軸長．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B，直線MA，MB分別與C1相交與D，E．（i）證明：MD⊥ME；（ii）記△MAB，△MDE的面積分別是S1，S2．問：是否存在直線l，使得=？請(qǐng)說明理由．22．（13分）（2011?湖南）已知函數(shù)f（x）=x3，g（x）=x+．（Ⅰ）求函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．并說明理由；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}（n∈N*）滿足a1=a（a＞0），f（an+1）=g（an），證明：存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意的n∈N*，都有an≤M．

一選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的。1.若，為虛數(shù)單位，且，則（）A．B．C．D．答案：D2.設(shè)，，則“”是“”則（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件答案：A解析：因“”，即，滿足“”，反之“”，則，或，不一定有“”。3.設(shè)圖一是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．B．C．D．答案：B解析：有三視圖可知該幾何體是一個(gè)長方體和球構(gòu)成的組合體，其體積。4.通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110由算得附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C．有以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．有以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”答案：C解析：由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選C.5.設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為（）A．4B．3C．2D．1答案：C解析：由雙曲線方程可知漸近線方程為，故可知。6.由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為（）A．B．1C．D．答案：D解析：由定積分知識(shí)可得，故選D。7.設(shè)，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值小于2，則的取值范圍為（）A．B．C．D．答案：A解析：畫出可行域，可知在點(diǎn)取最大值，由解得。8.設(shè)直線與函數(shù)的圖像分別交于點(diǎn)，則當(dāng)達(dá)到最小時(shí)的值為（）A．1B．C．D．答案：D解析：由題，不妨令，則，令解得，因時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小。即。二填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線上。一、選做題（請(qǐng)考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）9.在直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為，則與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為。答案：2解析：曲線，，由圓心到直線的距離，故與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.10.設(shè),則的最小值為。答案：9解析：由柯西不等式可知。11.如圖2，是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑，,垂足為D,與相交與點(diǎn)F，則的長為。答案：解析：由題可知，，,得,，又，所以.二、必做題（12~16題）12、設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則答案：25解析：由可得，所以。13、若執(zhí)行如圖3所示的框圖，輸入，則輸出的數(shù)等于。答案：解析：由框圖的算法功能可知，輸出的數(shù)為三個(gè)數(shù)的方差，則。14、在邊長為1的正三角形中，設(shè)，則。答案：解析：由題，，所以。15、如圖4，是以為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形（陰影部分）內(nèi)”，則（1）；（2）答案：（1）；（2）解析：（1）由幾何概型概率計(jì)算公式可得；（2）由條件概率的計(jì)算公式可得。16、對(duì)于，將表示為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為0或1.記為上述表示中為0的個(gè)數(shù)，（例如，：故）則（1）（2）答案：（1）2；（2）解析：（1）因，故；（2）在2進(jìn)制的位數(shù)中，沒有0的有1個(gè)，有1個(gè)0的有個(gè)，有2個(gè)0的有個(gè)，……有個(gè)0的有個(gè)，……有個(gè)0的有個(gè)。故對(duì)所有2進(jìn)制為位數(shù)的數(shù)，在所求式中的的和為：。又恰為2進(jìn)制的最大7位數(shù)，所以。三．解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本小題滿分12分）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足.（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值時(shí)角的大?。馕觯海↖）由正弦定理得因?yàn)樗裕↖I）由（I）知于是取最大值2．綜上所述，的最大值為2，此時(shí)18.某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量（件）0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率。(Ⅰ）求當(dāng)天商品不進(jìn)貨的概率；（Ⅱ）記X為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。解析：（I）P（“當(dāng)天商店不進(jìn)貨”）=P（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）+P（“當(dāng)天商品銷售量1件”）=。（II）由題意知，的可能取值為2，3.；故的分布列為23的數(shù)學(xué)期望為。19.（本題滿分12分）如圖5，在圓錐中，已知的直徑的中點(diǎn)．（I）證明：（II）求二面角的余弦值．解：（I）連接，因?yàn)?為的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)閮?nèi)的兩條相交直線，所以而，所以。（II）在平面中，過作于，由（I）知，,所以又所以.在平面中，過作連接,則有，從而，所以是二面角的平面角．在在在在,所以。故二面角的余弦值為。20.如圖6，長方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動(dòng)，速度為，雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為。E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個(gè)面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與×S成正比，比例系數(shù)為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為，記為E移動(dòng)過程中的總淋雨量，當(dāng)移動(dòng)距離d=100，面積S=時(shí)。（Ⅰ）寫出的表達(dá)式（Ⅱ）設(shè)0＜v≤10,0＜c≤5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度，使總淋雨量最少。解析：（I）由題意知，E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為，故.（II）由(I)知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故。(1)當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的減函數(shù).故當(dāng)時(shí)，。(2)當(dāng)時(shí)，在上，是關(guān)于的減函數(shù)；在上，是關(guān)于的增函數(shù)；故當(dāng)時(shí)，。(本小題滿分13分）如圖7，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的長半軸長。（Ⅰ）求，的方程；（Ⅱ）設(shè)與軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與相交于點(diǎn)A,B,直線MA,MB分別與相交與D,E.（i）證明：；(ii)記△MAB,△MDE的面積分別是.問：是否存在直線,使得=?請(qǐng)說明理由。解析：（I）由題意知，從而，又，解得。故，的方程分別為。（II）（i）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為.由得，設(shè)，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是。又點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以故，即。（ii）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為又直線的斜率為，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)