2011年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（廣東）（解析卷）

第頁(yè)|共頁(yè)絕密★啟用前試卷類(lèi)型：B2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（文科）本試題共4頁(yè)，21小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。4．作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效。5．考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：錐體體積公式，其中為錐體的底面積，為錐體的高．線性回歸方程中系數(shù)計(jì)算公式，，樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，，其中，表示樣本均值．是正整數(shù)，則．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則A．B．C．D．【解析】A.由題得所以選A.2．已知集合為實(shí)數(shù)，且，為實(shí)數(shù)，且，則的元素個(gè)數(shù)為A．4B．3C．2D．1【解析】C.方法一：由題得，，所以選C.方法二：直接作出單位圓和直線，觀察得兩曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以選C.3．已知向量．若為實(shí)數(shù)，∥，則A．B．C．1D．2【解析】B.，所以選B.4．函數(shù)的定義域是A．B．C．D．【解析】C.由題得所以選C.5．不等式的解集是A．B．C．D．【解析】D由題得或，則不等式的解集為6．已知平面直角坐標(biāo)系上的區(qū)域由不等式組給定．若為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為A．3B．4C．D．【解析】B由題知不等式組表示的平面區(qū)域D是如圖中的梯形OABC,，所以就是求的最大值，表示數(shù)形結(jié)合觀察得當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的地方時(shí)，才最大。,所以，所以選擇B7．正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線，那么一個(gè)正五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有A．20B．15C．12D．10【解析】D正五棱柱中，上底面中的每一個(gè)頂點(diǎn)均可與下底面中的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成對(duì)角線，所以一個(gè)正五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有條8．設(shè)圓與圓外切，與直線相切，則的圓心軌跡為A．拋物線B．雙曲線C．橢圓D．圓【解析】A.設(shè)圓C圓心C，半徑為R,A(0,3),點(diǎn)C到直線y=0的距離為|CB|，由題得,所以圓C的圓心C軌跡是拋物線，所以選A.正視圖圖1側(cè)視圖圖22俯視圖圖39．如圖1~3，某幾何體的正視圖（主視圖），側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖正視圖圖1側(cè)視圖圖22俯視圖圖3A．B．C．D．【解析】C.由題得該幾何體是如圖所示的四棱錐P-ABCD，所以選擇C.10．設(shè)是上的任意實(shí)值函數(shù)，如下定義兩個(gè)函數(shù)和：對(duì)任意，；，則下列等式恒成立的是A．B．C．D．【解析】B.對(duì)A選項(xiàng)，故排除A對(duì)B選項(xiàng)，故選B對(duì)C選項(xiàng)，故排除C對(duì)D選項(xiàng)，故排除D二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．（一）必做題（9~13題）11．已知是遞增的等比數(shù)列，若，，則此數(shù)列的公比．【解析】2．或∵是遞增的等比數(shù)列，∴12．設(shè)函數(shù)．若，則．【解析】，即，則13．為了解籃球愛(ài)好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間（單位：小時(shí)）與當(dāng)天投籃命中率之間的關(guān)系：時(shí)間12345命中率0.40.50.60.60.4小李這5天的平均投籃命中率為；用線性回歸分析的方法，預(yù)測(cè)小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為．【解析】0.5;0.53由題得小李這5天的平均投籃命中率為（二）選做題（14~15題，考生只能從中選做一題）14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別為和，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________．【解析】．表示橢圓，表示拋物線圖4或（舍去），圖4又因?yàn)?，所以它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為15．（幾何證明選講選做題）如圖4，在梯形中，∥，，，分別為上的點(diǎn)，且，∥，則梯形與梯形的面積比為_(kāi)_______．【解析】如圖，延長(zhǎng)，∵，∴∵，∴∴三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．16．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，．（1）求的值；（2）設(shè)，，，求的值．【解析】（1）（2），即，即∵，∴，∴17．（本小題滿分13分）在某次測(cè)驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分．用表示編號(hào)為的同學(xué)所得成績(jī)，且前5位同學(xué)的成績(jī)?nèi)缦拢壕幪?hào)12345成績(jī)7076727072（1）求第6位同學(xué)的成績(jī)，及這6位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差；（2）從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間（68，75）中的概率．【解析】（1），解得標(biāo)準(zhǔn)差（2）前5位同學(xué)中隨機(jī)選出的2位同學(xué)記為，且則基本事件有，，，，，，，，，共10種這5位同學(xué)中，編號(hào)為1、3、4、5號(hào)的同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間（68，75）中設(shè)A表示隨機(jī)事件“從前5位同學(xué)中隨機(jī)選出2位同學(xué)，恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間（68，75）中”則A中的基本事件有、、、共4種，則18．（本小題滿分13分）圖5所示的幾何體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過(guò)軸的平面切開(kāi)后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的．分別為,,,的中點(diǎn)，分別為,,,的中點(diǎn)．（1）證明：四點(diǎn)共面；（2）設(shè)為中點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使得．證明：平面．圖5圖5【解析】證明：（1）連接依題意得是圓柱底面圓的圓心∴是圓柱底面圓的直徑∵分別為,,的中點(diǎn)∴∴∥∵，四邊形是平行四邊形∴∥∴∥∴四點(diǎn)共面（2）延長(zhǎng)到，使得，連接∵∴，四邊形是平行四邊形∴∥∵，，∴面∴面，面∴易知四邊形是正方形，且邊長(zhǎng)∵，∴∴∴易知，四邊形是平行四邊形∴∥∴，∴平面．19．（本小題滿分14分）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性．【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)榱睥佼?dāng)時(shí)，，令，解得則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減②當(dāng)時(shí)，，，則在上單調(diào)遞增③當(dāng)時(shí)，，令，解得∵，∴則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減20．（本小題滿分14分）設(shè)，數(shù)列滿足，≥．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)，≤．【解析】（1）解：∵∴∴①當(dāng)時(shí)，，則是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列∴，即②當(dāng)且時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列∴∴∴綜上所述（2）證明：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)且時(shí)，要證，只需證，即證即證即證即證∵，∴原不等式成立∴對(duì)于一切正整數(shù)，≤．21．（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系上，直線：交軸于點(diǎn)．設(shè)是上一點(diǎn)，是線段的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足．（1）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知，設(shè)是上動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并給出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)且不平行于軸的直線與軌跡有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍．【解析】解：（1）如圖所示，連接，則∵，∴動(dòng)點(diǎn)滿足或在的負(fù)半軸上，設(shè)①當(dāng)時(shí)，，，化簡(jiǎn)得②當(dāng)在的負(fù)半軸上時(shí)，綜上所述，點(diǎn)的軌跡的方程為或（2）由（1）知的軌跡是頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線和的負(fù)半軸①若是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作于由于是拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)拋物線的定義有則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值求得此時(shí)的坐標(biāo)為②若是的負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)顯然有