2012年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（浙江）（解析卷）

第頁(yè)|共頁(yè)2012年浙江省高考數(shù)學(xué)（理科）試卷（解析版）數(shù)學(xué)（理科）選擇題部分（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，集合，則A．B．C．D．【答案】B2．已知是虛數(shù)單位，則A．B．C．D．【答案】D3．設(shè)，則“”是“直線：與直線：平行”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A4．把函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像是【答案】A5．設(shè)，是兩個(gè)非零向量A．若，則B．若，則C．若，則存在實(shí)數(shù)，使得D．若存在實(shí)數(shù)，使得，則【答案】C6．若從1，2，3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有A．60種B．63種C．65種D．66種【答案】D7．設(shè)是公差為（）的無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是A．若，則數(shù)列有最大項(xiàng)B．若數(shù)列有最大項(xiàng)，則C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對(duì)任意，均有D．若對(duì)任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】C8．如圖，，分別是雙曲線：的左、右兩焦點(diǎn)，是虛軸的端點(diǎn)，直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)．若，則的離心率是A．B．C．D．【答案】B9．設(shè)，A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】A10．已知矩形，，．將沿矩形的對(duì)角線所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過(guò)程中，A．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直B．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直C．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直D．對(duì)任意位置，三對(duì)直線“與”，“與”，“與”均不垂直【答案】B非選擇題部分（共100分）二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．已知某三棱錐的三視圖（單位：）如圖所示，則該三棱錐的體積等于．【答案】112．若某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值是．【答案】13．設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則．【答案】14．若將函數(shù)表示為，其中，，，…，為實(shí)數(shù)，則．【答案】1015．在中，是的中點(diǎn)，，，則．【答案】-1616．定義：曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值稱為曲線到直線的距離．已知曲線：到直線：的距離等于曲線：到直線：的距離，則實(shí)數(shù)．【答案】17．設(shè)，若時(shí)均有，則．【答案】三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。18．（本題滿分14分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面積．【答案】本題主要考查三角恒等變換、正弦定理等知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力。滿分14分。（Ⅰ）因?yàn)?，，得又所以（Ⅱ）由，得，，于是．由及正弦定理，得．設(shè)的面積為，則．19．（本題滿分14分）已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分．現(xiàn)從箱中任?。o(wú)放回，且每球取道的機(jī)會(huì)均等）3個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和．（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求的數(shù)學(xué)期望．【答案】本題主要考查隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概念，同時(shí)考查抽象概括、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)。滿分14分。（Ⅰ）由題意得取3，4，5，6，且，，，．所以的分布列為3456（Ⅱ）由（Ⅰ）知．20．（本題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，且平面，，，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求二面角的平面角的余弦值．【答案】本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想像能力和運(yùn)算求解能力。滿分15分。（Ⅰ）因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以又因?yàn)槠矫?，所以平面．（Ⅱ）方法一：連結(jié)交于，以為原點(diǎn)，，所在直線為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示在菱形中，，得，．又因?yàn)槠矫?，所以．在直角中，，，，得，．由此知各點(diǎn)坐標(biāo)如下，，，，，，，，．設(shè)為平面的法向量．由，知取，得設(shè)為平面的法向量．由，知取，得于是．所以二面角的平面角的余弦值為．方法二：在菱形中，，得，，有因?yàn)槠矫?，所以，，，所以．所以．而，分別是，的中點(diǎn)，所以，且．取線段的中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，所以為二面角的平面角．由，，故在中，，，得．在直角中，，得，，，在中，，得．在等腰中，，，得．在中，，，，得．所以二面角的平面角的余弦值為．21．（本題滿分15分）如圖，橢圓：的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，不過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且線段被直線平分．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求面積取最大值時(shí)直線的方程．【答案】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解體能力。滿分15分。（Ⅰ）設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，則由題意得，得所以橢圓方程為．（Ⅱ）設(shè)，，線段的中點(diǎn)為．當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線的方程為，與不過(guò)原點(diǎn)的條件不符，舍去．故可設(shè)直線的方程為，由消去，整理得，（1）則，所以線段的中點(diǎn)，因?yàn)樵谥本€上，所以，得（舍去）或，此時(shí)方程（1）為，則，所以，設(shè)點(diǎn)到直線距離為，則，設(shè)的面積為，則，其中，令，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，取到最大值，故當(dāng)且僅當(dāng)，取到最大值．綜上，所求直線方程為．22．（本題滿分14分）已知，，函數(shù)．（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，（i）函數(shù)的最大值為；（ii）；（Ⅱ）若對(duì)恒成立，求的取值范圍．【答案】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識(shí)。滿分14分。（Ⅰ）（i）當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在上單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，（ii）由于，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，于是01-0+1減極小值增1所以，，所以當(dāng)時(shí)，故（Ⅱ）由（i）知，當(dāng)，，所以若，則由（ii）知