2015年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（湖南）（解析卷）

第頁|共頁一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.已知=（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)()A、B、C、D、【答案】D【考點(diǎn)定位】復(fù)數(shù)的運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】在對復(fù)數(shù)之間進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，直接利用多項(xiàng)式的乘法分配律進(jìn)行計(jì)算，在最后一步的計(jì)算中，根據(jù)，最后根據(jù)復(fù)數(shù)的加法原則，實(shí)部與實(shí)部相加，虛部與虛部相加便可得到最終結(jié)果；在進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算時(shí)，首先將分式的分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，分子的運(yùn)算遵循復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，從而得到相應(yīng)的結(jié)果.在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績（單位：分鐘）如圖I所示;若將運(yùn)動(dòng)員按成績由好到差編為1~35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為()A、3B、4C、5D、6【答案】B【考點(diǎn)定位】莖葉圖【名師點(diǎn)睛】系統(tǒng)抽樣是指當(dāng)總體中個(gè)數(shù)較多時(shí)，將總體分成均衡的幾部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本的抽樣方法，其實(shí)質(zhì)為等距抽樣.莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況．缺點(diǎn)為不能直接反映總體的分布情況.由數(shù)據(jù)集中情況可以估計(jì)平均數(shù)大小，再根據(jù)其分散程度可以估測方差大?。?、設(shè)R，則“>1”是“>1”的（）A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件【答案】C【考點(diǎn)定位】充要關(guān)系【名師點(diǎn)睛】判斷充分條件和必要條件的方法(1)命題判斷法：設(shè)“若p，則q”為原命題，那么：①原命題為真，逆命題為假時(shí)，p是q的充分不必要條件；②原命題為假，逆命題為真時(shí)，p是q的必要不充分條件；③原命題與逆命題都為真時(shí)，p是q的充要條件；④原命題與逆命題都為假時(shí)，p是q的既不充分也不必要條件．(2)集合判斷法：從集合的觀點(diǎn)看，建立命題p，q相應(yīng)的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A?B，則p是q的充分條件；若AB時(shí)，則p是q的充分不必要條件；②若B?A，則p是q的必要條件；若BA時(shí)，則p是q的必要不充分條件；③若A?B且B?A，即A＝B時(shí)，則p是q的充要條件．(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：p是q的什么條件等價(jià)于綈q是綈p的什么條件．4、若變量滿足約束條件，則的最小值為()A、B、0C、1D、2【答案】A【考點(diǎn)定位】簡單的線性規(guī)劃【名師點(diǎn)睛】求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求．其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的意義．常見的目標(biāo)函數(shù)有：(1)截距型：形如，求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：，通過求直線的截距的最值間接求出的最值．(2)距離型：形如.(3)斜率型：形如.注意：轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義．5、執(zhí)行如圖2所示的程序框圖，如果輸入n=3，中輸入的S=()A、B、C、D、【答案】B【考點(diǎn)定位】程序框圖【名師點(diǎn)睛】識別運(yùn)行算法流程圖和完善流程圖是高考的熱點(diǎn)．解答這一類問題，第一，要明確流程圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)；第二，要識別運(yùn)行流程圖，理解框圖所解決的實(shí)際問題；第三，按照題目的要求完成解答．對流程圖的考查常與數(shù)列和函數(shù)等知識相結(jié)合，進(jìn)一步強(qiáng)化框圖問題的實(shí)際背景．6、若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3，-4），則此雙曲線的離心率為()A、B、C、D、【答案】D故選D.【考點(diǎn)定位】雙曲線的簡單性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】漸近線是雙曲線獨(dú)特的性質(zhì)，在解決有關(guān)雙曲線問題時(shí)，需結(jié)合漸近線從數(shù)形結(jié)合上找突破口.與漸近線有關(guān)的結(jié)論或方法還有：(1)與雙曲線共漸近線的可設(shè)為；(2)若漸近線方程為，則可設(shè)為；(3)雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長；(4)的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大?。硗饨鉀Q不等式恒成立問題關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是確定極端或極限位置.7、若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為()A、B、2C、2D、4【答案】C【考點(diǎn)定位】基本不等式【名師點(diǎn)睛】基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍．如果條件等式中，同時(shí)含有兩個(gè)變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過解不等式進(jìn)行求解．8、設(shè)函數(shù)，則是()A、奇函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)B、奇函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)C、偶函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)D、偶函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)【答案】A，在（0,1）上，所以在(0,1)上單調(diào)遞增，故選A.【考點(diǎn)定位】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟：(1)求；(2)確認(rèn)在(a，b)內(nèi)的符號；(3)作出結(jié)論：時(shí)為增函數(shù)；時(shí)為減函數(shù)．研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，首先要明確函數(shù)定義域.9、已知點(diǎn)A,B,C在圓上運(yùn)動(dòng)，且ABBC，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），則的最大值為()A、6B、7C、8D、9【答案】B【考點(diǎn)定位】直線與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問題是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想.由平面幾何知識知，圓上的一點(diǎn)與圓外一定點(diǎn)距離最值在定點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取到．圓周角為直角的弦為圓的半徑，平面向量加法幾何意義這些小結(jié)論是轉(zhuǎn)化問題的關(guān)鍵.10、某工作的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工作通過切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工作的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=新工件的體積/原工件的體積）A、B、C、D、【答案】A【考點(diǎn)定位】三視圖、基本不等式求最值、圓錐的內(nèi)接長方體【名師點(diǎn)睛】運(yùn)用基本不等式求最值要緊緊抓住“一正二定三相等”條件，本題“和為定”是解決問題的關(guān)鍵.空間想象能力是解決三視圖的關(guān)鍵，可從長方體三個(gè)側(cè)面進(jìn)行想象幾何體.求組合體的體積，關(guān)鍵是確定組合體的組成形式及各部分幾何體的特征，再結(jié)合分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等方法求體積.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11、已知集合U=，A=,B=,則A()=_____.【答案】{1，2，3}.【解析】由題={2}，所以A()={1，2，3}.【考點(diǎn)定位】集合的運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合A或不屬于集合B的元素的集合.本題需注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿足互異性，否則容易出錯(cuò)．12、在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線C的極坐標(biāo)方程為，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為_____.【答案】【考點(diǎn)定位】圓的極坐標(biāo)方程【名師點(diǎn)睛】1.運(yùn)用互化公式：將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；2.直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，關(guān)鍵要掌握好互化公式，研究極坐標(biāo)系下圖形的性質(zhì)，可轉(zhuǎn)化直角坐標(biāo)系的情境進(jìn)行．13.若直線與圓相交于A,B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則=_____.【答案】【考點(diǎn)定位】直線與圓的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】涉及圓的弦長的常用方法為幾何法：設(shè)圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則本題條件是圓心角，可利用直角三角形轉(zhuǎn)化為弦心距與半徑之間關(guān)系,再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式列等量關(guān)系.14、若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【考點(diǎn)定位】函數(shù)零點(diǎn)【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解．15、已知>0,在函數(shù)y=2sinx與y=2cosx的圖像的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為2，則=_____.【答案】【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)圖像與性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】正、余弦函數(shù)的圖像既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.應(yīng)把三角函數(shù)的對稱性與奇偶性結(jié)合，體會(huì)二者的統(tǒng)一.這樣就能理解條件“距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)”一定在同一個(gè)周期內(nèi)，本題也可從五點(diǎn)作圖法上理解.三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分12分）某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)方法是：從裝有2個(gè)紅球和1個(gè)白球的甲箱與裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)。（I）用球的標(biāo)號列出所有可能的摸出結(jié)果；（II）有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率，你認(rèn)為正確嗎？請說明理由?！敬鸢浮浚↖）(II)說法不正確；【考點(diǎn)定位】概率統(tǒng)計(jì)【名師點(diǎn)睛】古典概型中基本事件的探求方法1．枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的．2．樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(shí)(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同．有時(shí)也可以看成是無序的，如(1,2)(2,1)相同．17.（本小題滿分12分）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為.（I）證明：；(II)若，且為鈍角，求.【答案】（I）略；(II)【考點(diǎn)定位】正弦定理及其運(yùn)用【名師點(diǎn)睛】解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．18.（本小題滿分12分）如圖4，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)。（I）證明：平面平面；（II）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積?！敬鸢浮浚↖）略；(II).【考點(diǎn)定位】柱體、椎體、臺體的體積；面面垂直的判定與性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】證明面面垂直的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，注意平面圖形中的一些線線垂直關(guān)系的靈活利用，這是證明空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ)．由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個(gè)證明過程圍繞著線面垂直這個(gè)核心而展開，這是化解空間垂直關(guān)系難點(diǎn)的技巧所在．求錐的體積關(guān)鍵在于確定其高，即確定線面垂直.19.（本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，（I）證明：；（II）求。【答案】（I）略；(II)【考點(diǎn)定位】數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列求和【名師點(diǎn)睛】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其求解過程分為三步：(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式；(3)對n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來寫．?dāng)?shù)列求和的常用方法有倒序相加法，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，分組求和法，并項(xiàng)求和法等，可根據(jù)通項(xiàng)特點(diǎn)進(jìn)行選用.20.（本小題滿分13分）已知拋物線的焦點(diǎn)F也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦長為，過點(diǎn)F的直線與相交于兩點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，且與同向.（I）求的方程；（II）若，求直線的斜率.【答案】（I）；(II).【考點(diǎn)定位】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；橢圓的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法：根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)