2025-高考科學復習創(chuàng)新方案-數(shù)學-提升版4含答案

2D25-高考科學復習創(chuàng)新方案-數(shù)學-提升版

第八章

立體幾何與空間向量

第1講基本立體圖形及其直觀圖

［課程標準］1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些

特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)2能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方

體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖.

基礎知識整合

＞知識梳理

I.多面體、旋轉(zhuǎn)體的定義

(1)由若干個回］平面多邊形圍成的幾何體叫多面體.

(2)一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的畫一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的

曲面叫做畫旋轉(zhuǎn)面,封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.

2.棱柱的概念及其分類

(1)棱柱的概念

有兩個面畫互相平行,其余各面都是國四邊虎，并且相鄰兩個四邊形的公

共邊都畫互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.

(2)棱柱的分類

①按底面多邊形邊數(shù)來分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……

②按側(cè)棱是否與底面垂直

側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做畫直棱柱，側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做畫斜

棱柱.底面是正多邊形的直棱柱叫做畫正棱柱，底面是平行四邊形的四棱柱也

叫做由平行六面體.

3.棱錐的概念及其分類

(1)棱錐的概念

有一個面是回多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的回三角形,由這些

面所圍成的多面體叫做棱錐.

(2)棱錐的分類

①按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐……

②底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做叵

正棱錐.

4.棱臺的概念及其分類

⑴棱臺的概念

用一個畫平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面和截面之間那部分多面體

叫做棱臺.

(2)棱臺的分類

由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別為三棱臺、四棱臺、五棱臺

5.圓柱、圓錐、圓臺、球的概念及表示

X定義圖形及表示

主軸

以回矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余

圓柱三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫i一一螂面

母線

做圓柱，如圖中圓柱表示為圓柱。'0底面

以回直角三角形的一條直角邊所在直線為

圓錐旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成

的旋轉(zhuǎn)體，如圖中圓錐表示為圓錐S。

用回平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底

圓臺面與截面之間的部分叫做圓臺，如圖中圓臺

表示為圓臺。'。

南半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋

轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的

球

球心

旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球，如圖中的球表示

為球。

6.簡單組合體

⑴概念

由四簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.

(2)兩種構(gòu)成形式

①由簡單幾何體同拼接而成;

②由簡單幾何體可截去或挖去一部分而成.

7.直觀圖

(1)畫法：常用畫斜二測畫法.

(2)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

在已知圖形「I」取互相垂直的4軸和)軸.

兩軸相交于點。，畫直觀圖時,把它

們畫成對應的/軸與y軸,兩軸相交

于點。'，且使乙窗45。(或135。),

它們確定的平面表示水平面

已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在

畫線>宜觀圖中分別間成平行于Bk'軸或)''軸

的線段

已知圖形中平行于“軸的線段,在直觀

圖中因保持原長度不變,平行于y軸

的線段,在宜觀圖中K度為原柬的

因一半

Q知識拓展

1.斜二測畫法中的“三變”與“三不變”

(坐標軸的夾角改變

，，三變，4與)，軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?/p>

〔圖形改變

f平行性不改變

“三不變，與X，Z軸平行的線段的長度不改變

〔相對位置不改變

2.直觀圖與原圖形面積的關系

S宜觀圖-原圖形（或S原圖形=2y[2S直觀圖）.

＞雙基自測

1.下列結(jié)論正確的是（）

A.側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐

B.六條棱長均相等的四面體是正四面體

C.有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

D.用一個平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺

答案B

解析底面是等邊三角形，且各側(cè)面三角形全等，這樣的三棱錐才是正三棱

錐，A錯誤；斜四棱柱也可能有兩個側(cè)面是矩形，C錯誤；截面平行于底面時，

底面與截面之間的部分才叫圓臺，D錯誤.故選B.

2.如圖所示，△A'B'C是水平放置的的直觀圖，則在汩

△ABC的三邊及中線4。中，最長的線段是（）

A.ABB.AD/irirc?

C.BCD.AC

答案D

解析△48C是直角三角形，且NABC=90。，貝ijACAB,AOAD,AOBC.

故選D.

3.（人教B必修第四冊11.1.1練習AT4改編）以下利用斜二測畫法得到的結(jié)

論中，正確的是（）

A.相等的角在直觀圖中仍相等

B.相等的線段在直觀圖中仍相等

C.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形

D.菱形的直觀圖是菱形

答案C

解析根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，平行于坐標軸的直線平行性不變，平行

于x軸的線段長度不變，平行于）'軸的線段長度減半，故A,B,D錯誤；對于C,

根據(jù)平行性不變原則，平行四邊形的直觀圖仍然是平行四邊形，C正確.故選C.

4.（多選）（人教B必修第四冊11.1.1練習ATQ改編）如圖是

一個正方體的平面展開圖，將其復原為正方體后，互相重合的y1d

點是（）

A.A與3B.D與E4

C.B與DD.C與F

答案ABD

解析將平面展開圖還原成正方體如圖所示，所以互相重合的點是A與

D與E,C與E故選ABD.

5.（人教A必修第二冊習題8.1T8改編）如圖所示，長方體A8CQ-AECO被

截去一小部分，其中&則剩下的幾何體是（）

A.棱臺B.四棱柱

C.五棱柱D.簡單組合體

答案C

解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱.故選C.

核心考向突破

考向一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

例1下列說法正確的是（）

A.有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱

B.四棱錐的四個側(cè)面都可以是直角三角形

C.有兩個平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

D.棱臺的各側(cè)棱延長后不一定交于一點

答案B

解析A錯誤，如圖1；B正確，如圖2,其中P。，底面ABCD,且底面ABCD

是矩形，可以證明/以8,NPC8都是直角，這樣四個側(cè)面都是直角三角形；C

錯誤，如圖3;D錯誤，由棱臺的定義知，其側(cè)棱延長后必相交于同一點.故選

B.

［觸類旁通k只別空間幾何體的兩種方法

緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模

定義法

型中的線面關系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進行判定

通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，要說明一個結(jié)論是錯誤的，只要

反例法

舉出一個反例即可

,即可遮1.下列結(jié)論正確的是（）

A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體

C.若正棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐

D.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線

答案D

解析由圖1知，A錯誤；如圖2,當兩個平行平面與底面不平行時，截得

的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，B錯誤；若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正

六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，C

錯誤；由母線的概念知，D正確.故選D.

圖2

2.（多選）如圖，將裝有半槽水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜

一個角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體可以是（）4/吊

A.四棱柱B.四棱臺京，

C.三棱柱D,三棱錐廣”

答案AC

解析根據(jù)題圖，因為有水的部分始終有兩個平面平行，而其余各面都易證

是平行四邊形，因此形成的幾何體是四棱柱或三棱柱.故選AC.

考向二平面圖形與其直觀圖的關系

例2（多選）（2023?朝陽建平實驗中學月考月口圖所示，/

△AEC是水平放置的AABC的斜二測直觀圖，其中OC=

04=2OB=2,則以下說法正確的是（）

A.△A8C是鈍角三角形

B./XABC的面積是△A7TC的面積的2倍

c.AABC是等腰直角三角形

D.△A8C的周長是4+4/

答案CD

解析根據(jù)斜二測畫法可知，在原圖形中，。為C4的>

中點，ACL0B,因為。C=0⑷=20”=2,所以C0=A0

=2,AC=4,0B=2,則△ABC是斜邊為4的等腰直角三角/~x：

形，如圖所示，所以△ABC的周長是4+4啦，面積是4,故A錯誤，C,D正確；

由斜二測畫法可知，AX5C的面積是夕C的面積的26倍，故B錯誤.故選

CD.

I觸類旁通七斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段.平行于工軸的線段平

行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.

注意：直觀圖面積是原圖形面積的乎倍.

品即時訓練用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如%c

圖，邊A8平行于軸，BC,AD平行于V軸.已知四邊形ABCD(3~、

l/

的面積為2gcm\則原平面圖形的面積為cm2.

答案8

解析解法一：依題意可知/84。=45。，則原平面圖形為直角梯形，上、下

底的長分別與8C,AO相等，高為梯形A8CQ的高的2g倍，所以原平面圖形的

面積為8cm2.

解法二：依題意可知，S直觀圖=242(cm2),故S原圖形=2寸25直觀圖=8(cm~).

多角度探究突破________________________________

考向三空間幾何體的展開圖和截面圖

角度1空間幾何體的展開圖問題

例3某圓柱的高為2,底面周長為16,M,N分別是圓柱“仁

上、下底面圓周上的兩點，。為下底面圓的圓心，ME是圓柱的《屋三丈二

母線，OELON,如圖所示，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路

徑中，最短路徑的長度為()

A.2717B.2小

C.3D.2

答案B

解析圓柱的側(cè)面展開圖及的位置(N為￡產(chǎn)的四等七

分點)如圖所示，連接MM則圖中MN即為M到N的最短路￡'

徑.￡7V=；xl6=4,EM=2,，MN=+EN：/十42二2小.故選B.

角度2空間幾何體的截面問題

例4某同學在參加《通用技術》實踐課時，制作了一個工藝

品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4小的正方體的六個面

所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合)，若其中一個截面圓的周長為4兀，

則該球的半徑是()

A.2B.4

C.2y[6D.476

答案B

解析設截面圓的半徑為r,球的半徑為R,則球心到某一截面的距離為正方

體棱長的一半，即2隹，根據(jù)截面圓的周長可得4兀=2",得一=2,故由題意知

改二戶+(2小產(chǎn)，即上=22+(2小產(chǎn)=16,所以R=4.故選B.

觸類旁通心)通常利用空間幾何體的表面展開回解決以下問題：①求幾何體的

表面積或側(cè)面積；②求幾何體表面上任意兩個點的最短表面距離.

(2)求解與截面有關的問題的關鍵是確定截面的形狀，并從幾何體中獲取相關

的數(shù)據(jù)進行計算.

(3)作多面體截面的關鍵在于確定截點，有了位于多面體同一表面上的兩個截

點即可連接成截線，從而得到截面.

品即時訓練1.如圖，已知正三棱柱ABC-4BQ的底面../的

邊長為1cm,高為5cm,若一質(zhì)點自A點出發(fā)，沿著三棱柱I

的側(cè)面繞行兩周到達4點，則該質(zhì)點所經(jīng)最短路線的長為

()從飛＜……

A.12cmB.13cmit

C.?TcmD.15cm

答案C

解析如圖所示，把側(cè)面展開兩周可得對角線最短，A川二川62+52二兩

(cm).故選C.

A'

2.（多選）已知正方體ABC。-4BCQ的棱長為2,AG_L平面a.平面a截

此正方體所得的截面有以下四個結(jié)論，其中正確的是（）

A.截面形狀可能是正三角形

B.截面的形狀可能是正方形

C.截面形狀可能是正五邊形

D.截面面積的最大值為33

答案AD

解析對于A,當a截此正方體所得截面為時滿足，故A正確；對于

B,由對稱性得截面形狀不可能為正方形，故B錯誤；對于C,由對稱性得截面

形狀不可能是正五邊形，故C錯誤；對于D,當截面為正六邊形時面積最大，為

6、半、（也產(chǎn)=，故D正確.故選AD.

課時作業(yè)

一、單項選擇題

1.將一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包

括（）

A.一個圓臺、兩個圓錐B.兩個圓臺、一個圓柱

C.兩個圓柱、一個圓臺D.一個圓柱、兩個圓錐

答案D

解析從較短的底邊的端點向另一底邊作垂線，兩條垂線不——7>

把等腰梯形分成了兩個直角三角形，一個矩形，所以一個等腰....t/

梯形繞它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個圓

柱、兩個圓錐所組成的幾何體，如圖所示.故選D.

2.（2024.衡水模擬）將12根長度相同的小木棍通過黏合端點的方式（不可折

斷），不可能拼成（）

A.正三棱柱B.正四棱錐

C.正四棱柱D.正六棱錐

答案D

解析A,B,C中的圖形均可由12根長度相同的小木棍通過黏合端點的方

式得到；對于D,因為正六邊形的中心到六個頂點的距離都等于邊長，所以正六

棱錐的側(cè)棱長總比底邊長，故D不成立.故選D.

3.（2023?濟南一模）已知正三角形的邊長為2,用斜二測畫法畫出該三角形的

直觀圖，則所得直觀圖的面積為（）

A.乎B.乎

C.2-72D.2-76

答案B

解析S原圖=/<2x2xsin60°=小，由斜二測畫法中直觀圖和原圖的面積的關

系^^=平，得S宜現(xiàn)國邛X限平.故選B.

4.在我國古代數(shù)學名著《數(shù)學九章》中有這樣一個問題：“今有木長二丈四

尺，圍之五尺.葛生其下，纏木兩周，上與木齊，問葛長幾何？”意思是“圓木長

2丈4尺，圓周長為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好

頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺？”（注：1丈等于10尺），則這個問題中，

葛藤長的最小值為（）

A.2丈4尺B.2丈5尺

C.2丈6尺D.2丈8尺

答案C

解析由題意，圓柱的側(cè)面展開兩次后是一條直角邊很口圓木的高）

長24尺，另一條直角邊長5x2=10尺的矩形，因此葛藤長的最小值為

^242+1（）2=26（尺）,即為2丈6尺.故選C.

5.通用技術老師指導學生制作統(tǒng)一規(guī)格的圓臺形容器，用如

圖所示的圓環(huán)沿虛線剪開得到的一個半圓環(huán)（其中小圓和大圓的L…Q.…）

半徑分別是1cm和4cm）制作該容器的側(cè)面，則該圓臺形容器的、_/

高為（）

近

A.?cmB.1cm

C.小cmcm

答案D

解析由已知圓臺的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，不妨設上、4〃

下底面圓的半徑分別為rcm,Rcm（YR）,則2"=兀><1,2nR/—\

=7ix4,解得r=R=2.所以圓臺的軸截面為等腰梯形，其J—H--'

上、下底邊的長分別為1cm和4cm,腰長為3cm,即A。=1cm,BC=4cm,

AB=3cm,過點A作AH_LBC,垂足為H,所以即7=|cm,AH=^-cm,該

圓臺形容器的高為呼cm.故選D.

6.過棱長為1的正方體的一條體對角線作截面，則截得正方體的截面面積的

最小值是（）

A.1B.也

C坐D坐

答案D

解析取A4的中點E,CG的中點F,連接BE,EA,

DiF,FB,如圖所示.四邊形尸為過棱長為1的正方體

的一條體對角線80所作截面的面積最小的截面，且四邊形

的尸是菱形，其截面面積為暴。百斗小也二坐.故

選D.

7.如圖所示，在單位正方體ABCD-AiBiCiDi的面對角線

48上存在一點P,使得AP+OP取得最小值，則此最小值為

)

V2+J6

A.213■2

C.2+也D.42+啦

答案D

解析如圖所示，把對角面AC繞48旋轉(zhuǎn)至45CW,使其與△AA山在

同一平面上，連接A/V,則=@+1-2X1X1XCOS135。=[2+也為所求的最

小值.故選D.

8.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的

形狀可視為一個正四棱錐,以該四棱錐的高為邊長的正

方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)

面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為

答案C

解析如圖,。為正方形ABC。的中心，石為CD的中點.設

CD=a,PE=b,貝IJ（。="爐-。爐川口一為由題意，

2

得尸心耳，即方耳與b,化簡得4尚-2%1=0,解

b^5+1

得￡二工丁（負值舍去）.故選C.

二、多項選擇題

9.（2023?池州期中）如圖，我們常見的足球是由若干個正五

邊形和正六邊形皮革縫合而成.如果我們把足球油象成一個

多面體，它有60個頂點，每個頂點發(fā)出的棱有3條，設其頂

點數(shù)V、面數(shù)尸與棱數(shù)E滿足V+F-E=2,據(jù)此判斷，關于

這個多面體的說法正確的是（）

A.共有20個六邊形B.共有10個五邊形

C.共有90條棱D.共有32個面

答案ACD

5m+6〃

解析由題意，設共有〃?個正五邊形，〃個E六邊形，即^-+（〃?+〃）—

5m+6〃5tn+6〃

-^—=2,解得m=12,故B錯誤；???頂點數(shù)1/=^-=60,解得〃=20,

5m+6〃

故A正確；棱數(shù)七-=90,故C正確；面數(shù)戶=m+〃=32,故D正確.故

選ACD.

10.（2024.成都模擬）如圖是由斜二測畫法得到的水平放?/>，

置的△A8C的直觀圖△4囪。，其中A向=BiCi,AiDi是

邊上的中線，則由圖形可知下列結(jié)論中正確的是（）

A.AB=BC=ACB.AD1BC

C.ABVBCD.AOAD>AB>BC

答案CD

解析由直觀圖知△ABC為直角三角形，ABLBC,A8=2A必I,BC=B6,

。為3c的中點，如圖圻示，又4。1=田口,故A,B錯誤，C,D正確.

y

。（陰

IL在通用技術課上，某小組將一個直三棱柱AHC-A^^O

展開，得到的平面圖如圖所示，其中A8=4,AC=3,BC=AA]

=5,M是881上的點，則（）

A.AM與4G是異面直線

B.AClAiM

C.平面4BC將三棱柱截成兩個四面體

D.4M+MC的最小值是力麗

答案ABD

解析由題設，得如圖1所示直三棱柱，由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征知，AM與

4G是異面直線，A正確；因為AAi_L4C,BA1AC,且AA￡BA=A,則AC_L

平面A4山山，又平面A43山，故AC_LAiM,B正確；由圖1知，平面A8C

將三棱柱截成四棱錐B^-ACC^A^和三棱錐B^-ABC,一個五面體和一個四面體，

C錯誤；將平面AA出山和平面展開到一個平面內(nèi)，如圖2,當4,M,

C共線時，4M+MC最小，為小花,D正確.故選ABD.

三、填空題

12.若已知△ABC的直觀圖夕C是邊長為。的正三角形，則△A3C的面

積為.

答案將

解析如圖所示是△ABC的直觀圖△A7TC.作。?！ǎ?，，軸

交V軸于點。'，則對應△A8C的高CD,???CO=2CO=

F-irA1/（TR'X,

2xgc。'=26x手。=曬.

,,

AB=AB=a1/.SAABC=爭；a=當次.

13.過年了，小張準備去探望奶奶，到商店買了一盒點心.為了美觀，售貨

員用彩繩對點心盒做了一個捆扎（如圖1所示），并在角上配了一個花結(jié).彩繩與

長方體點心盒均相交于棱的四等分點處.設這種捆扎方法所用繩長為h,一般的

十字捆扎（如圖2所示）所用繩長為/2.若點心盒的長、寬、高之比為2：2：1,則上

的值為.

圖I圖2

答案專

解析設點心盒的長為2am>0）,因為點心盒的長、寬、高之比為2：2：I,

所以點心盒的寬、高分別為2a,如題圖1,繩長h=4卷a+4xpa=,如

題圖2,繩長/2=4x2〃+4a=12〃，所以*二寄二堂.

14.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為

長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面

體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面

體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在

同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個

面，其棱長為.

圖1圖2

答案26V2-1

解析先求面數(shù)，有如下兩種解法.

解法一：由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個面，

中間部分有8個面，下部分有9個面，共有2x9+8=26個面.

解法二：一般地，對于凸多面體，頂點數(shù)（%+面數(shù)⑺-棱數(shù)⑹=2.（歐拉公

式）

由題圖知，棱數(shù)為48的半正多面體的頂點數(shù)為24.故由V+F-E=2,得面

數(shù)b=2+E—V=2+48-24=26.再求棱長.

H

作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點都在邊長為1的正方形上的

正八邊形ABCDEFG”,如圖，設其邊長為二則正八邊形的邊長即為棱長.連接

AF,過"，G分別作GNIAF,垂足分別為M,N,貝ljAM=MNG

=NF=嘩犬.又AM+MN+NF=T,，乎x+x+冬=1,；?x=也-1,即半正多

面體的棱長為6-1.

四、解答題

15.一個圓臺的母線長為12cm,兩底面面積分別為4兀cn?,25ncm2,求:

（1）圓臺的高;

（2）將圓臺還原為圓錐后，圓錐的母線長.

解（1）圓臺的軸截面是等腰梯形A3CZX如圖所示）.由已知

可得。iA=2cm,OB=5cm.又由題意知腰長AB=12cm,所以圓臺的高AM二

yjsi2-(5-2)2=3V15(cm).

(2)如圖所示，延長BA,。。1,CD,交于點S,設截得此圓臺的圓錐的母線

/-122

長為/cm,則由△SAOis^SB。，可得一^一二彳解得/二20,即截得此圓臺的圓

錐的母線長為20cm.

16.如圖，圓臺的上、下底面半徑分別為5cm,1()cm,母線?

長48=20cm,從圓臺母線48的中點M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面/\

轉(zhuǎn)到點A.求：M廣三)

⑴繩子的最短長度；

(2)在繩子最短時，求上底面圓周上的點到繩子的最短距

解(1)如圖，繩子的最短長度為側(cè)面展開圖中AM的長

由03+人8=記得。B=20cm,

所以。A=40cm,OM=30cm.

設NBOB=0,由271x5=080,

解得?！?/p>

所以AM二y/OA2+OM2=50(cm),

即繩子的最短長度為50cm.

(2)過點。作OQ于點。，交加守點尸例PQ的長度為所求最短距離.因

為OAOM=AM?OQ,所以。。=24cm.故PQ=24-20=4(cm),即上底面圓周上

的點到繩子的最短距離為4cm.

17.北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的

彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲

率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面

角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多

7T

面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是？

所以正四面體在各頂點的曲率為2兀-3乂號=兀，故其總曲率為4兀

（1）求四棱錐的總曲率；

（2）若多面體滿足：頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,證明：這類多面體的總曲率是

常數(shù).

解（1）由題意可知，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點〃

的曲率之和.可以從整個多面體的角度考慮，所有與頂點相//\\

關的面角就是多面體的所有多邊形表面的內(nèi)角的集合.由圖..…

可知，四棱錐共有5個頂點，5個面，其中4個面為三角形，

1個面為四邊形.

所以四棱錐的表面內(nèi)角和為4個三角形，1個四邊形的所有內(nèi)角和，則其總

曲率為2兀x5-（4兀+271）=4兀.

（2）證明：設頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為*/,in,

所以有n-l+m=2.

設第i個面的棱數(shù)為孫所以加+X2+…+期=2/,

所以總曲率為2?！?n［（xi-2）+（X2-2）+...+（工〃】-2）1=27nz-兀（2/—2m）=

2兀（〃一/+m）=4兀,

所以這類多面體的總曲率是常數(shù).

第2講簡單幾何體的表面積與體積

［課程標準］知道球、棱（圓）柱、棱（圓）錐、棱（圓）臺的表面積和體積的計算公

式，能用公式解決簡單的實際問題.

基礎知識整合

1.多面體的表面積

多面體的表面積就是圍成多面體畫名0面的面積的和.

2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

,，L

側(cè)面展開

?

圖電力…2凡.?…：

側(cè)面積公S圓臺側(cè)=1。4|兀（口土

S圓柱側(cè)-1。2|2?！⊿圓錐惻=317n7

式皿

3.柱、錐、臺和球的表面積和體積

名稱

表面積體積

幾何體

柱體（棱柱和圓柱）S表面積=S在1+2S底V二國題

V=|06|^SZ?

錐體（棱錐和圓錐）S表面積=S側(cè)+S底

臺體（棱臺和圓臺）S表面積=S側(cè)+S上+5下V=§（S上+S下+NS上S下）h

球S二畫4兀/?2V二國沁

0知識拓展與體積有關的兩個結(jié)論

（1）一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.

（2）底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等.

＞雙基自測

1.（人教B必修第四冊習題11-1AT6改編）棱長為2的正四面體的表面積是

（）

A4B.4

C.4小D.16

答案C

解析每個面的面積為:X2X2X坐=S，所以正四面體的表面積為4曲故選

C.

2.（人教B必修第四冊11.1.4例1改編）設正六棱錐的底面邊長為1,側(cè)棱長

為力,那么它的體積為（）

A.673B.小

C.273D.2

答案B

解析由正六棱錐底面邊長為1和側(cè)棱長為小，可知高力=2,又因為底面積

S=^-,所以體積V=gs〃=;、乎、2=有故選B.

3.設一個球形西瓜，切下一刀后所得切面圓的半徑為4,球心到切面圓心的

距離為3,則該西瓜的表面積為（）

「256兀

A.100nB.3

_,八八一500兀

C.400兀D.3

答案A

解析由題意知切面圓的半徑一二4,球心到切面圓心的距離，/=3,所以球的

半徑R=、/+/=、42+32=5,故球的表面積為4兀R2=4/52=100兀故選A.

4.（2023?新課標I卷）在正四棱臺ABCD-AIBICIDI中，48=2,AIBI=1,

M=?則該棱臺的體積為.

答案~g-

解析如圖，過4作4ML4C,垂足為M,易知4M

為正四棱臺A8CD-A1B1GD1的高.因為A3=2,AiBi=1,

AAi=啦，則A1O1=TAICI=Jx啦A1B1二孚，AO二:AC二J

xpAB二市,故=AO二乎,則AiM=7ATA2一AM?=[2一3=坐,

所以所求棱臺的體積V=|x(4+1+V4xi)x^=5,

5.如圖所示，在上、下底面對應邊的比為1：2的三棱臺

中，過上底面一邊48作一個平行于棱CC的平面A.BiEF,

記平面分三棱臺兩部分的體積為％(三棱樁尸EC),上,

那么Vi:V2=.

答案3：4

解析設三棱臺的高為力，上底面的面積是5,則下底面的面積是4S,???V三

Sh

棱臺=5?(S+4s+29=<57?,又Vi=Sh,：.^=1=1.

~qSh-Sh

核心考向突破

考向一幾何體的表面積

例1(1)(2023?襄陽四中模擬)如圖，圓錐尸。的底面直徑和

高均是2,過PO的中點。作平行于底面的截面，以該截面為底

面挖去一個圓柱，則剩下的幾何體的表面積為()

Q+

B.

9\

C小!D

一

+兀

4/

、

答案B

解析設圓柱的底面半徑為人高為力，貝卜二51=;，/2=1x2=l,圓錐的

母線長為后天二小，過2O的中點07乍平行于底面的截面，以該截面為底面

挖去一個圓柱，則剩下的幾何體的表面積為71X1>^5+27TX^X1+7TX12=(2+^)71.

故選B.

(2)圓臺的上、下底面半徑分別是1()cm和20cm,它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的

圓心角是180°,那么圓臺的表面積為cn?(結(jié)果中保留兀).

答案1100兀

解析如圖所不，設圓臺的上底周長為C,因為扇環(huán)的圓心

角是180。，所以C=又C=2兀X1O=2O兀，所以SA=20cm.

同理SB=40cm,所以A3=SB-SA=20（cm）.S派=S［見+S上底

+S下底=。（1o+20）x20+7cxio2+TCX202=11007t（cm2）.故圓臺的

表面積為1IOOTIcm2.

1觸類旁通I求空間幾何體表面積的類型及方法

多面體的只需將它們沿著棱“男開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方

表面積法求多面體的表面積

旋轉(zhuǎn)體的可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，

表面積但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側(cè)面展開圖中的邊長關系

不規(guī)則幾通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基

何體的表本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾

面積何體的表面積

注意：（1）組合體的表面積注意銜接部分的處理.

（2）靈活運用直角三角形與直角梯形，如圓錐（臺）中的高、母線、底面半徑；

棱錐（臺）中的高、棱長、底面邊長.

r即時訓練1.若正四棱錐的底面邊長和高都為2,則其表面積為.

答案4+4小

解析如圖，由題意知底面正方形的邊長為2,正四棱錐〃

的高為2,則正四棱錐的斜高PE=^22+12=V5,所以該四

棱錐的側(cè)面積S=4x權(quán)2x#=4小，所以S表=2x2+4小=4，〃\「

“Ali

+4小.

2.（2024.南充診斷）如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，?、「

於是四分之一圓，則圖中陰影部分以oc所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋口

轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積為.04

答案5兀

解析該旋轉(zhuǎn)體是一個圓柱挖去一個半球后剩余的部分，且圓柱的底面半徑

是1,高是1,球的半徑是1,所以該旋轉(zhuǎn)體的表面積為兀X/+2兀x”l+；x4兀xF

=5兀.

多角度探究突破

考向二幾何體的體積

角度1直接法求體積

例2(2023?全國甲卷)在三棱錐P-A8C中，是邊長為2的等邊三角

形，PA=PB=2,PC=A/6,則該棱錐的體積為（）

A.1B.小

C.2D.3

答案A

解析取A8的中點已連接尸E,CE,如圖，:△ABC

是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2,：.PELABfCELAB,

:.PE=CE=2x^~=小,又PC=黃，故PC2=p/+c￡2,即

PEA.CE,又ABCCE=E,ABtCEu平面ABC,ABC,：.VP.ABC=^

S^ABC-PE=；xgx2x小xg=1.故選A.

角度2補形法求體積

例3如圖，一個底面半徑為3的圓柱被一平面所截，截得的

幾何體的最短和最長母線長分別為4和10,則該幾何體的體積為

()

A.90兀B.63n

C.42兀D.36n

答案B

解析由幾何體的直觀圖可知，該幾何體是一個圓柱截去上面虛

線部分所得，如圖所示.將圓柱補全，并將圓柱從點A處水平分成

上、下兩部分.由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓

柱體積的盤所以該幾何體的體積/32x4+71x32x6x3=63兀故選B.

角度3分割法求體積

例4我國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載：“芻薨者，%_____F

下有袤有廣，而上有袤無廣，芻，草也，薨，屋蓋也今/…………A，

4H

有底面為正方形的屋脊形狀的多面體（如圖所示），下底面是

邊長為2的正方形，上棱"二|,”〃平面ABCD,所與平面ABCD的距離為2,

該芻薨的體積為（）

A.6B,

C.yD.12

答案B

解析如圖，作FN//AE,FM//ED,分別交AB,CD

于點N,M,連接MN,則多面體被分割為棱柱與棱錐兩個

部分，則該芻薨的體積為VF.MNBC+VADE.NMF=四邊形MW2

卜

313竽3

S--X2-2-

直筱.-

面+

232X2xB2二■.故選B.

角度4轉(zhuǎn)化法求體積

例5如圖所示，在正三棱柱A8C-48G中，AB=4,A4

=6.若￡,尸分別是棱CG上的點，則三棱錐'的體

積是________?

答案8小

解析由正三棱柱的底面邊長為4,得點尸到平面4AE的距

離（等于點。到平面4人碗的距離）為坐x4=2小，貝IJ以-41所二V產(chǎn)-A1AE=;

SZ\A1AEx2V5=懸x6)<4x2小=8^3.

觸類旁通I

I.處理體積問題的思路

2.求體積的常用方法

直接法對于規(guī)則的幾何體，利用相關公式直接計算

首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算;

割補法或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體、不熟悉的幾何體補成

熟悉的幾何體，便于計算

等體積選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即

法利用三棱錐的任何一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換

r即時訓練1.（2023?佛山二模）極目一號（如圖1）是中國科學院空天信息研究

院自主研發(fā)的系留浮空器極目一號”III型浮空艇長55m,高19m,若將它近似

看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合休，正視圖如圖2所示（單位：m）,則

“極目一號”HI型浮空艇的體積約為（參考數(shù)據(jù)：9.52=90,9.53=857,

315x1005-316600,71-3.14)()

圖?

A.9064m3B.9004m3

C.8944m3D.8884m3

答案A

19

解析由圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑為/?=y=9.5（m）,

i417147r

而圓臺另一個底面的半徑為r=Km),貝I]V半球=于<鏟x9.53-一(m3),V圓柱二

7ix9.52xl4-12607i(m3),元圓臺二,x(9.5?兀+?9.5%乂互+兀)x31.5工？1；67c(n?),所以V二

y半球+y圓柱+y圖臺“+1260兀+g~9064(m3).故選A.

2.已知正方體ABC。-的棱長為2,則三棱錐A-BCD的體積為

()

4n8

A-3B-3

C.4D.6

答案B

解析如圖，三棱錐A-BC。是由正方體4BCO-

A\B\C\D\戳去四個小三棱錐A-A1B1D1,C-BiCiDi,B\-ABC,

Qi—ACQ得到的，又VABCD-AiBiCiD}=23=S,VA-A\B\D\

Ii4

=VC-B\C\D\=VB\-ABC=VDi->4CD=^x-x23=^,所以U4

48

84X--

--3-3

3.如圖所示，已知多面體ABC力EFG中，AB,AC,A。兩

兩互相垂