2024-2025學(xué)年上海市奉賢區(qū)高三上冊期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市奉賢區(qū)高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題考生注意：1．本試卷共21題，滿分150分，考試時間120分鐘；2．本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁，正反面；3．在本試題卷上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；4．答題時可使用符合規(guī)定的計算器．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.設(shè)全集，若集合，則______．2.若冪函數(shù)圖象經(jīng)過，則此冪函數(shù)的表達式為___________.3.不等式的解集是__________．4.已知是上的奇函數(shù)，則的值為______．5.已知空間向量，，，若，則______．6.已知，的二項展開式中各項系數(shù)和為729，則展開式中項的系數(shù)是______．7.已知圓錐的側(cè)面積為，且側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐的底面半徑為______．8.現(xiàn)從名男醫(yī)生和名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援滬醫(yī)療隊”，用表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別同”，表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則__________.9.已知在等比數(shù)列中，、分別是函數(shù)的兩個駐點，則_____________．10.若?是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為________.11.若存在實數(shù)，使函數(shù)在上有且僅有2個零點，則的取值范圍為______12.已知函數(shù)的圖像與直線：交于點，，其中，與直線：交于兩點、，其中，則的最小值為__________.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.設(shè)復(fù)平面上表示和的點分別為點A和點B，則表示向量的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限14.已知拋物線，過焦點F且斜率為的直線與拋物線交于兩個不同的點A、B，則線段AB的長為（）A. B. C.40 D.2015.如圖，在正方體中，點是線段上的動點，下列與始終異面的是（）A B. C. D.16.已知，集合，，.關(guān)于下列兩個命題的判斷，說法正確的是（）命題①：集合表示的平面圖形是中心對稱圖形；命題②：集合表示的平面圖形的面積不大于.A.①真命題；②假命題 B.①假命題；②真命題C①真命題；②真命題 D.①假命題；②假命題三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對應(yīng)的題號）內(nèi)寫出必要的步驟．17.如圖，在四棱錐中，，且．（1）證明：平面平面；（2）若，，且四棱錐的體積為，求與平面所成的線面角的大?。?8.在銳角三角形中，角的對邊分別為，為在方向上的投影向量，且滿足.（1）求的值；（2）若，求周長.19.在全民抗擊新冠疫情期間，某校開展了“停課不停學(xué)”活動，一個星期后，某校隨機抽取了100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進行問卷調(diào)查，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間(單位：)的頻率分布直方圖如下，若被抽取的這100名學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)時間不低于8小時有30人.（1）求頻率分布直方圖中實數(shù)的值；（2）每天學(xué)習(xí)時間在的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽2人進行電話訪談，已知抽取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；（3）依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時間在和的學(xué)生中按比例分層抽樣抽取8人，再從這8人中選3人進行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時間在的人數(shù)分布和數(shù)學(xué)期望.20.已知橢圓的左?右焦點分別為.（1）以為圓心的圓經(jīng)過橢圓的左焦點和上頂點，求橢圓的離心率；（2）已知，設(shè)點是橢圓上一點，且位于軸的上方，若是等腰三角形，求點的坐標(biāo)；（3）已知，過點且傾斜角為的直線與橢圓在軸上方的交點記作，若動直線也過點且與橢圓交于兩點（均不同于），是否存在定直線，使得動直線與的交點滿足直線的斜率總是成等差數(shù)列？若存在，求常數(shù)的值；若不存在，請說明理由.21.若函數(shù)在處取得極值，且（常數(shù)），則稱是函數(shù)的“相關(guān)點”.（1）若函數(shù)存在“相關(guān)點”，求的值；（2）若函數(shù)（常數(shù)）存在“1相關(guān)點”，求的值：（3）設(shè)函數(shù)的表達式為（常數(shù)且），若函數(shù)有兩個不相等且均不為零的“2相關(guān)點”，過點存在3條直線與曲線相切，求實數(shù)的取值范圍.2024-2025學(xué)年上海市奉賢區(qū)高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題考生注意：1．本試卷共21題，滿分150分，考試時間120分鐘；2．本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁，正反面；3．在本試題卷上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；4．答題時可使用符合規(guī)定的計算器．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.設(shè)全集，若集合，則______．【正確答案】【分析】解絕對值不等式求集合A，應(yīng)用集合補運算求.【詳解】由題設(shè)或，又，所以.故2.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過，則此冪函數(shù)的表達式為___________.【正確答案】【分析】將點的坐標(biāo)代入函數(shù)表達式算出參數(shù)即可得解.【詳解】由題意得，所以，解得，所以此冪函數(shù)的表達式為.故答案為.3.不等式的解集是__________．【正確答案】【分析】化為整式不等式求解.【詳解】不等式等價于，解得，所以不等式的解集是.故4.已知是上的奇函數(shù)，則的值為______．【正確答案】【分析】首先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求，再代入求.【詳解】因為是上的奇函數(shù)，所以，解得：，，則.故答案為.5.已知空間向量，，，若，則______．【正確答案】【詳解】，，，，解得，故答案為.6.已知，的二項展開式中各項系數(shù)和為729，則展開式中項的系數(shù)是______．【正確答案】60【分析】由二項展開式的各項系數(shù)和為729，求出，用通項公式求解即可.【詳解】因為的二項展開式的各項系數(shù)和為729，令，得，解得，所以展開式的通項公式為，令，得，所以項的系數(shù)為.故60.7.已知圓錐的側(cè)面積為，且側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐的底面半徑為______．【正確答案】【分析】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，根據(jù)條件列方程，可求的值.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為.由圓錐的側(cè)面積為，所以.由圓錐側(cè)面展開圖為半圓，所以.所以.故8.現(xiàn)從名男醫(yī)生和名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援滬醫(yī)療隊”，用表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別同”，表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則__________.【正確答案】1【分析】結(jié)合分類計數(shù)原理，計算出抽到的兩名醫(yī)生性別相同的概率，計算出抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生的概率，從而結(jié)合條件概率的計算公式即可求出.【詳解】由題意知，，，所以.故139.已知在等比數(shù)列中，、分別是函數(shù)的兩個駐點，則_____________．【正確答案】【分析】根據(jù)題意利用導(dǎo)數(shù)及韋達定理可得，的關(guān)系，后利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得答案.【詳解】由題意可得：，則、是函數(shù)零點，則，且為等比數(shù)列，設(shè)公比為，可得，解得，注意到，可得.故答案為.10.若?是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為________.【正確答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等邊三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率.【詳解】因為△ABF2為等邊三角形，可知，A為雙曲線上一點，，B為雙曲線上一點，則，即，∴由，則，已知，在△F1AF2中應(yīng)用余弦定理得：，得c2=7a2，則e2＝7?e＝故方法點睛：求雙曲線的離心率，常常不能經(jīng)過條件直接得到a，c的值，這時可將或視為一個整體，把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的方程，從而得到離心率的值.11.若存在實數(shù)，使函數(shù)在上有且僅有2個零點，則的取值范圍為______【正確答案】【分析】利用的圖像與性質(zhì)，直接求出函數(shù)的零點，再利用題設(shè)條件建立不等關(guān)系且，從而求出結(jié)果.【詳解】因為，由，得到，所以或，所以或，又因為存在實數(shù)，使函數(shù)在上有且僅有2個零點，所以且，即且，解得.故12.已知函數(shù)的圖像與直線：交于點，，其中，與直線：交于兩點、，其中，則的最小值為__________.【正確答案】【分析】根據(jù)的單調(diào)性，易得，，即，從而得到，同理得到，再利用基本不等式求解.【詳解】解：當(dāng)時，，則，所以在上遞增，且；當(dāng)時，，則，所以在上遞增，若要使，則，所以，因為函數(shù)的圖像與直線：交于點，，所以，，所以，即，所以，同理，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號成立，所以的最小值為.故思路點睛：首先確定函數(shù)每段的單調(diào)性，從而得到交點橫坐標(biāo)的關(guān)系，建立模型，再利用基本不等式求解.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.設(shè)復(fù)平面上表示和的點分別為點A和點B，則表示向量的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求出，即可得出向量的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點所在象限.【詳解】復(fù)平面上表示和的點分別為點A和點B，則，所以，所以向量的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于第一象限.故選：A14.已知拋物線，過焦點F且斜率為的直線與拋物線交于兩個不同的點A、B，則線段AB的長為（）A. B. C.40 D.20【正確答案】D【分析】設(shè)直線的點斜式，與拋物線方程聯(lián)立，消去，利用韋達定理求出，再利用弦長公式求弦長.【詳解】易知，則直線.代入，得，整理得.設(shè)，，則.所以，所以.所以.故選：D15.如圖，在正方體中，點是線段上的動點，下列與始終異面的是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)異面直線的定義一一判定即可.【詳解】對于A，連接，當(dāng)為中點時，，因為，所以四點共面，則、在平面上，故A不符合題意；對于B，因為，所以四點共面，平面，平面，，所以與始終是異面直線，故B符合題意；對于C，當(dāng)與重合時，因為，所以，故C不符合題意；對于D，當(dāng)與重合時，設(shè)，則，故D不符合題意.故選：B.16.已知，集合，，.關(guān)于下列兩個命題的判斷，說法正確的是（）命題①：集合表示的平面圖形是中心對稱圖形；命題②：集合表示的平面圖形的面積不大于.A.①真命題；②假命題 B.①假命題；②真命題C.①真命題；②真命題 D.①假命題；②假命題【正確答案】A【分析】根據(jù)是奇函數(shù)，可以分析出當(dāng)時，所以集合表示的平面圖形是中心對稱圖形；結(jié)合集合代表的曲線及不等式的范圍可以確定集合表示的平面圖形，從而求得面積，與進行比較.【詳解】對于，集合關(guān)于原點中心對稱，且函數(shù)是奇函數(shù)，若則則，即若則，即集合表示的平面圖形是關(guān)于原點中心對稱圖形，故①是真命題；對于，由即知，設(shè)，則與一一對應(yīng)且隨的增大而增大，，又由知，結(jié)合知在范圍內(nèi)，與一一對應(yīng)且隨的增大而減小，所以在范圍內(nèi)，與一一對應(yīng)且是關(guān)于的減函數(shù)，由①可知圖象關(guān)于原點中心對稱，所以可得到在的圖象，如圖代入點可得，所以的區(qū)域是右半部分，面積為正方形面積的一半，即集合表示的平面圖形的面積，故②是假命題.故選：A.方法點睛：確定不等式表示的區(qū)域范圍第一步：得到等式對應(yīng)的曲線；第二步：任選一個不在曲線上的點，若原點不在曲線上，一般選擇原點，檢驗它的坐標(biāo)是否符合不等式；第三步：如果符合，則該點所在的一側(cè)區(qū)域即為不等式所表示的區(qū)域；若不符合，則另一側(cè)區(qū)域為不等式所表示的區(qū)域.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對應(yīng)的題號）內(nèi)寫出必要的步驟．17.如圖，在四棱錐中，，且．（1）證明：平面平面；（2）若，，且四棱錐的體積為，求與平面所成的線面角的大?。菊_答案】（1）證明見解析（2）．【分析】（1）利用面面垂直的判定定理證明；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理證明得底面，再根據(jù)四棱錐的體積公式求出，從而用線面角的定義求解.【小問1詳解】因為在四棱錐中，，所以，，又，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．【小問2詳解】取中點，連結(jié)，因為，所以，由（1）知平面，平面，所以，因為，底面，所以底面，設(shè)，求得，，因為四棱錐的體積為，所以解得，所以，因為底面，所以為與平面所成的角，在中，，所以．所以與平面所成的線面角為．18.在銳角三角形中，角的對邊分別為，為在方向上的投影向量，且滿足.（1）求的值；（2）若，求的周長.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）依題意可得，即可得到，利用正弦定理將邊化角，即可得到，再由平方關(guān)系計算可得；（2）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式及（1）的結(jié)論得到，從而求出、，再由正弦定理求出，即可求出，從而得解.【小問1詳解】由為在方向上的投影向量，則，又，即，根據(jù)正弦定理，，在銳角中，，則，即，由，則，整理可得，解得（負值舍去）.【小問2詳解】由，根據(jù)正弦定理，可得，在中，，則，所以，所以，由（1）可知，則，由，則，解得（負值舍去），根據(jù)正弦定理，可得，則，，故的周長.19.在全民抗擊新冠疫情期間，某校開展了“停課不停學(xué)”活動，一個星期后，某校隨機抽取了100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進行問卷調(diào)查，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間(單位：)的頻率分布直方圖如下，若被抽取的這100名學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)時間不低于8小時有30人.（1）求頻率分布直方圖中實數(shù)的值；（2）每天學(xué)習(xí)時間在的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽2人進行電話訪談，已知抽取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；（3）依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時間在和的學(xué)生中按比例分層抽樣抽取8人，再從這8人中選3人進行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時間在的人數(shù)分布和數(shù)學(xué)期望.【正確答案】（1），（2）（3）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的知識求得.（2）根據(jù)古典概型的知識求得所求概率.（3）根據(jù)超幾何分布的的知識求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】.，解得.【小問2詳解】已知抽取的學(xué)生有男生，則抽取的2人恰好為一男一女的概率為.【小問3詳解】每天學(xué)習(xí)時間在和的學(xué)生比例為，所以在的學(xué)生中抽取人，在的學(xué)生中抽取人.再從這8人中選3人進行電話訪談，抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時間在的人數(shù)的取值為，，，，所以的分布列如下：數(shù)學(xué)期望20.已知橢圓的左?右焦點分別為.（1）以為圓心的圓經(jīng)過橢圓的左焦點和上頂點，求橢圓的離心率；（2）已知，設(shè)點是橢圓上一點，且位于軸的上方，若是等腰三角形，求點的坐標(biāo)；（3）已知，過點且傾斜角為的直線與橢圓在軸上方的交點記作，若動直線也過點且與橢圓交于兩點（均不同于），是否存在定直線，使得動直線與的交點滿足直線的斜率總是成等差數(shù)列？若存在，求常數(shù)的值；若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）（2）答案見解析（3）存在，，理由見解析【分析】（1）由題意知，即可知離心率；（2）分，和三種討論即可；（3）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程得到韋達定理式，計算，將韋達定理式整體代入，再計算，得到方程即可.【小問1詳解】由題意得即，所以離心率.【小問2詳解】由題意得橢圓①當(dāng)時，由對稱性得.②當(dāng)時，，故，設(shè)，由得，兩式作差得，代入橢圓方程，得（負舍），故③當(dāng)時，根據(jù)橢圓對稱性可知.【小問3詳解】由題意得橢圓.設(shè)直線，由得.設(shè)，則，，，由，得.關(guān)鍵點睛：對于第三問，我們通常選擇設(shè)線法，設(shè)直線，從而將其與橢圓方程聯(lián)立得到兩根之和與之積式，然后再計算出值，再將韋達定理式整體代入，當(dāng)然本題也可引入，設(shè)直線.21.若函數(shù)在處取得極值，且（常數(shù)），則稱是函數(shù)的“相關(guān)點”.（1）若函數(shù)存在“相