河北省石家莊市2024屆高三下學期4月高考模擬數(shù)學試題

河北省石家莊市2024屆高三下學期4月高考模擬數(shù)學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．集合A={α∣α=?2024°+k?180°,k∈Z}中的最大負角A．?2024° B．?224° C．?44° D．?24°2．已知z=(1+i)41?iA．2i B．?2i C．?2 D．23．已知向量a在向量b上的投影向量為12b，且|aA．1 B．3 C．34 D．4．設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，且?a3，A．S2024=2aC．S2024=4a5．已知變量x和y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：x12345y66788根據(jù)上表可得回歸直線方程y=0.6x+a，據(jù)此可以預測當A．8.5 B．9 C．9.5 D．106．現(xiàn)將四名語文教師，三名心理教師，兩名數(shù)學教師分配到三所不同學校，每個學校三人，要求每個學校既有心理教師又有語文教師，則不同的安排種數(shù)為()A．216 B．432 C．864 D．10807．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0A．13 B．22 C．128．已知函數(shù)f(x)=xx，A．f(x)有且只有一個極值點B．f(x)在(1C．存在實數(shù)a∈(0,+∞)D．f(x)有最小值1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列說法中，正確的是（）A．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位數(shù)為12B．兩組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4的方差分別為sC．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)D．已知一系列樣本點(xi,yi)（i=1,2,3,???10．若關于x的不等式ex?2+x≥2ax2?xA．1e B．12 C．e11．已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)，其導函數(shù)為f'(x)，且滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy，f(1)=0，A．f(x)的圖像關于點（1，0）成中心對稱B．fC．f(2024)=1012×2023D．k=1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知集合M={x|x2?2x?3<0}，N={x|x213．設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2?y2b14．如圖，在梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=12AD=2，將△BAC沿直線AC翻折至△B1AC的位置，3AM=M四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)f(x)=eax?ex?b在x=0（1）求a，b的值；（2）求f(x)的單調區(qū)間．16．如圖，三棱錐A?BCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E為線段AC的中點.（1）證明：平面BED⊥平面ACD；（2）設AB=BD=3，BF=2FD，17．有無窮多個首項均為1的等差數(shù)列，記第n(n∈N*)個等差數(shù)列的第m(m∈N,m≥2)（1）若a2(2)?a（2）若m為給定的值，且對任意n有am(n+1)=2am(n)，證明：存在實數(shù)λ，μ（3）若{dn}18．設橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）經(jīng)過點P(2,?1)，且離心率e=22，直線m：x=3垂直x軸交x軸于T，過T的直線l（1）求橢圓E的方程：（2）設直線PA，PB的斜率分別為k1，k（ⅰ）求k1（ⅱ）如圖：過P作x軸的垂線l，過A作PT的平行線分別交PB，l于M，N，求|MN||NA|19．在函數(shù)極限的運算過程中，洛必達法則是解決未定式00型或∞∞型極限的一種重要方法，其含義為：若函數(shù)f(x)和①limx→af(x)=0且limx→ag(x)=0（或②在點a的附近區(qū)域內兩者都可導，且g'③limx→af'(x)g則limx→a參考公式：limx→af(x)=f(lim（1）用洛必達法則求limx→0（2）函數(shù)f(x)=1+x+x22!+x3（3）已知g(2x)=g(x)?cosx，g(0)=1，x∈(?π

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因為?2024°=?44°?11×180°，所以集合A={α∣α=?2024°+k?180°,k∈Z}中的最大負角α為故答案為：C.【分析】本題考查終邊相同的角.根據(jù)任意角的定義可知集合A表示與-2024°終邊相同的角，當k=11時，可找出最大的負角，進而選出答案.2．【答案】D【解析】【解答】解：z=(1+i)41?i=[(1+i)2]21?i=(1+2i+i2)21?i=(2i)21?i=43．【答案】B【解析】【解答】解：因為a·b|所以a·所以：|a所以|a故答案為：B【分析】本題考查平面向量投影向量，平面向量的模長.根據(jù)條件，利用投影向量的定義，結合平面向量向量的夾角公式可求出cos?a→,b4．【答案】A【解析】【解答】解：設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，設公比為q，q>0，

因為?a3，a2，a4成等差數(shù)列，所以，2a2=-a3+a4，則2a1q=-a1q2+5．【答案】D【解析】【解答】解：x=1+2+3+4+55則7=0.6×3+a，∴a=5∴x=8時，預測y=0.故答案為：D【分析】本題考查線性回歸方程.根據(jù)表格數(shù)據(jù)先求出樣本中心點(x,y)的坐標，代入回歸直線方程可求出6．【答案】B【解析】【解答】解：求不同的安排種數(shù)需要分成3步，把3名心理教師分配到三所學校，有A3再把4名語文教師按2:1:最后把2名數(shù)學教師分配到只有1名語文教師的兩所學校，有A2由分步乘法計數(shù)原理得不同的安排種數(shù)為A3故答案為：B【分析】本題考查排列組合的實際應用.第一步：先將3名心理教師分配到三所學校，求出排列種數(shù)；第二步：再把4名語文教師分成3組，分配到三所學校，求出種數(shù)；第三步把2名數(shù)學教師分配到只有1名語文教師的兩所學校，求出種數(shù)；再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，將三步的種數(shù)相乘可求出答案.7．【答案】B【解析】【解答】解：由直線l:y=?x+t，且點F2關于直線l的對稱點在線段F1P的延長線上，

如圖所示，

可得點M與點F2關于PH對稱，且∠F1PF2=60°，可得△PF2M為等邊三角形，

則∠PF2M=60°，又因為PH的傾斜角為135°，則∠F2NH=45°，所以∠NF2H=45°，

在△PF1F2中，有∠8．【答案】C【解析】【解答】解：由y=xx得lny=x則函數(shù)z=xlnx可以看作為函數(shù)z=ln因為z=lny為增函數(shù)，所以z=xlnx與由z'=0得x(01(z－0＋z↘?↗由表知，z=xlnx在(0,在x=1e時，取得極小值（最小值）所以f(x)=xx在在x=1e時，取得唯一極值（極小值，也是最小值）故答案為：C【分析】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用導函數(shù)研究極值，利用導函數(shù)研究最值.利用對數(shù)運算法則可得：函數(shù)z=xlnx可以看作為函數(shù)z=lny與函數(shù)y=xx的復合函數(shù)，通過分析可得z=xlnx與y=xx單調性、圖象變換等基本一致.求出導函數(shù)9．【答案】B,C【解析】【解答】解：A，10×4000=4B，x=x1因為xi+yi=10故s1s==(?故s1C，因為X～N(μ,σ2X=?2,X=6關于x=μ對稱，所以D，由題意得3?(3m+a)=n?(6+a故答案為：BC【分析】本題考查百分位數(shù)的定義，方差的性質，正態(tài)分布，殘差的含義.根據(jù)百分位數(shù)定義，先求出第40百分位數(shù)所在的位數(shù)，據(jù)此可求出第40百分位數(shù)，判斷A選項；利用平均數(shù)定義可推出y=10?x，再利用方差的計算公式可推出：s22=(?x1+10．【答案】A,B【解析】【解答】解：依題意，ex?2x+1?2ax+lnx≥0在(0，+∞)令t=x?2?lnx，則h(故當t∈(?∞,0)時，h故h(t)當a>12時，令u(u(4)=2?2ln2>0，故μ(x)在則ex0?2綜上所述，a≤1故答案為：AB.【分析】本題考查函數(shù)的恒成立問題.根據(jù)題意分a≤12和a>12兩種情況進行討論：當a≤12時，利用不等式的性質可得：ex?2x+1?2ax+lnx≥ex?2?lnx+1?x+lnx，令t=x?2?ln11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A.令x=y=0，則有f(0)=f(0)+f(0)+0，即f(0)=0，；令x=y=1，則有f(2)=f(1)+f(1)+1，又f(1)=0，故f(2)=1，故f(2)=1≠f(0)，A錯誤；

B.令y=1，則有f(x+1)=f(x)+f(1)+x，即f(x+1)=f(x)+x，求導可得：f'(x+1)=f'(x)+1

C：令y=1，則有f(x+1)=f(x)+f(1)+x，即f(x+1)?f(x)=x，則f(2024)=f(2024)?f(2023)+f(2023)?f(2022)+??f(1)+f(1)=2023+2022+?+1+0=(2023+1)×2023D：令y=1，則有f(x+1)=f(x)+f(1)+x，即f(x+1)=f(x)+x，則f'(x+1)=f又f'(1)=1則k=1f故答案為：BCD.【分析】本題考查抽象函數(shù)的應用.采用賦值法令x=y=0，根等式可求出f(0)；令x=y=1，根等式可求出f(2)，可得f(2)≠f(0)，據(jù)此可判斷A選項；令y=1，可得f(x+1)=f(x)+x，求導可得：f'(x+1)=f'(x)+1，令x=1，可求出f'(2)，判斷B選項；令y=1，變形可得：f(x+1)?f(x)=x，采用累加法結合等差數(shù)列的求和公式可求出f(2024)12．【答案】[3【解析】【解答】解：因為集合M={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},

所以①當a=0時，

N={x|x2-ax<0,x∈Z}={x|x2<0}=?,此時M∩N=?，不符合題意，

②當a>0時，

N={x|x2-ax<0,x∈Z}={x|0<x<a,x∈Z}，若集合M∩N恰有兩個元素，則a≥3，

③當a<0時，

N={x|x2-ax<0,x∈Z}={x|a<x<0,x∈Z}，若a≤-1，則M∩N={x|-1<x<0,x∈Z}=?,

不符合題意，若-1<a<0，則M∩N={x|a<x<0,x∈Z}=?13．【答案】3【解析】【解答】解：根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設一條漸近線l的方程為y=bax，

因此直線MF2的傾斜角α的正切值為ba，即tanα=ba=sinαcosα，所以sinα=bk,cosα=akk>0，

則有bk2+ak2=1，所以ck=1，則k=1c,所以，cos14．【答案】3π【解析】【解答】解：當三棱錐B1?ACD的體積最大時，由于底面所以此時B1到底面ACD的距離最大，平面B1AC⊥且平面B1AC∩平面取AC的中點E，則B1E⊥AC，故B1取AD的中點O，則OE=2，又B1E=2，且∠B又∵OA=OD=OC=2，故O是三棱錐B1?ACD的外接球球心，且該外接球的半徑顯然，當且僅當過點M的平面與OM垂直時，截外接球的截面面積最小，此時，截面的圓心就是點M，記其半徑為r，則R=2=O由于AC⊥CD，CD?平面ACD，所以CD⊥平面B1而AB1?平面B1AC在△B1AD中，B又3AM=MB1故由余弦定理有OM∴r2=R故答案為：3π【分析】本題考查球內接幾何體問題，三棱錐的體積公式.當三棱錐B1?ACD的體積最大時，此時B1到底面ACD的距離最大，推出此時平面B1AC⊥平面ACD，取AC的中點E，利用平面與平面垂直的性質可推出B1E⊥平面ACD，取AD的中點O，利用勾股定理可求出OB1，據(jù)此可推出O是三棱錐B1?ACD15．【答案】（1）解：因為f(x)=eax?ex?b依題意f(0)=0且f'所以e0?b=0a（2）解：由（1）可得f(x)=e又f'令g(x)=f'(x)=eex+1?e，則又f'(0)=0，所以當x<0時f'(x)<0，當所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(?∞,0)，單調遞增區(qū)間為【解析】【分析】本題考查曲線的切線方程，利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性.

（1）先求出導函數(shù)f'(x)，根據(jù)導函數(shù)的幾何意義，再結合題目條件可得f(0)=0且f'(0)=0，據(jù)此可列出方程組，解方程組可求出a和b的值.

（2）先求出函數(shù)的定義域，再求出導函數(shù)f'(x)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性分析可知f'16．【答案】（1）證明：因為DA=DC，E為線段AC的中點，所以DE⊥AC因為DA=DC，DB=DB，∠ADB=∠CDB，所以△ADB≌△CDB，故AB=CB.又E為線段AC的中點，所以BE⊥AC.又DE∩BE=E，DE，BE?平面BED.所以AC⊥平面BED又AC?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.（2）解：取DA的中點G，連接EG，BG，因為EG為中位線，所以EG//CD，又AD⊥CD，所以AD⊥EG.因為AB=BD，G為DA的中點，所以AD⊥BG.又EG∩BG=G，EG，BG?平面BEG，所以AD⊥平面BEG，BE?平面BEG，所以AD⊥BE，因為BA=BC，E為AC的中點，所以AC⊥BE，又AC∩AD=A，AC，AD?平面ACD，所以BE⊥平面ACD.以E為坐標原點，分別以EA，EB，ED所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系E?xyz，如圖所示設A(a,0,則E(0,0,0)，D(0EF=(0,b由|AB|2=a所以CF=(又平面ABC的法向量n=(0設直線CF與平面ABC所成角為θ，則sinθ=|cos所以直線CF與平面ABC所成角為215【解析】【分析】（1）利用已知條件結合等腰三角形三線合一證出線線垂直，再結合兩三角形全等的判斷方法得出△ADB≌△CDB，再由兩三角形全等的性質得出AB=CB，再利用點E為線段AC的中點結合等腰三角形三線合一證出線線垂直，再由線線垂直證出線面垂直，再根據(jù)線面垂直證出面面垂直，從而證出平面BED⊥平面ACD.

（2）取DA的中點G，連接EG，BG，再利用中位線的性質、等腰三角形三線合一以及線面垂直的判定定理和性質定理證出直線BE⊥平面ACD，從而以E為坐標原點，分別以EA，EB，ED所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系E?xyz，從而得出點的坐標，設A(a,0,0)17．【答案】（1）解：由題意得a2又a2所以d2（2）證明：因為am所以1+(m?1)dn+1=2[1+(m?1)所以dn+1因此d100所以d100又d2=2d因此d100所以存在實數(shù)λ=2?299，μ=299?1（3）證明：因為{d所以dn=d于是am當1≤i≤n時，a=(m?1)=?(m?1)d因為q>0，n?i≥0，i?1≥0因此(qm?i?1)(所以am因此i=1n即2[a所以am【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的通項公式.

（1）利用等差數(shù)列的通項公式可推出a2（2）根據(jù)已知條件利用等差數(shù)列的通項公式通過化簡可得：dn+1+1m?1=2(dn+1m?1)（3）根據(jù)題意，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式化簡可得：am(n+1?i)+a18．【答案】（1）由題意知：4即a=6，b=所以橢圓E的方程為x???????（2）方法一：（?。┮字猅(3,0)，kPT=1，設直線l1的方程為m(x?2)+n(y+1)=1，由直線l1過T(3,聯(lián)立方程x2得(2?4n)(y+1)變形得：(2?4n)(即k1（ⅱ）設直線PA，PB的傾斜角分別為α，β，則k1=tan∠NMP=5π4?β，∠MPN=β?π在△PMN中，MN=在△PAN中，AN=所以MN由k1+k2=2知，方法二：（ⅰ）易知T(3,0)，kPT=1，設A(x1,y1)，則k1聯(lián)立方程x26+∴y1將（1）式代入（*）得：k（ⅱ）由（ⅰ）知，2mlAM：y=x?